Diseño ortogonal perpendicular y oblicuo. Proyección ortográfica

Como se mencionó anteriormente, la proyección ortogonal es un caso especial de proyección paralela. En la proyección ortogonal, los rayos que se proyectan son perpendiculares al plano de proyección.

El aparato de tal proyección consta de un plano de proyección.

Para obtener una proyección ortogonal del punto A, se debe pasar un rayo de proyección a través de él perpendicular a P1. El punto A1 se llama proyección ortogonal o rectangular del punto A.

Para obtener una proyección ortográfica A 1 B 1 segmento AB, al avión P 1, necesario a través de puntos A Y EN dibujar líneas proyectadas perpendiculares P 1. Cuando las líneas proyectadas se cruzan con un plano P 1 obtenemos proyecciones ortogonales un 1 Y EN 1 puntos A Y EN. Conectando proyecciones ortogonales un 1 Y EN 1 obtenemos una proyección ortogonal A 1 B 1 segmento AB.

Todas las propiedades de la proyección paralela también son válidas para la proyección ortogonal. Sin embargo, las proyecciones ortogonales tienen algunas otras propiedades.

Propiedades de la proyección ortográfica:
1. La longitud de un segmento es igual a la longitud de su proyección dividida por el coseno del ángulo de inclinación del segmento con respecto al plano de proyección.

tomemos una linea recta AB y construir su proyección ortogonal A 1 B 1 al avión P 1. Si dibujas una línea recta aire acondicionado || A 1 B 1, luego del triángulo A B C sigue eso |AC| : |AB| = porque a o |AB| = |A 1 B 1 | :porque un, porque |A 1 B 1 | = |CA|.

2. Además, para proyección ortogonal será cierto teorema de proyección en ángulo recto:

Teorema: Si al menos un lado de un ángulo recto es paralelo al plano de proyección y el otro no es perpendicular a él, entonces el ángulo se proyecta sobre este plano en tamaño completo.

Prueba:

Dado un ángulo recto A B C, que por condición tiene una línea recta antes de Cristo AB Y Sol || planos de proyección P 1. Por construcción es recto. Sol al haz de proyección BB 1. Por lo tanto, directamente Sol al avión b (АВхВВ1), ya que se trata de dos líneas que se cruzan en este plano. Por condición, recto B 1 C 1 || Sol, por lo tanto también al avión b, es decir, y directo A 1 B 1 este plano. Por lo tanto, el ángulo entre las líneas A 1 B 1 Y B 1 C 1 es igual a 90°, que es lo que faltaba demostrar.

La proyección ortogonal proporciona simplicidad a las construcciones geométricas al determinar proyecciones ortogonales de puntos, así como la capacidad de preservar la forma y las dimensiones de la figura proyectada en las proyecciones. Estas ventajas han garantizado que la proyección ortogonal se utilice ampliamente en el dibujo técnico.

Los métodos de proyección considerados permiten resolver el problema directo de la geometría descriptiva, es decir, construir un dibujo plano a partir del original. Las proyecciones obtenidas de esta manera en un plano dan una idea incompleta del objeto, su forma y posición en el espacio, es decir, tal dibujo no tiene la propiedad de reversibilidad.

Para obtener un dibujo reversible, es decir se complementa un dibujo que da una imagen completa de la forma, tamaño y posición del original en el espacio; Dependiendo del complemento, existen diferentes tipos de dibujos.

1. Diagrama de Monge o proyecciones ortogonales. La esencia del método de proyección ortogonal (rectangular) es que el original se proyecta ortogonalmente en 2 o 3 planos de proyección mutuamente ortogonales y luego los combina con el plano de dibujo.
2. Dibujo axonométrico. La esencia de un dibujo axonométrico es que primero el original está rígidamente vinculado al sistema de coordenadas cartesiano. OXYZ, proyectarlo ortogonalmente en uno de los planos de proyección OXI, o OXZ. Luego, mediante proyección paralela, se encuentra una proyección paralela de la estructura resultante: ejes de coordenadas BUEY, OY, OZ, proyección secundaria y original.
3. Dibujo en perspectiva. Al construir un dibujo en perspectiva, primero se construye una proyección ortogonal y luego, en el plano de la imagen, se encuentra la proyección central de la proyección ortográfica previamente construida y el original mismo.
4. Proyecciones con marcas numéricas, etc. Para obtener proyecciones con marcas numéricas, el original se proyecta ortogonalmente sobre el plano de nivel cero y se indica la distancia desde los puntos originales a este plano.

Detengámonos con más detalle en el estudio de proyecciones rectangulares y dibujos axonométricos.

La proyección ortogonal es un caso especial de proyección paralela, cuando la dirección de proyección S es perpendicular (ortogonal) al plano de proyección S   1 (figura 1.11).

Arroz. 1.11. Proyección ortogonal de un ángulo recto.

La proyección ortogonal se usa ampliamente en la práctica de la ingeniería para representar figuras geométricas en un plano, ya que tiene una serie de ventajas sobre la proyección central y paralela (oblicua), a las que se pueden atribuir:

a) simplicidad de construcciones gráficas para determinar proyecciones ortogonales de puntos;

b) la capacidad, bajo determinadas condiciones, de preservar la forma y el tamaño de la figura proyectada en las proyecciones.

Estas ventajas han garantizado el uso generalizado de la proyección ortogonal en tecnología, en particular para la preparación de dibujos de ingeniería mecánica.

Para la proyección ortogonal, las nueve propiedades invariantes analizadas anteriormente son válidas. Además, es necesario tener en cuenta una décima propiedad invariante más, que es válida sólo para la proyección ortogonal.

10. Si al menos un lado del ángulo recto es paralelo al plano de proyección, entonces el ángulo recto se proyecta sobre este plano de proyección sin distorsión (figura 1.11).

En la Fig. La figura 1.11 muestra un ángulo recto ABD, cuyos lados son paralelos al plano de proyección  1. Según la propiedad invariante 9.2, este ángulo se proyecta sobre el plano  1 sin distorsión, es decir, A 1 B 1 D 1 =90.

Tomemos un punto arbitrario C en la viga saliente DD 1, entonces el ABC resultante será recto, ya que ABBB 1 DD 1 .

La proyección de este ángulo recto ABC, del cual solo un lado AB es paralelo al plano de proyecciones  1, será el ángulo recto A 1 B 1 D 1.

Hablando de figuras geométricas y sus proyecciones, es necesario recordar que la proyección de una figura es el conjunto de proyecciones de todos sus puntos.

1.6. Sistema de tres planos de proyección. Epure Monge.

Todas las figuras geométricas espaciales pueden orientarse con respecto al sistema rectangular cartesiano de ejes de coordenadas, un sistema de tres planos de coordenadas mutuamente perpendiculares (figura 1.12).

Arroz. 1.12. Imagen de un sistema de proyección de tres planos.

Estos planos de coordenadas se denominan:

plano de proyección horizontal -  1;

plano frontal de proyecciones -  2;

plano de proyección del perfil -  3.

Las líneas de intersección de estos planos forman ejes de coordenadas: eje de abscisas – X; eje de ordenadas – Y; aplicar eje – Z. El punto O de la intersección de los ejes de coordenadas se toma como origen de coordenadas y se designa con la letra O. Se consideran las direcciones positivas de los ejes: para el eje x - a la izquierda del origen , para el eje Y - hacia el espectador desde el plano  2, para el eje z - hacia arriba desde el plano  1; direcciones opuestas se consideran negativas.

Para simplificar aún más el razonamiento, consideraremos solo la parte del espacio ubicada a la izquierda del plano de perfil de proyecciones  3.

Con este supuesto, tres planos coordinados de proyecciones forman cuatro ángulos espaciales: octantes (en el caso general, 8 octantes).

De la Fig. 1.12 se puede observar que la abscisa X divide el plano horizontal de proyecciones  1 en dos partes: la mitad delantera  1 (ejes X e Y) y la mitad trasera  1 (ejes X y - Y).

El eje X divide plano frontal de proyecciones 2 también en dos partes: la mitad superior  2 (ejes X y Z) y la mitad inferior  2 (ejes X y - Z).

Los ejes de ordenadas Y y de aplicación Z dividen el plano de perfil de los salientes  3 en cuatro partes:

planta superior delantera  3 (ejes Y y Z)

piso trasero superior  3 (ejes -Y y Z)

piso delantero inferior  3 (ejes Y y –Z)

piso trasero inferior  3.° (ejes – Y y –Z)

Para obtener un modelo plano (bidimensional) de planos de proyección de coordenadas espaciales, los planos horizontal  1 y de perfil  3 se combinan con el frontal  2 en el orden que muestran las flechas en la Fig. 1.12.

PAG
En este caso, el plano de proyección horizontal  1 gira alrededor del eje X 90, y el plano de proyección del perfil  3 gira alrededor del eje Z también 90 (la dirección de rotación se muestra en la Fig. 1.12).

La combinación de tres planos de proyección obtenida de esta manera (figura 1.13) es un modelo plano de un sistema de tres espacios

A

Arroz. 1.13. Modelo espacial del punto A

Para construir un modelo plano de una figura geométrica espacial, cada uno de sus puntos se proyecta ortogonalmente sobre los planos de proyección  1,  2 y  3, que luego se combinan en un solo plano. El modelo plano de una figura geométrica espacial obtenido de esta forma se denomina diagrama de Monge.

El orden de construcción de un diagrama de un punto ubicado en el primer octante.

En la Fig. La Figura 1.13 muestra un punto espacial A, cuyas coordenadas (x, y, z) muestran las distancias a las que el punto se aleja de los planos de proyección.

D Para obtener proyecciones ortogonales del punto A, es necesario bajar perpendiculares desde este punto al plano de proyección.

Los puntos de intersección de estas perpendiculares con los planos de proyección forman las proyecciones del punto A:

A 1 – proyección horizontal del punto;

A 2 – proyección frontal del punto;

A

Arroz. 1.14. Diagrama del punto A.

En la Fig. 1.14 los planos de proyección  1 y  3 se combinan con el plano de dibujo (con el plano de proyección  2), y junto con ellos se combinan con el plano de dibujo y las proyecciones del punto A (A 1, A 2, A 3) y así Se obtiene un modelo plano de planos de coordenadas proyecciones y un modelo plano del punto espacial A - su diagrama.

La posición de las proyecciones del punto A en el diagrama está determinada únicamente por sus tres coordenadas (figura 1.14).

En la Fig. 1.13 y fig. 1.14 también está claro que en el diagrama las proyecciones horizontal y frontal de los puntos se encuentran en la misma perpendicular al eje X, así como las proyecciones frontal y de perfil, en la misma perpendicular al eje Z:

A 1 A 2  X, A 2 A 3  z.

De la figura 1.12 se desprende claramente que los puntos ubicados en diferentes octantes tienen ciertos signos de coordenadas.

La tabla muestra los signos de las coordenadas de puntos ubicados en diferentes octantes.

Tabla de signos de coordenadas.

Preguntas para el autocontrol

¿Cuál es la idea detrás del método de proyección?

¿Cuál es la esencia de la proyección central y cuáles son sus principales propiedades?

¿Cuál es la esencia de la proyección paralela y cuáles son sus principales propiedades?

¿Cuál es la esencia de la proyección ortogonal (rectangular)?

¿Cómo se formula el teorema de proyección en ángulo recto?

Lección de geometría en décimo grado.

En una de las lecciones anteriores, se familiarizó con el concepto de proyección de un punto en un plano determinado paralelo a una recta determinada.

En esta lección continuarás estudiando líneas y planos; aprende cómo es el ángulo entre una línea recta y un plano. Te familiarizarás con el concepto de proyección ortogonal sobre un plano y considerarás sus propiedades. La lección dará definiciones de la distancia de un punto a un plano y de un punto a una línea recta, el ángulo entre una línea recta y un plano. Se demostrará el famoso teorema de las tres perpendiculares.

Proyección ortográfica

Proyección ortogonal de un punto y una figura.

Proyección ortogonal de la pieza.

Proyección ortogonal del punto A sobre un plano dado se llama proyección de un punto sobre este plano paralelo

una recta perpendicular a este plano. Proyección ortográfica

de una figura en un plano p dado consta de proyecciones ortogonales en el plano p de todos los puntos de esta figura. La proyección ortográfica se utiliza a menudo para representar cuerpos espaciales en un plano, especialmente en dibujos técnicos. Da una imagen más realista que la proyección paralela arbitraria, especialmente de cuerpos redondos.

Perpendicular y oblicua

Sea una línea recta que pase por el punto A, que no pertenece al plano p, perpendicular a este plano y que lo corte en el punto B. Entonces

El segmento AB se llama

perpendicular, omitido desde el punto

Y a este plano, y el propio punto B es la base de esta perpendicular. Cualquier segmento AC, donde C es

un punto arbitrario del plano p, diferente de B, se llama inclinado a

este plano.

Tenga en cuenta que el punto B en esta definición es ortogonal

proyección del punto A y segmento AC - Perpendicular y oblicua. proyección ortogonal de AB oblicuo.

Las proyecciones ortogonales tienen todas las propiedades de las proyecciones paralelas ordinarias, pero también tienen una serie de propiedades nuevas.

Trazamos una línea perpendicular y varias inclinadas desde un punto al plano. Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas.

1. Cualquier plano inclinado es más largo que la proyección perpendicular y ortogonal del plano inclinado sobre este plano.

2. Los oblicuos iguales tienen proyecciones ortogonales iguales y viceversa, los oblicuos que tienen proyecciones iguales también son iguales.

3. Un oblicuo es más largo que el otro si y sólo si la proyección ortogonal del primer oblicuo es más larga que la proyección ortogonal del segundo oblicuo.

Propiedades de la proyección ortográfica

Prueba.

Sean trazadas una perpendicular AB y dos rectas inclinadas AC y AD desde el punto A al plano p; entonces los segmentos BC y BD son proyecciones ortogonales de estos segmentos sobre el plano p.

Probemos la primera afirmación: cualquier plano inclinado es más largo que la proyección perpendicular y ortogonal del plano inclinado sobre este plano. Consideremos, por ejemplo, el oblicuo AC y el triángulo ABC formado por la perpendicular AB, este oblicuo AC y su proyección ortogonal BC. Este triángulo es rectángulo con un ángulo recto en el vértice B y la hipotenusa AC, que, como sabemos por la planimetría, es más larga que cada uno de los catetos, es decir. y perpendicular AB, y proyección BC.

Del punto A al plano pi se traza una perpendicular AB y dos inclinadas AC y AD.

Propiedades de la proyección ortográfica

triangulos

ABC y ABD

iguales en cateto e hipotenusa.

Ahora probaremos la segunda afirmación, a saber: los oblicuos iguales tienen proyecciones ortogonales iguales, y viceversa, los oblicuos que tienen proyecciones iguales también son iguales.

Considere los triángulos rectángulos ABC y ABD. Ellos

tienen un cateto común AB. Si los oblicuos AC y AD son iguales, entonces los triángulos rectángulos ABC y ABD son iguales en cateto e hipotenusa, y entonces BC = BD. Por el contrario, si las proyecciones BC y BD son iguales, entonces estos mismos triángulos son iguales en dos catetos, y luego sus hipotenusas AC y AD son iguales.

contradice la condición. si el sol< BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию.

Queda una tercera posibilidad: BC > BD. El teorema ha sido demostrado.

Si BC es mayor que BD,

entonces AC es más grande que el lado

AE igual a AD.

Tareas similares:

El lado AB del rombo ABCD es igual a a, uno de los ángulos mide 60 grados. Se traza un plano alfa por el lado AB a una distancia a/2 del punto D.
a) encuentre la distancia desde el punto C al plano alfa.
b)muestre en la figura el ángulo diédrico lineal DABM. M pertenece a alfa.
c) Encuentra el seno del ángulo entre el plano rombo y el plano alfa.

El lado AB del rombo ABCD es igual a a, uno de los ángulos mide 60 grados. Se dibuja un plano alfa por el lado AB a una distancia a/2 del punto D. a) Encuentre la distancia desde el punto C al plano alfa. b)muestre en la figura el ángulo diédrico lineal DABM. M pertenece a alfa. c) Encuentra el seno del ángulo entre el plano rombo y el plano alfa.

El lado AB del rombo ABCD es igual a a y uno de sus ángulos mide 60 grados. Se traza un plano alfa por el lado AB a una distancia a2 del punto D.

a) Encuentre la distancia desde el punto C al plano alfa.

b) Muestre en la figura el ángulo lineal del ángulo diédrico DABM, M pertenece al pl. alfa.

c) Encuentra el seno del ángulo entre el plano rombo y el plano alfa.