Ortogonalni dizajn okomito i koso. Ortografska projekcija

Kao što je gore spomenuto, ortogonalna projekcija je poseban slučaj paralelne projekcije. Kod ortogonalne projekcije, projektovane zrake su okomite na ravan projekcije.

Aparat takve projekcije sastoji se od jedne ravni projekcije.

Da bi se dobila ortogonalna projekcija tačke A, kroz nju se mora povući projekcijski zrak okomito na P1. Tačka A1 naziva se ortogonalna ili pravokutna projekcija tačke A.

Da dobijem ortografsku projekciju A 1 B 1 segment AB, do aviona P 1, neophodni niz tačaka A I IN nacrtati projekcijske linije okomito P 1. Prilikom projektovanja prave se sijeku s ravninom P 1 dobićete ortogonalne projekcije A 1 I B 1 bodova A I IN. Povezivanjem ortogonalnih projekcija A 1 I B 1 dobijamo ortogonalnu projekciju A 1 B 1 segment AB.

Sva svojstva paralelne projekcije vrijede i za ortogonalnu projekciju. Međutim, ortogonalne projekcije imaju i neka druga svojstva.

Svojstva ortografske projekcije:
1. Dužina segmenta jednaka je dužini njegove projekcije podijeljenoj sa kosinusom ugla nagiba segmenta prema ravni projekcije.

Uzmimo pravu liniju AB i konstruisati njegovu ortogonalnu projekciju A 1 B 1 u avion P 1. Ako nacrtate pravu liniju AC || A 1 B 1, zatim iz trougla ABC iz toga sledi |AC| : |AB| = cos a ili |AB| = |A 1 B 1 | :cos a, jer |A 1 B 1 | = |AC|.

2. Osim toga, za ortogonalnu projekciju to će biti tačno teorema projekcije pravog ugla:

Teorema: Ako je barem jedna strana pravog ugla paralelna s ravninom projekcije, a druga nije okomita na nju, tada se kut projicira na ovu ravan u punoj veličini.

dokaz:

Zadan pravi ugao ABC, koji po uslovu ima pravu liniju BC AB I Ned || projekcijske ravni P 1. Po konstrukciji je ravan Ned na izbačenu gredu BB 1. Stoga, pravo Ned u avion b (AVhVV1), budući da se odnosi na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u ovoj ravni. Po stanju, ravno B 1 C 1 || Ned, dakle i do aviona b, tj. i direktno A 1 B 1 ovaj avion. Dakle, ugao između linija A 1 B 1 I B 1 C 1 jednako 90°, što je trebalo dokazati.

Ortogonalna projekcija omogućava jednostavnost geometrijskih konstrukcija pri određivanju ortogonalnih projekcija tačaka, kao i mogućnost očuvanja oblika i dimenzija projektovane figure na projekcijama. Ove prednosti su osigurale da se ortogonalna projekcija široko koristi u tehničkom crtanju.

Razmatrane metode projekcije omogućavaju rješavanje direktnog problema deskriptivne geometrije, odnosno izvođenje ravnog crteža od originala. Ovako dobijene projekcije na jednu ravan daju nepotpunu predstavu o objektu, njegovom obliku i položaju u prostoru, odnosno takav crtež nema svojstvo reverzibilnosti.

Za dobijanje reverzibilnog crteža, tj. dopunjen je crtež koji daje potpunu sliku oblika, veličine i položaja originala u prostoru; U zavisnosti od dodatka, postoje različite vrste crteža.

1. Mongeov dijagram ili ortogonalne projekcije. Suština metode ortogonalne (pravokutne) projekcije je da se original ortogonalno projektuje na 2 ili 3 međusobno ortogonalne projekcijske ravni, a zatim ih kombinuje sa ravninom crteža.
2. Aksonometrijski crtež. Suština aksonometrijskog crteža je da je prvo original čvrsto vezan za kartezijanski koordinatni sistem OXYZ, ortogonalno ga projektuje na jednu od ravni projekcije OXY, ili OXZ. Zatim se paralelnom projekcijom nalazi paralelna projekcija rezultirajuće strukture: koordinatne ose OX, OY, OZ, sekundarna projekcija i original.
3. Crtež u perspektivi. Prilikom izrade perspektivnog crteža prvo se konstruiše jedna ortogonalna projekcija, a zatim se na ravni slike nalazi centralna projekcija prethodno izrađene ortografske projekcije i samog originala.
4. Projekcije sa numeričkim oznakama itd. Da bi se dobile projekcije sa numeričkim oznakama, original se ortogonalno projektuje na ravan nultog nivoa i ukazuje na udaljenost od originalnih tačaka do ove ravni.

Zaustavimo se detaljnije na proučavanju pravokutnih projekcija i aksonometrijskog crteža.

Ortogonalna projekcija je poseban slučaj paralelne projekcije, kada je pravac projekcije S okomit (ortogonan) na ravan projekcije S   1 (slika 1.11).

Rice. 1.11. Ortogonalna projekcija pravog ugla

Ortogonalna projekcija se široko koristi u inženjerskoj praksi za prikazivanje geometrijskih figura na ravni, jer ima niz prednosti u odnosu na centralnu i paralelnu (kosu) projekciju, koje uključuju:

a) jednostavnost grafičkih konstrukcija za određivanje ortogonalnih projekcija tačaka;

b) sposobnost, pod određenim uslovima, očuvanja oblika i veličine projektovane figure na projekcijama.

Ove prednosti su osigurale široku upotrebu ortogonalne projekcije u tehnologiji, posebno za izradu crteža za mašinstvo.

Za ortogonalnu projekciju vrijedi svih devet invarijantnih svojstava o kojima se raspravljalo. Uz to, potrebno je napomenuti još jedno, deseto, invarijantno svojstvo, koje vrijedi samo za ortogonalnu projekciju.

10. Ako je barem jedna strana pravog ugla paralelna sa ravninom projekcije, tada se pravi ugao projektuje na ovu ravan projekcije bez izobličenja (slika 1.11)

Na sl. Na slici 1.11 prikazan je pravi ugao ABD čije su obe strane paralelne sa ravni projekcije  1. Prema invarijantnom svojstvu 9.2, ovaj ugao se projektuje na ravan  1 bez izobličenja, tj. A 1 B 1 D 1 =90.

Uzmimo proizvoljnu tačku C na izbačenoj gredi DD 1, tada će rezultirajući ABC biti ravan, budući da je ABBB 1 DD 1 .

Projekcija ovog pravog ugla ABC, čija je samo jedna strana AB paralelna sa ravninom projekcija  1, biće pravi ugao A 1 B 1 D 1.

Govoreći o geometrijskim figurama i njihovim projekcijama, potrebno je zapamtiti da je projekcija figure skup projekcija svih njegovih tačaka.

1.6. Sistem od tri projekcijske ravni. Epure Monge.

Sve prostorne geometrijske figure mogu se orijentisati u odnosu na Dekartov pravougaoni sistem koordinatnih osa - sistem od tri međusobno okomite koordinatne ravni (slika 1.12).

Rice. 1.12. Slika projekcijskog sistema u tri ravni

Ove koordinatne ravni su označene:

horizontalna ravan projekcije -  1;

frontalna ravan projekcija -  2;

ravan projekcije profila -  3.

Presječne linije ovih ravni formiraju koordinatne ose: apscisa osa – X; ordinatna osa – Y; primenjena osa – Z. Tačka O preseka koordinatnih osa uzima se kao ishodište koordinata i označava se slovom O. Razmatraju se pozitivni pravci osa: za x osu - levo od početka , za osu Y - prema posmatraču iz ravni  2, za osu z - prema gore od ravni  1; suprotni smjerovi se smatraju negativnim.

Da bismo pojednostavili dalje razmišljanje, razmotrićemo samo dio prostora koji se nalazi lijevo od profilne ravni projekcija  3.

Uz ovu pretpostavku, tri koordinatne ravni projekcija formiraju četiri prostorna ugla - oktante (u opštem slučaju - 8 oktanata).

Od sl. 1.12 može se vidjeti da x-osa X dijeli horizontalnu ravan projekcija  1 na dva dijela: prednju polovinu  1 (X i Y ose) i zadnju polovinu  1 (X i - Y ose).

X osa deli frontalna ravan projekcija 2 takođe na dva dela: gornju polovinu  2 (X i Z ose) i donju polovinu  2 (X i - Z ose).

Ordinatne ose Y i aplikativno Z dijele profilnu ravan projekcija  3 na četiri dijela:

gornji prednji kat  3 (Y i Z osi)

gornji stražnji pod  3 (-Y i Z osi)

donji prednji pod  3 (Y i –Z osi)

donji zadnji pod  3. (ose – Y i –Z)

Da bi se dobio ravan (dvodimenzionalni) model prostornih koordinatnih projekcijskih ravni, horizontalna  1 i profilna  3 ravnina se kombinuju sa frontalnom  2 redosledom prikazanim strelicama na Sl. 1.12.

P
U ovom slučaju, horizontalna projekcijska ravan  1 rotira oko X ose za 90, a ravan projekcije profila  3 rotira oko Z ose takođe za 90 (smjer rotacije je prikazan na slici 1.12).

Ovako dobijena kombinacija tri projekcijske ravni (slika 1.13) je ravan model sistema od tri prostorna

To

Rice. 1.13.

koordinatne ravni.

Da bi se konstruisao ravan model prostorne geometrijske figure, svaka njena tačka se projektuje ortogonalno na ravni projekcije  1,  2 i  3, koje se zatim kombinuju u jednu ravan. Na ovaj način dobijen ravan model prostorne geometrijske figure naziva se Mongeov dijagram.

Redoslijed izgradnje dijagrama točke koja se nalazi u prvom oktantu.

Na sl. Na slici 1.13 prikazana je prostorna tačka A, čije koordinate (x, y, z) pokazuju udaljenosti na kojima je tačka udaljena od ravni projekcije. D

Da bi se dobile ortogonalne projekcije tačke A, potrebno je spustiti okomice iz ove tačke na ravan projekcije.

Točke presjeka ovih okomica sa ravnima projekcije čine projekcije tačke A:

A 1 – horizontalna projekcija tačke;

A 2 – frontalna projekcija tačke;

A

3 – profilna projekcija tačke.

Na sl. 1.14 projekcijske ravni  1 i  3 se kombinuju sa ravninom crteža (sa ravninom projekcije  2), a zajedno sa njima se kombinuju sa ravninom crteža i projekcijama tačke A (A 1, A 2, A 3) i tako dobije se planarni model koordinatnih ravnina projekcije i planarni model prostorne tačke A - njen dijagram.

Položaj projekcije tačke A na dijagramu je jednoznačno određen njenim trima koordinatama (slika 1.14).

A 1 A 2  Na sl. 1.13 i sl. 1.14 također je jasno da na dijagramu horizontalna i frontalna projekcija točaka leže na istoj okomiti na os X, kao i frontalna i profilna projekcija - na istoj okomiti na os Z: 2 A 3  X, A.

Z

U tabeli su prikazani znakovi koordinata tačaka koje se nalaze u različitim oktantima

Tabela koordinatnih znakova

Pitanja za samokontrolu

Koja je ideja iza metode projekcije?

Šta je suština centralne projekcije i koja su njena glavna svojstva?

Šta je suština paralelne projekcije i koja su njena glavna svojstva?

Koja je suština ortogonalne (pravokutne) projekcije?

Kako se formuliše teorema projekcije pravog ugla?

Čas geometrije u 10. razredu

U jednoj od prethodnih lekcija upoznali ste se sa pojmom projekcije tačke na datu ravan paralelnu datoj pravoj.

U ovoj lekciji ćete nastaviti da proučavate prave i ravni; naučiti kako je ugao između prave i ravni. Upoznat ćete se s konceptom ortogonalne projekcije na ravan i razmotriti njena svojstva. Lekcija će dati definicije udaljenosti od tačke do ravni i od tačke do prave, ugla između prave i ravni. Biće dokazana čuvena teorema o tri okomice.

Ortografska projekcija

Ortogonalna projekcija tačke i figure.

Ortogonalna projekcija dijela.

Ortogonalna projekcija tačke A na datu ravan naziva se projekcija tačke na ovu ravan paralelnu

prava prava okomita na ovu ravan. Ortografska projekcija

figure na datu ravan p sastoji se od ortogonalnih projekcija na ravan p svih tačaka ove figure. Ortografska projekcija se često koristi za prikaz prostornih tijela na ravni, posebno u tehničkim crtežima. Daje realističniju sliku od proizvoljne paralelne projekcije, posebno okruglih tijela.

Okomito i koso

Neka se kroz tačku A, koja ne pripada ravni p, povuče prava linija, okomita na ovu ravan i koja je siječe u tački B. Tada

segment AB se zove

okomito, izostavljeno iz tačke

I na ovu ravan, a sama tačka B je osnova ove okomice. Bilo koji segment AC, gdje je C

proizvoljna tačka ravni p, različita od B, naziva se nagnuta prema

ovaj avion.

Imajte na umu da je tačka B u ovoj definiciji ortogonalna

projekcija tačke A i segmenta AC - Okomito i koso. ortogonalna projekcija kose AB.

Ortogonalne projekcije imaju sva svojstva običnih paralelnih projekcija, ali imaju i niz novih svojstava.

Neka se iz jedne tačke u ravan povuče okomita i nekoliko kosih linija. Tada su sljedeće tvrdnje tačne.

1. Svaka nagnuta ravan duža je i od okomite i od ortogonalne projekcije nagnute ravni na ovu ravan.

2. Jednake kose imaju jednake ortogonalne projekcije, i obrnuto, kosine koje imaju jednake projekcije su također jednake.

3. Jedna kosa je duža od druge ako i samo ako je ortogonalna projekcija prve kose duža od ortogonalne projekcije druge kose.

Svojstva ortografske projekcije

Dokaz.

Neka su iz tačke A u ravan p povučena okomita AB i dve kose prave AC i AD; tada su segmenti BC i BD ortogonalne projekcije ovih segmenata na ravan p.

Dokažimo prvu tvrdnju: svaka nagnuta ravan je duža i od okomite i od ortogonalne projekcije nagnute ravni na ovu ravan. Razmotrimo, na primjer, kosi AC i trokut ABC koji formira okomita AB, ova kosa AC i njena ortogonalna projekcija BC. Ovaj trougao je pravougli sa pravim uglom u vrhu B i hipotenuzom AC, koja je, kao što znamo iz planimetrije, duža od svake od kateta, tj. i okomita AB, i projekcija BC.

Od tačke A do ravni pi povučena je okomita AB i dve nagnute AC i AD.

Svojstva ortografske projekcije

Trouglovi

ABC i ABD

jednaka po kraku i hipotenuzi.

Sada ćemo dokazati drugu tvrdnju, naime: jednake kose imaju jednake ortogonalne projekcije, i obrnuto, kose koje imaju jednake projekcije su također jednake.

Razmotrimo pravokutne trouglove ABC i ABD. Oni

imaju zajedničku nogu AB. Ako su kosi AC i AD jednaki, onda su pravokutni trouglovi ABC i ABD jednaki po kraku i hipotenuzi, a onda su BC = BD. Obrnuto, ako su projekcije BC i BD jednake, onda su ti isti trokuti jednaki duž dva kraka, a onda su im hipotenuze AC i AD jednake.

protivreči uslovu. Ako sunce< BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию.

Ostaje treća mogućnost: BC > BD. Teorema je dokazana.

Ako je BC veći od BD,

tada je AC veći od strane

AE jednako AD.

Slični zadaci:

Strana AB romba ABCD jednaka je a, jedan od uglova je 60 stepeni. Kroz stranu AB na udaljenosti a/2 od tačke D povučena je alfa ravan.
a) pronađite udaljenost od tačke C do alfa ravni.
b)prikaži na slici linearni diedarski ugao DABM. M pripada alfi.
c) Pronađite sinus ugla između ravni romba i alfa ravni.

Strana AB romba ABCD jednaka je a, jedan od uglova je 60 stepeni. Alfa ravan je povučena kroz stranu AB na udaljenosti a/2 od tačke D. a) pronađite rastojanje od tačke C do alfa ravni. b)prikaži na slici linearni diedarski ugao DABM. M pripada alfi. c) Pronađite sinus ugla između ravni romba i alfa ravni.

Strana AB romba ABCD jednaka je a, a jedan od njegovih uglova jednak je 60 stepeni. Kroz stranu AB na udaljenosti a2 od tačke D povučena je alfa ravan.

a) Pronađite rastojanje od tačke C do alfa ravni.

b) Pokažite na slici linearni ugao diedarskog ugla DABM, M pripada pl. alfa.

c) Pronađite sinus ugla između ravni romba i alfa ravni.