Paydaları farklı olan sayıların bölünmesi. Kesirlerde çarpma ve bölme

1. 1. kesri saniyeye bölmek için böleni bölenin tersi olan bir sayıyla çarpmanız gerekir.

Doğru ve yanlış kesirler için bölme kuralı aşağıdaki gibidir:

Bir kesri bölmek için, bölünenin payını bölenin paydasıyla çarpın ve bölünen paydayı bölenin payıyla çarpın. Birinci ürünü pay olarak, ikinciyi payda olarak alıyoruz.

Bir kesrin bir kesre bölünmesi.

1 oyuklu sıradan bir kesri sıfıra eşit olmayan bir saniyeye bölmek için yapmanız gerekenler:

1. kesrin payını 2. kesrin paydasıyla çarpın ve sonucu elde edilen kesrin payına yazın;
1. kesrin paydasını 2. kesrin payıyla çarpın ve sonucu elde edilen kesrin paydasına yazın.

Başka bir deyişle, kesirlerin bölünmesi çarpmaya gider.

1-çukurlu bir kesri saniyeye bölmek için böleni (1-kuyulu kesir) bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.

Bir kesrin bir sayıya bölünmesi.

Şematik olarak, bir kesri bir doğal sayıya bölmek şöyle görünür:

Bir kesri bir doğal sayıya bölmek için aşağıdaki yöntemi kullanın:

Bir doğal sayıyı, payı sayının kendisine eşit olan ve paydası 1'e eşit olan uygunsuz bir kesir olarak ifade ediyoruz.

Sıradan kesirli sayılar ilk olarak 5. sınıfta okul çocukları ile tanışır ve yaşamları boyunca onlara eşlik eder, çünkü günlük yaşamda genellikle bir nesneyi tamamen değil, ayrı parçalar halinde düşünmek veya kullanmak gerekir. Bu konuyla ilgili çalışmanın başlangıcı - paylaşın. Paylar eşit parçalardır bir nesnenin bölündüğü yer. Ne de olsa, örneğin bir ürünün uzunluğunu veya fiyatını tam sayı olarak ifade etmek her zaman mümkün değildir; herhangi bir önlemin parçalarını veya paylarını hesaba katmak gerekir. "Ezmek" fiilinden oluşan - parçalara bölmek ve Arapça köklere sahip olmak, VIII.Yüzyılda "kesir" kelimesinin kendisi Rusça'da ortaya çıktı.

Temas halinde

Kesirli ifadeler uzun zamandır matematiğin en zor bölümü olarak kabul edilmiştir. 17. yüzyılda matematikte ilk ders kitapları ortaya çıktığında, insanların anlayışında gösterilmesi çok zor olan "kırık sayılar" olarak adlandırıldılar.

Parçaları tam olarak yatay bir çizgiyle ayrılmış olan basit kesirli artıkların modern biçimi, ilk olarak Fibonacci - Leonardo of Pisa tarafından tanıtıldı. Yazıları 1202 tarihlidir. Ancak bu makalenin amacı, farklı paydalara sahip karışık kesirlerin çarpımının nasıl gerçekleştiğini okuyucuya basit ve net bir şekilde açıklamaktır.

Paydaları Farklı Olan Kesirleri Çarpma

Başlangıçta, belirlemek gerekir kesir çeşitleri:

doğru;
yanlış;
karışık.

Ardından, aynı paydalara sahip kesirli sayıların nasıl çarpıldığını hatırlamanız gerekir. Bu sürecin kuralının bağımsız olarak formüle edilmesi kolaydır: basit kesirleri aynı paydalarla çarpmanın sonucu, payı payların çarpımı olan ve payda bu kesirlerin paydalarının çarpımı olan bir kesirli ifadedir. . Yani, aslında, yeni payda başlangıçta var olanlardan birinin karesidir.

çarparken farklı paydalara sahip basit kesirler iki veya daha fazla faktör için kural değişmez:

a/b * c/d = AC / b * d.

Tek fark, kesirli çubuğun altında oluşan sayının farklı sayıların ürünü olacağı ve elbette tek bir sayısal ifadenin karesi olarak adlandırılamayacağıdır.

Örnekleri kullanarak farklı paydalara sahip kesirlerin çarpımını düşünmeye değer:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Örnekler, kesirli ifadeleri azaltmanın yollarını kullanır. Yalnızca paydaki sayıları paydadaki sayılarla azaltabilirsiniz; kesir çubuğunun üstündeki veya altındaki bitişik faktörler azaltılamaz.

Basit kesirli sayılarla birlikte, karışık kesirler kavramı vardır. Karışık bir sayı, bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur, yani bu sayıların toplamıdır:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Çarpma nasıl çalışır?

İncelemek için birkaç örnek verilmiştir.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Örnek, bir sayının şu şekilde çarpmasını kullanır: adi kesirli kısım, bu eylemin kuralını aşağıdaki formülle yazabilirsiniz:

a * b/c = bir*b /c.

Aslında, böyle bir çarpım, özdeş kesirli kalanların toplamıdır ve terim sayısı bu doğal sayıyı gösterir. Özel durum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Bir sayının kesirli bir kalanla çarpımını çözmek için başka bir seçenek daha vardır. Paydayı bu sayıya bölmeniz yeterlidir:

d* e/f = e/f: d.

Payda bir doğal sayıya kalansız veya dedikleri gibi tamamen bölündüğünde bu tekniği kullanmak faydalıdır.

Karışık sayıları yanlış kesirlere dönüştürün ve ürünü daha önce açıklanan şekilde elde edin:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Bu örnek, karışık bir kesri uygunsuz bir kesir olarak göstermenin bir yolunu içerir, aynı zamanda genel bir formül olarak da gösterilebilir:

a bc = a*b+ c / c, burada tamsayı kısmı payda ile çarpılarak ve orijinal kesirli kalanın payına eklenerek yeni kesrin paydası oluşturulur ve payda aynı kalır.

Bu işlem aynı zamanda ters yönde de çalışır. Tamsayı kısmını ve kesirli kalanı seçmek için, yanlış bir kesrin payını paydasına bir "köşe" ile bölmeniz gerekir.

Yanlış kesirlerin çarpımı olağan şekilde üretilir. Giriş tek bir kesir satırının altına girildiğinde, gerektiğinde bu yöntemi kullanarak sayıları azaltmak için kesirleri küçültmeniz gerekir ve sonucu hesaplamak daha kolaydır.

Çeşitli program varyasyonlarında karmaşık matematik problemlerini bile çözmek için internette birçok asistan var. Yeterli sayıda bu tür hizmetler, paydalarda farklı sayılarla kesirlerin çarpımının hesaplanmasında yardım sunar - kesirleri hesaplamak için sözde çevrimiçi hesaplayıcılar. Sadece çarpmayı değil, aynı zamanda sıradan kesirler ve karışık sayılarla diğer tüm basit aritmetik işlemleri de yapabilirler. Onunla çalışmak zor değil, site sayfasında ilgili alanlar dolduruluyor, matematiksel eylemin işareti seçiliyor ve "hesapla" düğmesine basılıyor. Program otomatik olarak sayar.

Kesirli sayılarla aritmetik işlemler konusu, ortaokul ve lise öğrencilerinin eğitimi boyunca geçerlidir. Lisede artık en basit türleri değil, tamsayı kesirli ifadeler, ancak daha önce elde edilen dönüştürme ve hesaplama kuralları bilgisi orijinal haliyle uygulanır. İyi öğrenilmiş temel bilgiler, en karmaşık görevlerin başarılı bir şekilde çözülmesi konusunda tam bir güven verir.

Sonuç olarak, Leo Tolstoy'un şu sözlerinden alıntı yapmak mantıklıdır: “İnsan bir kesirdir. Payını - kendi erdemlerini - artırmak insanın elinde değildir, ancak paydasını - kendisi hakkındaki görüşünü - herkes azaltabilir ve bu azalma ile mükemmelliğine yaklaşır.

) ve payda ile payda (çarpımın paydasını alırız).

Kesir çarpma formülü:

Örneğin:

Pay ve paydaların çarpımına geçmeden önce, kesir azaltma olasılığını kontrol etmek gerekir. Kesri azaltmayı başarırsanız, hesaplamalara devam etmeniz daha kolay olacaktır.

Sıradan bir kesrin bir kesre bölünmesi.

Doğal sayı içeren kesirlerin bölünmesi.

Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplamada olduğu gibi, bir tamsayıyı paydası birim olan bir kesre dönüştürürüz. Örneğin:

Karışık kesirlerin çarpımı.

Kesirleri çarpma kuralları (karma):

karışık kesirleri yanlışa dönüştürmek;
kesirlerin pay ve paydalarını çarpma;
kesri azaltıyoruz;
yanlış bir kesir elde edersek, yanlış kesri karışık bir kesre dönüştürürüz.

Not! Karışık bir kesri başka bir karışık kesirle çarpmak için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine getirmeniz ve ardından adi kesirleri çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmanın ikinci yolu.

İkinci çarpma yöntemini kullanmak daha uygundur. ortak kesir numaraya.

Not! Bir kesri bir doğal sayı ile çarpmak için, kesrin paydasını bu sayıya bölmek ve payı değiştirmeden bırakmak gerekir.

Yukarıdaki örnekten, bir kesrin paydası bir doğal sayıya kalansız bölündüğünde bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.

Çok düzeyli kesirler.

Lisede genellikle üç katlı (veya daha fazla) kesirler bulunur. Örnek:

Böyle bir kesri olağan biçimine getirmek için 2 noktaya bölme kullanılır:

Not! Kesirlerde bölme işlemi yapılırken bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanız karışmak kolaydır.

Not, örneğin:

Biri herhangi bir kesre bölündüğünde, sonuç aynı kesir olur, sadece ters çevrilir:

Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:

1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Kafanızdaki hesaplamalarda kafanızın karışmasındansa, bir taslakta fazladan birkaç satır yazmak daha iyidir.

2. İle görevlerde farklı şekiller kesirler - sıradan kesirler biçimine gidin.

3. Artık azaltmak mümkün olmayana kadar tüm kesirleri azaltırız.

4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 nokta üzerinden bölerek sıradan ifadelere getiriyoruz.

5. Kesri ters çevirerek birimi zihnimizde bir kesre ayırırız.

Kesirlerin nasıl bölüneceğini anlamak için kuralı inceleyelim ve nasıl uygulanacağına dair örneklere bakalım.

Sıradan kesirleri bölme kuralı

İki kesri bölmek için, ilk sayıyı ikinciyle çarpmanız gerekir (yani, ilk kesri ters saniye ile çarparız).

Adi kesirlerin bölünme örnekleri:

Bu kesirleri bölmek için birinci kesri yeniden yazarız ve ikinci kesrin tersini yazarız (bölünen bölenin tersiyle çarparız). Burada hiçbir şey kısaltılamaz.

Bu kesirleri bölmek için ilk sayıyı değiştirmeden yeniden yazarız ve ikincinin tersi ile çarparız: 6 ve 9'u 3'e, 20'yi ve 25'i 5'e. Ortaya çıkan 8/15 kesri düzenli ve indirgenemezdir. Yani bu son cevap.

Birinci kesri değiştirmeden bırakıp ikinci kesrin tersi ile çarpıyoruz. 45 ve 36'yı 9, 65 ve 52'yi 13 azaltıyoruz.

İki eşit sayıyı böldüğümüzde bir elde ederiz, böylece hemen cevabı yazabiliriz.

Kesirleri bölmek için, birinciyi ikincinin tersi ile çarpın. 23 ve 23'ü 23'e, 14'ü ve 7'yi 7'ye indiriyoruz. Payda bir olduğu için cevap bir tam sayıdır.

Bir dahaki sefere bir tamsayıyı kesre nasıl böleceğimize bakacağız.

Geçen sefer kesirleri toplamayı ve çıkarmayı öğrendik ("Kesirlerde toplama ve çıkarma" dersine bakın). Bu eylemlerdeki en zor an, kesirleri ortak bir paydada birleştirmekti.

Şimdi çarpma ve bölme ile uğraşma zamanı. İyi haber şu ki, bu işlemler toplama ve çıkarmadan bile daha kolay. Başlamak için, ayırt edici bir tamsayı kısmı olmayan iki pozitif kesrin olduğu en basit durumu düşünün.

İki kesri çarpmak için paylarını ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız gerekir. İlk sayı yeni kesrin payı, ikincisi payda olacaktır.

İki kesri bölmek için, ilk kesri "ters" saniye ile çarpmanız gerekir.

tanım:

Tanımdan, kesirlerin bölünmesinin çarpmaya indirgendiği anlaşılmaktadır. Bir kesri çevirmek için pay ve paydayı değiştirmeniz yeterlidir. Bu nedenle, dersin tamamında ağırlıklı olarak çarpma işlemini ele alacağız.

Çarpmanın bir sonucu olarak, azaltılmış bir kesir ortaya çıkabilir (ve genellikle ortaya çıkar) - elbette azaltılmalıdır. Tüm indirimlerden sonra kesrin yanlış olduğu ortaya çıkarsa, içinde tüm kısım ayırt edilmelidir. Ancak çarpma ile tam olarak olmayacak olan şey, ortak bir paydaya indirgemedir: çaprazlama yöntemleri, maksimum çarpanlar ve en küçük ortak katlar yoktur.

Tanım olarak elimizde:

Tamsayı kısmı ve negatif kesirler ile kesirlerin çarpımı

Kesirlerde bir tamsayı kısmı varsa, bunlar yanlış olanlara dönüştürülmeli ve ancak o zaman yukarıda belirtilen şemalara göre çarpılmalıdır.

Bir kesrin payında, paydasında veya önünde eksi varsa, aşağıdaki kurallara göre çarpma sınırlarından çıkarılabilir veya tamamen çıkarılabilir:

Artı çarpı eksi eksi verir;
İki olumsuz bir olumlu eder.

Şimdiye kadar bu kurallara sadece negatif kesirler toplanırken ve çıkarılırken, tam kısımdan kurtulmak gerektiğinde karşılaşılıyordu. Bir ürün için, aynı anda birkaç eksiyi "yakmak" için genelleştirilebilirler:

Eksileri tamamen yok olana kadar çiftler halinde çiziyoruz. Aşırı bir durumda, bir eksi hayatta kalabilir - eşleşme bulamayan;
Eksi kalmadıysa işlem tamamlanmıştır - çarpmaya başlayabilirsiniz. Son eksi işaretli değilse, bir çift bulamadığı için çarpma sınırlarının dışına çıkarıyoruz. Negatif bir kesir elde edersiniz.

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Tüm kesirleri uygunsuz olanlara çeviririz ve ardından eksileri çarpma sınırları dışında çıkarırız. Kalan, olağan kurallara göre çarpılır. Biz:

Size bir kez daha hatırlatmama izin verin, tamsayı kısmı vurgulanmış bir kesirden önce gelen eksi, kesrin sadece tamsayı kısmını değil, özellikle tümünü ifade eder (bu son iki örnek için geçerlidir).

Ayrıca negatif sayılara dikkat edin: çarpıldıklarında parantez içine alınırlar. Bu, eksileri çarpma işaretlerinden ayırmak ve tüm gösterimi daha doğru hale getirmek için yapılır.

Anında fraksiyonları azaltmak

Çarpma çok zahmetli bir işlemdir. Buradaki sayılar oldukça büyük ve görevi basitleştirmek için kesri daha da azaltmayı deneyebilirsiniz. çarpmadan önce. Aslında, özünde, kesirlerin payları ve paydaları sıradan faktörlerdir ve bu nedenle, bir kesrin temel özelliği kullanılarak indirgenebilirler. Örneklere bir göz atın:

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Tanım olarak elimizde:

Tüm örneklerde azaltılan sayılar ve onlardan geriye kalanlar kırmızı ile işaretlenmiştir.

Lütfen dikkat: ilk durumda, çarpanlar tamamen azaltılmıştır. Genel olarak konuşursak, ihmal edilebilecek birimler yerinde kaldı. İkinci örnekte, tam bir azalma elde etmek mümkün olmadı, ancak toplam hesaplama miktarı yine de azaldı.

Ancak, kesirleri toplarken ve çıkarırken hiçbir durumda bu tekniği kullanmayın! Evet, bazen azaltmak istediğiniz benzer sayılar olabilir. İşte bak:

Bunu yapamazsın!

Hata, bir kesir eklerken, toplamın sayıların çarpımında değil, kesrin payında görünmesi nedeniyle oluşur. Bu nedenle, bir kesrin ana özelliğini uygulamak imkansızdır, çünkü bu özellikte Konuşuyoruz Sayıları çoğaltmakla ilgili.

Kesirleri azaltmak için başka bir neden yoktur, bu nedenle önceki sorunun doğru çözümü şöyle görünür:

Doğru karar:

Gördüğünüz gibi, doğru cevap o kadar güzel değildi. Genel olarak dikkatli olun.