La suma de los números de una fórmula de progresión aritmética. progresión algebraica

Alguien trata la palabra "progresión" con cautela, como un término muy complejo de las secciones de matemáticas superiores. Mientras tanto, la progresión aritmética más simple es el trabajo del mostrador de taxis (donde aún permanecen). Y obtener la esencia (y no hay nada más importante en matemáticas que "obtener la esencia") secuencia aritmética No es tan difícil una vez que entiendes algunos conceptos básicos.

Secuencia numérica matemática

Se acostumbra llamar secuencia numérica a una serie de números, cada uno de los cuales tiene su propio número.

y 1 es el primer miembro de la secuencia;

y 2 es el segundo miembro de la secuencia;

y 7 es el séptimo miembro de la secuencia;

yn es el n-ésimo miembro de la secuencia;

Sin embargo, no nos interesa ningún conjunto arbitrario de cifras y números. Centraremos nuestra atención en una secuencia numérica en la que el valor del n-ésimo miembro está relacionado con su número ordinal mediante una dependencia que se puede formular matemáticamente con claridad. En otras palabras: el valor numérico del n-ésimo número es alguna función de n.

a - valor de un miembro de la secuencia numérica;

n es su número de serie;

f(n) es una función donde el ordinal en la secuencia numérica n es el argumento.

Definición

Una progresión aritmética generalmente se denomina secuencia numérica en la que cada término subsiguiente es mayor (menor) que el anterior por el mismo número. La fórmula para el n-ésimo miembro de una sucesión aritmética es la siguiente:

a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;

a n+1 - la fórmula del siguiente número;

d - diferencia (un cierto número).

Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d>0), entonces cada miembro subsiguiente de la serie bajo consideración será mayor que el anterior, y tal progresión aritmética será creciente.

En el siguiente gráfico, es fácil ver por qué la secuencia numérica se llama "creciente".

En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

El valor del miembro especificado

A veces es necesario determinar el valor de algún término arbitrario de una progresión aritmética. Puedes hacerlo calculando sucesivamente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, esta forma no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el valor del término cincomilésima u ochomillonésima. El cálculo tradicional llevará mucho tiempo. Sin embargo, se puede investigar una progresión aritmética específica usando ciertas fórmulas. También hay una fórmula para el término n: el valor de cualquier miembro de una progresión aritmética se puede determinar como la suma del primer miembro de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicada por el número del miembro deseado, menos uno .

La fórmula es universal para la progresión creciente y decreciente.

Un ejemplo de cálculo del valor de un miembro dado

Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del n-ésimo miembro de una progresión aritmética.

Condición: existe una progresión aritmética con parámetros:

El primer miembro de la secuencia es 3;

La diferencia en la serie numérica es 1,2.

Tarea: es necesario encontrar el valor de 214 términos

Solución: para determinar el valor de un miembro dado, usamos la fórmula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Respuesta: El miembro 214 de la secuencia es igual a 258,6.

Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.

Suma de un número dado de miembros

Muy a menudo, en una serie aritmética dada, se requiere determinar la suma de los valores de algunos de sus segmentos. Tampoco necesita calcular los valores de cada término y luego resumirlos. Este método es aplicable si el número de términos cuya suma se debe encontrar es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.

La suma de los miembros de una progresión aritmética de 1 a n es igual a la suma de los miembros primero y n, multiplicada por el miembro número n y dividida por dos. Si en la fórmula se reemplaza el valor del n-ésimo miembro por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:

Ejemplo de cálculo

Por ejemplo, resolvamos un problema con las siguientes condiciones:

El primer término de la sucesión es cero;

La diferencia es 0,5.

En el problema se requiere determinar la suma de los términos de la serie del 56 al 101.

Solución. Usemos la fórmula para determinar la suma de la progresión:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Primero, determinamos la suma de los valores de 101 miembros de la progresión sustituyendo las condiciones dadas de nuestro problema en la fórmula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Obviamente, para saber la suma de los términos de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 a S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Entonces, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo es:

s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5

Ejemplo de aplicación práctica de la progresión aritmética

Al final del artículo, volvamos al ejemplo de la secuencia aritmética dada en el primer párrafo: un taxímetro (taxi taxímetro). Consideremos tal ejemplo.

Subirse a un taxi (que incluye 3 km) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro subsiguiente se paga a razón de 22 rublos / km. Distancia de recorrido 30 km. Calcular el costo del viaje.

1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el coste del aterrizaje.

30 - 3 = 27 kilómetros.

2. El cálculo adicional no es más que analizar una serie de números aritméticos.

El número de miembro es el número de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).

El valor del miembro es la suma.

El primer término de este problema será igual a 1 = 50 rublos.

Diferencia de progresión d = 22 p.

el número que nos interesa - el valor del (27 + 1) miembro de la progresión aritmética - la lectura del medidor al final del kilómetro 27 - 27.999 ... = 28 km.

un 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Los cálculos de datos de calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen ciertas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia del cuerpo celeste a la luminaria. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras ramas aplicadas de las matemáticas.

Otro tipo de secuencia numérica es la geométrica.

Una progresión geométrica se caracteriza por una gran tasa de cambio en comparación con una aritmética. No es casualidad que en política, sociología, medicina, muchas veces, para mostrar la alta velocidad de propagación de un determinado fenómeno, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia, se diga que el proceso se desarrolla exponencialmente.

El N-ésimo miembro de la serie de números geométricos difiere del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer miembro es 1, el denominador es 2, respectivamente, luego:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - el valor del miembro actual de la progresión geométrica;

b n+1 - la fórmula del siguiente miembro de la progresión geométrica;

q es el denominador de una progresión geométrica (número constante).

Si la gráfica de una progresión aritmética es una línea recta, entonces la geométrica dibuja una imagen ligeramente diferente:

Como en el caso de la aritmética, una progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un miembro arbitrario. Cualquier n-ésimo término de una progresión geométrica es igual al producto del primer término y el denominador de la progresión a la potencia de n reducido por uno:

Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encuentre el quinto término de la progresión.

segundo 5 \u003d segundo 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

La suma de un número dado de miembros también se calcula usando una fórmula especial. La suma de los primeros n miembros de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del n-ésimo miembro de la progresión y su denominador y el primer miembro de la progresión, dividido por el denominador menos uno:

Si b n se reemplaza usando la fórmula discutida anteriormente, el valor de la suma de los primeros n miembros de la serie de números considerada tomará la forma:

Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece igual a 3. Hallemos la suma de los primeros ocho términos.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

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Progresión aritmética

Una progresión aritmética es un tipo especial de secuencia. Por lo tanto, antes de definir una progresión aritmética (y luego geométrica), necesitamos discutir brevemente el importante concepto de una secuencia numérica.

subsecuencia

Imagine un dispositivo en la pantalla en el que se muestran algunos números uno tras otro. Digamos 2; 7; 13; una; 6; 0; 3; : : : Tal conjunto de números es solo un ejemplo de una secuencia.

Definición. Una sucesión numérica es un conjunto de números en el que a cada número se le puede asignar un único número (es decir, ponerlo en correspondencia con un único número natural)1. El número con el número n se llama el n-ésimo miembro de la secuencia.

Entonces, en el ejemplo anterior, el primer número tiene el número 2, que es el primer miembro de la secuencia, que se puede denotar como a1; el número cinco tiene el número 6, que es el quinto miembro de la secuencia, que se puede denotar a5. En general, enésimo miembro las secuencias se denotan con an (o bn, cn, etc.).

Una situación muy conveniente es cuando el n-ésimo miembro de la secuencia puede especificarse mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula an = 2n 3 especifica la secuencia: 1; una; 3; 5; 7; : : : La fórmula an = (1)n define la secuencia: 1; una; una; una; : : :

No todo conjunto de números es una secuencia. Entonces, un segmento no es una secuencia; contiene ¾demasiados¿ números para ser renumerados. El conjunto R de todos los números reales tampoco es una sucesión. Estos hechos se prueban en el curso del análisis matemático.

Progresión aritmética: definiciones básicas

Ahora estamos listos para definir una progresión aritmética.

Definición. Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término (a partir del segundo) es igual a la suma del término anterior y algún número fijo (llamado la diferencia de la progresión aritmética).

Por ejemplo, secuencia 2; 5; ocho; once; : : : es una progresión aritmética con primer término 2 y diferencia 3. Secuencia 7; 2; 3; ocho; : : : es una progresión aritmética con primer término 7 y diferencia 5. Secuencia 3; 3; 3; : : : es una progresión aritmética con diferencia cero.

Definición equivalente: Una sucesión an se llama progresión aritmética si la diferencia an+1 an es un valor constante (no dependiente de n).

Se dice que una progresión aritmética es creciente si su diferencia es positiva y decreciente si su diferencia es negativa.

1 Y aquí hay una definición más concisa: una secuencia es una función definida en el conjunto de números naturales. Por ejemplo, la sucesión de números reales es la función f: N! r

Por defecto, las secuencias se consideran infinitas, es decir, contienen una cantidad infinita de números. Pero nadie se molesta en considerar también secuencias finitas; de hecho, cualquier conjunto finito de números puede llamarse secuencia finita. Por ejemplo, la secuencia final 1; 2; 3; cuatro; 5 consta de cinco números.

Fórmula del enésimo miembro de una progresión aritmética

Es fácil comprender que una progresión aritmética está completamente determinada por dos números: el primer término y la diferencia. Por lo tanto, surge la pregunta: ¿cómo, conociendo el primer término y la diferencia, encontrar un término arbitrario de una progresión aritmética?

No es difícil obtener la fórmula deseada para el enésimo término de una progresión aritmética. Deja que un

Tarea 1. En progresión aritmética 2; 5; ocho; once; : : : encuentre la fórmula del término n y calcule el término centésimo.

Solución. De acuerdo con la fórmula (1) tenemos:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Propiedad y signo de la progresión aritmética

Propiedad de una progresión aritmética. En progresión aritmética an para cualquier

En otras palabras, cada miembro de la progresión aritmética (a partir del segundo) es la media aritmética de los miembros vecinos.

que es lo que se requería.

Más generalmente, la progresión aritmética an satisface la igualdad

un norte = un norte k + un norte + k

para cualquier n > 2 y cualquier k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Resulta que la fórmula (2) no solo es una condición necesaria sino también suficiente para que una secuencia sea una progresión aritmética.

Signo de una progresión aritmética. Si la igualdad (2) se cumple para todo n > 2, entonces la sucesión an es una progresión aritmética.

Prueba. Reescribamos la fórmula (2) de la siguiente manera:

un norte un norte 1 = un norte+1 un norte:

Esto muestra que la diferencia an+1 an no depende de n, y esto solo significa que la secuencia an es una progresión aritmética.

La propiedad y el signo de una progresión aritmética se pueden formular como un solo enunciado; por conveniencia, haremos esto para tres números (esta es la situación que ocurre a menudo en los problemas).

Caracterización de una progresión aritmética. Tres números a, b, c forman una progresión aritmética si y sólo si 2b = a + c.

Problema 2. (Universidad Estatal de Moscú, Facultad de Economía, 2007) Tres números 8x, 3 x2 y 4 en el orden especificado forman una progresión aritmética decreciente. Encuentra x y escribe la diferencia de esta progresión.

Solución. Por la propiedad de una progresión aritmética, tenemos:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Si x = 1, entonces se obtiene una progresión decreciente de 8, 2, 4 con una diferencia de 6. Si x = 5, entonces se obtiene una progresión creciente de 40, 22, 4; este caso no funciona.

Respuesta: x = 1, la diferencia es 6.

La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética

Cuenta la leyenda que una vez la maestra les dijo a los niños que encontraran la suma de los números del 1 al 100 y se sentó a leer el periódico tranquilamente. Sin embargo, a los pocos minutos, un niño dijo que había resuelto el problema. Era Carl Friedrich Gauss, de 9 años, más tarde uno de los más grandes matemáticos de la historia.

La idea del pequeño Gauss fue esta. Dejar

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Escribamos esta suma en orden inverso:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

y suma estas dos fórmulas:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Cada término entre paréntesis es igual a 101, y hay 100 de esos términos en total.

2S = 101 100 = 10100;

Usamos esta idea para derivar la fórmula de la suma

S = a1 + a2 + : : : + un + un norte norte: (3)

Se obtiene una modificación útil de la fórmula (3) sustituyendo la fórmula por el n-ésimo término an = a1 + (n 1)d en ella:

Tarea 3. Encuentra la suma de todos los números positivos de tres dígitos divisibles por 13.

Solución. Los números de tres dígitos que son múltiplos de 13 forman una progresión aritmética con el primer término 104 y la diferencia 13; El enésimo término de esta progresión es:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Averigüemos cuántos miembros contiene nuestra progresión. Para ello, resolvemos la desigualdad:

un 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; norte 6 69:

Así que hay 69 miembros en nuestra progresión. De acuerdo con la fórmula (4) encontramos la cantidad requerida:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Los problemas de progresión aritmética han existido desde la antigüedad. Aparecieron y exigieron una solución, porque tenían una necesidad práctica.

Entonces, en uno de los papiros del Antiguo Egipto, que tiene un contenido matemático, el papiro Rhind (siglo XIX a. C.), contiene la siguiente tarea: dividir diez medidas de pan en diez personas, siempre que la diferencia entre cada uno de ellos sea uno octavo de medida.

Y en las obras matemáticas de los antiguos griegos hay elegantes teoremas relacionados con la progresión aritmética. Así, Hypsicles de Alejandría (siglo II, quien recopiló muchos problemas interesantes y agregó el libro decimocuarto a los "Elementos" de Euclides), formuló la idea: "En una progresión aritmética con un número par de miembros, la suma de los miembros de la 2da mitad es mayor que la suma de los miembros de la 1a por el cuadrado de 1/2 miembros.

Se denota la secuencia an. Los números de la secuencia se denominan sus miembros y generalmente se denotan con letras con índices que indican el número de serie de este miembro (a1, a2, a3... se lee: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd ” y así sucesivamente).

La secuencia puede ser infinita o finita.

¿Qué es una progresión aritmética? Se entiende que se obtiene sumando el término anterior (n) con el mismo número d, que es la diferencia de la progresión.

si d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, entonces se considera que tal progresión es creciente.

Se dice que una progresión aritmética es finita si solo se tienen en cuenta algunos de sus primeros términos. muy en numeros grandes miembros ya es una progresión infinita.

Cualquier progresión aritmética viene dada por la siguiente fórmula:

an =kn+b, mientras que b y k son algunos números.

La afirmación, que es lo contrario, es absolutamente cierta: si la secuencia está dada por una fórmula similar, entonces esta es exactamente una progresión aritmética, que tiene las propiedades:

1. Cada miembro de la progresión es la media aritmética del miembro anterior y el siguiente.
2. Lo contrario: si a partir del 2º cada término es la media aritmética del término anterior y del siguiente, es decir si se cumple la condición, entonces la sucesión dada es una progresión aritmética. Esta igualdad es también un signo de progresión, por lo que se suele denominar propiedad característica de la progresión.
   Del mismo modo, el teorema que refleja esta propiedad es cierto: una sucesión es una progresión aritmética sólo si esta igualdad es cierta para cualquiera de los miembros de la sucesión, a partir del 2º.

La propiedad característica de cuatro números cualesquiera de una progresión aritmética se puede expresar mediante la fórmula an + am = ak + al si n + m = k + l (m, n, k son los números de la progresión).

En una progresión aritmética, cualquier término necesario (Nth) se puede encontrar aplicando la siguiente fórmula:

Por ejemplo: el primer término (a1) en una progresión aritmética está dado y es igual a tres, y la diferencia (d) es igual a cuatro. Necesitas encontrar el cuadragésimo quinto término de esta progresión. a45 = 1+4(45-1)=177

La fórmula an = ak + d(n - k) te permite determinar el miembro n-ésimo de una progresión aritmética a través de cualquiera de sus miembros k-ésimo, siempre que se conozca.

La suma de los miembros de una progresión aritmética (suponiendo los primeros n miembros de la progresión final) se calcula de la siguiente manera:

Sn = (a1+an)n/2.

Si también se conoce el primer término, entonces es conveniente otra fórmula para el cálculo:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La suma de una progresión aritmética que contiene n términos se calcula de la siguiente manera:

La elección de fórmulas para los cálculos depende de las condiciones de las tareas y los datos iniciales.

Serie natural de cualquier número como 1,2,3,...,n,...- el ejemplo mas simple progresión aritmética.

Además de la progresión aritmética, también existe la geométrica, que tiene sus propias propiedades y características.