Sinüs x fonksiyonunun türevi. Sinüs türevi: (sin x)'

Sinüs - sin (x)'in türevi için formülün ispatı ve türevi sunulmuştur. sin 2x, sinüs kare ve küpün türevlerini hesaplama örnekleri. n'inci mertebeden sinüsün türevi için formülün türetilmesi.

Ayrıca bakınız: Sinüs ve kosinüs - özellikler, grafikler, formüller

Sinüs x'in x değişkenine göre türevi, kosinüs x'e eşittir:
(sin x)' = cos x.

Kanıt

Sinüsün türevinin formülünü türetmek için türevin tanımını kullanacağız:
.

Bu limiti bulmak için, ifadeyi bilinen yasalara, özelliklere ve kurallara indirgeyecek şekilde dönüştürmemiz gerekir. Bunu yapmak için dört özelliği bilmemiz gerekiyor.
1) İlk dikkate değer limitin anlamı:
(1) ;
2) Kosinüs fonksiyonunun sürekliliği:
(2) ;
3) Trigonometrik Formüller. Aşağıdaki formüle ihtiyacımız var:
(3) ;
4) Fonksiyon sınırının aritmetik özellikleri:
eğer ve sonra
(4) .

Bu kuralları limitimize kadar uyguluyoruz. Önce cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunun için formülü uyguluyoruz.
(3) .
bizim durumumuzda
; . O zamanlar
;
;
;
.

Şimdi bir ikame yapalım. , . İlk dikkate değer limiti (1) uygulayalım:
.

Aynı ikameyi yapıyoruz ve süreklilik özelliğini (2) kullanıyoruz:
.

Yukarıda hesaplanan sınırlar mevcut olduğundan, özelliği (4) uyguluyoruz:

.

Sinüsün türevinin formülü kanıtlanmıştır.

örnekler

Düşünmek basit örnekler sinüs içeren fonksiyonların türevlerini bulma. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulacağız:
y=sin2x; y= sin2x ve y= sin3x.

örnek 1

türevini bul günah 2x.

Önce en basit parçanın türevini buluruz:
(2x)' = 2(x)' = 2 1 = 2.
Başvuruyoruz.
.
Burada .

(sin 2x)' = 2 cos 2x.

Örnek 2

Kare sinüsün türevini bulun:
y= sin2x.

Orijinal işlevi daha anlaşılır bir biçimde yeniden yazalım:
.
En basit parçanın türevini bulun:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz.

.
Burada .

Trigonometri formüllerinden biri uygulanabilir. O zamanlar
.

Örnek 3

Sinüs küpün türevini bulun:
y= sin3x.

Daha yüksek dereceli türevler

türevinin olduğuna dikkat edin günah x birinci dereceden sinüs cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:
.

Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü kullanarak ikinci dereceden türevi bulalım:

.
Burada .

Şimdi farklılaşmanın olduğunu görebiliriz. günah x bağımsız değişkeninin ile artırılmasına neden olur. O zaman n'inci mertebenin türevi şu şekildedir:
(5) .

Bunu matematiksel tümevarım yöntemini uygulayarak kanıtlayalım.

için formül (5)'in geçerli olduğunu zaten kontrol ettik.

Formül (5)'in bir değeri için geçerli olduğunu varsayalım. Bundan, formül (5)'in için geçerli olduğunun sonucu olduğunu kanıtlayalım.

Aşağıdakiler için formül (5) yazıyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uygulayarak bu denklemi farklılaştırıyoruz:

.
Burada .
Böylece şunları bulduk:
.
yerine koyarsak, bu formül (5) şeklini alır.

Formül kanıtlanmıştır.

Tablonun ilk formülünü türetirken, bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımından hareket edeceğiz. nereye gidelim x- herhangi bir gerçek sayı, yani, x– fonksiyon tanımı alanından herhangi bir sayı. Fonksiyon artışının argüman artışına oranının sınırını şurada yazalım:

Limit işareti altında, sıfırın belirsizliğinin sıfıra bölünmesi olmayan bir ifadenin elde edildiğine dikkat edilmelidir, çünkü pay sonsuz küçük bir değer değil, tam olarak sıfır içerir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Böylece, sabit bir fonksiyonun türevitüm tanım alanında sıfıra eşittir.

Bir güç fonksiyonunun türevi.

Bir güç fonksiyonunun türevinin formülü şu şekildedir: üs nerede p herhangi bir gerçek sayıdır.

Önce doğal üs formülünü kanıtlayalım, yani p = 1, 2, 3, ...

Bir türevin tanımını kullanacağız. Kuvvet fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının sınırını yazalım:

Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton'un iki terimli formülüne dönüyoruz:

Sonuç olarak,

Bu, doğal bir üs için bir güç fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtlar.

Üstel fonksiyonun türevi.

Türev formülünü tanıma dayalı olarak türetiyoruz:

Belirsizliğe geldi. Genişletmek için yeni bir değişken tanıtıyoruz ve için . O zamanlar . Son geçişte, logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullandık.

Orijinal limitte bir ikame yapalım:

İkinci dikkate değer limiti hatırlarsak, üstel fonksiyonun türevi için formüle geliriz:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi.

Herkes için logaritmik fonksiyonun türevinin formülünü ispatlayalım. x kapsamdan ve tüm geçerli temel değerlerden a logaritma. Türevin tanımı gereği, elimizde:

Fark ettiğiniz gibi, ispatta dönüşümler logaritmanın özellikleri kullanılarak gerçekleştirilmiştir. eşitlik ikinci dikkate değer sınır nedeniyle geçerlidir.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri için formüller türetmek için, bazı trigonometri formüllerinin yanı sıra ilk dikkate değer limiti hatırlamamız gerekecek.

Sinüs fonksiyonu için türev tanımına göre, elimizdeki .

Sinüs farkı için formülü kullanıyoruz:

İlk dikkate değer sınıra dönmeye devam ediyor:

Yani fonksiyonun türevi günah x var çünkü x.

Kosinüs türevinin formülü tamamen aynı şekilde kanıtlanmıştır.

Bu nedenle, fonksiyonun türevi çünkü x var –sin x.

Teğet ve kotanjant için türev tablosu için formüllerin türetilmesi, kanıtlanmış farklılaşma kuralları (bir kesrin türevi) kullanılarak gerçekleştirilecektir.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri.

Türev kuralları ve üstel fonksiyonun türev tablosundan türevi için formül, hiperbolik sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant türevleri için formüller türetmemizi sağlar.

Ters fonksiyonun türevi.

Sunumda karışıklık olmaması için alt dizinde türevin yapıldığı fonksiyonun argümanını, yani fonksiyonun türevi olduğunu gösterelim. f(x)üzerinde x.

Şimdi formüle ediyoruz ters fonksiyonun türevini bulma kuralı.

Fonksiyonlara izin ver y = f(x) ve x = g(y) karşılıklı olarak ters, aralıklar ve sırasıyla tanımlanır. Bir noktada fonksiyonun sıfırdan farklı sonlu bir türevi varsa f(x), o zaman noktada ters fonksiyonun sonlu bir türevi vardır gr(y), ve . başka bir girişte .

Bu kural, herhangi bir x aralıktan, sonra elde ederiz .

Bu formüllerin geçerliliğini kontrol edelim.

Doğal logaritmanın ters fonksiyonunu bulalım. (burada y bir fonksiyondur ve x- argüman). için bu denklemi çözme x, elde ederiz (burada x bir fonksiyondur ve y onun argümanı). Yani, ve karşılıklı ters fonksiyonlar.

Türev tablosundan şunu görüyoruz ve .

Ters fonksiyonun türevlerini bulma formüllerinin bizi aynı sonuçlara götürdüğünden emin olalım:

Gördüğünüz gibi, türev tablosundakiyle aynı sonuçları aldık.

Artık ters trigonometrik fonksiyonların türevleri için formülleri kanıtlayacak bilgiye sahibiz.

Arksinüs'ün türeviyle başlayalım.

. Daha sonra, ters fonksiyonun türevi formülü ile şunu elde ederiz:

Dönüşümü gerçekleştirmek için kalır.

Arkın aralığı aralık olduğu için , sonra (temel temel fonksiyonlar, bunların özellikleri ve grafikleri ile ilgili bölüme bakın). Bu nedenle düşünmüyoruz.

Sonuç olarak, . Arksinüs türevinin tanım alanı aralıktır (-1; 1) .

Arccosine için her şey tamamen aynı şekilde yapılır:

Ark teğetinin türevini bulun.

Ters fonksiyon için .

Ortaya çıkan ifadeyi basitleştirmek için ark teğetini ark kosinüsü boyunca ifade ediyoruz.

İzin vermek arctanx = z, sonra

Sonuç olarak,

Benzer şekilde, ters teğetin türevi bulunur:

Türev

Matematiksel bir fonksiyonun türevini hesaplamak (türev alma), yüksek matematik çözmede çok yaygın bir görevdir. Basit (temel) matematiksel işlevler için, bu oldukça basit bir konudur, çünkü temel işlevler için türev tabloları uzun süredir derlenmiştir ve kolayca erişilebilir. Bununla birlikte, karmaşık bir matematiksel fonksiyonun türevini bulmak önemsiz bir iş değildir ve genellikle önemli çaba ve zaman gerektirir.

Çevrimiçi türevi bulun

Çevrimiçi hizmetimiz, anlamsız uzun hesaplamalardan kurtulmanızı sağlar ve türevini çevrimiçi bul bir anda. Ayrıca, web sitesinde bulunan hizmetimizi kullanmak www.site, hesaplayabilirsiniz türev çevrimiçi hem temel bir fonksiyondan hem de analitik çözümü olmayan çok karmaşık bir fonksiyondan. Sitemizin diğerlerine kıyasla ana avantajları şunlardır: 1) türevi hesaplamak için matematiksel bir fonksiyon girme yöntemi için katı gereklilikler yoktur (örneğin, sinüs x fonksiyonunu girerken, sin x veya sin olarak girebilirsiniz. (x) veya günah [x], vb.) d.); 2) çevrimiçi türevin hesaplanması modunda anında gerçekleşir internet üzerinden ve kesinlikle bedava; 3) fonksiyonun türevini bulmayı sağlarız herhangi bir sipariş, türevin sırasını değiştirmek çok kolay ve anlaşılır; 4) neredeyse tüm matematiksel fonksiyonların türevini çevrimiçi, hatta çok karmaşık, diğer hizmetlere erişilemeyen bulmanızı sağlıyoruz. Verilen yanıt her zaman doğrudur ve hata içeremez.

Sunucumuzu kullanmak, 1) türevi sizin için çevrimiçi olarak hesaplamanıza, sizi hata veya yazım hatası yapabileceğiniz uzun ve sıkıcı hesaplamalardan kurtarmanıza; 2) matematiksel bir fonksiyonun türevini kendiniz hesaplarsanız, size sonucu hizmetimizin hesaplamalarıyla karşılaştırma ve çözümün doğru olduğundan emin olma veya sinsi bir hata bulma fırsatı veriyoruz; 3) istenen işlevi bulmanın genellikle zaman aldığı basit işlevlerin türev tablolarını kullanmak yerine hizmetimizi kullanın.

Sizden gereken her şey türevini çevrimiçi bul hizmetimizi kullanmaktır

Konuyu incelerken kolaylık ve netlik için bir özet tablosu.

Belirtilen tablonun formüllerinin nasıl elde edildiğini analiz edelim veya başka bir deyişle, her bir fonksiyon türü için türev formüllerinin türetildiğini kanıtlayacağız.

bir sabitin türevi

Bu formülü türetmek için bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımını esas alırız. x 0 = x kullanıyoruz, burada x herhangi bir gerçek sayının değerini alır veya başka bir deyişle, x f (x) = C fonksiyonunun etki alanından herhangi bir sayıdır. Fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limitini ∆ x → 0 olarak yazalım:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Lütfen 0 ∆ x ifadesinin limit işaretinin altına düştüğüne dikkat edin. Pay sonsuz küçük bir değer değil, sıfır içerdiğinden, “sıfır bölü sıfır” belirsizliği değildir. Başka bir deyişle, sabit bir fonksiyonun artışı her zaman sıfırdır.

Böylece, f(x) = C sabit fonksiyonunun türevi, tüm tanım alanı boyunca sıfıra eşittir.

örnek 1

Verilen sabit fonksiyonlar:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = bir , bir ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Çözüm

Verilen koşulları açıklayalım. İlk fonksiyonda 3 doğal sayısının türevini görüyoruz. Aşağıdaki örnekte, türevini almanız gerekir. a, nerede a- herhangi bir gerçek sayı. Üçüncü örnek bize 4 irrasyonel sayısının türevini veriyor. 13 7 22 , dördüncü - sıfırın türevi (sıfır bir tamsayıdır). Son olarak, beşinci durumda, rasyonel kesrin türevine sahibiz - 8 7 .

Cevap: verilen fonksiyonların türevleri herhangi bir gerçek için sıfırdır x(tanım alanının tamamında)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Güç fonksiyonu türevi

Güç işlevine ve türevinin şu biçime sahip formülüne dönüyoruz: (x p) " = p x p - 1, burada üs p herhangi bir gerçek sayıdır.

Kanıt 2

Üs doğal sayı olduğunda formülün ispatı şu şekildedir: p = 1 , 2 , 3 , …

Yine, bir türevin tanımına güveniyoruz. Kuvvet fonksiyonunun artışının argümanın artışına oranının sınırını yazalım:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Paydaki ifadeyi basitleştirmek için Newton'un binom formülünü kullanıyoruz:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Böylece:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . . + 0 = p!1!(p - 1)!x p - 1 = p x p - 1

Böylece, üs bir doğal sayı olduğunda, bir kuvvet fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtladık.

Kanıt 3

Davanın kanıtını vermek için p- sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı için logaritmik türevi kullanırız (burada logaritmik fonksiyonun türevinden farkı anlamalıyız). Daha eksiksiz bir anlayışa sahip olmak için, logaritmik fonksiyonun türevini incelemek ve ek olarak örtük olarak verilen bir fonksiyonun türevini ve karmaşık bir fonksiyonun türevini ele almak arzu edilir.

İki durumu ele alalım: ne zaman x pozitif ve ne zaman x olumsuz.

Yani x > 0 . O zaman: x p > 0 . y \u003d x p eşitliğinin logaritmasını e tabanına alıyoruz ve logaritmanın özelliğini uyguluyoruz:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Bu aşamada örtük olarak tanımlanmış bir fonksiyon elde edilmiştir. Türevini tanımlayalım:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Şimdi durumu ne zaman ele alacağız x- negatif bir sayı.

eğer gösterge p bir çift sayı ise, o zaman kuvvet fonksiyonu x için de tanımlanır< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Sonra xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Eğer bir p tek bir sayı ise, o zaman x için güç fonksiyonu tanımlanır< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Son geçiş mümkündür çünkü eğer p tek sayıdır, o zaman p - 1 ya bir çift sayı ya da sıfır (p = 1 için), dolayısıyla negatif için x(- x) p - 1 = x p - 1 eşitliği doğrudur.

Böylece, herhangi bir gerçek p için bir kuvvet fonksiyonunun türevinin formülünü kanıtladık.

Örnek 2

Verilen işlevler:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Türevlerini belirleyin.

Çözüm

Verilen fonksiyonların bir kısmını, derecenin özelliklerine göre y = x p tablo biçimine dönüştürüyoruz ve ardından aşağıdaki formülü kullanıyoruz:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x günlük 7 12 = x - günlük 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - günlük 7 12 x - günlük 7 12 - 1 = - günlük 7 12 x - günlük 7 12 - günlük 7 7 = - günlük 7 12 x - günlük 7 84

üstel fonksiyonun türevi

Tanıma dayalı olarak türev formülünü türetiyoruz:

(bir x) " = lim ∆ x → 0 bir x + ∆ x - bir x ∆ x = lim ∆ x → 0 bir x (bir ∆ x - 1) ∆ x = bir x lim ∆ x → 0 bir ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Belirsizlik yaşadık. Genişletmek için yeni bir değişken z = a ∆ x - 1 yazarız (z → 0, ∆ x → 0 olarak). Bu durumda a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Son geçiş için, yeni bir logaritma tabanına geçiş formülü kullanılır.

Orijinal limitte bir ikame yapalım:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

İkinci dikkate değer limiti hatırlayın ve sonra türevin formülünü elde ederiz. üstel fonksiyon:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

Örnek 3

Üstel fonksiyonlar verilir:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Türevlerini bulmamız gerekiyor.

Çözüm

Üstel fonksiyonun türevi ve logaritmanın özellikleri için formülü kullanıyoruz:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Herhangi bir logaritmik fonksiyonun türevi için formülün ispatını sunuyoruz. x tanım alanında ve logaritmanın a tabanının herhangi bir geçerli değeri. Türevin tanımına dayanarak şunu elde ederiz:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 günlük bir 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 günlük bir 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x günlük bir 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Belirtilen eşitlik zincirinden, dönüşümlerin logaritma özelliği temelinde oluşturulduğu görülebilir. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e eşitliği ikinci dikkate değer limite göre doğrudur.

Örnek 4

Logaritmik fonksiyonlar verilir:

f 1 (x) = günlük günlük 3 x , f 2 (x) = günlük x

Türevlerini hesaplamak gerekir.

Çözüm

Türetilmiş formülü uygulayalım:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Yani doğal logaritmanın türevi bir bölü x.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

biraz kullanıyoruz trigonometrik formüller ve bir trigonometrik fonksiyonun türevinin formülünü türetmek için ilk dikkate değer limit.

Sinüs fonksiyonunun türevinin tanımına göre şunu elde ederiz:

(günah x) " = lim ∆ x → 0 günah (x + ∆ x) - günah x ∆ x

Sinüs farkı formülü, aşağıdaki eylemleri gerçekleştirmemize izin verecektir:

(günah x) " = lim ∆ x → 0 günah (x + ∆ x) - günah x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 günah x + ∆ x - x 2 çünkü x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 çünkü x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = çünkü x + 0 2 lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2

Son olarak, ilk harika limiti kullanıyoruz:

günah "x = çünkü x + 0 2 lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2 = çünkü x

Yani fonksiyonun türevi günah x olacak çünkü x.

Kosinüs türevinin formülünü de aynı şekilde ispatlayacağız:

çünkü "x = lim ∆ x → 0 çünkü (x + ∆ x) - çünkü x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 günah x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - günah x + 0 2 lim ∆ x → 0 günah ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Şunlar. cos x fonksiyonunun türevi şu olacaktır: – günah x.

Teğet ve kotanjantın türevleri için formülleri türev kurallarına göre türetiyoruz:

t g "x = günah x çünkü x" = günah "x çünkü x - günah x çünkü "x çünkü 2 x = = çünkü x çünkü x - günah x (- sin x) çünkü 2 x = günah 2 x + çünkü 2 x çünkü 2 x = 1 çünkü 2 x c t g "x = çünkü x günah x" = çünkü "x günah x - çünkü x günah "x günah 2 x = = - günah x günah x - çünkü x çünkü x günah 2 x = - günah 2 x + çünkü 2 x günah 2 x = - 1 günah 2 x

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri

Ters fonksiyonların türeviyle ilgili bölüm arksin, arkkosin, arktanjant ve arkkotanjant türevleri için formüllerin ispatı hakkında kapsamlı bilgi sağlar, bu nedenle materyali burada tekrar etmeyeceğiz.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri

Türev kuralını ve üstel fonksiyonun türevi formülünü kullanarak hiperbolik sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın türevleri için formüller türetebiliriz:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = ch 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.