Hayali bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek. Karmaşık sayıları bir kuvvete yükseltmek
En sevdiğimiz kare ile başlayalım.
Örnek 9
Karmaşık bir sayının karesini alma
Burada iki şekilde gidebilirsiniz, birinci yol dereceyi çarpanların çarpımı olarak yeniden yazmak ve sayıları polinomlar için çarpma kuralına göre çarpmak.
İkinci yol, iyi bilinen okul kısaltılmış çarpma formülünü kullanmaktır:
Karmaşık bir sayı için kendi kısaltılmış çarpma formülünüzü türetmek kolaydır:
Benzer bir formül, farkın karesi için olduğu kadar, toplamın küpü ve farkın küpü için de türetilebilir. Ancak bu formüller, karmaşık analiz problemleri için daha uygundur. Ya bir karmaşık sayının örneğin 5'inci, 10'uncu ya da 100'üncü kuvvetine yükseltilmesi gerekiyorsa? Cebirsel formda böyle bir numara yapmanın neredeyse imkansız olduğu açıktır, gerçekten, bir örneği nasıl çözeceğinizi düşünün?
Ve burada karmaşık bir sayının trigonometrik formu kurtarmaya geliyor ve sözde De Moivre'nin formülü: Karmaşık bir sayı trigonometrik biçimde temsil edilirse, doğal bir kuvvete yükseltildiğinde formül geçerlidir:
Sadece rezil etmek için.
Örnek 10
Karmaşık bir sayı verildiğinde, bulun.
Ne yapılmalı? Öncelikle bu sayıyı trigonometrik formda temsil etmeniz gerekiyor. Zeki okuyucular, bunu Örnek 8'de zaten yaptığımızı fark edeceklerdir:
O zaman, De Moivre'nin formülüne göre:
Tanrı korusun, hesap makinesine güvenmeye gerek yok, ancak çoğu durumda açı basitleştirilmelidir. Nasıl basitleştirilir? Mecazi olarak konuşursak, fazladan dönüşlerden kurtulmanız gerekir. Bir devir bir radyan veya 360 derecedir. Argümanda kaç tane devrimimiz olduğunu öğrenin. Kolaylık sağlamak için kesri doğru yaparız:, bundan sonra bir devri azaltabileceğiniz açıkça görünür hale gelir:. Umarım herkes bunun aynı açı olduğunu anlar.
Yani son cevap şöyle olacaktır:
Üs alma probleminin ayrı bir versiyonu, tamamen hayali sayıların üs almasıdır.
Örnek 12
Karmaşık sayıları kuvvetlere yükseltin
Burada da her şey basit, asıl mesele ünlü eşitliği hatırlamak.
Hayali birim çift kuvvete yükseltilirse, çözüm tekniği aşağıdaki gibidir:
Hayali birim tek bir güce yükseltilirse, o zaman bir "ve" yi "sabitleriz" ve çift bir güç elde ederiz:
Bir eksi (veya herhangi bir gerçek katsayı) varsa, önce ayrılması gerekir:
Karmaşık sayılardan kök çıkarma. Karmaşık köklü ikinci dereceden denklem
Bir örnek düşünün:
Kökü çıkaramıyor musunuz? Eğer bir Konuşuyoruz gerçek sayılar hakkında, gerçekten imkansız. Karmaşık sayılarda kökü çıkarabilirsiniz - yapabilirsiniz! Daha kesin, iki kök:
Bulunan kökler gerçekten denklemin çözümü mü? Hadi kontrol edelim:
Kontrol edilmesi gereken şey buydu.
Genellikle kısaltılmış bir notasyon kullanılır, her iki kök de "tek tarak" altında bir satırda yazılır:.
Bu köklere de denir. eşlenik karmaşık kökler.
Negatif sayılardan karekök nasıl çıkarılır, sanırım herkes anlıyor: ,,,, vb. Her durumda ortaya çıkıyor iki eşlenik karmaşık kökler.
En sevdiğimiz kare ile başlayalım.
Örnek 9
Karmaşık bir sayının karesini alma
Burada iki şekilde gidebilirsiniz, birinci yol dereceyi çarpanların çarpımı olarak yeniden yazmak ve sayıları polinomlar için çarpma kuralına göre çarpmak.
İkinci yol, iyi bilinen okul kısaltılmış çarpma formülünü kullanmaktır:
Karmaşık bir sayı için kendi kısaltılmış çarpma formülünüzü türetmek kolaydır:
Benzer bir formül, farkın karesi için olduğu kadar, toplamın küpü ve farkın küpü için de türetilebilir. Ancak bu formüller, karmaşık analiz problemleri için daha uygundur. Ya bir karmaşık sayının örneğin 5'inci, 10'uncu ya da 100'üncü kuvvetine yükseltilmesi gerekiyorsa? Cebirsel formda böyle bir numara yapmanın neredeyse imkansız olduğu açıktır, gerçekten, bir örneği nasıl çözeceğinizi düşünün?
Ve burada karmaşık bir sayının trigonometrik formu kurtarmaya geliyor ve sözde De Moivre'nin formülü: Karmaşık bir sayı trigonometrik biçimde temsil edilirse, doğal bir kuvvete yükseltildiğinde formül geçerlidir:
Sadece rezil etmek için.
Örnek 10
Karmaşık bir sayı verildiğinde, bulun.
Ne yapılmalı? Öncelikle bu sayıyı trigonometrik formda temsil etmeniz gerekiyor. Zeki okuyucular, bunu Örnek 8'de zaten yaptığımızı fark edeceklerdir:
O zaman, De Moivre'nin formülüne göre:
Tanrı korusun, hesap makinesine güvenmeye gerek yok, ancak çoğu durumda açı basitleştirilmelidir. Nasıl basitleştirilir? Mecazi olarak konuşursak, fazladan dönüşlerden kurtulmanız gerekir. Bir devir bir radyan veya 360 derecedir. Argümanda kaç tane devrimimiz olduğunu öğrenin. Kolaylık sağlamak için kesri doğru yaparız:, bundan sonra bir devri azaltabileceğiniz açıkça görünür hale gelir:. Umarım herkes bunun aynı açı olduğunu anlar.
Yani son cevap şöyle olacaktır:
Üs alma probleminin ayrı bir versiyonu, tamamen hayali sayıların üs almasıdır.
Örnek 12
Karmaşık sayıları kuvvetlere yükseltin
Burada da her şey basit, asıl mesele ünlü eşitliği hatırlamak.
Hayali birim çift kuvvete yükseltilirse, çözüm tekniği aşağıdaki gibidir:
Hayali birim tek bir güce yükseltilirse, o zaman bir "ve" yi "sabitleriz" ve çift bir güç elde ederiz:
Bir eksi (veya herhangi bir gerçek katsayı) varsa, önce ayrılması gerekir:
Karmaşık sayılardan kök çıkarma. Karmaşık köklü ikinci dereceden denklem
Bir örnek düşünün:
Kökü çıkaramıyor musunuz? Gerçek sayılardan bahsediyorsak, bu gerçekten imkansızdır. Karmaşık sayılarda kökü çıkarabilirsiniz - yapabilirsiniz! Daha kesin, iki kök:
Bulunan kökler gerçekten denklemin çözümü mü? Hadi kontrol edelim:
Kontrol edilmesi gereken şey buydu.
Genellikle kısaltılmış bir notasyon kullanılır, her iki kök de "tek tarak" altında bir satırda yazılır:.
Bu köklere de denir. eşlenik karmaşık kökler.
Negatif sayılardan karekök nasıl çıkarılır, sanırım herkes anlıyor: ,,,, vb. Her durumda ortaya çıkıyor iki eşlenik karmaşık kökler.
Örnek 13
İkinci dereceden bir denklemi çözme
Ayrımcıyı hesaplayalım:
Diskriminant negatiftir ve denklemin gerçek sayılarda çözümü yoktur. Ancak karmaşık sayılarda kök alınabilir!
İyi bilinen okul formüllerine göre, iki kök elde ederiz: - eşlenik karmaşık kökler
Yani denklemin iki eşlenik karmaşık kökü vardır:,
Artık herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz!
Ve genel olarak, "n'inci" dereceden bir polinomu olan herhangi bir denklemin tam olarak kökleri vardır ve bunların bazıları karmaşık olabilir.
Kendin yap çözümü için basit bir örnek:
Örnek 14
Denklemin köklerini bulun ve kare iki terimliyi çarpanlara ayırın.
Çarpanlara ayırma yine standart okul formülüne göre yapılır.
