Kökler nasıl aynı dereceye getirilir? İrrasyonel ifadeleri, örnekleri, çözümleri dönüştürürken köklerin özelliklerini kullanma

Bu makaledeki materyal, irrasyonel ifadelerin konu dönüşümünün bir parçası olarak değerlendirilmelidir. Burada, köklerin özelliklerine dayalı dönüşümler gerçekleştirirken ortaya çıkan tüm incelikleri ve nüansları (bunlardan çok sayıda vardır) analiz etmek için örnekler kullanacağız.

Sayfada gezinme.

Köklerin özelliklerini hatırlayalım

İfadelerin dönüşümü ile köklerin özelliklerini kullanarak ilgileneceğimiz için, ana olanları hatırlamanın, hatta daha iyisi bunları bir kağıda yazıp önünüze koymanın zararı olmaz.

Öncelikle karekökler ve bunların aşağıdaki özellikleri incelenir (a, b, a 1, a 2, ..., a k gerçel sayılardır):

Daha sonra kök fikri genişletilir, n'inci dereceden bir kökün tanımı yapılır ve aşağıdaki özellikler dikkate alınır (a, b, a 1, a 2, ..., a k gerçek sayılardır, m, n, n 1, n 2, ... , n k - doğal sayılar):

Radikal işaretler altındaki sayılarla ifadeleri dönüştürme

Her zamanki gibi önce sayısal ifadelerle çalışmayı öğreniyorlar ve ancak bundan sonra değişkenli ifadelere geçiyorlar. Biz de aynısını yapacağız ve önce dönüşümle ilgileneceğiz irrasyonel ifadeler, yalnızca köklerin işaretleri altındaki sayısal ifadeleri içerir ve ardından bir sonraki paragrafta köklerin işaretleri altındaki değişkenleri tanıtacağız.

Bu, ifadeleri dönüştürmek için nasıl kullanılabilir? Çok basit: Örneğin, irrasyonel bir ifadeyi bir ifadeyle değiştirebiliriz veya bunun tersini de yapabiliriz. Yani, dönüştürülen ifade, köklerin listelenen özelliklerinden herhangi birinin sol (sağ) kısmındaki ifadeyle görünüş olarak eşleşen bir ifade içeriyorsa, bu durumda sağ (sol) kısımda karşılık gelen ifadeyle değiştirilebilir. Bu, köklerin özelliklerini kullanarak ifadelerin dönüştürülmesidir.

Birkaç örnek daha verelim.

İfadeyi basitleştirelim . 3, 5 ve 7 sayıları pozitif olduğundan köklerin özelliklerini güvenle uygulayabiliriz. Burada farklı şekillerde hareket edebilirsiniz. Örneğin, bir özelliği temel alan bir kök şu şekilde temsil edilebilir ve k=3 - as olan bir özelliği kullanan bir kök, bu yaklaşımla çözüm şöyle görünecektir:

İle değiştirerek ve ardından ile değiştirerek farklı bir şekilde yapılabilir; bu durumda çözüm şöyle görünecektir:

Başka çözümler de mümkündür, örneğin:

Başka bir örneğin çözümüne bakalım. İfadeyi dönüştürelim. Köklerin özellikleri listesine bakarak, örneği çözmek için ihtiyacımız olan özellikleri seçiyoruz; bunlardan ikisinin burada faydalı olduğu ve herhangi bir a için geçerli olan , olduğu açıktır. Sahibiz:

Alternatif olarak, ilk önce radikal ifadeler kullanılarak dönüştürülebilir.

ve sonra köklerin özelliklerini uygulayın

Bu noktaya kadar yalnızca karekök içeren ifadeleri dönüştürdük. Farklı göstergelere sahip köklerle çalışmanın zamanı geldi.

Örnek.

İrrasyonel ifadeyi dönüştürün .

Çözüm.

Mülke göre belirli bir çarpımın ilk çarpanı −2 sayısıyla değiştirilebilir:

Devam etmek. Özellik nedeniyle, ikinci faktör şu şekilde temsil edilebilir ve 81'i üçün dört katıyla değiştirmek zarar vermez, çünkü geri kalan faktörlerde 3 sayısı kök işaretleri altında görünür:

Bir kesirin kökünün, daha da dönüştürülebilecek bir kök oranıyla değiştirilmesi tavsiye edilir: . Sahibiz

İkili işlemler yapıldıktan sonra ortaya çıkan ifade formunu alacaktır ve geriye kalan tek şey köklerin çarpımını dönüştürmektir.

Köklerin ürünlerini dönüştürmek için genellikle tek bir göstergeye indirgenirler, bunun için tüm köklerin göstergelerinin alınması tavsiye edilir. Bizim durumumuzda LCM(12, 6, 12) = 12 ve diğer iki kökün zaten böyle bir göstergesi olduğundan yalnızca kökün bu göstergeye indirgenmesi gerekecek. Sağdan sola uygulanan eşitlik bu görevin üstesinden gelmemizi sağlar. Bu yüzden . Bu sonucu dikkate alarak,

Artık köklerin çarpımı, ürünün kökü ile değiştirilebilir ve kalan, zaten açık olan dönüşümleri gerçekleştirebilir:

Çözümün kısa bir versiyonunu yazalım:

Cevap:

.

Köklerin özelliklerini uygulayabilmek için köklerin işaretleri altındaki sayılara (a≥0 vb.) uygulanan kısıtlamaların dikkate alınması gerektiğini ayrıca vurguluyoruz. Bunları göz ardı etmek yanlış sonuçlara neden olabilir. Örneğin, özelliğin negatif olmayan a için geçerli olduğunu biliyoruz. Buna dayanarak, örneğin 8'in pozitif bir sayı olması nedeniyle kolaylıkla hareket edebiliriz. Ancak örneğin negatif bir sayının anlamlı bir kökünü alırsak ve yukarıda belirtilen özelliğe dayanarak onu yerine koyarsak, o zaman aslında -2'yi 2 ile değiştiririz. Gerçekten, ah. Yani negatif a için eşitlik yanlış olabilir, tıpkı köklerin diğer özelliklerinin kendileri için belirlenen koşullar dikkate alınmadan yanlış olabileceği gibi.

Ancak bir önceki paragrafta söylenenler, köklerin işareti altında negatif sayı bulunan ifadelerin köklerin özellikleri kullanılarak dönüştürülemeyeceği anlamına kesinlikle gelmez. Sadece sayılarla işlem yapma kurallarını uygulayarak veya eşitliğe karşılık gelen negatif bir sayının tek kökü tanımını kullanarak "hazırlanmaları" gerekir; burada -a negatif bir sayıdır (a pozitiftir). Örneğin, −2 ve −3 negatif sayılar olduğundan hemen değiştirilemez, ancak kökten hareket etmemize ve ardından bir çarpımın kök özelliğini daha fazla uygulamamıza olanak tanır: . Ancak önceki örneklerden birinde onsekizinci kuvvetin kökünden köküne gitmeye gerek yoktu. , ve bu yüzden .

Dolayısıyla, köklerin özelliklerini kullanarak ifadeleri dönüştürmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

• listeden uygun özelliği seçin,
• kök altındaki sayıların seçilen özelliğe ilişkin koşulları karşıladığından emin olun (aksi takdirde ön dönüşümler yapmanız gerekir),
• ve amaçlanan dönüşümü gerçekleştirin.

Radikal işaretler altındaki değişkenleri içeren ifadeleri dönüştürme

Kök işareti altında yalnızca sayılar değil değişkenler de bulunan irrasyonel ifadelerin dönüştürülmesi için bu makalenin ilk paragrafında sıralanan köklerin özelliklerinin dikkatli bir şekilde uygulanması gerekir. Bunun nedeni çoğunlukla formüllerde yer alan sayıların karşılaması gereken koşullardır. Örneğin, formüle dayalı olarak, belirtilen formül a≥0 ve b için belirtildiğinden, ifade yalnızca x≥0 ve x+1≥0 koşullarını karşılayan x değerleri için bir ifadeyle değiştirilebilir. ≥0.

Bu koşulları göz ardı etmenin tehlikeleri nelerdir? Bu sorunun cevabı aşağıdaki örnekte açıkça görülmektedir. Diyelim ki x=−2 noktasındaki bir ifadenin değerini hesaplamamız gerekiyor. Eğer x değişkeni yerine hemen −2 sayısını koyarsak ihtiyacımız olan değeri elde ederiz. . Şimdi bazı değerlendirmelere dayanarak verilen ifadeyi forma dönüştürdüğümüzü ve ancak bundan sonra değeri hesaplamaya karar verdiğimizi düşünelim. X yerine −2 sayısını koyarsak ve ifadeye ulaşırız ki bu hiç mantıklı değil.

İfadeden ifadeye geçerken x değişkeninin izin verilen değer aralığına (APV) ne olacağını görelim. ODZ'den bahsetmemiz tesadüf değildi, çünkü bu, yapılan dönüşümlerin kabul edilebilirliğini izlemek için ciddi bir araçtır ve bir ifadeyi dönüştürdükten sonra ODZ'de yapılacak bir değişiklik, en azından tehlike işaretlerine yol açmalıdır. Bu ifadeler için ODZ'yi bulmak zor değildir. ODZ ifadesi x·(x+1)≥0 eşitsizliğinden belirlendiği için, çözümü (−∞, −1]∪∪∪ sayısal kümesini verir.

Sağdaki veya soldaki sayılara herhangi bir ek kısıtlama getirilmemektedir: eğer kök faktörler mevcutsa, o zaman çarpım da mevcuttur.

Örnekler. Sayıların olduğu dört örneğe aynı anda bakalım:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(hizala)\]

Gördüğünüz gibi bu kuralın asıl anlamı irrasyonel ifadeleri basitleştirmektir. Ve eğer ilk örnekte biz kendimiz 25 ve 4'ün köklerini herhangi bir yeni kural olmadan çıkarsaydık, o zaman işler zorlaşır: $\sqrt(32)$ ve $\sqrt(2)$ kendi başlarına dikkate alınmaz, ancak çarpımları tam kare çıkıyor, yani kökü bir rasyonel sayıya eşit.

Özellikle son satırı vurgulamak istiyorum. Orada, her iki radikal ifade de kesirdir. Ürün sayesinde birçok faktör iptal edilerek ifadenin tamamı yeterli sayıya dönüşmektedir.

Elbette her şey her zaman bu kadar güzel olmayacak. Bazen köklerin altında tam bir saçmalık olur - bununla ne yapılacağı ve çarpmadan sonra nasıl dönüştürüleceği belli değildir. Biraz sonra, irrasyonel denklemler ve eşitsizlikler üzerine çalışmaya başladığınızda, her türden değişken ve fonksiyon ortaya çıkacak. Ve çoğu zaman problem yazarları, bazı iptal edici terimler veya faktörler keşfedeceğinize ve bunun ardından problemin defalarca basitleştirileceğine güvenirler.

Ayrıca iki kökün tam olarak çarpılması hiç de gerekli değildir. Aynı anda üçü, dördü, hatta onunu çarpabilirsiniz! Bu kuralı değiştirmeyecektir. Bir göz at:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(hizala)\]

Ve yine ikinci örnekle ilgili küçük bir not. Gördüğünüz gibi, kökün altındaki üçüncü faktörde ondalık bir kesir var - hesaplamalar sırasında onu normal bir kesirle değiştiriyoruz, ardından her şey kolayca azaltılıyor. Yani: İrrasyonel ifadelerde (yani en az bir radikal sembol içeren) ondalık kesirlerden kurtulmanızı şiddetle tavsiye ederim. Bu, gelecekte zamandan ve sinirlerden büyük ölçüde tasarruf etmenizi sağlayacaktır.

Ama bu lirik bir ara sözdü. Şimdi daha genel bir durumu ele alalım - kök üssü sadece "klasik" iki değil, rastgele bir $n$ sayısını içerdiğinde.

Keyfi bir gösterge durumu

Böylece karekökleri sıraladık. Kübik olanlarla ne yapmalı? Veya hatta keyfi $n$ dereceli köklerle mi? Evet, her şey aynı. Kural aynı kalıyor:

$n$ dereceli iki kökü çarpmak için bunların radikal ifadelerini çarpmak ve ardından sonucu bir radikalin altına yazmak yeterlidir.

Genel olarak karmaşık bir şey yok. Ancak hesaplama miktarı daha fazla olabilir. Birkaç örneğe bakalım:

Örnekler. Ürünleri hesaplayın:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3))))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(hizala)\]

Ve yine ikinci ifadeye dikkat edelim. Küp köklerini çarparız, ondalık kesirden kurtuluruz ve paydayı 625 ile 25 sayılarının çarpımı olarak elde ederiz. Bu oldukça büyük bir sayı - kişisel olarak ben şahsen bunun neye eşit olduğunu çözemiyorum. kafamın.

Bu nedenle, pay ve paydadaki tam küpü izole ettik ve ardından $n$th kökün temel özelliklerinden birini (veya tercih ederseniz tanımını) kullandık:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1))))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n))))=\left| a\doğru|. \\ \end(hizala)\]

Bu tür "entrikalar" sınavda size çok zaman kazandırabilir veya deneme çalışması, Hatırla:

Radikal ifadeler kullanarak sayıları çarpmak için acele etmeyin. Öncelikle şunu kontrol edin: Peki ya herhangi bir ifadenin tam derecesi orada "şifrelenmişse"?

Bu açıklamanın açıklığına rağmen, hazırlıksız öğrencilerin çoğunun tam dereceleri çok yakın mesafeden göremediğini itiraf etmeliyim. Bunun yerine her şeyi doğrudan çarpıyorlar ve sonra merak ediyorlar: Neden bu kadar acımasız rakamlar elde ettiler? :)

Ancak şimdi inceleyeceklerimizle karşılaştırıldığında bunların hepsi bebek konuşmasıdır.

Köklerin farklı üslerle çarpılması

Tamam, şimdi aynı göstergelerle kökleri çarpabiliriz. Göstergeler farklıysa ne olur? Diyelim ki sıradan bir $\sqrt(2)$'ı $\sqrt(23)$ gibi saçmalıklarla nasıl çarpabiliriz? Bunu yapmak mümkün mü?

Evet tabiki yapabilirsin. Her şey bu formüle göre yapılır:

Kökleri çarpma kuralı. $\sqrt[n](a)$'ı $\sqrt[p](b)$ ile çarpmak için aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek yeterlidir:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Ancak bu formül yalnızca şu durumlarda işe yarar: radikal ifadeler negatif değildir. Bu, biraz sonra döneceğimiz çok önemli bir not.

Şimdilik birkaç örneğe bakalım:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(hizala)\]

Gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok. Şimdi olumsuzluk olmaması şartının nereden geldiğini ve bunu ihlal edersek ne olacağını bulalım. :)

Radikal ifadeler neden olumsuz olmamalıdır?

Elbette okul öğretmenleri gibi davranabilir ve ders kitabından akıllı bir bakışla alıntı yapabilirsiniz:

Olumsuz olmama şartı, çift ve tek dereceli köklerin farklı tanımlarıyla ilişkilidir (buna göre tanım alanları da farklıdır).

Peki, daha netleşti mi? Şahsen 8. sınıfta bu saçmalığı okuduğumda şöyle bir şey anladım: “Olumsuz olmama şartı *#&^@(*#@^#)~% ile ilişkilidir” - kısacası anlamadım O zaman hiçbir şey anlamadım :)

Şimdi her şeyi normal bir şekilde açıklayacağım.

Öncelikle yukarıdaki çarpma formülünün nereden geldiğini bulalım. Bunu yapmak için size kökün önemli bir özelliğini hatırlatmama izin verin:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Başka bir deyişle, radikal ifadeyi kolaylıkla $k$ doğal kuvvetine yükseltebiliriz - bu durumda kökün üssünün aynı kuvvetle çarpılması gerekecektir. Bu nedenle herhangi bir kökü kolayca ortak bir üsse indirgeyebilir ve sonra bunları çarpabiliriz. Çarpma formülünün geldiği yer burasıdır:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n))))\]

Ancak tüm bu formüllerin kullanımını keskin bir şekilde sınırlayan bir sorun var. Bu sayıyı düşünün:

Az önce verilen formüle göre herhangi bir derece ekleyebiliriz. $k=2$ eklemeyi deneyelim:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Eksiyi tam olarak kaldırdık çünkü kare eksiyi yakıyor (diğer çift dereceler gibi). Şimdi ters dönüşümü gerçekleştirelim: üs ve kuvvetteki ikisini “azaltalım”. Sonuçta herhangi bir eşitlik hem soldan sağa hem de sağdan sola okunabilir:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](A); \\ & \sqrt(((a)^(k))))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2))))=\sqrt(5). \\ \end(hizala)\]

Ama sonra bunun bir tür saçmalık olduğu ortaya çıkıyor:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Bu olamaz çünkü $\sqrt(-5) \lt 0$ ve $\sqrt(5) \gt 0$. Bu, çift kuvvetler ve negatif sayılar için formülümüzün artık işe yaramadığı anlamına gelir. Bundan sonra iki seçeneğimiz var:

1. Duvara vurup matematiğin aptal bir bilim olduğunu, “bazı kuralların olduğunu ama bunların kesin olmadığını” ifade etmek;
2. Formülün %100 işe yarayacağı ek kısıtlamalar getirin.

İlk seçenekte, sürekli olarak "çalışmayan" vakaları yakalamamız gerekecek - bu zor, zaman alıcı ve genel olarak kötü. Bu nedenle matematikçiler ikinci seçeneği tercih etti. :)

Ama endişelenme! Uygulamada bu sınırlama hesaplamaları hiçbir şekilde etkilemez çünkü açıklanan tüm problemler yalnızca tek dereceli köklerle ilgilidir ve bunlardan eksiler çıkarılabilir.

Bu nedenle, genellikle kökleri olan tüm eylemler için geçerli olan bir kural daha formüle edelim:

Kökleri çarpmadan önce radikal ifadelerin negatif olmadığından emin olun.

Örnek. $\sqrt(-5)$ sayısında kök işaretinin altındaki eksiyi kaldırabilirsiniz - o zaman her şey normal olacaktır:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Farkı hissediyor musun? Kökün altında bir eksi bırakırsanız, radikal ifadenin karesi alındığında ortadan kaybolacak ve saçmalık başlayacaktır. Ve eğer önce eksiyi çıkarırsanız, yüzünüz mavi olana kadar karesini alabilir/çıkarabilirsiniz - sayı negatif kalacaktır. :)

Dolayısıyla kökleri çoğaltmanın en doğru ve en güvenilir yolu şu şekildedir:

1. Tüm negatifleri radikallerden çıkarın. Eksiler yalnızca tek çokluğun köklerinde bulunur - bunlar kökün önüne yerleştirilebilir ve gerekirse azaltılabilir (örneğin, bu eksilerden iki tane varsa).
2. Bugünkü derste yukarıda tartışılan kurallara göre çarpma işlemi yapın. Köklerin göstergeleri aynı ise basitçe köklü ifadeleri çarparız. Ve eğer farklılarsa, kötü formülü kullanırız \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Sonucun ve iyi notların tadını çıkarın. :)

Kuyu? Pratik yapalım mı?

Örnek 1: İfadeyi basitleştirin:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(hizala)\]

Bu en basit seçenektir: Kökler aynı ve tektir, tek sorun ikinci faktörün negatif olmasıdır. Bu eksiyi resimden çıkarıyoruz, ardından her şey kolayca hesaplanıyor.

Örnek 2: İfadeyi basitleştirin:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( hizala)\]

Burada çıktının irrasyonel bir sayı olduğu gerçeği birçok kişinin kafasını karıştıracaktır. Evet oluyor: Kökten tamamen kurtulamadık ama en azından ifadeyi önemli ölçüde basitleştirdik.

Örnek 3: İfadeyi basitleştirin:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24))))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Bu göreve dikkatinizi çekmek isterim. Burada iki nokta var:

1. Kök belirli bir sayı veya kuvvet değil, $a$ değişkenidir. İlk bakışta bu biraz alışılmadık bir durum gibi görünse de gerçekte matematik problemlerini çözerken çoğunlukla değişkenlerle uğraşmak zorunda kalırsınız.
2. Sonunda radikal göstergeyi ve radikal ifadenin derecesini “azaltmayı” başardık. Bu oldukça sık olur. Bu da, temel formülü kullanmadıysanız hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirmenin mümkün olduğu anlamına gelir.

Örneğin şunu yapabilirsiniz:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8))))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\son(hizala)\]

Aslında tüm dönüşümler yalnızca ikinci radikalle gerçekleştirildi. Ve tüm ara adımları ayrıntılı olarak açıklamazsanız, sonunda hesaplama miktarı önemli ölçüde azalacaktır.

Aslında yukarıda $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ örneğini çözerken benzer bir görevle zaten karşılaşmıştık. Artık çok daha basit bir şekilde yazılabilir:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(hizala)\]

Köklerin çarpımını çözdük. Şimdi işlemin tersini düşünelim: Kökün altında ürün olduğunda ne yapmalı?

KökN-inci derece ve temel özellikleri

Derece gerçek Numara A doğal göstergeli P bir iş var P her biri eşit olan faktörler A:

a1 = a; a2 =a·a; A N =

Örneğin,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

5 kere

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 kere

Gerçek Numara A isminde derecenin temeli, ve n doğal sayısı üs.

Doğal üslü kuvvetlerin temel özellikleri doğrudan tanımdan çıkar: herhangi bir pozitif sayının kuvveti P e N pozitif; Çift üslü negatif bir sayının kuvveti pozitif, tek üslü ise negatiftir.

Örneğin,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

Dereceli eylemler aşağıdaki gibi gerçekleştirilir: tüzük.

1. Aynı tabanlarla kuvvetleri çarpmak için üsleri toplayıp tabanı aynı bırakmak yeterlidir, yani

Örneğin, p5∙ p3 = p5+3 =p8

2. Üsleri aynı tabanlarla bölmek için bölenin üssünü bölenin endeksinden çıkarıp tabanı aynı bırakmak yeterlidir, yani

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" genişlik = "95" yükseklik = "44 src = ">

2. Bir dereceyi bir kuvvete yükseltmek için tabanı aynı bırakarak üsleri çarpmak yeterlidir;

(ap)M = en·p.Örneğin (23)2 = 26.

4. Bir çarpımı bir kuvvete yükseltmek için her faktörü bu kuvvete yükseltmek ve sonuçları çarpmak yeterlidir, yani

(A B)P= ap∙BP.

Örneğin, (2у3)2= 4y6.

5. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için pay ve paydayı ayrı ayrı bu kuvvete yükseltmek ve ilk sonucu ikinciye bölmek yeterlidir, yani

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" genişlik = "87" yükseklik = "53 src = ">

Bazen bu formülleri sağdan sola doğru okumanın yararlı olabileceğini unutmayın. Bu durumda kural haline gelirler. Örneğin 4. durumda, apvp= (av)p aşağıdaki kuralı elde ederiz: ile Aynı üslü kuvvetlerle çarpmak için üssü aynı bırakarak tabanları çarpmak yeterlidir.

Bu kuralın kullanılması, örneğin aşağıdaki çarpımın hesaplanmasında etkilidir.

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.

Şimdi kökün tanımını verelim.

Kök n'inci derece gerçek bir sayıdan A gerçek sayı denir X, n'inci kuvveti eşittir A.

Açıkçası, doğal üslü kuvvetlerin temel özelliklerine uygun olarak, herhangi bir pozitif sayıdan, çift bir kuvvetin kökünün iki zıt değeri vardır, örneğin, 4 ve -4 sayıları 16'nın karekökleridir, çünkü ( -4)2 = 42 = 16 ve (-3)4 = 34 = 81 olduğundan 3 ve -3 sayıları 81'in dördüncü kökleridir.

Ayrıca negatif bir sayının çift kökü yoktur çünkü herhangi bir reel sayının çift kuvveti negatif değildir. Tek köke gelince, herhangi bir gerçek sayı için o sayının yalnızca bir tek kökü vardır. Örneğin, 33 = 27 olduğundan 3, 27'nin üçüncü köküdür ve (-2)5 = 32 olduğundan -2, -32'nin beşinci köküdür.

Pozitif bir sayının çift dereceli iki kökünün varlığı nedeniyle, kökün bu belirsizliğini ortadan kaldırmak için aritmetik kök kavramını tanıtıyoruz.

Negatif olmayan değer n'inci kök Negatif olmayan bir sayının kuvvetlerine denir aritmetik kök.

Örneğin, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width = "13" height = "16 src = "> 0.

İrrasyonel denklemleri çözerken köklerinin daima aritmetik olarak dikkate alındığı unutulmamalıdır.

N'inci kökün ana özelliğine dikkat edelim.

Kökün göstergeleri ve köklü ifadenin derecesi aynı doğal sayıyla çarpılır veya bölünürse kökün boyutu değişmeyecektir.

Örnek 7. Ortak bir paydaya indirgeyin ve