Bir fonksiyon nasıl incelenir ve grafiği nasıl oluşturulur? Fonksiyonun tam incelenmesi ve bir grafiğin oluşturulması y x 1 fonksiyonunun grafiğinin incelenmesi.

TheBat'ın yerleşik SSL sertifika veri tabanı bir süredir düzgün çalışmıyor (neden olduğu belli değil).

Gönderiyi kontrol ederken bir hata görünüyor:

Bilinmeyen CA sertifikası
Sunucu, oturumda bir kök sertifika sunmadı ve karşılık gelen kök sertifika, adres defterinde bulunamadı.
Bu bağlantı gizli olamaz. Lütfen
sunucu yöneticinize başvurun.

Ve size çeşitli yanıtlar sunulur - EVET / HAYIR. Ve böylece postayı her kaldırdığınızda.

Çözüm

Bu durumda TheBat ayarlarında S/MIME ve TLS uygulama standardını Microsoft CryptoAPI ile değiştirmeniz gerekir!

Tüm dosyaları tek bir dosyada birleştirmem gerektiğinden, önce tüm belge dosyalarını (Acrobat programını kullanarak) tek bir pdf dosyasına dönüştürdüm ve ardından çevrimiçi bir dönüştürücü aracılığıyla fb2'ye aktardım. Dosyaları tek tek de dönüştürebilirsiniz. Formatlar kesinlikle herhangi bir (kaynak) olabilir - doc, jpg ve hatta bir zip arşivi!

Sitenin adı özüne tekabül ediyor :) Çevrimiçi Photoshop.

Mayıs 2015 Güncellemesi

Harika bir site daha buldum! Tamamen özel bir kolaj oluşturmak için daha da kullanışlı ve işlevsel! Burası http://www.fotor.com/ru/collage/ sitesidir. Sağlığınız için tadını çıkarın. Ve bunu kendim kullanacağım.

Hayatımda elektrikli sobayı tamir etme problemiyle karşılaştım. Zaten pek çok şey yaptım, çok şey öğrendim ama bir şekilde fayanslarla pek ilgim olmadı. Regülatörler ve brülörlerdeki kontakların değiştirilmesi gerekiyordu. Soru ortaya çıktı - elektrikli ocaktaki brülörün çapı nasıl belirlenir?

Cevabın basit olduğu ortaya çıktı. Hiçbir şeyi ölçmenize gerek yok, hangi boyuta ihtiyacınız olduğunu gözle kolayca belirleyebilirsiniz.

En küçük brülör- bu 145 milimetre (14,5 santimetre)

Orta ocak- bu 180 milimetredir (18 santimetre).

Ve son olarak en çok büyük brülör- bu 225 milimetredir (22,5 santimetre).

Boyutu gözle belirlemek ve brülöre hangi çapa ihtiyacınız olduğunu anlamak yeterlidir. Bunu bilmediğimde bu boyutlar konusunda endişeleniyordum, nasıl ölçüm yapacağımı, hangi kenarda gezineceğimi vb. bilmiyordum. Artık akıllıyım :) Umarım sana da yardımcı olmuşumdur!

Hayatımda böyle bir sorunla karşılaştım. Sanırım tek ben değilim.

Sorun, f (x) = x 2 4 x 2 - 1 fonksiyonunun grafiğinin yapısıyla birlikte tam olarak incelenmesini gerektiriyorsa, bu prensibi ayrıntılı olarak ele alacağız.

Bu tür bir problemi çözmek için temel temel fonksiyonların özelliklerini ve grafiklerini kullanmalısınız. Araştırma algoritması aşağıdaki adımları içerir:

Tanımın alanını bulma

Fonksiyon tanımı alanında araştırma yapıldığı için bu adımla başlamak gerekir.

örnek 1

Verilen örnek, paydanın sıfırlarını ODZ'den hariç tutmak için bulmayı içerir.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Sonuç olarak kökleri, logaritmaları vb. elde edebilirsiniz. Daha sonra ODZ, g (x) ≥ 0 eşitsizliği ile g (x) 4 türünde çift dereceli bir kök için, g (x) > 0 eşitsizliği ile logaritma log a g (x) için aranabilir.

ODZ'nin sınırlarını incelemek ve dikey asimptotları bulmak

Bu noktalardaki tek taraflı limitler sonsuz olduğunda, fonksiyonun sınırlarında dikey asimptotlar vardır.

Örnek 2

Örneğin, sınır noktalarının x = ± 1 2'ye eşit olduğunu düşünün.

Daha sonra tek taraflı limiti bulmak için fonksiyonu incelemek gerekir. O zaman şunu elde ederiz: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Bu, tek taraflı sınırların sonsuz olduğunu gösterir; bu, x = ± 1 2 düz çizgilerinin grafiğin dikey asimptotları olduğu anlamına gelir.

Bir fonksiyonun incelenmesi ve onun çift mi yoksa tek mi olduğu

y (- x) = y (x) koşulu sağlandığında fonksiyon çift kabul edilir. Bu, grafiğin Oy'a göre simetrik olarak yerleştirildiğini göstermektedir. y (- x) = - y (x) koşulu sağlandığında fonksiyon tek sayı olarak kabul edilir. Bu, simetrinin koordinatların kökenine göre olduğu anlamına gelir. En az bir eşitsizlik sağlanmazsa genel formda bir fonksiyon elde ederiz.

y (- x) = y (x) eşitliği fonksiyonun çift olduğunu gösterir. İnşa ederken Oy'a göre simetri olacağını dikkate almak gerekir.

Eşitsizliği çözmek için sırasıyla f " (x) ≥ 0 ve f " (x) ≤ 0 koşullarıyla artan ve azalan aralıklar kullanılır.

Tanım 1

Sabit noktalar- bunlar türevi sıfıra çeviren noktalardır.

Kritik noktalar- bunlar, fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı tanım bölgesinden gelen iç noktalardır.

Karar verirken aşağıdaki notlar dikkate alınmalıdır:

• f " (x) > 0 formundaki artan ve azalan eşitsizliklerin mevcut aralıkları için kritik noktalar çözüme dahil edilmez;
• fonksiyonun sonlu türevi olmadan tanımlandığı noktalar artan ve azalan aralıklara dahil edilmelidir (örneğin y = x 3, burada x = 0 noktası fonksiyonu tanımlı yapar, türev bu noktada sonsuz değerine sahiptir) nokta, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 artan aralığa dahildir);
• Anlaşmazlıkları önlemek için Milli Eğitim Bakanlığı tarafından önerilen matematik literatürünün kullanılması tavsiye edilir.

Kritik noktaların, fonksiyonun tanım tanım kümesini karşılamaları durumunda, artan ve azalan aralıklara dahil edilmesi.

Tanım 2

İçin Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için bulunması gerekir:

• türev;
• kritik noktalar;
• kritik noktaları kullanarak tanım alanını aralıklara bölmek;
• +'nın bir artış ve -'nin bir azalma olduğu aralıkların her biri için türevin işaretini belirleyin.

Örnek 3

f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 -) tanım kümesindeki türevi bulun 1) 2 .

Çözüm

Çözmek için ihtiyacınız olan:

• durağan noktaları bulun, bu örnekte x = 0;
• paydanın sıfırlarını bulun, örnek x = ± 1 2'de sıfır değerini alır.

Her aralığın türevini belirlemek için sayı eksenine noktalar yerleştiririz. Bunun için aralıktan herhangi bir noktayı alıp hesaplama yapmak yeterlidir. Sonuç pozitif ise grafikte + işareti gösteririz, bu fonksiyonun arttığını, - ise azaldığını gösterir.

Örneğin, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, bu da soldaki ilk aralığın + işaretine sahip olduğu anlamına gelir. Sayı doğrusu üzerinde düşünün.

Cevap:

• fonksiyon - ∞ aralığında artar; - 1 2 ve (- 1 2 ; 0 ] ;
• [ 0 ; 1 2) ve 1 2; + ∞ .

Diyagramda + ve - kullanılarak fonksiyonun pozitifliği ve negatifliği gösterilir, oklar ise azalma ve artışı gösterir.

Bir fonksiyonun ekstrem noktaları, fonksiyonun tanımlandığı ve türevin işaret değiştirdiği noktalardır.

Örnek 4

X = 0 olan bir örneği ele alırsak, o zaman içindeki fonksiyonun değeri f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0'a eşittir. Türevin işareti +'dan -'ye değiştiğinde ve x = 0 noktasından geçtiğinde, koordinatları (0; 0) olan nokta maksimum nokta olarak kabul edilir. İşaret -'den +'ya değiştiğinde minimum bir puan elde ederiz.

Dışbükeylik ve içbükeylik, f "" (x) ≥ 0 ve f "" (x) ≤ 0 formundaki eşitsizliklerin çözülmesiyle belirlenir. Daha az yaygın olarak kullanılan ad, içbükeylik yerine dışbükeylik ve dışbükeylik yerine dışbükeylik adıdır.

Tanım 3

İçin içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarının belirlenmesi gerekli:

• ikinci türevi bulun;
• ikinci türev fonksiyonunun sıfırlarını bulun;
• tanım alanını görünen noktalarla aralıklara bölün;
• aralığın işaretini belirleyiniz.

Örnek 5

Tanım alanından ikinci türevi bulun.

Çözüm

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Pay ve paydanın sıfırlarını buluyoruz; örneğimizde paydanın sıfırları x = ± 1 2

Şimdi sayı doğrusu üzerindeki noktaları çizmeniz ve her aralığın ikinci türevinin işaretini belirlemeniz gerekiyor. Bunu anlıyoruz

Cevap:

• fonksiyon - 1 2 aralığından dışbükeydir; 12;
• fonksiyon - ∞ aralıklarından içbükeydir; - 1 2 ve 1 2; + ∞ .

Tanım 4

Dönüm noktası– bu x 0 biçiminde bir noktadır; f(x0) . Fonksiyonun grafiğine teğet olduğunda, x 0'dan geçtiğinde fonksiyonun işareti ters yönde değişir.

Başka bir deyişle bu, ikinci türevin geçtiği ve işaret değiştirdiği bir noktadır ve noktalarda sıfıra eşittir veya yoktur. Tüm noktalar fonksiyonun tanım kümesi olarak kabul edilir.

Örnekte, ikinci türev x = ± 1 2 noktalarından geçerken işaret değiştirdiğinden, bükülme noktalarının olmadığı açıktı. Bunlar da tanımın kapsamına dahil değildir.

Yatay ve eğik asimptotları bulma

Sonsuzda bir fonksiyon tanımlarken yatay ve eğik asimptotlara bakmanız gerekir.

Tanım 5

Eğik asimptotlar y = k x + b denklemiyle verilen düz çizgiler kullanılarak gösterilir; burada k = lim x → ∞ f (x) x ve b = lim x → ∞ f (x) - k x.

k = 0 ve b sonsuza eşit olmadığı için eğik asimptotun şöyle olduğunu buluruz: yatay.

Başka bir deyişle asimptotlar, bir fonksiyonun grafiğinin sonsuzda yaklaştığı çizgiler olarak kabul edilir. Bu, bir fonksiyon grafiğinin hızlı bir şekilde oluşturulmasını kolaylaştırır.

Asimptot yoksa ancak fonksiyon her iki sonsuzda da tanımlıysa, fonksiyonun grafiğinin nasıl davranacağını anlamak için fonksiyonun bu sonsuzluklardaki limitini hesaplamak gerekir.

Örnek 6

Örnek olarak şunu düşünelim

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

yatay bir asimptottur. Fonksiyonu inceledikten sonra oluşturmaya başlayabilirsiniz.

Bir fonksiyonun değerini ara noktalarda hesaplamak

Grafiği daha doğru hale getirmek için ara noktalarda birkaç fonksiyon değerinin bulunması önerilir.

Örnek 7

İncelediğimiz örnekten, fonksiyonun değerlerini x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 noktalarında bulmak gerekir. Fonksiyon çift olduğundan değerlerin bu noktalardaki değerlerle çakıştığını yani x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 elde ederiz.

Yazalım ve çözelim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Fonksiyonun maksimum ve minimumlarını, dönüm noktalarını ve ara noktaları belirlemek için asimptotların oluşturulması gerekir. Uygun tanımlama için artan, azalan, dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları kaydedilir. Aşağıdaki resme bakalım.

Okları takip ederek asimptotlara yaklaşmanızı sağlayacak grafik çizgilerini işaretli noktalardan çizmek gerekiyor.

Bu, fonksiyonun tam olarak araştırılmasını tamamlar. Geometrik dönüşümlerin kullanıldığı bazı temel fonksiyonların oluşturulma durumları vardır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Çözücü Kuznetsov.
III Grafikleri

Görev 7. Fonksiyonun tam bir incelemesini yapın ve grafiğini oluşturun.

        Seçeneklerinizi indirmeye başlamadan önce, aşağıda seçenek 3 için verilen örneğe göre sorunu çözmeyi deneyin. Seçeneklerden bazıları .rar formatında arşivlenmiştir.

        7.3 Fonksiyonun tam bir incelemesini yapın ve grafiğini çizin

Çözüm.

        1) Tanımın kapsamı:         veya        , yani        .
.
Böylece:         .

        2) Ox ekseni ile hiçbir kesişme noktası yoktur. Aslında         denkleminin çözümü yoktur.
        olduğundan Oy ekseniyle hiçbir kesişme noktası yoktur.

        3) Fonksiyon ne çift ne de tektir. Ordinat ekseninde simetri yoktur. Köken konusunda da simetri yoktur. Çünkü
.
Bunu         ve         olarak görüyoruz.

        4) Fonksiyon tanım bölgesinde süreklidir
.

; .

; .
Sonuç olarak,         noktası ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır (sonsuz süreksizlik).

5) Dikey asimptotlar:       

Eğik asimptotu bulalım        . Burada

;
.
Sonuç olarak yatay bir asimptotumuz var: y=0. Eğik asimptot yoktur.

        6) Birinci türevi bulalım. Birinci türev:
.
Ve bu yüzden
.
Türevin sıfıra eşit olduğu durağan noktaları bulalım, yani
.

        7) İkinci türevi bulalım. İkinci türev:
.
Ve bunu doğrulamak kolaydır, çünkü

Bir fonksiyon nasıl incelenir ve grafiği nasıl oluşturulur?

Öyle görünüyor ki, dünya proletaryasının liderinin, 55 ciltlik toplu eserlerin yazarının ruhsal açıdan anlayışlı yüzünü anlamaya başlıyorum... Uzun yolculuk temel bilgilerle başladı fonksiyonlar ve grafikler ve şimdi emek yoğun bir konu üzerinde çalışmak mantıklı bir sonuçla bitiyor - bir makale fonksiyonun tam bir çalışması hakkında. Uzun zamandır beklenen görev şu şekilde formüle edilmiştir:

Diferansiyel hesap yöntemlerini kullanarak bir fonksiyonu inceleyin ve çalışmanın sonuçlarına göre grafiğini oluşturun

Veya kısacası: fonksiyonu inceleyin ve bir grafik oluşturun.

Neden keşfetmeli? Basit durumlarda temel fonksiyonları anlamak, kullanılarak elde edilen bir grafik çizmek bizim için zor olmayacaktır. temel geometrik dönüşümler ve benzeri. Bununla birlikte, daha karmaşık fonksiyonların özellikleri ve grafiksel gösterimleri açık olmaktan uzaktır, bu nedenle bütün bir çalışmaya ihtiyaç vardır.

Çözümün ana adımları referans materyalinde özetlenmiştir. Fonksiyon çalışma şeması, bu bölüme ilişkin rehberinizdir. Yeni başlayanlar bir konunun adım adım açıklamasına ihtiyaç duyar, bazı okuyucular nereden başlayacaklarını veya araştırmalarını nasıl organize edeceklerini bilmezler ve ileri düzey öğrenciler yalnızca birkaç noktayla ilgilenebilirler. Ancak kim olursanız olun, sevgili ziyaretçi, çeşitli derslere işaret eden önerilen özet sizi hızla ilgilendiğiniz yöne yönlendirecek ve yönlendirecektir. Robotlar gözyaşı döktü =) Kılavuz pdf dosyası olarak hazırlandı ve sayfada hak ettiği yeri aldı Matematiksel formüller ve tablolar.

Bir fonksiyonun araştırmasını 5-6 noktaya ayırmaya alışkınım:

6) Araştırma sonuçlarına dayalı ek noktalar ve grafik.

Nihai eylemle ilgili olarak, herkes için her şeyin açık olduğunu düşünüyorum - birkaç saniye içinde üzerinin çizilip görevin revizyon için geri gönderilmesi çok hayal kırıklığı yaratacaktır. DOĞRU VE DOĞRU BİR ÇİZİM, çözümün ana sonucudur! Analitik hataların “örtülmesi” muhtemeldir, yanlış ve/veya dikkatsiz bir program ise mükemmel yürütülen bir çalışmada bile sorunlara yol açacaktır.

Diğer kaynaklarda araştırma noktalarının sayısının, uygulama sırasının ve tasarım stilinin önerdiğim şemadan önemli ölçüde farklı olabileceği, ancak çoğu durumda oldukça yeterli olduğu unutulmamalıdır. Sorunun en basit versiyonu sadece 2-3 aşamadan oluşur ve şu şekilde formüle edilir: “Türevi kullanarak fonksiyonu araştırın ve bir grafik oluşturun” veya “1. ve 2. türevleri kullanarak fonksiyonu araştırın, bir grafik oluşturun.”

Doğal olarak, eğer kılavuzunuz başka bir algoritmayı detaylı bir şekilde anlatıyorsa ya da öğretmeniniz kesinlikle derslerine uymanızı talep ediyorsa, o zaman çözümde bazı ayarlamalar yapmanız gerekecektir. Elektrikli testere çatalını kaşıkla değiştirmekten daha zor değil.

Çift/tek fonksiyonunu kontrol edelim:

Bunu bir şablon yanıtı takip eder:
Bu, bu fonksiyonun çift ya da tek olmadığı anlamına gelir.

Fonksiyon sürekli olduğu için düşey asimptotları yoktur.

Eğik asimptot da yoktur.

Not : Size şunu hatırlatırım: ne kadar yüksekse büyüme sırası, than , dolayısıyla son sınır tam olarak “ artı sonsuzluk."

Fonksiyonun sonsuzda nasıl davrandığını bulalım:

Başka bir deyişle, sağa gidersek grafik sonsuz yukarıya gider, sola gidersek sonsuz aşağı gider. Evet, tek bir girişte iki limit de bulunmaktadır. İşaretleri çözmekte zorluk yaşıyorsanız lütfen ilgili dersi ziyaret edin. sonsuz küçük fonksiyonlar.

Yani fonksiyon yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil. Hiçbir kırılma noktamızın olmadığı göz önüne alındığında, durum netleşiyor fonksiyon aralığı: – ayrıca herhangi bir gerçek sayı.

FAYDALI TEKNİK TEKNİK

Görevin her aşaması fonksiyonun grafiği hakkında yeni bilgiler getirir bu nedenle çözüm sırasında bir tür LAYOUT kullanılması uygundur. Taslak üzerine Kartezyen koordinat sistemi çizelim. Zaten kesin olarak bilinen nedir? Birincisi, grafiğin asimptotu yoktur, dolayısıyla düz çizgiler çizmeye gerek yoktur. İkinci olarak fonksiyonun sonsuzda nasıl davrandığını biliyoruz. Analize göre ilk yaklaşıklığı çiziyoruz:

Lütfen şunu unutmayın: süreklilik fonksiyonun açık olması ve grafiğin ekseni en az bir kez geçmesi gerektiği gerçeği. Ya da belki birkaç kesişme noktası vardır?

3) Fonksiyonun sıfırları ve sabit işaretli aralıklar.

Öncelikle grafiğin ordinat ekseniyle kesişme noktasını bulalım. Basit. Fonksiyonun değerini şu şekilde hesaplamak gerekir:

Deniz seviyesinden bir buçuk yükseklikte.

Eksenle kesişme noktalarını (fonksiyonun sıfırları) bulmak için denklemi çözmemiz gerekiyor ve işte bizi bekliyor hoş olmayan bir sürpriz:

Sonunda gizlenen özgür bir üye var ve bu da görevi daha da zorlaştırıyor.

Böyle bir denklemin en az bir gerçek kökü vardır ve çoğu zaman bu kök irrasyoneldir. En kötü masalda üç küçük domuz bizi bekliyor. Denklem sözde kullanılarak çözülebilir Cardano formülleri ancak kağıda verilen hasar neredeyse çalışmanın tamamıyla karşılaştırılabilir. Bu bakımdan sözlü olarak veya taslak halinde en az birini seçmeye çalışmak daha akıllıca olacaktır. tüm kök. Bu sayıların olup olmadığını kontrol edelim:
- uygun değil;
- Orada!

Şanslısın burada. Başarısızlık durumunda da test edebilirsiniz ve eğer bu sayılar uymuyorsa, o zaman korkarım ki denklemin karlı bir çözüme ulaşma şansı çok az. O zaman araştırma noktasını tamamen atlamak daha iyidir - belki de son adımda ek noktaların açıklanacağı bir şeyler daha net hale gelecektir. Ve eğer kök(ler) açıkça “kötü” ise, o zaman işaretlerin sabitlik aralıkları konusunda mütevazı bir şekilde sessiz kalmak ve daha dikkatli çizmek daha iyidir.

Ancak güzel bir kökümüz var, bu yüzden polinomu bölüyoruz geri kalanı için:

Bir polinomu bir polinoma bölme algoritması dersin ilk örneğinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Karmaşık Limitler.

Sonuç olarak orijinal denklemin sol tarafı ürüne ayrışır:

Ve şimdi biraz sağlıklı bir yaşam tarzı hakkında. Bunu elbette anlıyorum ikinci dereceden denklemler Her gün çözülmesi gerekiyor ama bugün bir istisna yapacağız: denklem iki gerçek kökü vardır.

Bulunan değerleri sayı doğrusunda çizelim Ve aralık yöntemi Fonksiyonun işaretlerini tanımlayalım:


og Böylece, aralıklarla program yer alıyor
x ekseninin altında ve aralıklarla – bu eksenin üstünde.

Bulgular düzenimizi iyileştirmemize olanak tanıyor ve grafiğin ikinci yaklaşımı şu şekilde görünüyor:

Bir fonksiyonun bir aralıkta en az bir maksimuma ve bir aralıkta en az bir minimuma sahip olması gerektiğini lütfen unutmayın. Ancak programın kaç kez, nerede ve ne zaman döngüye gireceğini henüz bilmiyoruz. Bu arada, bir fonksiyonun sonsuz tane değeri olabilir aşırılıklar.

4) Fonksiyonun artan, azalan ve ekstremum değerleri.

Kritik noktaları bulalım:

Bu denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları sayı doğrusuna koyalım ve türevin işaretlerini belirleyelim:


Bu nedenle fonksiyon artar ve kadar azalır.
Fonksiyonun maksimuma ulaştığı noktada: .
Fonksiyonun minimuma ulaştığı noktada: .

Yerleşik gerçekler şablonumuzu oldukça katı bir çerçeveye oturtuyor:

Diferansiyel hesabın güçlü bir şey olduğunu söylemeye gerek yok. Son olarak grafiğin şeklini anlayalım:

5) Dışbükeylik, içbükeylik ve bükülme noktaları.

İkinci türevin kritik noktalarını bulalım:

İşaretleri tanımlayalım:


Fonksiyonun grafiği üzerinde dışbükey ve üzerinde içbükeydir. Bükülme noktasının koordinatını hesaplayalım: .

Neredeyse her şey netleşti.

6) Daha doğru bir grafik oluşturmanıza ve kendi kendine test yapmanıza yardımcı olacak ek noktalar bulmaya devam ediyor. Bu durumda bunlardan çok azı var, ancak onları ihmal etmeyeceğiz:

Çizimi yapalım:

Yeşil Bükülme noktası işaretlenmiştir ve ek noktalar çarpı işaretiyle işaretlenmiştir. Kübik bir fonksiyonun grafiği, her zaman maksimum ile minimum arasında tam olarak ortada bulunan bükülme noktasına göre simetriktir.

Görev ilerledikçe üç varsayımsal ara çizim hazırladım. Uygulamada, bir koordinat sistemi çizmek, bulunan noktaları işaretlemek ve her araştırma noktasından sonra fonksiyonun grafiğinin nasıl görünebileceğini zihinsel olarak tahmin etmek yeterlidir. Öğrenciler Iyi seviye Hazırlık aşamasında, böyle bir analizi taslağa gerek duymadan sadece zihinde gerçekleştirmek zor olmayacaktır.

Kendiniz çözmek için:

Örnek 2

Fonksiyonu keşfedin ve bir grafik oluşturun.

Burada her şey daha hızlı ve daha eğlenceli, dersin sonundaki nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Kesirli rasyonel fonksiyonların incelenmesi birçok sırrı ortaya çıkarır:

Örnek 3

Bir fonksiyonu incelemek için diferansiyel hesap yöntemlerini kullanın ve çalışmanın sonuçlarına dayanarak grafiğini oluşturun.

Çözüm: Çalışmanın ilk aşaması, tanım alanındaki bir delik dışında dikkate değer hiçbir şeyle ayırt edilmiyor:

1) Fonksiyon nokta hariç tüm sayı doğrusunda tanımlı ve süreklidir, ihtisas: .

Bu, bu fonksiyonun çift ya da tek olmadığı anlamına gelir.

Fonksiyonun periyodik olmadığı açıktır.

Fonksiyonun grafiği, sol ve sağ yarım düzlemde bulunan iki sürekli dalı temsil eder - bu belki de 1. noktanın en önemli sonucudur.

2) Asimptotlar, bir fonksiyonun sonsuzdaki davranışı.

a) Tek taraflı limitler kullanarak, açıkça dikey bir asimptot olması gereken şüpheli bir noktanın yakınındaki fonksiyonun davranışını inceliyoruz:

Aslında işlevler kalıcıdır sonsuz boşluk noktada
ve düz çizgi (eksen) dikey asimptot grafik Sanatları .

b) Eğik asimptotların var olup olmadığını kontrol edelim:

Evet, düz eğik asimptot grafikler varsa.

Fonksiyonun eğik asimptotunu kucakladığı zaten açık olduğundan limitleri analiz etmenin bir anlamı yoktur. yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil.

Çalışmanın ikinci noktası çok şey getirdi önemli bilgi fonksiyon hakkında. Kaba bir taslak çizelim:

1 No'lu Sonuç, sabit işaret aralıklarıyla ilgilidir. "Eksi sonsuz"da fonksiyonun grafiği açıkça x ekseninin altında, "artı sonsuz"da ise bu eksenin üstünde yer alır. Ayrıca tek taraflı limitler bize noktanın hem solunda hem de sağında fonksiyonun sıfırdan büyük olduğunu söylüyordu. Sol yarım düzlemde grafiğin x eksenini en az bir kez geçmesi gerektiğini lütfen unutmayın. Sağ yarı düzlemde fonksiyonun sıfırları olmayabilir.

2 numaralı sonuç, fonksiyonun noktanın soluna doğru artmasıdır (“aşağıdan yukarıya” doğru gider). Bu noktanın sağında fonksiyon azalır (“yukarıdan aşağıya” doğru gider). Grafiğin sağ dalının mutlaka en az bir minimumu olmalıdır. Solda aşırılıklar garanti edilmez.

Sonuç No. 3, noktanın yakınındaki grafiğin içbükeyliği hakkında güvenilir bilgi sağlar. Sonsuzlarda dışbükeylik/içbükeylik hakkında henüz bir şey söyleyemeyiz, çünkü bir doğru hem yukarıdan hem de aşağıdan asimptotuna doğru bastırılabilir. Genel olarak konuşursak, şu anda bunu anlamanın analitik bir yolu var, ancak grafiğin şekli daha sonraki bir aşamada daha net hale gelecektir.

Neden bu kadar çok kelime var? Sonraki araştırma noktalarını kontrol etmek ve hatalardan kaçınmak için! Daha ileri hesaplamalar, çıkarılan sonuçlarla çelişmemelidir.

3) Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları, fonksiyonun sabit işaret aralıkları.

Fonksiyonun grafiği eksenle kesişmez.

Aralık yöntemini kullanarak işaretleri belirleriz:

, Eğer ;
, Eğer .

Bu noktanın sonuçları 1 No'lu Sonuç ile tamamen tutarlıdır. Her aşamadan sonra taslağa bakın, araştırmayı zihinsel olarak kontrol edin ve fonksiyonun grafiğini tamamlayın.

Söz konusu örnekte pay, payda tarafından terim terime bölünür; bu, farklılaşma için çok faydalıdır:

Aslında asimptotları bulurken bu zaten yapıldı.

- kritik nokta.

İşaretleri tanımlayalım:

kadar artar ve azalır

Fonksiyonun minimuma ulaştığı noktada: .

2 No'lu Sonuç ile de herhangi bir tutarsızlık yoktu ve büyük olasılıkla doğru yoldayız.

Bu, fonksiyonun grafiğinin tüm tanım alanı boyunca içbükey olduğu anlamına gelir.

Harika - ve hiçbir şey çizmenize gerek yok.

Hiçbir dönüm noktası yok.

İçbükeylik, Sonuç No. 3 ile tutarlıdır, ayrıca fonksiyonun grafiğinin sonsuzda (hem orada hem de orada) bulunduğunu gösterir. daha yüksek eğik asimptotu.

6) Görevi titizlikle ek puanlarla sabitleyeceğiz. Araştırmadan yalnızca iki noktayı bildiğimiz için burası çok çalışmamız gerekecek.

Ve birçok insanın muhtemelen uzun zaman önce hayal ettiği bir resim:

Görevin yerine getirilmesi sırasında, araştırmanın aşamaları arasında herhangi bir çelişki olmadığından dikkatli bir şekilde emin olmanız gerekir, ancak bazen durum acil, hatta umutsuzca çıkmaza girebilir. Analitikler "akıllı değil" - hepsi bu. Bu durumda acil bir teknik öneriyorum: Grafiğe ait mümkün olduğunca çok nokta buluyoruz (ne kadar sabrımız varsa) ve bunları koordinat düzleminde işaretliyoruz. Bulunan değerlerin grafiksel analizi çoğu durumda size nerede doğrunun nerede yanlış olduğunu söyleyecektir. Ek olarak, grafik bazı programlar kullanılarak, örneğin Excel'de önceden oluşturulabilir (elbette bu, beceri gerektirir).

Örnek 4

Bir fonksiyonu incelemek ve grafiğini oluşturmak için diferansiyel hesap yöntemlerini kullanın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İçinde öz kontrol, fonksiyonun paritesi ile güçlendirilir - grafik eksene göre simetriktir ve araştırmanızda bu gerçekle çelişen bir şey varsa, bir hata arayın.

Çift veya tek bir fonksiyon yalnızca noktasında incelenebilir ve ardından grafiğin simetrisi kullanılabilir. Bu çözüm optimaldir, ancak bence çok sıradışı görünüyor. Şahsen ben sayı doğrusunun tamamına bakıyorum ama yine de sadece sağda ek noktalar buluyorum:

Örnek 5

Fonksiyonun tam bir incelemesini yapın ve grafiğini oluşturun.

Çözüm: işler zorlaştı:

1) Fonksiyon sayı doğrusunda tanımlıdır ve süreklidir: .

Bu, bu fonksiyonun tek olduğu, grafiğinin orijine göre simetrik olduğu anlamına gelir.

Fonksiyonun periyodik olmadığı açıktır.

2) Asimptotlar, bir fonksiyonun sonsuzdaki davranışı.

Fonksiyon sürekli olduğu için düşey asimptotları yoktur.

Üs içeren bir fonksiyon için tipiktir ayırmak"Artı" ve "eksi sonsuzluğun" incelenmesi, ancak grafiğin simetrisi hayatımızı kolaylaştırır - ya hem solda hem de sağda bir asimptot vardır veya yoktur. Dolayısıyla her iki sonsuz limit de tek bir giriş altında yazılabilir. Kullandığımız çözüm sırasında L'Hopital'in kuralı:

Düz çizgi (eksen), grafiğin yatay asimptotudur.

Eğik asimptotu bulmak için tam algoritmadan nasıl kurnazca kaçındığımı lütfen unutmayın: limit tamamen yasaldır ve fonksiyonun sonsuzdaki davranışını netleştirir ve yatay asimptot "sanki aynı anda" keşfedilmiştir.

Süreklilikten ve yatay bir asimptotun varlığından şu sonuç çıkar: fonksiyon Yukarıda sınırlanmış Ve aşağıda sınırlı.

3) Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları, sabit işaret aralıkları.

Burada çözümü de kısaltıyoruz:
Grafik orijinden geçer.

Koordinat eksenleri ile başka kesişme noktası yoktur. Üstelik işaretin değişmezlik aralıkları açıktır ve eksenin çizilmesine gerek yoktur: Bu, fonksiyonun işaretinin yalnızca “x”e bağlı olduğu anlamına gelir:
, Eğer ;
, Eğer .

4) Fonksiyonun artan, azalan, ekstremumları.


- kritik noktalar.

Noktalar olması gerektiği gibi sıfıra yakın simetriktir.

Türevin işaretlerini belirleyelim:


Fonksiyon belirli aralıklarla artar ve aralıklarla azalır

Fonksiyonun maksimuma ulaştığı noktada: .

Mülkiyet nedeniyle (fonksiyonun tuhaflığı) minimumun hesaplanmasına gerek yoktur:

Fonksiyon aralık boyunca azaldığından, grafik açıkça "eksi sonsuz"da bulunur. altında onun asimptotu. Aralık boyunca fonksiyon da azalır, ancak burada tam tersi doğrudur - maksimum noktadan geçtikten sonra çizgi eksene yukarıdan yaklaşır.

Yukarıdakilerden, fonksiyonun grafiğinin "eksi sonsuzda" dışbükey ve "artı sonsuzda" içbükey olduğu sonucu da çıkar.

Bu çalışma noktasından sonra fonksiyon değerlerinin aralığı çizildi:

Eğer herhangi bir noktayı yanlış anlıyorsanız, not defterinize koordinat eksenlerini çizmenizi ve elinizde bir kalemle görevin her sonucunu yeniden analiz etmenizi bir kez daha tavsiye ediyorum.

5) Grafiğin dışbükeyliği, içbükeyliği, kıvrımları.

- kritik noktalar.

Noktaların simetrisi korunur ve büyük olasılıkla yanılmayız.

İşaretleri tanımlayalım:


Fonksiyonun grafiği dışbükeydir ve içbükey .

Aşırı aralıklardaki dışbükeylik/içbükeylik doğrulandı.

Grafikte tüm kritik noktalarda bükülmeler var. Bükülme noktalarının koordinatlarını bulalım ve fonksiyonun tuhaflığını kullanarak hesaplama sayısını azaltalım: