Olayların eşzamanlılığının göreliliği nedir? Özel Görelilik A

« Fizik - 11. sınıf"

20. yüzyılın başına kadar. zamanın mutlak olduğundan kimsenin şüphesi yoktu.
Dünya sakinleri için eşzamanlı olan iki olay, herhangi bir uzay uygarlığının sakinleri için de eşzamanlıdır.
Görelilik teorisinin ortaya çıkışı bunun böyle olmadığı sonucunu doğurdu.

Uzay ve zamana ilişkin klasik fikirlerin başarısız olmasının nedeni, etkileşimlerin ve sinyallerin uzayda bir noktadan diğerine anında iletilme olasılığı hakkındaki yanlış varsayımdır.
Etkileşimlerin nihai sonlu aktarım hızının varlığı, gündelik deneyimlere dayanan alışılagelmiş uzay ve zaman kavramlarının derinden değişmesini gerektirir.
Belirli bir hızda, maddeden ve onun hareketinden tamamen bağımsız olarak akıp giden mutlak zaman düşüncesinin yanlış olduğu ortaya çıkıyor.

Sinyallerin anlık yayılma olasılığını varsayarsak, o zaman uzaysal olarak ayrılmış iki A ve B noktasındaki olayların aynı anda meydana geldiği ifadesi mutlak bir anlam ifade edecektir.
A ve B noktalarına bir saat yerleştirebilir ve bunları anlık sinyallerle senkronize edebilirsiniz.
Böyle bir sinyal A noktasından örneğin sabah 0.45'te gönderiliyorsa ve B saatine göre aynı anda B noktasına varıyorsa saatler aynı zamanı gösteriyor, yani senkron çalışıyorlar.
Eğer böyle bir tesadüf yoksa sinyalin gönderildiği andaki zamanı daha kısa gösteren saatler ileri alınarak saatler senkronize edilebilir.

Herhangi bir olay, örneğin iki yıldırım düşmesi, senkronize saatlerin aynı okumalarında meydana geliyorsa eşzamanlıdır.

Yalnızca A ve B noktalarına senkronize saatler yerleştirilerek bu noktalarda iki olayın aynı anda gerçekleşip gerçekleşmediği yargısına varılabilir.
Ancak sinyal yayılma hızı sonsuz değilse, birbirinden belirli bir mesafede bulunan saatleri nasıl senkronize edebilirsiniz?

Saatleri senkronize etmek için genel olarak ışık veya elektromanyetik sinyallerin kullanılması doğaldır, çünkü elektromanyetik dalgaların boşluktaki hızı kesin olarak tanımlanmış, sabit bir değerdir.

Radyo aracılığıyla saati kontrol etmek için kullanılan yöntemdir.
Zaman sinyalleri saatinizi doğru bir referans saati ile senkronize etmenize olanak sağlar.
Radyo istasyonundan eve olan mesafeyi bilerek sinyal gecikmesi düzeltmesini hesaplayabilirsiniz.
Bu değişiklik elbette çok küçüktür. Günlük yaşamda gözle görülür bir rol oynamaz.
Ancak muazzam kozmik mesafelerde oldukça önemli olduğu ortaya çıkabilir.

Herhangi bir hesaplama gerektirmeyen basit bir saat senkronizasyon yöntemine daha yakından bakalım.
Diyelim ki bir astronot, uzay aracının karşıt uçlarına yerleştirilen A ve B saatlerinin aynı anda çalışıp çalışmadığını bilmek istiyor.
Bunu yapmak için astronot, gemiye göre sabit ve ortasında bulunan bir kaynağı kullanarak bir ışık parlaması üretir.
Işık her iki saate de aynı anda ulaşır. Şu anda saat okumaları aynıysa saatler senkronizedir.

Ama bu sadece referans sisteminde olacak K 1 gemiyle ilişkilidir.
Aynı referans sisteminde İLE, geminin hareket ettiği yere göre konum farklıdır.
Geminin pruvasındaki saat, kaynaktan gelen ışık parlamasının meydana geldiği yerden (OS koordinatının olduğu noktadan) uzaklaşmaktadır ve A saatine ulaşmak için ışığın yarıdan daha fazla bir mesafe kat etmesi gerekmektedir. geminin uzunluğu.
Bunun tersine, kıç taraftaki B saati flaşın konumuna yaklaşıyor ve ışık sinyalinin yolu gemi uzunluğunun yarısından daha az.
Resimdeki koordinatlar X Ve x 1 salgın anına denk geliyor.

Aşağıdaki şekil, ışığın B saatine ulaştığı andaki referans çerçevelerinin konumunu göstermektedir.

Bu nedenle sistemde yer alan bir gözlemci İLE, şu sonuca varacağım: sinyaller her iki saate de aynı anda ulaşmıyor.

Referans sisteminde eş zamanlı olarak A ve B noktalarındaki herhangi iki olay K 1, sistemde eş zamanlı değil İLE.
Ancak sistemin görelilik ilkesine göre K 1 Ve İLE tamamen eşit.
Bu referans çerçevelerinin hiçbirine öncelik verilemez, dolayısıyla şu sonuca varmak zorundayız:
mekansal olarak ayrılmış olayların eşzamanlılığı görecelidir.
Eşzamanlılığın göreliliğinin nedeni, gördüğümüz gibi, sinyal yayılımının sonlu hızıdır.

Önceki konuda tartışılan küresel ışık sinyalleriyle ilgili paradoksun çözümü, eşzamanlılığın göreliliğinde yatmaktadır.
Işık, merkezi O noktası olan küresel bir yüzey üzerindeki noktalara, yalnızca K sistemine göre hareketsiz durumdaki bir gözlemcinin bakış açısından aynı anda ulaşır.
Sistemle ilişkili bir gözlemcinin bakış açısından K 1ışık bu noktalara farklı zamanlarda ulaşır.

Tabii bunun tersi de geçerli:
referans çerçevesindeki bir gözlemcinin bakış açısından İLEışık, merkezli bir kürenin yüzeyindeki noktalara ulaşır Ç 1 referans çerçevesindeki gözlemciye göründüğü gibi, farklı zaman anlarında ve aynı anda değil K 1.

Sonuç: Aslında hiçbir paradoks yok.

Bu yüzden,
Olayların eşzamanlılığı görecelidir.
Işık hızının alıştığımız hızlardan çok daha yüksek olması nedeniyle bunu görselleştirmek imkansızdır.

Olayların eşzamanlılığının göreliliği

Newton mekaniğinde iki olayın eşzamanlılığı mutlaktır ve referans çerçevesine bağlı değildir. Bu, eğer K sisteminde t ve t 1 zamanlarında ve K' sisteminde sırasıyla t' ve t' 1 zamanlarında iki olay meydana gelirse, o zaman t = t' olduğundan iki olay arasındaki zaman aralığı anlamına gelir. her iki referans sisteminde de aynıdır

Klasik mekaniğin aksine, özel görelilik teorisinde, uzayın farklı noktalarında meydana gelen iki olayın eşzamanlılığı görecelidir: bir eylemsiz referans çerçevesinde eşzamanlı olan olaylar, birinciye göre hareket eden diğer eylemsiz çerçevelerde eşzamanlı değildir.

Mekansal olarak ayrılmış olayların eşzamanlılığı kavramı görecelidir. Görelilik teorisinin varsayımlarından ve sinyallerin sonlu bir yayılma hızının varlığından, farklı eylemsiz referans sistemlerinde zamanın farklı şekilde aktığı sonucu çıkar.

Einstein'ın varsayımları

(görelilik ilkesi)

1. varsayım . Tüm doğa yasaları tüm eylemsiz referans sistemlerinde aynıdır (Doğa yasalarını ifade eden denklemler, koordinatların ve zamanın bir referans sisteminden diğerine dönüşümüne göre değişmezdir)

(Galileo'nun görelilik mekaniğinin tüm doğaya genelleştirilmesi)

2. varsayım . Işık c = c hızıyla hareket ederilk, yayılan cismin hareket durumuna bağlı değildir.

Işığın hızı tüm referans sistemlerinde sabittir.

Galileo'ya göre:

x / = x + vt; y = y / ; z = z / . t = t / .

Her iki sistemde de zamanın geri sayımı O ve O/ sistemlerinin başlangıçlarının çakıştığı andan itibarendir. t = t / =0 anında çakışan kökenlerden her yöne bir ışık sinyali gönderilsin. t zamanında, K'daki sinyal O'dan ct uzaklıkta bulunan noktalara ulaşacaktır.

Üç boyutlu bir koordinat sisteminde yarıçap vektörünün koordinatları

r2 = x2 + y2 + z2

Eğer t = 0'da ışık c hızında bir ışık sinyali göndeririz; ct, ışığın k sisteminde kat edeceği ve r koordinatlı noktalara varacağı mesafedir.

Yarıçapın karesi şöyle görünecek

r2 = x2 + y2 + z2 = c2t2; noktaların koordinatları denklemi sağlar

Benzer şekilde k / sisteminde:

(x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 = c 2 (t /) 2

Denklemler her iki referans sisteminde de aynı forma sahiptir

c 2 t 2 - x 2 + y 2 + z 2 = 0

c 2 (t /) 2 - (x /) 2 + (y /) 2 + (z /) 2 =0

Bu denklemlerde Galileo'nun dönüşümlerini yerine koyarsak, bu dönüşümlerin ışık hızının sabitliği ilkesiyle bağdaşmadığına ikna oluruz.

Newton denklemleri Galilean dönüşümlerini karşılar (değişmez)

Maxwell denklemleri Galileo'nun dönüşümlerini karşılamıyor. Einstein, görelilik mekaniğinin dönüşümlerini önermelere dayanarak tanımladı.

Aralık

Etkinlik konuma göre belirlenir (koordinatlar ve zaman)

Ct, x, y, z eksenlerine sahip hayali bir dört boyutlu uzay (dört uzay) eklersek, o zaman olay şu şekilde karakterize edilir: dünya noktası

Ve noktanın konumunu tanımlayan çizgi dünya çizgisidir.

x 0 2 – x 1 2 – x 2 2 – x 3 2 = 0 - dört boyut.

gelecekteki ışık konisi

A'dan kesinlikle uzak olayların bölgesi

(koninin dışında

geçmişin ışık konisi

Şekilde geleceğin konisini (yukarıda) ve geçmişin konisini işaretleyebilirsiniz.

Bir parçacığın tanımladığı çizgiye dünya çizgisi denir.

A olayı B'den önce meydana gelmiştir. A olayı B durumunun nedeni, B durumu da A durumunun sonucudur. Bu olaylar arasında neden-sonuç ilişkisi vardır.

Olay - sonuç - geleceğe giden yoldur

Olay-neden geçmişe giden bir yoldur

Uzay-zaman Minkowski uzayıdır.

Üstteki koniye geleceğin konisi, alttaki koniye ise geçmiş denir.

Olay şöyle olsun - Eğer ışık t 1 anında koordinatları (x 1, y 1, z 1) olan bir noktadan geliyorsa ve t 2 anında parçacığın koordinatları (x 2, y 2, z 2) varsa , o zaman sistemde koordinatlar ve zaman arasındaki ilişkiye sahibiz

c 2 (t 2 - t 1) 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2

noktalar arasındaki mesafe (aralık)

l 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2.

benzetme yoluyla 4'lü uzaydaki bir aralıktan bahsedebiliriz

(s 12) 2 = c 2 (t 2 - t 1) 2 - (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 - 4–aralık - dört- aralık

Aralık karesi

dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 – inv (değişmez).

Herhangi bir CO'daki aralık değişmezdir.

Işığın 1. noktadan yayılması ve 2. noktaya ulaşması olayları için aralık sıfırdır.

ds 2 = c 2 d t 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 = c 2 d t 2 - dl 2 =0

Herhangi bir referans sisteminde c = const olduğundan aralık hem K hem de K" referans sistemleri için geçerlidir. Eğer ds = 0 ise ds" = 0 olur. Dolayısıyla farklı referans sistemlerindeki aralıklar arasında bir bağlantı vardır.

k ve k/ sistemlerinde aralıklar belirli bir doğrusal ilişkiyle ilişkilidir.

Ya da tam tersi

Çarpma

dsds / =   ds / ds; Neresi

   

Tüm referans sistemlerinde aralığın işareti aynı olması gerektiğinden, o zaman

Değişmezler ve kanıtlanması gereken de bu.

Tüm referans sistemleri için - sıradan uzaydaki noktalar arasındaki mesafelere benzetilerek. Bu, Einstein'ın önermelerinin mantıksal bir sonucudur.

Aralık değişmezliğini kullanarak şunu yazıyoruz:

ds 2 = c 2 d t 2 - dl 2 = c 2 d(t /) 2 – d(l /) 2

ds 2 > 0 olsun, yani. aralık gerçektir. dl / = 0 olan K" sistemini bulalım. Bu sistemde ds aralığı ile ayrılmış olaylar bir noktada meydana gelecektir. K" dt / = ds/c sisteminde zaman aralığı.

Gerçek aralıklar--zamanlı

ds 2 > 0 - zamana benzer aralık.

Eğer ds2< 0, т.е. интервал мнимый, тогда можно найти систему К" , в которой d t / = 0, т.е. события происходят одновременно.Расстояние между точками, в которых произошли события в системе К"

dl" = is - olaylar arasındaki mesafe.

Hayali aralıklar arandı uzay benzeri.

ds2< 0 – пространственноподобный интервал.S 2 < 0

Bir parçacıkta meydana gelen olaylar yalnızca zamana benzer bir aralıkla ayrılır.

Çünkü

Bölüm V< C

ve kat edilen mesafe l< ct, отсюда ds 2 > 0.

Nedensel olarak ilgisiz olaylar boşluk benzeri aralıklarla ayrılabilir.

Parçacık, K sistemine (laboratuvar sistemi) göre v hızıyla düzgün bir şekilde hareket eder. Bu parçacıkla K dt sisteminde zamana göre ayrılmış 2 olayın meydana geldiğini varsayalım. Parçacığın kendisine göre hareketsiz olduğu K" sistemini tanıtalım. Bu sistemde, söz konusu olaylar arasındaki zaman aralığı şu şekilde olacaktır:

Burada dt", parçacıkla birlikte K'ya göre v hızıyla hareket eden K sistemindeki bir saat tarafından ölçülür. Vücutla birlikte hareket eden bir saate göre zaman, kendi zamanıdır -τ. Bu seferlik yazabiliriz

ds bir değişmez olduğundan ve с=sabit olduğundan d bir değişmezdir.

K sisteminin koordinatları ve zamanı cinsinden ifade edilen uygun zaman ifadesinde ds'yi değiştirmek

d   c 2 d t 2 - dl 2 / c 2 = (c 2 - dl 2 / d t 2) d t / c 2

Bir yolun zamana göre türevi hızı temsil ettiğinden

Zamanın karesi için alıyoruz

d  = (1- V 2 /c 2)dt 2

d= dt √(1- V 2 /c 2)

Parçacığın kendi zamanı, sabit (laboratuvar) sistemdeki zaman aralığından her zaman daha azdır (Hareketli bir sistemde saatler daha yavaş çalışır).

Düzgün olmayan hareket için zaman aralıkları integral yoluyla elde edilir.

Referans sistemlerindeki zamanlar arasındaki bağlantı bir düşünce deneyi yoluyla değerlendirilebilir. Hareketli referans çerçevelerinden birinde bir sinyal gönderildiğini düşünelim. Bu sisteme göre sinyal sanki sabitmiş gibi hareket eder. Aynı zamanda orijinal referans sisteminde bulunan bir gözlemci, bu sinyalin ışık hızında hareket ettiğini ve T zamanında hedefe ulaştığını gözlemleyecektir. Pisagor teoremine göre, sinyalin aynı anda varış noktasında sabit olması şartıyla, zamanlar arasında bir ilişki vardır.

c 2 T 2 = V 2 T 2 +   c 2

Dolayısıyla doğru zamanda yukarıda tartışılana benzer bir bağlantımız var. Hareketli bir sistemde zaman daha yavaş akar.

  c 2 T 2 - V 2 T 2 / c 2 = T 2 (1 - V 2 /c 2)

Hız değişirse (V = var):

 t 1 ∫ t 2 (1 - V 2 /c 2) 1/2 dt

Sözde Öklid uzayında dört boyutlu vektörler ve tensörler

2. Çok boyutlu vektör

Yarıçap vektörünün karesi şu şekilde tanımlanır:

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = x ben 2 (1)

Eğer formun bir tensörünü tanıtırsak

g ij =  ik = - metrik tensör. (2)

sonra (1) forma yazıyoruz

i, k =1,n için

 g ik x ben x k (3)

Özel görelilik ve elektrodinamikte denklemler, metriği tensör tarafından belirlenen dört boyutlu uzayda vektörler ve tensörler arasındaki ilişkiler olarak temsil edilirlerse basit bir form alırlar.

Ders No. 8

sözde Öklidyen

Endeksler μ, ν = 0,1,2,3 değerlerinden geçer

Latin endeksleri ijk - Sıradan 3 boyutlu uzaydaki vektörler için Latince (Öklid metriğiyle uzayda)

(x o ,x 1, x 2 ,x 3) – 4-boşluk

Tanımlar

xo = ct; x1 = x; x2 = y; x 3 = z

bir matris operatörünün bir vektör üzerindeki eylemi - sonuç bir vektördür

- dört boyutlu uzayın vektörü

Ortaya çıkan vektörün ifadesi şöyledir:

r = ct – x – y – z

matris operatörünün eyleminin cebirsel gösterimi

x=
/ = ct / - x 1 / - x 2 / - x 3 /

Herhangi bir vektör, bir dönüşüm matrisi yazılarak dönüştürülebilir.

4 uzayda kare yarıçaplı vektörün tanımı

- değişmez

- doğrudan dönüşüm matrisi (çubuklu ters matris)

- doğrudan dönüşüm (8)

- ters dönüşüm

Kullanma kare 4 yarıçaplı vektörün değişmezlik özelliği(aralık) yazıyoruz

hadi değiştirelim
itibaren(8)

(11)

(12)

dönüşümlerden sonra doğrusal dönüşümün koşulunu elde ederiz

(13)

Yalnızca köşegen terimlerin sıfırdan farklı olduğu dikkate alındığında

(13) basitleştirilmiş bir biçimde yazıyoruz

,1,2,3 (14)

örneğin 'de, 1- 'de, at =1, =2'de

(15)

1.2 – değişmezlik koşulunun sonuçları

İleri ve ters dönüşüm arasındaki ilişki:

; -doğrudan dönüşüm (17)

-ters dönüşüm

Nerede
=1 katsayısı - Kronecker sembolü - birim matris

Bileşen şu şekilde temsil edilebilir:

O zaman yazabiliriz

,1,2,3 (20)

Eğer şunu koyarsak sistem adildir (tatmin edilir).

örneğin, = denklemi (20) şöyle göründüğünde

(22)

Dikkate alınarak (21)

a 00 a 00 -∑ 1 3 a ben 0 a ben 0 =1 (23)

(15)'e benzer

=1 olduğunda, 2

∑ 1 3 a 1ρ a ρ 2 =0 (24)

Nereden, dikkate alarak (21)

A 10 a 02 +∑ 1 3 a i 1 a i 2 =0 - bu (16)'ya benzer

Koşul (21) şu şekilde yazılabilir:

=0 olduğunda, 0

a" 00 = a 00 (g 00 =g 00 =1)

=0'da, i ≠0 ve =i≠0'da, 0

gerçekleştirilecek

g μμ =-g νν , yani. -1

Ve = i ≠ 0 olduğunda, ≠ 0

Her iki çarpan da -1'dir

g μμ =g νν = -1

((21)’de ne var)

Görelilik teorisinde, x 2 =y, x 3 =z koordinatları değişmeden kaldığında dönüşümler dikkate alınır (koordinat seçimi özellikle x ekseni boyunca harekete dayanır, t ve x zamanı değişken kaldığında)

Açıkçası, dönüşüm matrisi şu forma sahiptir:

Ters dönüşüm şuna benzer bir forma sahiptir:

K ve K" referans sistemlerinde, matrisler belirli bir p parametresine göre farklılık gösterir (örneğin, dönüş veya bağıl hız V). Limitte, p->0 olduğunda matrisler çakışacaktır.

lim p->0 a 00 =lim p->0 a 11 =1

lim p->0 a 01 =lim p->0 a 10 =0

=0 için (14) yazıldığında, 0

a 2 00 - a 2 10 =1 (28)

Ters dönüşüm için

a" 2 00 - a" 2 10 =1

İleri ve ters dönüşüm arasındaki ilişkinin dikkate alınması(21)

a 2 00 - a 2 01 =1 (30)

(28) ve (30)'dan şu sonuç çıkıyor

a 2 10 = a 2 01

ve kökün çıkarılması

Şimdi (14) =0 ile 1 elde ederiz

a 00 a 01 - a 10 a 11 =0,

nereden

2. a 00 = -a 11, eğer a 01 = a 10 ise

A 00 = A 11

A 10 = - A 01

İlişkilerin geçerli olduğu dikkate alındığında

lim p ->0 a 00 =lim p ->0 a 11 =1

o halde ilk seçenek doğrudur. O zaman düşünmeliyiz

a 00 = a 11 =γ 0

a 01 = a 10 =γ 1

Daha sonra formda (26)'yı yeniden yazarız.

Bu şu anlama gelir:

,

Çünkü

,

yalnızca bir katsayı bağımsızdır.

Ters dönüşüm katsayıları ilişkilerle ilişkilidir (21)

a" 00 = a 00 =γ 0

a" 01 = -a 10 =γ 1

Yani x koordinatı değişir; y,z – sabit

Daha sonra ters dönüşüm matrisi şu şekilde temsil edilebilir:

Böylece, hareketli sistemler - Lorentz dönüşümleri için ana göstergelerin (hareket denklemleri) dönüşümlerinin matematiksel aparatının oluşturulmasında kullanılan 4-vektörlerin dönüşümlerinin temel özellikleri dikkate alınır.

Lorentz dönüşümleri

Aralık, 4-uzayındaki geometrik dönüşümler altında değişmez; Öklid uzayındaki bir vektörün modülüne benzer

xo = ct; x1 =x; x2 = y; x 3 = z

Aralık karesi

ds 2 = c 2 d t 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 = c 2 d t 2 - dl 2

dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 – inv (Öklid uzayında değişmez) – nokta vektörleri arasındaki farkın modülü.

xo; x1; x2; x 3 – koordinatlar – dünya noktasının 4 yarıçaplı vektörünün bileşenleri.

olayların bu tür koordinatlara sahip bir dünya noktasıyla temsil edildiği uzay, tensör tarafından tanımlanan sözde Öklid metriğine sahiptir

Özellikleri tensör(4) tarafından belirlenen uzaya denir. sözde Öklidyen

- “sözde Öklid” uzayının metriği (4)

4 yarıçaplı vektörün bileşenlerinin dönüşümü formüle göre gerçekleştirilir.

dönüşüm matrisi nerede

,

Ve

Çünkü
, yalnızca bir katsayı bağımsızdır.

Birbirine göre v hızıyla hareket eden K ve K" referans sistemlerinin referans sistemlerini ele alalım.

Sıfır vektör dönüşümü

Elde ettiğimiz dönüştürülmüş miktarlar için

sıfır koordinatı için x" =0, x=vt:

itibaren
bunu anladık

;
;
;

- Lorentz dönüşüm katsayısı

;

;

4-vektörlü koordinat dönüştürme formülüne ikame şunu verir:

;
; Nerede

Ters dönüşüm formülleri de benzer şekilde katsayının önünde artı işareti olduğu dikkate alınarak elde edilir.

Doğrudan dönüşüm için olağan gösterime geçiliyor

;

; y / = y; z / = z;

Gerçek koordinatların ters dönüşümleri

;
;

Lorentz dönüşümleri aralığı değişmez bırakır (kontrol edin!!!) Boyut küçültme ve hacim değişimi

;

Tüm bu dönüşümler bir x koordinatı değiştirilerek gerçekleştirilir.

Hızlı dönüşüm

doğrudan dönüşüm formülünün farklılaştırılması

;

- hızlı dönüşüm

;

Ters dönüşümler de benzer şekilde elde edilir

Lorentz dönüşümünün geometrik anlamı

Bu doğrusal dönüşüm, üç boyutlu Öklid uzayındaki dönme dönüşümüne benzer. Sıradan uzayda xy düzleminin φ açısı kadar dönüşünü karakterize eden bu dönüşüm şuna benzer:

Bu karşılaştırmayla şunu anlıyoruz

Açıkçası yok geçerli Bu ilişkileri sağlayacak açı. Ancak görüldüğü gibi, tamamen hayali köşe
, verilen ilişkilerin karşılanacağı yer. Gerçekten mi,

Bu nedenle yukarıdaki ilişkilerin bir sonucu olarak formülleri elde ederiz.

Bu ilişkiler çözülebilirdir, çünkü onlara göre,

Gördüğümüz gibi sanal açının değeri
, hız oranının değeri ile belirlenir
. Şimdi tanıtalım geçerli zaman koordinatı
, hangisi için
, veya

Daha sonra Lorentz dönüşüm formülleri şu şekli alır:

Bunlar sözde formüller hiperbolik dönüm

Dört boyutlu uzay için dinamiğin dönüşümü (Newton denklemleri):

; i = 1,2,3 – Öklid uzayı için

Göreli mekanik durumunda, hareket denklemleri, değişmezlik dikkate alınarak dönüşümlerden sonra elde edilen hız vektörü için yazılır.

Dört boyutlu genelleme şu şekildedir:

burada  = 0,1,2,3 – göreli dinamikler

Burada zaman gözlemcinin kendi zamanıdır. Kütle, bir parçacığın inert özelliklerini karakterize eden değişmez bir miktardır. Minkowski kuvvetinin benzeri, düşük hızlarda olağan hareket denklemine dönüşecek şekilde tanımlanmalıdır.

Göreli olmayan mekanikte dl, dt inv'dir, dolayısıyla v=dr/dt hız ve ivmedir a=dv/dt

Göreli dl ve dt ≠ inv

inv, dl ve dt ile ilişkili ds aralığıdır. burada

ds 2 = c 2 dt 2 -dl 2

Ana görev, 3-vektörün 4 boyutlu analoglarını (dört boyutlu parçacık hızı v ve ivme a) bulmaktır.

İlgili dt - uygun zaman dτ =ds/c→ inv

; -bir parçacığın dört boyutlu hızı için 4-vektörün özellikleri

Hızlanma için formülümüz var

Sıfır hız bileşeni

;

Diğer hız bileşenleri

Vektör gösterimi şu şekildedir:

Işık hızının çok altındaki hızlarda sıradan hız elde ederiz.

Sıfır bileşen için Newton yasasını yazıyoruz

Diğer bileşenler için

, burada i = 1,2,3 – Minkowski kuvveti

Minkowski kuvveti Newton kuvvetiyle şu ilişkiyle ilişkilidir:

Aksi halde hareket kanunu yazılabilir.

Bir kare 4-vektör için aşağıdaki ilişki geçerlidir:

Minkowski kuvvetinin zaman bileşenini belirlemek için hareket denklemini hızla çarpıyoruz.

Hareket denkleminin hız vektörüyle çarpılması

Özetleyelim

yani hız vektörü yöne diktir. Burada dikkate alınan

,

Minkowski hızı ve kuvveti ifadesini yerine koyarsak ve toplamı yazarsak şunu elde ederiz:

Daha sonra Minkowski kuvvet vektörü bileşenlerle temsil edilecektir.

Kuvvet ve hızın skaler çarpımı, bir parçacığın birim zamanda yaptığı iştir ve parçacığın enerjisindeki değişime eşittir.

Bu denklemin integralini alırsak,

, burada sabit = 0;

Sabit Einstein tarafından belirlendi ve deneysel olarak doğrulandı

Karlı bir cisim için enerji ifadesi geçerlidir

E=mc 2 – Einstein denklemi.

Bu denklem bir parçacığın dinlenme enerjisini ifade eder.

Durgun bir elektron ve bir pozitron, elektron ve pozitronun dinlenme enerjilerinin toplamına eşit toplam enerjiye sahip iki γ-kuanta yayar.

Bir parçacığın momentumu ve enerjisi

4 darbeli gösterimi:

;

İfadeyi hız yerine koyalım

;
;

Enerji ve momentumun sıfır bileşeni için ifadeleri karşılaştıralım ve şunu yazabiliriz:

;

O zaman 4-momentum vektörünün bileşen gösterimi şu şekilde olacaktır:

Momentumun karesini tanımlarsak, o zaman

Diğer tarafta,

Burada 4-momentumun karesi, herhangi bir vektörün karesi gibi değişmezdir.

Toplam enerji ile dinlenme enerjisi arasındaki fark parçacığın kinetik enerjisine eşittir

küçük Taylor serisi açılımı

Daha sonra kinetik enerji için yaklaşık bir ifade yazıyoruz.

Görelilik olmadan klasik teoriyle örtüşen şey

Toplam enerji Hamilton fonksiyonu ile momentum cinsinden ifade edilir.

Serbest parçacık için Hamiltoniyen

H=√E 2 = E=c√(p 2 + m 2 c 2)

Dış alandaki bir parçacık için Hamiltoniyen şu şekildedir:

H=c√(p 2 + m 2 c 2) + U

burada U alandaki bir parçacığın potansiyel enerjisidir

>> Eşzamanlılığın göreliliği

§ 77 EŞZAMANLILIĞIN GÖRELİLİĞİ

20. yüzyılın başına kadar. zamanın mutlak olduğundan kimsenin şüphesi yoktu. Dünya sakinleri için eşzamanlı olan iki olay, herhangi bir uzay uygarlığının sakinleri için de eşzamanlıdır. Görelilik teorisinin ortaya çıkışı bunun böyle olmadığı sonucunu doğurdu.

Uzay ve zamana ilişkin klasik fikirlerin başarısız olmasının nedeni, etkileşimlerin ve sinyallerin uzayda bir noktadan diğerine anında iletilme olasılığı hakkındaki yanlış varsayımdır. Etkileşimlerin nihai sonlu aktarım hızının varlığı, gündelik deneyimlere dayanan alışılagelmiş uzay ve zaman kavramlarının derinden değişmesini gerektirir. Belirli bir hızda, maddeden ve onun hareketinden tamamen bağımsız olarak akıp giden mutlak zaman düşüncesinin yanlış olduğu ortaya çıkıyor.

Sinyallerin anlık yayılma olasılığını varsayarsak, o zaman uzaysal olarak ayrılmış iki A ve B noktasındaki olayların aynı anda meydana geldiği ifadesi mutlak bir anlam ifade edecektir. A ve B noktalarına bir saat yerleştirebilir ve bunları anlık sinyallerle senkronize edebilirsiniz. Böyle bir sinyal A noktasından örneğin sabah 0.45'te gönderiliyorsa ve B saatine göre aynı anda B noktasına varıyorsa saatler aynı zamanı gösteriyor, yani senkron çalışıyorlar. Eğer böyle bir tesadüf yoksa sinyalin gönderildiği andaki zamanı daha kısa gösteren saatler ileri alınarak saatler senkronize edilebilir.

Herhangi bir olay, örneğin iki yıldırım düşmesi, senkronize saatlerin aynı okumalarında meydana geliyorsa eşzamanlıdır.

Yalnızca A ve B noktalarına senkronize saatler yerleştirilerek bu noktalarda iki olayın aynı anda gerçekleşip gerçekleşmediği yargısına varılabilir. Ancak sinyal yayılma hızı sonsuz değilse, birbirinden belirli bir mesafede bulunan saatleri nasıl senkronize edebilirsiniz?

Saatleri senkronize etmek için genel olarak ışık veya elektromanyetik sinyallerin kullanılması doğaldır, çünkü elektromanyetik dalgaların boşluktaki hızı kesin olarak tanımlanmış, sabit bir değerdir.

Radyo aracılığıyla saati kontrol etmek için kullanılan yöntemdir. Zaman sinyalleri saatinizi doğru bir referans saati ile senkronize etmenize olanak sağlar. Radyo istasyonundan eve olan mesafeyi bilerek sinyal gecikmesi düzeltmesini hesaplayabilirsiniz. Bu değişiklik elbette çok küçüktür. Günlük yaşamda gözle görülür bir rol oynamaz. Ancak muazzam kozmik mesafelerde oldukça önemli olduğu ortaya çıkabilir.

Herhangi bir hesaplama gerektirmeyen basit bir saat senkronizasyon yöntemine daha yakından bakalım. Diyelim ki bir astronot, uzay aracının karşıt uçlarına yerleştirilen A ve B saatlerinin aynı anda çalışıp çalışmadığını bilmek istiyor. Bunu yapmak için astronot, gemiye göre sabit ve ortasında bulunan bir kaynağı kullanarak bir flaş üretir. Işık her iki saate de aynı anda ulaşır. Şu anda saat okumaları aynıysa saatler senkronizedir.

Ancak bu yalnızca gemiyle ilişkili K 1 referans çerçevesinde gerçekleşecektir. Geminin hareket ettiği K referans çerçevesinde ise durum farklıdır. Geminin pruvasındaki saat, kaynaktan gelen ışık parlamasının meydana geldiği yerden (OS koordinatının bulunduğu noktadan) uzaklaşmaktadır ve A saatine ulaşmak için ışığın, saatin yarısından daha fazla bir mesafe kat etmesi gerekmektedir. geminin uzunluğu (Şekil 9.2). Bunun tersine kıç taraftaki B saati flaşın olduğu yere yaklaşmaktadır ve ışık sinyalinin yolu gemi uzunluğunun yarısından daha azdır. (Şekil 9.2'de x ve x 1 koordinatları çakışmaktadır) (Şekil 9.2,b, ışığın B saatine ulaştığı andaki referans sistemlerinin konumunu göstermektedir.) Dolayısıyla, K sisteminde bulunan bir gözlemci şu sonuca varacaktır: sinyaller her iki saate de aynı anda ulaşmaz.

K1 referans sisteminde A ve B noktalarında eşzamanlı olan herhangi iki olay, K sisteminde eşzamanlı değildir, ancak görelilik ilkesine göre n K sistemleri tamamen eşittir. Bu referans sistemlerinden hiçbiri tercih edilemez. Bu nedenle mekânsal olarak ayrılmış olayların eşzamanlılığının göreceli olduğu sonucuna varmak zorunda kalıyoruz. Eşzamanlılığın göreliliğinin nedeni, gördüğümüz gibi, sinyal yayılımının sonlu hızıdır.

§ 76'da tartışılan, küresel ışık sinyalleriyle ilgili paradoksun çözümü eşzamanlılığın göreliliğinde yatmaktadır. Işık, O noktasında merkezi olan küresel bir yüzey üzerindeki noktalara, yalnızca bir gözlemcinin bakış açısından eşzamanlı olarak ulaşır. K sistemine göre hareketsizdir. K 1 sistemiyle ilişkili gözlemcinin bakış açısından ışık bu noktalara farklı zamanlarda ulaşır.

Elbette bunun tersi de doğrudur: K referans çerçevesindeki bir gözlemcinin bakış açısından, ışık, göründüğü gibi aynı anda değil, O 1 noktasında merkezi olan bir kürenin yüzeyindeki noktalara farklı zamanlarda ulaşır. K 1 referans çerçevesindeki gözlemciye.

Buradan gerçekte hiçbir paradoks olmadığı sonucu çıkar.

Olayların eşzamanlılığı görecelidir. Işık hızının alıştığımız hızlardan çok daha yüksek olması nedeniyle bunu görselleştiremiyoruz, “hissedemiyoruz”.

Hangi olaylara eşzamanlı denir!

Özel görelilik teorisinin (STR) önermeleri 1905 yılında Albert Einstein tarafından formüle edilmiştir. Bu hükümler kanıt olmadan kabul edilir ve temel ifadelerdir. Bunların kullanımı Einstein'ın parçacıkların ışık hızına yakın hızlarda hareket ettiği olgusunu açıklamasına olanak sağladı.

İlk varsayım Einstein'ın görelilik ilkesi olarak adlandırılan: "Doğanın tüm yasaları, tüm eylemsiz referans çerçevelerinde aynıdır." Ataletsel bir referans sisteminin düzgün ve doğrusal olarak hareket eden bir sistem olarak değerlendirileceğini hatırlayalım. Yani bu sistem hızlanmıyor, yavaşlamıyor, daire şeklinde hareket etmiyor. Böyle bir sistemde, ister hareket ediyor ister duruyor olsun, sistemin durumunu deneysel olarak doğrulamak imkansızdır. İlk önermenin formülasyonu, Michelson-Morley deneyinin sonuçlarının teorik açıklamasından kaynaklanmaktadır. (Meraklı bir öğrenci, Dünya'nın yörüngesel hareketinin doğrusal olmadığını merak edebilir, ancak Dünya 300 km'lik bir mesafe kat ettikten sonra 3 mm sapar ve bu tür bir eğrilik ihmal edilebilir.) Einstein, ilk önermeyi tanıtarak kapsamı genişletir. Galileo'nun görelilik ilkesinin uygulanabilirliği.

İkinci varsayımışık hızının sabitliği ilkesi denir. "Boşluktaki ışık, ışık yayan cismin hareket durumundan bağımsız olarak her zaman belirli bir c hızıyla yayılır."

Işığın boşlukta her zaman sabit bir hızda yayılmasına izin verin, ancak daha sonra eylemsiz bir sisteme geçerken, ışığın kaynağına doğru hareket ederken veya ışık kaynağından uzaklaşırken hızındaki değişikliği kaydetmeniz gerekecektir. Kabul edilen varsayımı ihlal etmek zorunda kalıyoruz. Ayrıca Michelson deneyinin sonuçlarını da çürütüyoruz.

Her iki varsayım da birbiriyle çelişiyor gibi görünüyor. Yine de A. Einstein bunları tek bir teoride birleştiriyor ve dünyanın yeni bir fiziksel resmini oluşturuyor. Einstein'ın ortaya attığı varsayımlar fizikçilerin çevrelerindeki dünya hakkındaki fikirlerini değiştirdi. Bu iki hükümden yeni bir dünya modeli doğdu. Einstein ve Friedman (daha sonra onun hakkında daha fazla bilgi vereceğiz) insanlık tarihinde üçüncü kez Evrenin bilimsel anlayışının temellerini değiştirdiler. Bunu ilk kez Aristoteles (antik fiziğin temellerini yaratan), Hipparchus ve Ptolemy (dünyanın güneş merkezli sistemini yaratan), ikinci kez ise Kopernik, Kepler, Newton (öneren, açıklayan ve formüle eden) tarafından yapıldığını hatırlayalım. dünyanın güneş merkezli sistemi ve klasik fiziğin temellerinin oluşturulması).

Olayların eşzamanlılığının göreliliği

Klasik mekanikte olaylar eşzamanlı olabilir. Bu yaygındır ve şüphe götürmez. Eşzamanlılığı kurmak basittir: Eğer olaylar aynı anda gözlemleniyorsa, o zaman eşzamanlıdırlar; eğer hemen gözlemlenemiyorlarsa, o zaman bunların meydana gelme zamanını saate göre karşılaştırabiliriz. Radyo spikeri, "Moskova'da saat on beş... Petropavlovsk-Kamchatsky'de gece yarısı" diyor. O anda Kamçatka'daki bir şehirde bir top sesi duyulursa ve Moskova'daki sınıftan bir zil çalarsa, bu olaylar eşzamanlıydı. Çalışan bir saat mekanizması kullanılarak karşılaştırılabilirler. Bu çok yaygın ama bu alışkanlığın arkasında örtülü bir varsayım var. Bir olayla ilgili bir sinyalin iletim hızının, olayın kendisine göre anlık veya ihmal edilebilir olduğu varsayılır.

Işık hızı doğadaki en yüksek hızdır ve bilginin iletilmesine olanak sağlar. Yüksek hızlarda bilgi iletimi fizik tarafından bilinmemektedir. Dolayısıyla olayların eşzamanlılığını en doğru şekilde kurmak ancak ışık yardımıyla mümkündür. Elektromanyetik radyasyonun kızılötesi dalgaları, görünür ışığı, ultraviyole ışığı ve x ışınlarını içerdiğini hatırlayalım. Dalgalar farklı kaynaklardan aynı anda geliyordu, bu da gözlemci için olayların eş zamanlı olduğu anlamına geliyordu. Ve kim geç kaldıysa daha sonraydı. Yani, iki olayın zıt taraflarında bulunan iki gözlemcinin farklı bir olaylar dizisi göreceği mi ortaya çıktı? Olayların aynı anda meydana geldiği bir koordinat sistemi düşünün İLE 1 Ve İLE 2 . Gözlemcinin olayın meydana geldiği yere daha yakın olmasına izin verin İLE 1 Işık gözlemciye C2 noktasındaki olaydan daha hızlı ulaşacaktır. Noktaya daha yakın konumlanmış başka bir gözlemci İLE 2 . farklı bir olaylar dizisi göreceğiz. Bu iki gözlemciden hangisi haklı? İkisi de haklı ama mutlak anlamda değil, göreceli olarak. Gözlemcilerin her biri haklı çünkü herkes olup bitenin gerçek resmini gördü, ancak konumlarına göre.

Bu durumda nedensellik ilkesi ihlal edilebilir mi? İki olgudan hangisinin neden, hangisinin sonuç olacağını belirleyen olaylar dizisi? Mesela bir merminin önce ayıya isabet etmesi, sonra avcının ateş etmesi mümkün müdür? Hayır, bu olmayacak. Gözlemcinin hayvana daha yakın ve katilinden daha uzakta durmasını sağlayın. Bir ayının sinyali, bir avcının sinyalinden daha hızlı ulaşacaktır. Ama yine de, önce atıştan bir flaş göreceğiz, sonra bir gecikme olacak (bir merminin silahtan omnivora uçma süresi), sonra ayı düşecek. Birbirine bağlı olaylarda nedensellik ihlal edilmez. Bu tür iki olay birbiriyle ya da gözlemciyle ilişkili değildir. Meydana gelen olaylar dizisinin göreliliği, yalnızca birbiriyle hiçbir şekilde ilişkili olmayan bağımsız olaylar durumunda ortaya çıkacaktır.