Dik ve eğik ortogonal tasarım. Ortografik projeksiyon

Yukarıda belirtildiği gibi dik projeksiyon, paralel projeksiyonun özel bir durumudur. Ortogonal projeksiyonda, projeksiyon ışınları projeksiyon düzlemine diktir.

Böyle bir projeksiyonun aparatı bir projeksiyon düzleminden oluşur.

A noktasının dik izdüşümünü elde etmek için, P1'e dik olacak şekilde bir izdüşüm ışınının oradan çekilmesi gerekir. A1 noktasına A noktasının dik veya dikdörtgen izdüşümü denir.

Ortografik projeksiyon elde etmek için bir 1 B 1 bölüm AB, uçağa P1, noktalar aracılığıyla gerekli A Ve İÇİNDE dik çıkıntılı çizgiler çizin P1. Yansıtma çizgileri bir düzlemle kesiştiğinde P1 dik projeksiyonlar elde edeceksiniz 1 Ve 1'DE puan A Ve İÇİNDE. Ortogonal projeksiyonları bağlayarak 1 Ve 1'DE dik bir projeksiyon elde ederiz bir 1 B 1 bölüm AB.

Paralel projeksiyonun tüm özellikleri dik projeksiyon için de geçerlidir. Ancak ortogonal projeksiyonların başka özellikleri de vardır.

Ortografik projeksiyonun özellikleri:
1. Bir parçanın uzunluğu, çıkıntısının uzunluğunun, parçanın projeksiyon düzlemine olan eğim açısının kosinüsüne bölünmesine eşittir.

Düz bir çizgi alalım AB ve dik projeksiyonunu oluşturun bir 1 B 1 uçağa P1. Düz bir çizgi çizerseniz klima || bir 1 B 1, sonra üçgenden ABC bunu takip ediyor |AC| : |AB| = çünkü a veya |AB| = |A 1 B 1 | :çünkü bir, Çünkü |A 1 B 1 | = |AC|.

2. Ek olarak dik projeksiyon için şu geçerli olacaktır: dik açılı projeksiyon teoremi:

Teorem: Dik açının en az bir tarafı projeksiyon düzlemine paralelse ve diğeri ona dik değilse, açı bu düzleme tam boyutlu olarak yansıtılır.

Kanıt:

Doğru açı verildiğinde ABC Koşul gereği düz bir çizgiye sahip olan BC AB Ve Güneş || projeksiyon düzlemleri P1. İnşaat gereği düzdür Güneşçıkıntılı ışına BB 1. Bu nedenle düz Güneş uçağa b (АВхВВ1), çünkü bu düzlemde yer alan kesişen iki doğruya aittir. Duruma göre düz B 1 C 1 || Güneş, dolayısıyla uçağa da B, yani ve doğrudan bir 1 B 1 bu uçak. Bu nedenle çizgiler arasındaki açı bir 1 B 1 Ve B 1 C 1 90°'ye eşittir, kanıtlanması gereken de budur.

Ortogonal projeksiyon, noktaların ortogonal projeksiyonlarını belirlerken geometrik yapıların basitliğini sağlamanın yanı sıra, projeksiyonlarda yansıtılan şeklin şeklini ve boyutlarını koruma yeteneğini de sağlar. Bu avantajlar dik projeksiyonun teknik çizimde yaygın olarak kullanılmasını sağlamıştır.

Dikkate alınan projeksiyon yöntemleri, tanımlayıcı geometrinin doğrudan problemini çözmeyi, yani orijinalden düz bir çizim oluşturmayı mümkün kılar. Bu şekilde elde edilen bir düzlem üzerindeki çıkıntılar, nesnenin şekli ve uzaydaki konumu hakkında eksik bir fikir verir; böyle bir çizimin tersinirlik özelliği yoktur.

Tersine çevrilebilir bir çizim elde etmek için; orijinalin şeklinin, boyutunun ve uzaydaki konumunun tam bir resmini veren bir çizim; tek resimli bir çizim tamamlanmıştır. Eklentiye bağlı olarak farklı çizim türleri vardır.

1. Monge diyagramı veya ortogonal projeksiyonlar. Dik (dikdörtgen) projeksiyon yönteminin özü, orijinalin 2 veya 3 karşılıklı dik projeksiyon düzlemine dik olarak yansıtılması ve daha sonra bunları çizim düzlemiyle birleştirmesidir.
2. Aksonometrik çizim. Aksonometrik çizimin özü, öncelikle orijinalin Kartezyen koordinat sistemine sıkı bir şekilde bağlanmasıdır. OKSİZ, bunu projeksiyon düzlemlerinden birine dik olarak yansıtın OKSİ, veya OXZ. Daha sonra paralel izdüşüm ile elde edilen yapının paralel izdüşümü bulunur: koordinat eksenleri ÖKÜZ, OY, OZ, ikincil projeksiyon ve orijinal.
3. Perspektif çizim. Bir perspektif çizimi oluştururken, önce bir dik projeksiyon oluşturulur ve daha sonra resim düzleminde önceden oluşturulmuş ortografik projeksiyonun merkezi izdüşümü ve orijinalin kendisi bulunur.
4. Sayısal işaretler vb. içeren projeksiyonlar. Sayısal işaretli projeksiyonlar elde etmek için orijinal, sıfır seviye düzlemine dik olarak yansıtılır ve orijinal noktalardan bu düzleme olan mesafe belirtilir.

Dikdörtgen projeksiyonların ve aksonometrik çizimin incelenmesi üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.

Ortogonal projeksiyon, projeksiyon yönü S, projeksiyon düzlemi S   1'e dik (dik) olduğunda paralel projeksiyonun özel bir durumudur (Şekil 1.11).

Pirinç. 1.11. Dik açının ortogonal izdüşümü

Ortogonal projeksiyon, mühendislik uygulamalarında geometrik şekilleri bir düzlemde tasvir etmek için yaygın olarak kullanılmaktadır, çünkü merkezi ve paralel (eğik) projeksiyona göre aşağıdakileri içeren bir takım avantajlara sahiptir:

a) noktaların ortogonal projeksiyonlarını belirlemek için grafik yapıların basitliği;

b) belirli koşullar altında, projeksiyonlarda yansıtılan şeklin şeklini ve boyutunu koruma yeteneği.

Bu avantajlar, özellikle makine mühendisliği çizimlerinin hazırlanmasında dik projeksiyonun teknolojide yaygın olarak kullanılmasını sağlamıştır.

Dik projeksiyon için yukarıda tartışılan dokuz değişmez özelliğin tümü geçerlidir. Ek olarak, yalnızca ortogonal izdüşüm için geçerli olan bir onuncu, değişmez özelliğe daha dikkat etmek gerekir.

10. Dik açının en az bir tarafı projeksiyon düzlemine paralelse, dik açı bu projeksiyon düzlemine bozulma olmadan yansıtılır (Şekil 1.11)

İncirde. Şekil 1.11, her iki tarafı projeksiyon düzlemi  1'e paralel olan bir ABD dik açısını göstermektedir. Değişmez özellik 9.2'ye göre bu açı, distorsiyon olmadan  1 düzlemine yansıtılır, yani A 1 B 1 D 1 =90.

Çıkıntılı kiriş DD 1 üzerinde rastgele bir C noktası alalım, o zaman ortaya çıkan ABC düz olacaktır, çünkü ABBB 1 DD 1 .

Yalnızca bir AB tarafının  1 projeksiyon düzlemine paralel olduğu bu dik açı ABC'nin izdüşümü, A 1 B 1 D 1 dik açısı olacaktır.

Geometrik şekillerden ve bunların izdüşümlerinden bahsederken, bir şeklin izdüşümünün, onun tüm noktalarının izdüşümleri kümesi olduğunu hatırlamak gerekir.

1.6. Üç projeksiyon düzleminden oluşan sistem. Epure Monge.

Tüm uzamsal geometrik şekiller, karşılıklı olarak dik üç koordinat düzleminden oluşan bir sistem olan Kartezyen dikdörtgen koordinat eksenleri sistemine göre yönlendirilebilir (Şekil 1.12).

Pirinç. 1.12. Üç düzlemli projeksiyon sisteminin görüntüsü

Bu koordinat düzlemleri şu şekilde belirlenmiştir:

yatay projeksiyon düzlemi -  1;

projeksiyonların ön düzlemi -  2;

profil projeksiyon düzlemi -  3.

Bu düzlemlerin kesişim çizgileri koordinat eksenlerini oluşturur: apsis ekseni – X; koordinat ekseni – Y; uygulama ekseni – Z. Koordinat eksenlerinin kesişimindeki O noktası, koordinatların orijini olarak alınır ve O harfi ile gösterilir. Eksenlerin pozitif yönleri dikkate alınır: x ekseni için - orijinin soluna. , Y ekseni için -  2 düzleminden izleyiciye doğru, z ekseni için -  1 düzleminden yukarı; Zıt yönler negatif kabul edilir.

Daha fazla akıl yürütmeyi basitleştirmek için, yalnızca çıkıntıların profil düzleminin solunda bulunan uzay kısmını dikkate alacağız  3.

Bu varsayımla, projeksiyonların üç koordinat düzlemi dört uzamsal açı - oktanlar (genel durumda - 8 oktanlar) oluşturur.

Şek. Şekil 1.12'de apsisin X'in yatay projeksiyon düzlemini  1 iki parçaya böldüğü görülebilir: ön yarı  1 (X ve Y eksenleri) ve arka yarı  1 (X ve - Y eksenleri).

X ekseni böler projeksiyonların ön düzlemi 2 ayrıca iki parçaya ayrılır: üst yarı  2 (X ve Z eksenleri) ve alt yarı  2 (X ve - Z eksenleri).

Ordinat eksenleri Y ve uygulanan Z, çıkıntıların profil düzlemini  3 dört parçaya böler:

üst ön kat  3 (Y ve Z eksenleri)

üst arka kat  3 (-Y ve Z eksenleri)

alt ön kat  3 (Y ve –Z eksenleri)

alt arka kat  3. (eksen – Y ve –Z)

Uzamsal koordinat izdüşümü düzlemlerinin düz (iki boyutlu) bir modelini elde etmek için, yatay  1 ve profil  3 düzlemleri ön  2 ile Şekil 2'de oklarla gösterilen sırayla birleştirilir. 1.12.

P
Bu durumda, yatay projeksiyon düzlemi  1, X ekseni etrafında 90 döner ve profil projeksiyon düzlemi  3, Z ekseni etrafında da 90 döner (dönme yönü Şekil 1.12'de gösterilmiştir).

Bu şekilde elde edilen üç projeksiyon düzleminin kombinasyonu (Şekil 1.13), üç uzaysal sistemin düz bir modelidir.

İle

Pirinç. 1.13. A noktasının uzaysal modeli

Uzaysal bir geometrik şeklin düz bir modelini oluşturmak için, noktalarının her biri, daha sonra tek bir düzlemde birleştirilen  1,  2 ve  3 projeksiyon düzlemlerine dik olarak yansıtılır. Bu şekilde elde edilen uzaysal geometrik şeklin düz modeline Monge diyagramı denir.

Birinci oktantta bulunan bir noktanın diyagramını oluşturma sırası.

İncirde. Şekil 1.13, koordinatları (x, y, z) noktanın projeksiyon düzlemlerinden kaldırıldığı mesafeleri gösteren uzaysal bir A noktasını göstermektedir.

D A noktasının dik izdüşümlerini elde etmek için, bu noktadan izdüşüm düzlemine diklerin indirilmesi gerekir.

Bu diklerin projeksiyon düzlemleriyle kesişme noktaları A noktasının projeksiyonlarını oluşturur:

A 1 – noktanın yatay izdüşümü;

A 2 – noktanın önden izdüşümü;

A

Pirinç. 1.14. A noktasının diyagramı

İncirde. 1.14 projeksiyon düzlemleri  1 ve  3 çizim düzlemi ile birleştirilir (projeksiyon düzlemi  2 ile) ve bunlarla birlikte çizim düzlemi ve A noktasının (A 1, A 2, A 3) projeksiyonları ile birleştirilir ve böylece Koordinat düzlemlerinin düzlemsel bir modeli, projeksiyonlar ve uzaysal A noktasının düzlemsel bir modeli - diyagramı elde edilir.

A noktasının projeksiyonlarının diyagram üzerindeki konumu, üç koordinatıyla benzersiz bir şekilde belirlenir (Şekil 1.14).

İncirde. 1.13 ve Şek. 1.14'te, diyagramda noktaların yatay ve ön projeksiyonlarının X eksenine aynı dik üzerinde olduğu kadar ön ve profil projeksiyonlarının da Z eksenine aynı dik üzerinde olduğu açıktır:

A 1 A 2  X, A 2 A 3  Z.

Şekil 1.12'den farklı oktanlarda bulunan noktaların belirli koordinat işaretlerine sahip olduğu açıktır.

Tablo, farklı oktantlarda bulunan noktaların koordinatlarının işaretlerini göstermektedir.

Koordinat işaretleri tablosu

Kendini kontrol etmeye yönelik sorular

Projeksiyon yönteminin ardındaki fikir nedir?

Merkezi projeksiyonun özü nedir ve ana özellikleri nelerdir?

Paralel projeksiyonun özü nedir ve ana özellikleri nelerdir?

Dik (dikdörtgen) projeksiyonun özü nedir?

Dik açılı projeksiyon teoremi nasıl formüle edilir?

10. sınıfta geometri dersi

Önceki derslerden birinde, bir noktanın belirli bir çizgiye paralel belirli bir düzlem üzerine izdüşümü kavramıyla tanıştınız.

Bu derste doğruları ve düzlemleri incelemeye devam edeceksiniz; Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının nasıl olduğunu öğrenin. Bir düzleme dik izdüşüm kavramına aşina olacak ve özelliklerini değerlendireceksiniz. Derste bir noktadan düzleme ve bir noktadan düz çizgiye olan mesafenin, düz çizgi ile düzlem arasındaki açının tanımları verilecektir. Ünlü üç dik teoremi kanıtlanacak.

Ortografik projeksiyon

Bir nokta ve şeklin ortogonal izdüşümü.

Parçanın ortogonal projeksiyonu.

A noktasının dik izdüşümü Belirli bir düzlem üzerine bir noktanın bu düzlem üzerine paralel izdüşümüne denir

bu düzleme dik olan düz bir çizgi. Ortografik projeksiyon

Bir şeklin belirli bir p düzlemi üzerindeki izdüşümleri, bu şeklin tüm noktalarının p düzlemi üzerindeki ortogonal izdüşümlerinden oluşur. Ortografik projeksiyon, özellikle teknik çizimlerde, uzaysal cisimleri bir düzlem üzerinde tasvir etmek için sıklıkla kullanılır. Özellikle yuvarlak gövdelerin keyfi paralel projeksiyonundan daha gerçekçi bir görüntü verir.

Dik ve eğik

p düzlemine ait olmayan, A noktasından bu düzleme dik ve onu B noktasında kesen bir düz çizgi çizilsin.

AB segmenti denir

dik, konunun dışında bırakıldı

Ve bu düzleme ve B noktasının kendisi de bu dikmenin tabanıdır. C'nin olduğu herhangi bir AC segmenti

p düzleminin B'den farklı keyfi bir noktasına eğimli denir

bu uçak.

Bu tanımdaki B noktasının dik olduğuna dikkat edin.

A noktasının ve AC segmentinin izdüşümü - Dik ve eğik. eğik AB'nin dik izdüşümü.

Ortogonal projeksiyonlar sıradan paralel projeksiyonların tüm özelliklerine sahiptir, fakat aynı zamanda bir takım yeni özelliklere de sahiptirler.

Bir noktadan düzleme dik ve birkaç eğimli çizgi çizilsin. O halde aşağıdaki ifadeler doğrudur.

1. Herhangi bir eğik düzlem, eğik düzlemin bu düzleme hem dik hem de dik izdüşümünden daha uzundur.

2. Eşit eğiklerin eşit dik çıkıntıları vardır ve bunun tersi de eşit çıkıntılara sahip eğiklerin de eşittir.

3. Bir eğik diğerinden daha uzundur ancak ve ancak birinci eğiğin dik izdüşümü ikinci eğiğin dik izdüşümünden daha uzunsa.

Ortografik projeksiyonun özellikleri

Kanıt.

A noktasından p düzlemine dik bir AB ve iki eğik çizgi AC ve AD çizilsin; bu durumda BC ve BD bölümleri bu bölümlerin p düzlemine dik izdüşümleridir.

İlk ifadeyi kanıtlayalım: Herhangi bir eğik düzlem, eğik düzlemin bu düzleme hem dik hem de dik izdüşümünden daha uzundur. Örneğin, eğik AC'yi ve AB dikmesinin oluşturduğu ABC üçgenini, bu eğik AC'yi ve onun BC dik izdüşümünü düşünün. Bu üçgen dik açılıdır ve B köşe noktasında dik açılıdır ve planimetriden bildiğimiz gibi her bir bacaktan daha uzun olan hipotenüs AC'dir. ve dik AB ve projeksiyon BC.

A noktasından pi düzlemine dik bir AB ve iki eğik AC ve AD çizilir.

Ortografik projeksiyonun özellikleri

üçgenler

ABC ve ABD

bacak ve hipotenüs eşittir.

Şimdi ikinci ifadeyi kanıtlayacağız: eşit eğiklerin eşit dik izdüşümleri vardır ve bunun tersi de eşit izdüşümlere sahip eğiklerin de eşittir.

ABC ve ABD dik üçgenlerini düşünün. Onlar

ortak bir AB ayağı var. Eğik AC ve AD eşitse, ABC ve ABD dik üçgenlerinin kenar ve hipotenüsleri eşittir ve bu durumda BC = BD olur. Tersine, eğer BC ve BD izdüşümleri eşitse, o zaman aynı üçgenler iki ayak boyunca eşittir ve bu durumda onların hipotenüsleri AC ve AD eşittir.

koşuluyla çelişiyor. Eğer güneş< BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию.

Geriye üçüncü bir olasılık kalıyor: BC > BD. Teorem kanıtlandı.

BC, BD'den büyükse,

o zaman AC kenardan daha büyüktür

AE, AD'ye eşittir.

Benzer görevler:

ABCD eşkenar dörtgeninin AB kenarı a'ya eşittir, açılardan biri 60 derecedir. AB kenarından D noktasına a/2 uzaklıkta bir alfa düzlemi çiziliyor.
a) C noktasından alfa düzlemine olan mesafeyi bulun.
b) DABM doğrusal dihedral açısını şekilde gösterin. M alfaya aittir.
c) Eşkenar dörtgen düzlemi ile alfa düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun.

ABCD eşkenar dörtgeninin AB kenarı a'ya eşittir, açılardan biri 60 derecedir. AB kenarından D noktasına a/2 uzaklıkta bir alfa düzlemi çizilir. a) C noktasından alfa düzlemine olan mesafeyi bulun. b) DABM doğrusal dihedral açısını şekilde gösterin. M alfaya aittir. c) Eşkenar dörtgen düzlemi ile alfa düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun.

ABCD eşkenar dörtgeninin AB kenarı a'ya eşittir ve açılarından biri 60 dereceye eşittir. AB kenarından D noktasına a2 uzaklıkta bir alfa düzlemi çiziliyor.

a) C noktasından alfa düzlemine olan mesafeyi bulun.

b) pl'ye ait olan DABM, M dihedral açısının doğrusal açısını şekilde gösterin. alfa.

c) Eşkenar dörtgen düzlemi ile alfa düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun.