Çevresini bilen ikizkenar üçgenin kenarını nasıl buluruz? Bir üçgenin çevresi ve alanı

Ön bilgi

Bir düzlem üzerindeki herhangi bir düz geometrik şeklin çevresi, tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı olarak tanımlanır. Üçgen de bunun bir istisnası değildir. Öncelikle üçgen kavramını ve kenarlarına göre üçgen türlerini sunuyoruz.

Tanım 1

Birbirine doğru parçalarla bağlanan üç noktadan oluşan geometrik şekle üçgen diyeceğiz (Şekil 1).

Tanım 2

Tanım 1 çerçevesinde noktalara üçgenin köşeleri adını vereceğiz.

Tanım 3

Tanım 1 çerçevesinde segmentlere üçgenin kenarları adı verilecektir.

Açıkçası, herhangi bir üçgenin üç kenarının yanı sıra 3 köşesi olacaktır.

Kenarların birbirleriyle olan ilişkisine bağlı olarak üçgenler çeşitkenar, ikizkenar ve eşkenar olarak ayrılır.

Tanım 4

Kenarlarından hiçbiri diğerine eşit değilse üçgene çeşitkenar adını vereceğiz.

Tanım 5

İki tarafı birbirine eşit ancak üçüncü tarafa eşit değilse üçgene ikizkenar adını vereceğiz.

Tanım 6

Tüm kenarları birbirine eşitse üçgene eşkenar diyeceğiz.

Bu üçgenlerin tüm türlerini Şekil 2'de görebilirsiniz.

Çeşitkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?

Bize kenar uzunlukları $α$, $β$ ve $γ$'a eşit olan bir çeşitkenar üçgen verilsin.

Çözüm:Çeşitkenar üçgenin çevresini bulmak için tüm kenarlarının uzunluklarını toplamanız gerekir.

örnek 1

Çeşitkenar üçgenin çevresini $34$ cm, $12$ cm ve $11$ cm'ye eşit olarak bulun.

$P=34+12+11=57$ cm

Cevap: 57$ cm.

Örnek 2

Bacakları $6$ ve $8$ cm olan dik üçgenin çevresini bulun.

Öncelikle Pisagor teoremini kullanarak bu üçgenin hipotenüslerinin uzunluğunu bulalım. Bunu $α$ ile gösterelim, o zaman

$α=10$ Bir çeşitkenar üçgenin çevresini hesaplama kuralına göre şunu elde ederiz:

$P=10+8+6=24$ cm

Cevap: $24$ bkz.

İkizkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?

Bize bir ikizkenar üçgen verilmiş olsun, kenar uzunlukları $α$, taban uzunluğu ise $β$ olacaktır.

Düz bir geometrik şeklin çevresini belirleyerek şunu elde ederiz:

$P=α+α+β=2α+β$

Çözüm:Çevreyi bulmak için ikizkenar üçgen kenar uzunluğunun iki katını tabanının uzunluğuna eklemeniz gerekir.

Örnek 3

Kenarları 12$ cm ve tabanı 11$ cm olan bir ikizkenar üçgenin çevresini bulun.

Yukarıda tartışılan örnekten şunu görüyoruz:

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Cevap: 35$ cm.

Örnek 4

Tabana çizilen yüksekliği 8$ cm ve tabanı 12$ cm olan bir ikizkenar üçgenin çevresini bulun.

Problem koşullarına göre çizime bakalım:

Üçgen ikizkenar olduğundan, $BD$ aynı zamanda ortancadır, dolayısıyla $AD=6$ cm.

Pisagor teoremini kullanarak $ADB$ üçgeninin yan tarafını buluyoruz. Bunu $α$ ile gösterelim, o zaman

İkizkenar üçgenin çevresini hesaplama kuralına göre, şunu elde ederiz:

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Cevap: $32$ bkz.

Eşkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?

Bize tüm kenarlarının uzunluğu $α$'ya eşit olan bir eşkenar üçgen verilsin.

Düz bir geometrik şeklin çevresini belirleyerek şunu elde ederiz:

$P=α+α+α=3α$

Çözüm: Eşkenar üçgenin çevresini bulmak için üçgenin kenar uzunluğunu $3$ ile çarpın.

Örnek 5

Bir kenarı 12$ cm olan eşkenar üçgenin çevresini bulunuz.

Yukarıda tartışılan örnekten şunu görüyoruz:

$P=3\cdot 12=36$ cm

Çevre, bir şeklin tüm kenarlarının toplamıdır. Bu özellik, alanla birlikte tüm rakamlar için eşit derecede talep görmektedir. Bir ikizkenar üçgenin çevresinin formülü mantıksal olarak özelliklerinden çıkar, ancak formül pratik becerilerin kazanılması ve pekiştirilmesi kadar karmaşık değildir.

Çevre hesaplama formülü

Bir ikizkenar üçgenin yan kenarları birbirine eşittir. Bu tanımdan kaynaklanmaktadır ve şeklin adından bile açıkça görülmektedir. Çevre formülü bu özellikten kaynaklanmaktadır:

P=2a+b, burada b üçgenin tabanı, a ise kenarın değeridir.

Pirinç. 1. İkizkenar üçgen

Formülden çevreyi bulmak için tabanın ve kenarlardan birinin boyutunu bilmenin yeterli olduğu açıktır. Bir ikizkenar üçgenin çevresini bulmak için çeşitli problemleri düşünün. Problemleri karmaşıklıkları arttıkça çözeceğiz, bu da çevreyi bulmak için izlenmesi gereken düşünce biçimini daha iyi anlamamızı sağlayacaktır.

Sorun 1

İkizkenar üçgende taban 6, bu tabana çizilen yükseklik ise 4'tür. Şeklin çevresini bulmak gerekir.

Pirinç. 2. Görev 1 için çizim

Tabana çizilen bir ikizkenar üçgenin yüksekliği aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir. Bu özellik ikizkenar üçgenlerle ilgili problemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır.

Yüksekliği BM olan ABC üçgeni iki dik üçgene bölünmüştür: ABM ve BCM. ABM üçgeninde, BM kenarı biliniyor, BM orta açıortay ve yükseklik olduğundan, AM kenarı ABC üçgeninin tabanının yarısına eşittir. Pisagor teoremini kullanarak AB hipotenüsünün değerini buluyoruz.

$$АВ^2=AM^2+BM^2$$

$$AB=\sqrt(AM^2+BM^2)=\sqrt(3^2+4^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Çevreyi bulalım: P=AC+AB*2=6+5*2=16

Sorun 2

Bir ikizkenar üçgende tabana çizilen yükseklik 10, tabandaki dar açı ise 30 derecedir. üçgenin çevresini bulmanız gerekiyor.

Pirinç. 3. Görev 2 için çizim

Bu görev, üçgenin kenarları hakkında bilgi eksikliği nedeniyle karmaşıktır, ancak yükseklik ve açının değerini bilerek, ABH dik üçgeninde AH ayağını bulabilirsiniz ve ardından çözüm, problemdeki ile aynı senaryoyu izleyecektir. 1.

AH'yi sinüsün değeri üzerinden bulalım:

$$sin (ABH)=(BH\over AB)=(1\over2)$$ - 30 derecenin sinüsü bir tablo değeridir.

İstenilen tarafı ifade edelim:

$$AB=((BH\over (1\over 2))) =BH*2=10*2=20$$

Kotanjantı kullanarak AH'nin değerini buluruz:

$$ctg(BAH)=(AH\BH üzerinden)=(1\fazla\sqrt(3))$$

$$AH=(BH\over\sqrt(3))=10*\sqrt(3)=17.32$$ - elde edilen değeri en yakın yüzde birliğe yuvarlayın.

Temelini bulalım:

AC=AH*2=17,32*2=34,64

Artık gerekli tüm değerler bulunduğuna göre çevreyi belirleyelim:

P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

Sorun 3

ABC ikizkenar üçgeninin alanı $$16\over\sqrt(3)$$'dır ve tabanda 30 derecelik dar bir açı vardır. Üçgenin çevresini bulun.

Koşuldaki değerler çoğunlukla kök ile sayının çarpımı olarak verilir. Bu, sonraki çözümü hatalardan mümkün olduğunca korumak için yapılır. Hesaplamaların sonunda sonucu yuvarlamak daha iyidir

Sorunun bu formülasyonu ile hiçbir çözüm yokmuş gibi görünebilir, çünkü mevcut verilerden taraflardan birini veya yüksekliğini ifade etmek zordur. Bunu farklı şekilde çözmeye çalışalım.

Tabanın yüksekliğini ve yarısını Latin harfleriyle gösterelim: BH=h ve AH=a

O zaman taban şuna eşit olacaktır: AC=AH+HC=AH*2=2a

Alan: $$S=(1\over 2)*AC*BH=(1\over 2)*2a*h=ah$$

Öte yandan h'nin değeri ABH üçgeninden dar açının tanjantı cinsinden ifade edilebilir. Neden teğet? Çünkü ABH üçgeninde zaten iki a ve h kenarını belirledik. Birinin diğeri aracılığıyla ifade edilmesi gerekir. İki bacak birlikte teğet ve kotanjantı birbirine bağlar. Geleneksel olarak kotanjant ve kosinüs yalnızca teğet veya sinüsün uymaması durumunda kullanılır. Bu bir kural değil, nasıl uygunsa öyle karar verebilirsiniz, sadece kabul edilmiştir.

$$tg(BAH)=(h\over(a))=(1\over\sqrt(3))$$

$$h=(a\over\sqrt(3))$$

Ortaya çıkan değeri alan formülünde yerine koyalım.

$$S=a*h=a*(a\over\sqrt(3))=((a^2)\over\sqrt(3))$$

Bir ifade edelim:

$$a=\sqrt(S*\sqrt(3))=\sqrt(16\over\sqrt(3)*\sqrt(3))=\sqrt(16)=4$$

a değerini alan formülünde yerine koyun ve yüksekliğin değerini belirleyin:

$$S=a*h=(16\over\sqrt(3))$$

$$h=(S\over(a))=((16\over\sqrt(3))\over(4))=(4\over\sqrt(3))=2.31$$- elde edilen değer Yuvarlayalım en yakın yüzde birliğe kadar.

Pisagor teoremini kullanarak üçgenin yan tarafını buluruz:

$$AB^2=AH^2+BH^2$$

$$AB=\sqrt(AH^2+BH^2)=\sqrt(4^2+2.31^2)=4.62$$

Değerleri çevre formülünde yerine koyalım:

P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

Ne öğrendik?

Bir ikizkenar üçgenin çevresini bulmanın tüm inceliklerini ayrıntılı olarak anladık. Bir ikizkenar üçgenin çözümüne yönelik tipik problemlerin nasıl çözüldüğünü bir örnekle göstererek, farklı karmaşıklık seviyelerine sahip üç problemi çözdük.

Konuyla ilgili deneme

Makale derecelendirmesi

Ortalama puanı: 4.4. Alınan toplam puan: 83.

Bir üçgenin çevresi her şekilde olduğu gibi tüm kenarların uzunluklarının toplamı denir. Çoğu zaman bu değer alanı bulmaya yardımcı olur veya şeklin diğer parametrelerini hesaplamak için kullanılır.
Bir üçgenin çevresinin formülü şuna benzer:

Bir üçgenin çevresinin hesaplanmasına bir örnek. Kenarları a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm olan bir üçgen verilsin ve verileri aşağıdaki formülde yerine koyun: cm

Çevre hesaplama formülü ikizkenar üçgenşöyle görünecek:

Çevre hesaplama formülü eşkenar üçgen:

Eşkenar üçgenin çevresinin hesaplanmasına bir örnek. Bir şeklin tüm kenarları eşit olduğunda, bunlar basitçe üçle çarpılabilir. verildi diyelim düzgün üçgen bu durumda kenar uzunluğu 5 cm olan: cm

Genel olarak tüm kenarlar verildikten sonra çevreyi bulmak oldukça basittir. Diğer durumlarda eksik tarafın boyutunu bulmanız gerekir. Bir dik üçgende üçüncü tarafı şu şekilde bulabilirsiniz: Pisagor teoremi. Örneğin, bacakların uzunlukları biliniyorsa hipotenüsü aşağıdaki formülü kullanarak bulabilirsiniz:

Sağ ikizkenar üçgenin bacaklarının uzunluğunu bilmemiz koşuluyla, ikizkenar üçgenin çevresini hesaplamanın bir örneğini ele alalım.
Bacakları a =b =5 cm olan bir üçgen verildiğinde çevresini bulun. Öncelikle c'nin eksik tarafını bulalım. santimetre
Şimdi çevreyi hesaplayalım: cm
Dik ikizkenar üçgenin çevresi 17 cm olacaktır.

Bir bacağın hipotenüsünün ve uzunluğunun bilinmesi durumunda, eksik olanı aşağıdaki formülü kullanarak bulabilirsiniz:
Bir dik üçgende hipotenüs ve dar açılardan biri biliniyorsa eksik taraf formül kullanılarak bulunur.

Ön bilgi

Tanım 1

Birbirine doğru parçalarla bağlanan üç noktadan oluşan geometrik şekle üçgen diyeceğiz (Şekil 1).

Tanım 2

Tanım 1 çerçevesinde noktalara üçgenin köşeleri adını vereceğiz.

Tanım 3

Tanım 1 çerçevesinde segmentlere üçgenin kenarları adı verilecektir.

Açıkçası, herhangi bir üçgenin üç kenarının yanı sıra 3 köşesi olacaktır.

Kenarların birbirleriyle olan ilişkisine bağlı olarak üçgenler çeşitkenar, ikizkenar ve eşkenar olarak ayrılır.

Tanım 4

Kenarlarından hiçbiri diğerine eşit değilse üçgene çeşitkenar adını vereceğiz.

Tanım 5

İki tarafı birbirine eşit ancak üçüncü tarafa eşit değilse üçgene ikizkenar adını vereceğiz.

Tanım 6

Tüm kenarları birbirine eşitse üçgene eşkenar diyeceğiz.

Bu üçgenlerin tüm türlerini Şekil 2'de görebilirsiniz.

Çeşitkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?

Bize kenar uzunlukları $α$, $β$ ve $γ$'a eşit olan bir çeşitkenar üçgen verilsin.

Çözüm:Çeşitkenar üçgenin çevresini bulmak için tüm kenarlarının uzunluklarını toplamanız gerekir.

örnek 1

Çeşitkenar üçgenin çevresini $34$ cm, $12$ cm ve $11$ cm'ye eşit olarak bulun.

$P=34+12+11=57$ cm

Cevap: 57$ cm.

Örnek 2

Bacakları $6$ ve $8$ cm olan dik üçgenin çevresini bulun.

Öncelikle Pisagor teoremini kullanarak bu üçgenin hipotenüslerinin uzunluğunu bulalım. Bunu $α$ ile gösterelim, o zaman

$α=10$ Bir çeşitkenar üçgenin çevresini hesaplama kuralına göre şunu elde ederiz:

$P=10+8+6=24$ cm

Cevap: $24$ bkz.

İkizkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?

Bize bir ikizkenar üçgen verilmiş olsun, kenar uzunlukları $α$, taban uzunluğu ise $β$ olacaktır.

Düz bir geometrik şeklin çevresini belirleyerek şunu elde ederiz:

$P=α+α+β=2α+β$

Çözüm: Bir ikizkenar üçgenin çevresini bulmak için, kenarlarının uzunluğunun iki katını tabanının uzunluğuna ekleyin.

Örnek 3

Kenarları 12$ cm ve tabanı 11$ cm olan bir ikizkenar üçgenin çevresini bulun.

Yukarıda tartışılan örnekten şunu görüyoruz:

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Cevap: 35$ cm.

Örnek 4

Tabana çizilen yüksekliği 8$ cm ve tabanı 12$ cm olan bir ikizkenar üçgenin çevresini bulun.

Problem koşullarına göre çizime bakalım:

Üçgen ikizkenar olduğundan, $BD$ aynı zamanda ortancadır, dolayısıyla $AD=6$ cm.

Pisagor teoremini kullanarak $ADB$ üçgeninin yan tarafını buluyoruz. Bunu $α$ ile gösterelim, o zaman

İkizkenar üçgenin çevresini hesaplama kuralına göre, şunu elde ederiz:

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Cevap: $32$ bkz.

Eşkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?

Bize tüm kenarlarının uzunluğu $α$'ya eşit olan bir eşkenar üçgen verilsin.

Düz bir geometrik şeklin çevresini belirleyerek şunu elde ederiz:

$P=α+α+α=3α$

Çözüm: Eşkenar üçgenin çevresini bulmak için üçgenin kenar uzunluğunu $3$ ile çarpın.

Örnek 5

Bir kenarı 12$ cm olan eşkenar üçgenin çevresini bulunuz.

Yukarıda tartışılan örnekten şunu görüyoruz:

$P=3\cdot 12=36$ cm