Hangi altıgenin içine bir daire çizilebilir. Normal altıgen: neden ilginç ve nasıl inşa edilir

matematiksel özellikler

Bütün açılar 120°'dir.

Yazılı dairenin yarıçapı:

Düzgün bir altıgenin çevresi:

Düzlemi döşeyen altıgenler, yani düzlemi boşluklar ve üst üste binmeler olmadan doldurarak sözde parke oluşturabilirler.

Altıgen parke (altıgen parke)- yan yana yerleştirilmiş eşit düzenli altıgenlerle düzlemin mozaiklenmesi.

Altıgen parke ikili ve üçgen parkedir: bitişik altıgenlerin merkezlerini birleştirirseniz, çizilen parçalar üçgen bir parke verir. Altıgen bir parkenin Schläfli sembolü (6,3)'tür, bu da parkenin her bir köşesinde üç altıgenin birleştiği anlamına gelir.

Altıgen parke, düzlemdeki en yoğun daire yığınıdır. İki boyutlu Öklid uzayında, en iyi dolgu, dairelerin merkezlerini, her dairenin altı diğeriyle çevrelendiği düzenli altıgenlerden oluşan bir parkenin köşelerine yerleştirmektir. Bu ambalajın yoğunluğu . 1940 yılında bu dolgunun en yoğun olduğu kanıtlandı.

Bir kenarı olan normal bir altıgen, evrensel bir örtüdür, yani herhangi bir çap kümesi, bir kenarı olan normal bir altıgenle (Pal's lemma) kaplanabilir.

Pergel ve cetvel kullanılarak düzgün bir altıgen oluşturulabilir. Öklid tarafından Elementler, Kitap IV, Teorem 15'te önerilen yapım yöntemi aşağıdadır.

Doğada, teknolojide ve kültürde düzenli altıgen

Bazı karmaşık kristaller ve moleküller grafit gibi altıgen bir kristal kafese sahiptir.

Bulutlardaki mikroskobik su damlacıklarının toz parçacıkları tarafından çekilip donmasıyla oluşur. Bu durumda ortaya çıkan ve ilk başta çapı 0,1 mm'yi geçmeyen buz kristalleri, havadaki nemin üzerlerine yoğunlaşması sonucu aşağı düşerek büyürler. Bu durumda altı köşeli kristal formlar oluşur. Su moleküllerinin yapısından dolayı kristalin ışınları arasında sadece 60° ve 120° açılar mümkündür. Ana su kristali, düzlemde düzenli bir altıgen şeklindedir. Daha sonra böyle bir altıgenin tepelerinde yeni kristaller biriktirilir, üzerlerinde yeni kristaller biriktirilir ve böylece çeşitli kar tanesi yıldızları elde edilir.

Oxford Üniversitesi'nden bilim adamları, laboratuvarda böyle bir altıgenin ortaya çıkışını simüle edebildiler. Araştırmacılar böyle bir oluşumun nasıl gerçekleştiğini öğrenmek için 30 litrelik bir şişe suyu bir döner tablanın üzerine yerleştirdiler. Satürn'ün atmosferini ve olağan dönüşünü modelledi. İçine, bilim adamları kaptan daha hızlı dönen küçük halkalar yerleştirdiler. Bu, deneycilerin yeşil boya ile görselleştirdiği minyatür girdaplar ve jetler oluşturdu. Halka ne kadar hızlı dönerse, girdaplar o kadar büyüdü ve yakındaki akıntının dairesel bir şekilden sapmasına neden oldu. Böylece, deneyin yazarları çeşitli şekiller - ovaller, üçgenler, kareler ve tabii ki istenen altıgen - elde etmeyi başardılar.

Eski bir volkanik patlamanın sonucu olarak oluşan, birbirine bağlı yaklaşık 40.000 bazalt (nadiren andezit) sütundan oluşan doğal bir anıt. Kuzey İrlanda'nın kuzeydoğusunda, Bushmills şehrinin 3 km kuzeyinde yer almaktadır.

Sütunların tepeleri, uçurumun dibinde başlayan ve deniz yüzeyinin altında kaybolan bir tür sıçrama tahtası oluşturur. Sütunların çoğu altıgen olup, bazılarının dört, beş, yedi veya sekiz köşesi vardır. En yüksek sütun yaklaşık 12 metre yüksekliğindedir.

Yaklaşık 50-60 milyon yıl önce, Paleojen döneminde, Antrim bölgesi, erimiş bazalt yataklardan geçerek geniş lav platoları oluşturduğunda yoğun volkanik aktiviteye maruz kaldı. Hızlı soğutma ile maddenin hacmi azaldı (bu, çamur kuruduğunda gözlenir). Yatay sıkıştırma, altıgen sütunların karakteristik yapısıyla sonuçlandı.

Somunun enine kesiti düzgün bir altıgen şeklindedir.

Düzgün Altıgen Altıgen, altı köşesi olan bir çokgendir. Bu şekle sahip herhangi bir nesneye altıgen de denir. Dışbükey bir altıgenin iç açılarının toplamı p ... Wikipedia

Satürn Altıgeni- Voyager 1 tarafından keşfedilen ve 2006'da tekrar gözlemlenen Satürn'ün kuzey kutbunda altıgen kararlı bir atmosferik oluşum ve ... Wikipedia

düzgün çokgen- Düzgün yedigen Düzgün çokgen, tüm kenarların ve açıların birbirine eşit olduğu dışbükey çokgendir. Normal bir çokgenin tanımı, tanıma bağlı olabilir ... Wikipedia

düzenli yedigen Düzenli bir yedigen, yedi kenarı olan düzgün bir çokgendir. İçindekiler ... Vikipedi

sağ üçgen- Dik üçgen. Normal (veya eşkenar) üçgen, normal çokgenlerin ilki olan üç kenarı olan normal bir çokgendir. Tüm taraflar ... Vikipedi

Düzenli dokuzgen dokuz kenarı olan düzgün çokgendir. Özellikler Kuralı ... Vikipedi

Normal 17-gon- Düzenli bir on yedigen, düzenli çokgenler grubuna ait geometrik bir figürdür. On yedi kenarı ve on yedi açısı vardır, tüm açıları ve kenarları birbirine eşittir, tüm köşeleri bir daire üzerindedir. İçindekiler 1 ... ... Vikipedi

Normal on yedi- düzenli çokgenler grubuna ait geometrik bir şekil. On yedi kenarı ve on yedi açısı vardır, tüm açıları ve kenarları birbirine eşittir, tüm köşeleri bir daire üzerindedir. İçindekiler ... Vikipedi

düzenli sekizgen- (sekizgen) düzenli çokgenler grubundan geometrik şekil. Sekiz kenarı ve sekiz açısı vardır ve tüm açıları ve kenarları birbirine eşittir ... Wikipedia

Doğru 65537-gon- 65537 kare mi daire mi? Normal 65537 çokgen (altmış beş ̀syachfivesòthirty-yedigen), 65537'den oluşan normal çokgenler grubundan geometrik bir figürdür ... Wikipedia

Kitabın

• "Sihirli Kenarlar" No. 25'i ayarlar. Bölümleri olan 3 küpü birleştirmek için ayarlayın. Her küp, bölümün geçtiği hareketli parçalara sahiptir. Bu, küpü bir bütün olarak ve kesit olarak görmenizi sağlar. Birleştirilmiş üç küp, sorunları çözmenize izin verir ...

Yakınınızda bir kalem var mı? Bölümüne bir bakın - normal bir altıgen veya aynı zamanda bir altıgen olarak da adlandırılır. Bir somunun kesiti, bir altıgen satranç alanı, bazı karmaşık karbon molekülleri (örneğin grafit), bir kar tanesi, bir petek ve diğer nesneler de bu şekle sahiptir. Son zamanlarda devasa bir düzgün altıgen keşfedildi. Doğanın yaratımları için bu özel şekle sahip yapıları bu kadar sık ​​kullanması garip gelmiyor mu? Hadi daha yakından bakalım.

Düzgün bir altıgen, altı eşit kenara ve eşit açılara sahip bir çokgendir. Okul kursundan, aşağıdaki özelliklere sahip olduğunu biliyoruz:

• Kenarlarının uzunluğu, çevrelenmiş dairenin yarıçapına karşılık gelir. Hepsinden yalnızca normal bir altıgen bu özelliğe sahiptir.
• Açılar birbirine eşittir ve her birinin büyüklüğü 120 ° 'dir.
• Bir altıgenin çevresi, çevresine çizilen dairenin yarıçapı biliniyorsa Р=6*R, içine daire çizilmişse Р=4*√(3)*r formülü kullanılarak bulunabilir. R ve r, çevrelenmiş ve yazılı dairelerin yarıçaplarıdır.
• Bir düzgün altıgenin kapladığı alan şu şekilde belirlenir: S=(3*√(3)*R 2)/2. Yarıçap bilinmiyorsa, bunun yerine kenarlardan birinin uzunluğunu koyarız - bildiğiniz gibi, çevrelenmiş dairenin yarıçapının uzunluğuna karşılık gelir.

Düzenli altıgen, doğada bu kadar yaygın hale gelmesi nedeniyle ilginç bir özelliğe sahiptir - düzlemin herhangi bir yüzeyini örtüşme ve boşluk olmadan doldurabilir. Kenarı 1/√(3)'e eşit olan normal bir altıgenin evrensel bir lastik olduğu, yani bir birim çapında herhangi bir seti kapsayabileceği sözde Pal lemma bile vardır.

Şimdi düzgün bir altıgenin yapılışını düşünün. En kolayı pusula, kurşun kalem ve cetvel kullanmayı içeren birkaç yol vardır. Önce pusula ile keyfi bir daire çiziyoruz, ardından bu daire üzerinde keyfi bir yere nokta koyuyoruz. Pusulanın çözümünü değiştirmeden bu noktaya ucu koyup daire üzerinde bir sonraki çentiği işaretliyoruz, 6 puanın hepsini alana kadar bu şekilde devam ediyoruz. Şimdi sadece onları düz bölümlerle birbirine bağlamak kalıyor ve istenen şekil ortaya çıkıyor.

Uygulamada, bir altıgen çizmek istediğiniz zamanlar vardır. büyük beden. Örneğin, iki seviyeli alçıpan tavan, merkezi avizenin bağlantı noktasının etrafına, alt seviyeye altı küçük lamba takmanız gerekir. Bu boyutta bir pusula bulmak çok ama çok zor olacak. Bu durumda nasıl devam edilir? Büyük bir daire nasıl çizilir? Çok basit. İstenilen uzunlukta güçlü bir iplik almanız ve uçlarından birini kalemin karşısına bağlamanız gerekir. Şimdi geriye sadece ipin ikinci ucunu doğru noktada tavana bastıracak bir asistan bulmak kalıyor. Tabii ki, bu durumda, küçük hatalar mümkündür, ancak bunların bir yabancı tarafından fark edilmesi pek olası değildir.

Bir daire içine yazılmış düzenli bir altıgenin inşası. Bir altıgenin yapısı, kenarının çevrelenmiş dairenin yarıçapına eşit olması gerçeğine dayanır. Bu nedenle inşa etmek için daireyi altı eşit parçaya bölmek ve bulunan noktaları birbirine bağlamak yeterlidir (Şekil 60, a).

T-kare ve 30X60° kare kullanılarak düzgün bir altıgen oluşturulabilir. Bu yapıyı gerçekleştirmek için, dairenin yatay çapını 1 ve 4 açılarının açıortayı olarak alıyoruz (Şekil 60, b), 1-6, 4-3, 4-5 ve 7-2 kenarlarını oluşturuyoruz, ardından tarafları 5-6 ve 3-2 çizin.

Bir daire içine yazılmış bir eşkenar üçgenin inşası. Böyle bir üçgenin köşeleri, bir pusula ve 30 ve 60 ° açılara sahip bir kare veya yalnızca bir pusula kullanılarak oluşturulabilir.

Bir daire içine alınmış bir eşkenar üçgen oluşturmanın iki yolunu düşünün.

ilk yol(Şekil 61, a), 7, 2, 3 üçgeninin her üç açısının da 60 ° içermesi ve 7 noktasından çizilen dikey çizginin 1 açısının hem yüksekliği hem de açıortayı olduğu gerçeğine dayanmaktadır. 0-1-2 açısı 30°'ye eşittir, o halde kenarı bulmak için

1-2, 1 noktasında ve 0-1 tarafında 30°'lik bir açı oluşturmak yeterlidir. Bunu yapmak için, T kareyi ve kareyi şekilde gösterildiği gibi ayarlayın, istenen üçgenin kenarlarından biri olacak 1-2 çizgisini çizin. 2-3 tarafını oluşturmak için, T-karesini kesikli çizgilerle gösterilen konuma getirin ve 2 noktasından geçerek üçgenin üçüncü köşesini tanımlayacak düz bir çizgi çizin.

ikinci yol bir daire içine alınmış düzgün bir altıgen oluşturursanız ve sonra köşelerini bire bağlarsanız, bir eşkenar üçgen elde ettiğiniz gerçeğine dayanır.

Bir üçgen oluşturmak için (Şekil 61, b), çapta bir tepe noktası 1 işaretliyoruz ve 1-4 çap çizgisini çiziyoruz. Ayrıca, yarıçapı D / 2'ye eşit olan 4 noktasından, yayı 3 ve 2 noktalarında daire ile kesişene kadar tanımlarız. Ortaya çıkan noktalar, istenen üçgenin diğer iki köşesi olacaktır.

Daire içine alınmış bir karenin inşası. Bu yapı bir kare ve bir pusula kullanılarak yapılabilir.

Birinci yöntem, karenin köşegenlerinin çevrelenmiş dairenin merkezinde kesiştiği ve dairenin eksenlerine 45° açı yaptığı gerçeğine dayanmaktadır. Buna dayanarak, Şekil 1'de gösterildiği gibi bir T-kare ve 45 ° açılı bir kare yerleştiriyoruz. 62, a ve 1 ve 3 noktalarını işaretleyin. Ayrıca bu noktalardan bir T-kare yardımıyla 4-1 ve 3-2 karesinin yatay kenarlarını çiziyoruz. Daha sonra karenin ayağı boyunca bir T-kare kullanarak karenin 1-2 ve 4-3 dikey kenarlarını çiziyoruz.

İkinci yöntem, karenin köşelerinin çapın uçları arasına alınmış dairenin yaylarını ikiye ayırmasına dayanır (Şekil 62, b). Karşılıklı olarak dik iki çapın uçlarında A, B ve C noktalarını işaretliyoruz ve bunlardan y yarıçapı ile kesişene kadar yayları tanımlıyoruz.

Ayrıca, yayların kesişme noktalarından, şekilde düz çizgilerle işaretlenmiş yardımcı çizgiler çizeriz. Daire ile kesişme noktaları, 1 ve 3 numaralı köşeleri tanımlayacaktır; 4 ve 2. Bu şekilde elde edilen istenen karenin köşeleri birbirine seri olarak bağlanır.

Bir daire içine yazılmış düzgün bir beşgenin inşası.

Bir daireye düzgün bir beşgen çizmek için (Şekil 63), aşağıdaki yapıları yaparız.

1. noktayı daire üzerinde işaretliyoruz ve onu beşgenin köşelerinden biri olarak alıyoruz. AO segmentini ikiye bölün. Bunu yapmak için, A noktasından AO yarıçapı ile, M ve B noktalarında daire ile kesişme noktasına kadar olan yayı tanımlarız. Bu noktaları düz bir çizgiyle birleştirerek, daha sonra 1 noktasına bağladığımız K noktasını elde ederiz. A7 segmentine eşit bir yarıçapla, yayı K noktasından H noktasındaki AO ​​çap çizgisi ile kesişme noktasına kadar tanımlarız. 1 noktasını H noktasıyla birleştirerek, beşgenin kenarını elde ederiz. Ardından, 1H parçasına eşit bir pusula açıklığı ile, 1 tepe noktasından daire ile kesişme noktasına kadar olan yayı tanımlayan, 2 ve 5 köşelerini buluruz. Aynı pusula açıklığı ile 2 ve 5 köşelerinden çentikler yaptıktan sonra, kalanını elde ederiz. köşeler 3 ve 4. Bulunan noktaları sırayla birbirine bağlarız.

Kenarı verilen düzgün bir beşgenin inşası.

Verilen kenarı boyunca düzgün bir beşgen oluşturmak için (Şekil 64), AB doğru parçasını altı eşit parçaya böleriz. AB yarıçaplı A ve B noktalarından, kesişmeleri K noktasını verecek olan yayları tanımlarız. Bu noktadan ve AB çizgisindeki 3. bölümden dikey bir çizgi çizeriz.

Beşgenin 1-tepe noktasını elde ederiz. Daha sonra, AB'ye eşit bir yarıçapla, 1 noktasından yayı daha önce A ve B noktalarından çizilen yaylarla kesişmeye kadar tanımlarız. Yayların kesişme noktaları, beşgen 2 ve 5'in köşelerini belirler. köşeler birbiri ile seri haldedir.

Bir daire içine yazılmış düzenli bir yedigenin inşası.

D çapında bir daire verilsin; içine normal bir yedigen yazmanız gerekir (Şek. 65). Dairenin dikey çapını yedi eşit parçaya bölün. D çemberinin çapına eşit yarıçapa sahip 7 noktasından, F noktasındaki yatay çapın devamı ile kesişene kadar yayı tanımlarız. F noktasına çokgenin direği denir. Nokta VII'yi yedigenin köşelerinden biri olarak alarak, F kutbundan dikey çapın eşit bölümlerinden ışınlar çizeriz; bunların daire ile kesişmesi yedigenin VI, V ve IV köşelerini belirleyecektir. IV, V ve VI noktalarından / - // - /// köşelerini elde etmek için daire ile kesişene kadar yatay çizgiler çizeriz. Bulunan köşeleri seri olarak birbirine bağlarız. Heptagon, F kutbundan gelen ışınlar çizilerek ve dikey çapın tuhaf bölümleriyle oluşturulabilir.

Yukarıdaki yöntem, herhangi bir sayıda kenarı olan düzgün çokgenler oluşturmak için uygundur.

Bir dairenin herhangi bir sayıda eşit parçaya bölünmesi Tablo'daki veriler kullanılarak da yapılabilir. Şekil 2, düzgün yazılı çokgenlerin kenarlarının boyutlarını belirlemeyi mümkün kılan katsayıları göstermektedir.

Normal bir altıgenin neye benzediğini biliyor musunuz?
Bu soru tesadüfen sorulmadı. 11. sınıftaki çoğu öğrenci bunun cevabını bilmiyor.

Düzgün bir altıgen, tüm kenarların ve tüm açıların da eşit olduğu bir altıgendir..

Demir somun. Kar tanesi. Arıların yaşadığı petek hücresi. Benzen molekülü. Bu nesnelerin ortak noktası nedir? - Hepsinin düzenli bir altıgen şekle sahip olması.

Pek çok okul çocuğu, normal bir altıgen için görevler gördüklerinde kaybolur ve bunları çözmek için bazı özel formüllerin gerekli olduğuna inanırlar. Öyle mi?

Düzgün bir altıgenin köşegenlerini çizin. Altı eşkenar üçgenimiz var.

Biliyoruz ki, bölge sağ üçgen: .

O zaman normal bir altıgenin alanı altı kat daha büyüktür.

Düzgün bir altıgenin kenarı neresidir?

Lütfen düzgün bir altıgenin merkezinden herhangi bir köşeye olan uzaklığının normal altıgenin kenarına eşit ve aynı olduğuna dikkat edin.

Bu, düzgün bir altıgenin çevrelediği bir dairenin yarıçapının, kenarına eşit olduğu anlamına gelir..
Düzgün bir altıgenin içine çizilmiş bir dairenin yarıçapını bulmak kolaydır.
O eşittir.
Artık herhangi birini kolayca çözebilirsiniz KULLANIM görevleri, normal bir altıgenin göründüğü.

Kenarı düzgün bir altıgenin içine çizili çemberin yarıçapını bulun.

Böyle bir dairenin yarıçapı .

Cevap: .

Yarıçapı 6 olan bir daire içine çizilmiş düzgün altıgenin kenarı kaç cm'dir?

Düzgün bir altıgenin bir kenarının, çevresine çizilen dairenin yarıçapına eşit olduğunu biliyoruz.