Bir çözümle çevrimiçi olarak belirli bir integral nasıl bulunur? Belirli integrallerin hesaplanmasına örnekler

Kesin integral. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bu dersimizde belirli integral gibi harika bir şeyi detaylı olarak inceleyeceğiz. Bu sefer tanıtım kısa olacak. Tüm. Çünkü pencerenin dışında kar fırtınası var.

Belirli integralleri nasıl çözeceğinizi öğrenmek için yapmanız gerekenler:

1) Yapabilmek bulmak belirsiz integraller.

2) Yapabilmek hesaplamak kesin integral.

Gördüğünüz gibi belirli bir integralde uzmanlaşmak için "sıradan" belirsiz integraller hakkında oldukça iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir. Bu nedenle, integral hesabına yeni dalmaya başlıyorsanız ve su ısıtıcısı henüz hiç kaynamamışsa, o zaman dersle başlamak daha iyidir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri. Ayrıca pdf kursları da mevcut. ultra hızlı hazırlık- Kelimenin tam anlamıyla bir gününüz varsa, yarım gününüz kaldı.

İÇİNDE Genel görünüm belirli integral şu şekilde yazılır:

Belirsiz integrale ne eklenir? Daha entegrasyonun sınırları.

Entegrasyonun alt sınırı
Entegrasyonun üst sınırı standart olarak harfle gösterilir.
Segment denir entegrasyon bölümü.

Pratik örneklere geçmeden önce belirli integralle ilgili kısa bir SSS.

Belirli bir integrali çözmek ne anlama gelir? Belirli bir integrali çözmek, bir sayıyı bulmak anlamına gelir.

Belirli bir integral nasıl çözülür? Okuldan aşina olduğunuz Newton-Leibniz formülünü kullanarak:

Formülü ayrı bir kağıda yeniden yazmak daha iyidir, tüm ders boyunca gözünüzün önünde olmalıdır.

Çözüm adımları kesin integral aşağıdaki:

1) İlk önce ters türev fonksiyonunu (belirsiz integral) buluyoruz. Belirli integraldeki sabitin eklenmez. Tanım tamamen tekniktir ve dikey çubuğun herhangi bir matematiksel anlamı yoktur; aslında sadece bir işarettir. Kaydın kendisine neden ihtiyaç duyuluyor? Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlık.

2) Üst limitin değerini ters türev fonksiyonunda değiştirin: .

3) Alt limitin değerini terstürev fonksiyonunda değiştirin: .

4) Farkı hesaplıyoruz (hatasız!), yani sayıyı buluyoruz.

Belirli bir integral her zaman var mıdır? Hayır her zaman değil.

Örneğin, entegrasyon segmenti integralin tanım alanına dahil edilmediğinden integral mevcut değildir (aşağıdaki değerler) kare kök negatif olamaz). İşte daha az belirgin bir örnek: . Burada entegrasyon aralığında teğet dayanır sonsuz molalar, noktalarında ve dolayısıyla böyle bir belirli integral de mevcut değildir. Bu arada, öğretim materyalini henüz kim okumadı? Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri– şimdi bunu yapmanın zamanı geldi. Yüksek matematik dersleri boyunca yardımcı olmak harika olacaktır.

Bunun için Belirli bir integralin var olması için, integralin integral aralığında sürekli olması yeterlidir..

Yukarıdakilerden şu sonuç çıkıyor: ilk önemli öneri: HERHANGİ bir belirli integrali çözmeye başlamadan önce, integral fonksiyonunun olduğundan emin olmanız gerekir. entegrasyon aralığında süreklidir. Öğrenciliğimde, zor bir antiderivatif bulmakta uzun süre uğraştığımda defalarca bir olay yaşadım ve sonunda bulduğumda başka bir soru üzerine kafamı karıştırdım: “Ne tür bir saçmalık olduğu ortaya çıktı” ?” Basitleştirilmiş bir versiyonda durum şuna benzer:

???? Negatif sayıları kökün altına koyamazsınız! Bu da nedir böyle?! İlk dikkatsizlik.

Çözmek gerekirse (içinde deneme çalışması, bir test veya sınav sırasında) Size veya gibi bir integral teklif ediliyor, ardından bu belirli integralin bulunmadığına dair bir cevap vermeniz ve nedenini gerekçelendirmeniz gerekiyor.

! Not : ikinci durumda, “kesin” kelimesi atlanamaz çünkü nokta süreksizlikleri olan bir integral birkaç taneye, bu durumda 3 uygunsuz integrale bölünür ve "bu integral yoktur" formülasyonu yanlış olur.

Belirli bir integral negatif bir sayıya eşit olabilir mi? Belki. Ve negatif bir sayı. Ve sıfır. Hatta sonsuzluğa bile dönüşebilir, ama zaten öyle olacak uygunsuz integral Bunlara ayrı bir ders verilmektedir.

Entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırından büyük olabilir mi? Belki de bu durum aslında pratikte ortaya çıkıyor.

– integral Newton-Leibniz formülü kullanılarak kolayca hesaplanabilir.

Yüksek matematik vazgeçilmez olan nedir? Tabii ki, her türlü özellik olmadan. Bu nedenle belirli integralin bazı özelliklerini ele alalım.

Belirli bir integralde işareti değiştirerek üst ve alt limitleri yeniden düzenleyebilirsiniz.:

Örneğin, belirli bir integralde, entegrasyondan önce, entegrasyon sınırlarının "olağan" sıraya göre değiştirilmesi tavsiye edilir:

– bu formda entegre edilmesi çok daha uygundur.

– bu yalnızca iki işlev için değil aynı zamanda herhangi bir sayıda işlev için de geçerlidir.

Belirli bir integralde şu gerçekleştirilebilir: entegrasyon değişkeninin değiştirilmesi ancak belirsiz integralle karşılaştırıldığında bunun kendine has özellikleri vardır ve bunları daha sonra konuşacağız.

Belirli bir integral için aşağıdakiler doğrudur: parça formülüne göre entegrasyon:

örnek 1

Çözüm:

(1) İntegral işaretinden sabiti çıkarıyoruz.

(2) En popüler formülü kullanarak tablo üzerinden entegrasyon yapın . Ortaya çıkan sabitin ayrılıp braketin dışına konulması tavsiye edilir. Bunu yapmak gerekli değildir, ancak tavsiye edilir - neden ekstra hesaplamalar?

. Önce üst limiti, sonra alt limiti değiştiriyoruz. Daha fazla hesaplama yapıyoruz ve nihai cevabı alıyoruz.

Örnek 2

Belirli integrali hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Görevi biraz karmaşıklaştıralım:

Örnek 3

Belirli integrali hesaplayın

Çözüm:

(1) Belirli integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz.

(2) Tüm sabitleri çıkarırken tabloya göre integral alıyoruz - bunlar üst ve alt sınırların ikamesine katılmayacaklar.

(3) Üç terimin her biri için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz:

Belirli integraldeki ZAYIF BAĞLANTI, hesaplama hataları ve yaygın olarak görülen İŞARET KARIŞIKLIKLARI'dır. Dikkat olmak! Üçüncü döneme özellikle dikkat ediyorum: – dikkatsizlikten kaynaklanan hataların sıralamasında ilk sırada yer alır, çoğu zaman otomatik olarak yazarlar (özellikle üst ve alt sınırların değiştirilmesi sözlü olarak yapıldığında ve bu kadar ayrıntılı olarak yazılmadığında). Yukarıdaki örneği bir kez daha dikkatlice inceleyin.

Belirli bir integrali çözmek için dikkate alınan yöntemin tek yöntem olmadığı unutulmamalıdır. Biraz tecrübe ile çözüm önemli ölçüde azaltılabilir. Örneğin ben kendim bu tür integralleri çözmeye alışkınım:

Burada sözlü olarak doğrusallık kurallarını kullandım ve tabloyu kullanarak sözlü olarak bütünleştirdim. Sınırların işaretlendiği tek bir parantezle karşılaştım: (ilk yöntemdeki üç parantezden farklı olarak). Ve “tam” terstürev fonksiyonuna önce 4'ü, sonra -2'yi koyarak yine aklımdaki tüm eylemleri gerçekleştirdim.

Kısa çözümün dezavantajları nelerdir? Hesaplamaların rasyonelliği açısından buradaki her şey pek iyi değil, ama şahsen umurumda değil - ortak kesirler Hesap makinesine güveniyorum.
Ayrıca hesaplamalarda hata yapma riski daha yüksektir, bu nedenle çay öğrencisinin ilk yöntemi kullanması daha iyidir, “benim” çözme yöntemiyle işaret kesinlikle bir yerlerde kaybolacaktır.

Ancak ikinci yöntemin şüphesiz avantajları, çözüm hızı, notasyonun kompaktlığı ve antiderivatifin tek parantez içinde olmasıdır.

Tavsiye: Newton-Leibniz formülünü kullanmadan önce şunu kontrol etmekte fayda var: antiderivatifin kendisi doğru bulundu mu?

Dolayısıyla, ele alınan örnekle ilgili olarak: üst ve alt limitleri ters türev fonksiyonuna koymadan önce, taslakta belirsiz integralin doğru bulunup bulunmadığını kontrol etmeniz önerilir. Ayırt edelim:

Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani belirsiz integral doğru olarak bulunmuştur. Artık Newton-Leibniz formülünü uygulayabiliriz.

Belirli bir integral hesaplanırken böyle bir kontrol gereksiz olmayacaktır..

Örnek 4

Belirli integrali hesaplayın

Bu sizin kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Kısa ve detaylı bir şekilde çözmeye çalışın.

Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme

Belirli bir integral için, belirsiz integral için olduğu gibi her türlü ikame geçerlidir. Bu nedenle, oyuncu değişikliği konusunda pek iyi değilseniz dersi dikkatlice okumalısınız. Belirsiz integralde ikame yöntemi.

Bu paragrafta korkutucu veya zor hiçbir şey yok. Yenilik soruda yatıyor Değiştirirken entegrasyon sınırlarının nasıl değiştirileceği.

Örneklerde sitenin hiçbir yerinde henüz bulunmayan yedek türlerini vermeye çalışacağım.

Örnek 5

Belirli integrali hesaplayın

Buradaki asıl soru belirli integral değil, değiştirmenin doğru şekilde nasıl gerçekleştirileceğidir. Şuna bakalım integral tablosu ve integrand fonksiyonumuzun en çok neye benzediğini bulalım mı? Açıkçası, uzun logaritma için: . Ancak kökün altındaki integral tablosunda ve bizimkilerde - "x" in dördüncü kuvveti arasında bir tutarsızlık var. Değiştirme fikri de akıl yürütmeden kaynaklanmaktadır - dördüncü derecemizi bir şekilde kareye dönüştürmek güzel olurdu. Bu gerçek.

Öncelikle integralimizi değiştirmeye hazırlıyoruz:

Yukarıdaki değerlendirmelerden, oldukça doğal olarak bir değiştirme ortaya çıkar:
Böylece paydada her şey yolunda olacak: .
İntegralin geri kalan kısmının neye dönüşeceğini buluyoruz, bunun için diferansiyeli buluyoruz:

Belirsiz integralde yer değiştirmeyle karşılaştırıldığında ek bir adım ekliyoruz.

Entegrasyonun yeni sınırlarını bulma.

Oldukça basit. Yer değiştirmemize ve eski entegrasyon sınırlarına bakalım.

İlk olarak, yerine koyma ifadesinde integralin alt sınırını, yani sıfırı yerine koyarız:

Daha sonra integralin üst sınırını yerine koyma ifadesine, yani üçün köküne koyarız:

Hazır. Ve sadece...

Çözüme devam edelim.

(1) Değiştirmeye göre yeni integral limitleri olan yeni bir integral yazın.

(2) Bu en basit tablo integralidir, tablo üzerinden integral alıyoruz. Sabiti parantezlerin dışında bırakmak daha iyidir (bunu yapmak zorunda değilsiniz), böylece daha sonraki hesaplamalara engel olmaz. Sağda entegrasyonun yeni sınırlarını gösteren bir çizgi çiziyoruz - bu Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlıktır.

(3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz .

Cevabı en kompakt biçimde yazmaya çalışıyoruz; burada logaritmanın özelliklerini kullandım.

Belirsiz integralin diğer bir farkı da, ikameyi yaptıktan sonra, herhangi bir ters değişiklik yapılmasına gerek yoktur.

Ve şimdi kendiniz karar vermeniz için birkaç örnek. Hangi değişiklikleri yapmanız gerekir - kendi başınıza tahmin etmeye çalışın.

Örnek 6

Belirli integrali hesaplayın

Örnek 7

Belirli integrali hesaplayın

Bunlar kendi başınıza çözebileceğiniz örneklerdir. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.

Ve paragrafın sonunda önemli noktalar analizi site ziyaretçileri sayesinde ortaya çıktı. İlki endişe verici değiştirmenin yasallığı. Bazı durumlarda bu yapılamaz! Böylece, Örnek 6, öyle görünüyor ki, kullanılarak çözülebilir. evrensel trigonometrik ikame ancak entegrasyonun üst sınırı ("pi") dahil değil ihtisas bu teğet ve dolayısıyla bu ikame yasa dışıdır! Böylece, “değiştirme” işlevi sürekli olmalıdır tümünde entegrasyon segmentinin noktaları.

Başka bir e-postada şu soru geldi: "Bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına aldığımızda integralin sınırlarını değiştirmemiz gerekiyor mu?" İlk başta "saçmalığı bir kenara bırakın" ve otomatik olarak "tabii ki hayır" diye cevap vermek istedim ama sonra böyle bir sorunun nedenini düşündüm ve aniden hiçbir bilgi olmadığını keşfettim. yoksun. Ancak her ne kadar açık olsa da çok önemlidir:

Fonksiyonu diferansiyel işaret altına alırsak, integralin sınırlarını değiştirmeye gerek yoktur.! Neden? Çünkü bu durumda yeni değişkene gerçek bir geçiş yok. Örneğin:

Ve burada özetleme, entegrasyonun yeni sınırlarının daha sonra "resmi" ile akademik olarak değiştirilmesinden çok daha uygundur. Böylece, Belirli integral çok karmaşık değilse, fonksiyonu her zaman diferansiyel işaretin altına koymaya çalışın.! Daha hızlıdır, daha kompakttır ve onlarca kez göreceğiniz gibi sıradandır!

Çok teşekkür ederim mektuplarınız için!

Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon yöntemi

Burada daha da az yenilik var. Makalenin tüm hesaplamaları Belirsiz integralde parçalara göre entegrasyon belirli integral için tamamen geçerlidir.
Artı olan tek bir detay var; parçalı integral formülüne integralin sınırları da ekleniyor:

Newton-Leibniz formülünü burada iki kez uygulamak gerekir: çarpım için ve integrali aldıktan sonra.

Örnek olarak yine sitenin hiçbir yerinde henüz bulunmayan integral türünü seçtim. Örnek en basit değil ama çok bilgilendirici.

Örnek 8

Belirli integrali hesaplayın

Karar verelim.

Parçalara göre integral alalım:

İntegral konusunda zorluk yaşayanlar derse bir göz atsın Trigonometrik fonksiyonların integralleri orada ayrıntılı olarak tartışılıyor.

(1) Çözümü parçalı integral formülüne göre yazıyoruz.

(2) Ürün için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz. Geriye kalan integral için doğrusallık özelliklerini kullanarak onu iki integrale bölüyoruz. İşaretlere aldanmayın!

(4) Bulunan iki antiderivatif için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz.

Dürüst olmak gerekirse formülü sevmiyorum. ve mümkünse ... onsuz da yaparım! İkinci çözüme bakalım, benim açımdan daha mantıklı.

Belirli integrali hesaplayın

İlk aşamada belirsiz integrali buluyorum:

Parçalara göre integral alalım:

Antiderivatif fonksiyon bulunmuştur. Bu durumda sabit eklemenin bir anlamı yok.

Böyle bir yürüyüşün avantajı nedir? Entegrasyonun sınırlarını “taşımaya” gerek yok; hatta entegrasyonun sınırlarının küçük sembollerini onlarca kez yazmak yorucu olabilir.

İkinci aşamada kontrol ediyorum(genellikle taslakta).

Ayrıca mantıklı. Antiderivatif fonksiyonu yanlış bulursam belirli integrali de yanlış çözerim. Hemen öğrenmek daha iyi, cevabı farklılaştıralım:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilmiştir, yani antiderivatif fonksiyon doğru olarak bulunmuştur.

Üçüncü aşama Newton-Leibniz formülünün uygulanmasıdır.:

Ve burada önemli bir fayda var! "Benim" çözüm yönteminde, yerine koymalarda ve hesaplamalarda kafa karışıklığı riski çok daha düşüktür; Newton-Leibniz formülü yalnızca bir kez uygulanır. Çaydanlık benzer bir integrali aşağıdaki formülü kullanarak çözerse (ilk olarak), o zaman mutlaka bir yerde hata yapacaktır.

Ele alınan çözüm algoritması herhangi bir belirli integral için uygulanabilir..

Sevgili öğrenci, yazdırın ve kaydedin:

Size karmaşık görünen belirli bir integral verilirse veya bunun nasıl çözüleceği hemen belli değilse ne yapmalısınız?

1) İlk önce belirsiz integrali (antitürev fonksiyonu) buluyoruz. İlk aşamada bir serseri varsa, Newton ve Leibniz ile tekneyi daha fazla sallamanın bir anlamı yok. Tek bir yol var - çözme konusundaki bilgi ve becerilerinizi arttırmak belirsiz integraller.

2) Bulunan antiderivatif fonksiyonu türev alarak kontrol ederiz. Yanlış bulunursa üçüncü adım zaman kaybı olacaktır.

3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz. Tüm hesaplamaları SON DERECE DİKKATLİ bir şekilde yapıyoruz - bu, görevin en zayıf halkasıdır.

Ve atıştırmalık olarak bağımsız çözüm için bir tamamlayıcı.

Örnek 9

Belirli integrali hesaplayın

Çözüm ve cevap yakınlarda bir yerde.

Konuyla ilgili bir sonraki önerilen ders Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanı nasıl hesaplanır?
Parçalara göre integral alalım:

Bunları çözdüğünüzden ve bu yanıtları aldığınızdan emin misiniz? ;-) Ve yaşlı bir kadın için porno var.

İntegralleri çözmek kolay bir iştir, ancak yalnızca seçilmiş birkaç kişi için. Bu makale integralleri anlamayı öğrenmek isteyen ancak onlar hakkında hiçbir şey bilmeyen veya neredeyse hiçbir şey bilmeyenler içindir. İntegral... Neden gerekli? Nasıl hesaplanır? Belirli ve belirsiz integraller nelerdir?

İntegral için bildiğiniz tek kullanım, ulaşılması zor yerlerden yararlı bir şey elde etmek için integral simgesi şeklinde bir tığ işi kanca kullanmaksa, o zaman hoş geldiniz! En basit ve diğer integralleri nasıl çözeceğinizi ve matematikte neden onsuz yapamayacağınızı öğrenin.

Konsepti inceliyoruz « integral »

Entegrasyon Eski Mısır'da biliniyordu. Tabii ki içinde değil modern biçim, ama hala. O zamandan bu yana matematikçiler bu konu üzerine pek çok kitap yazdılar. Özellikle kendilerini öne çıkardılar Newton Ve Leibniz ama şeylerin özü değişmedi.

İntegraller sıfırdan nasıl anlaşılır? Mümkün değil! Bu konuyu anlamak için yine de matematiksel analizin temelleri hakkında temel bilgiye ihtiyacınız olacak. İntegralleri anlamak için gerekli olan bilgiler zaten bloğumuzda mevcut.

Belirsiz integral

Biraz fonksiyonumuz olsun f(x) .

Belirsiz integral fonksiyonu f(x) bu fonksiyon denir F(x) türevi fonksiyona eşit olan f(x) .

Başka bir deyişle, bir integral ters türev veya ters türevdir. Bu arada, makalemizde nasıl olduğunu okuyun.

Tüm sürekli fonksiyonlar için bir antiderivatif mevcuttur. Ayrıca, sabit bir farklılık gösteren fonksiyonların türevleri çakıştığından, antiderivatife sıklıkla sabit bir işaret eklenir. İntegrali bulma sürecine entegrasyon denir.

Basit örnek:

Temel fonksiyonların ters türevlerini sürekli hesaplamamak için bunları bir tabloya koymak ve hazır değerleri kullanmak uygundur.

Öğrenciler için tam integral tablosu

Kesin integral

İntegral kavramıyla uğraşırken sonsuz küçük niceliklerle uğraşıyoruz. İntegral, bir şeklin alanını, düzgün olmayan bir cismin kütlesini, düzensiz hareket sırasında kat edilen mesafeyi ve çok daha fazlasını hesaplamaya yardımcı olacaktır. Bir integralin sonsuz bir toplam olduğu unutulmamalıdır. büyük miktar sonsuz küçük terimler.

Örnek olarak, bir fonksiyonun grafiğini hayal edin.

Bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şeklin alanı nasıl bulunur? İntegral kullanma! Fonksiyonun koordinat eksenleri ve grafiği ile sınırlanan eğrisel yamuğu sonsuz küçük parçalara bölelim. Bu şekilde şekil ince sütunlara bölünecektir. Sütunların alanlarının toplamı yamuğun alanı olacaktır. Ancak böyle bir hesaplamanın yaklaşık bir sonuç vereceğini unutmayın. Ancak segmentler ne kadar küçük ve dar olursa hesaplama da o kadar doğru olacaktır. Bunları uzunluğu sıfıra yakın olacak kadar azaltırsak, bölümlerin alanlarının toplamı şeklin alanına yönelecektir. Bu belirli bir integraldir ve şu şekilde yazılır:

a ve b noktalarına integralin sınırları denir.

« İntegral »

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.

Aptallar için integral hesaplama kuralları

Belirsiz integralin özellikleri

Belirsiz bir integral nasıl çözülür? Burada örnekleri çözerken işinize yarayacak belirsiz integralin özelliklerine bakacağız.

İntegralin türevi integrale eşittir:

Sabit, integral işaretinin altından çıkarılabilir:

Toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir. Bu aynı zamanda fark için de geçerlidir:

Belirli bir integralin özellikleri

Doğrusallık:

İntegral sınırları değiştirilirse integralin işareti değişir:

Şu tarihte: herhangi puan A, B Ve İle:

Belirli bir integralin bir toplamın limiti olduğunu daha önce öğrenmiştik. Ancak bir örneği çözerken belirli bir değer nasıl elde edilir? Bunun için Newton-Leibniz formülü var:

İntegral çözme örnekleri

Aşağıda belirsiz integrali ve çözüm örneklerini ele alacağız. Çözümün inceliklerini kendiniz çözmenizi ve net olmayan bir şey varsa yorumlarda sorular sormanızı öneririz.

Materyali güçlendirmek için integrallerin pratikte nasıl çözüldüğüne dair bir video izleyin. İntegral hemen verilmezse umutsuzluğa kapılmayın. Öğrenciler için profesyonel bir servisle iletişime geçin; kapalı bir yüzey üzerindeki herhangi bir üçlü veya eğri integral sizin gücünüz dahilinde olacaktır.

Matematik adı verilen bilimde integralleri çözme sürecine integral denir. Entegrasyonu kullanarak bazı fiziksel büyüklükleri bulabilirsiniz: alan, hacim, cisimlerin kütlesi ve çok daha fazlası.

İntegraller belirsiz veya belirli olabilir. Belirli integralin biçimini ele alalım ve fiziksel anlamını anlamaya çalışalım. Şu biçimde temsil edilir: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Ayırt edici özellik Belirsiz bir integralin belirli bir integralini yazmanın anlamı, a ve b'nin integral sınırlarının olmasıdır. Şimdi bunlara neden ihtiyaç duyulduğunu ve belirli bir integralin gerçekte ne anlama geldiğini öğreneceğiz. Geometrik anlamda böyle bir integral, f(x) eğrisi, a ve b çizgileri ve Ox ekseni tarafından sınırlanan şeklin alanına eşittir.

Şekil 1'den belirli integralin gri renkle gösterilen alanla aynı olduğu açıktır. Bunu basit bir örnekle kontrol edelim. Aşağıdaki resimdeki şeklin alanını integral kullanarak bulalım ve sonra bunu her zamanki gibi uzunlukla genişliği çarparak hesaplayalım.

Şekil 2'den $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $ olduğu açıktır. Şimdi bunları integralin tanımına koyarsak, şunu elde ederiz: $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Kontrolü her zamanki gibi yapalım. Bizim durumumuzda uzunluk = 3, şeklin genişliği = 1. $$ S = \text(uzunluk) \cdot \text(genişlik) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Yapabildiğiniz gibi bakın her şey mükemmel bir şekilde eşleşiyor.

Soru ortaya çıkıyor: Belirsiz integraller nasıl çözülür ve anlamları nedir? Bu tür integralleri çözmek, antiderivatif fonksiyonları bulmaktır. Bu süreç türevi bulmanın tersidir. Ters türevi bulmak için, matematik problemlerini çözmede yardımımızı kullanabilir veya integrallerin özelliklerini ve en basit temel fonksiyonların entegrasyon tablosunu bağımsız olarak ezberlemeniz gerekir. Bulgu şuna benzer: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(burada) F(x) $, $ f(x)'in terstürevidir, C = const $.

İntegrali çözmek için $ f(x) $ fonksiyonunun bir değişken üzerinden integralini almanız gerekir. Eğer fonksiyon tablo şeklinde ise cevap yazılır. uygun bir biçimde. Değilse, süreç zorlu matematiksel dönüşümler yoluyla $ f(x) $ fonksiyonundan tablo şeklinde bir fonksiyon elde etmeye gelir. Bunun için daha sonra ele alacağımız çeşitli yöntemler ve özellikler vardır.

Şimdi kuklalar için integralleri çözecek bir algoritma oluşturalım mı?

İntegral hesaplama algoritması

Belirli integrali bulalım ya da bulamayalım.
Tanımsızsa, $ f(x) $ integralinin ters türev fonksiyonunu $ F(x) $ bulmanız gerekir. Bunu, $ f(x) $ fonksiyonunun tablosal biçimine yol açan matematiksel dönüşümleri kullanarak bulmanız gerekir.
Tanımlanmışsa, 2. adımı uygulamanız ve ardından $ a $ ve $ b $ limitlerini $ F(x) $ ters türev fonksiyonuna yerleştirmeniz gerekir. Bunu yapmak için hangi formülü kullanmanız gerektiğini “Newton-Leibniz Formülü” yazısında bulacaksınız.

Çözüm örnekleri

Böylece kuklalar için integrallerin nasıl çözüleceğini öğrendiniz, integral çözme örnekleri sıralandı. Fiziksel ve geometrik anlamlarını öğrendik. Çözüm yöntemleri diğer yazılarımızda anlatılacaktır.

>> >> >> Entegrasyon yöntemleri

Temel entegrasyon yöntemleri

İntegralin tanımı, belirli ve belirsiz, integral tablosu, Newton-Leibniz formülü, parçalara göre integral alma, integral hesaplama örnekleri.

Belirsiz integral

u = f(x) ve v = g(x) sürekli olan fonksiyonlar olsun. Daha sonra çalışmaya göre;

d(uv))= udv + vdu veya udv = d(uv) - vdu.

d(uv) ifadesinin terstürevi açıkça uv olacaktır, dolayısıyla formül geçerlidir:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Bu formül kuralı ifade eder Parçalara göre entegrasyon. udv=uv"dx ifadesinin entegrasyonunu vdu=vu"dx ifadesinin entegrasyonuna yönlendirir.

Örneğin ∫xcosx dx'i bulmak istiyorsunuz. u = x, dv = cosxdx koyalım, yani du=dx, v=sinx. Daha sonra

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Parçalara göre entegrasyon kuralı, değişkenlerin ikamesinden daha sınırlı bir kapsama sahiptir. Ancak parçalara göre entegrasyon kullanılarak tam olarak hesaplanan bütün integral sınıfları vardır, örneğin ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax ve diğerleri.

Kesin integral

Entegrasyon yöntemleri Belirli integral kavramı şu şekilde tanıtılmaktadır. Bir f(x) fonksiyonunun bir aralıkta tanımlı olduğunu varsayalım. [a,b] doğru parçasını a= x 0 noktalarına sahip n parçaya bölelim< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x ben =x ben - x i-1. f(ξ i)Δ x i formunun toplamına integral toplam adı verilir ve eğer varsa ve sonluysa λ = maxΔx i → 0'daki limiti denir. kesin integral f(x)'i a'dan b'ye kadar fonksiyonlar ve şöyle gösterilir:

F(ξ i)Δx ben (8.5).

Bu durumda f(x) fonksiyonu çağrılır aralıkta integrallenebilir a ve b sayıları çağrılır integralin alt ve üst limitleri.

Entegrasyon yöntemleri aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Son özellik denir ortalama değer teoremi.

f(x)'in sürekli olmasına izin verin. O zaman bu segmentte belirsiz bir integral var

∫f(x)dx = F(x) + C

ve gerçekleşir Newton-Leibniz formülü, belirli integrali belirsiz integrale bağlamak:

F(b) - F(a). (8.6)

Geometrik yorumlama: yukarıdan y=f(x) eğrisi, x = a ve x = b düz çizgileri ve Ox ekseninin bir parçası ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını temsil eder.

Uygun olmayan integraller

Sonsuz limitli integrallere ve süreksiz (sınırsız) fonksiyonların integrallerine uygunsuz denir. Birinci türden uygunsuz integraller - Bunlar aşağıdaki gibi tanımlanan sonsuz bir aralıktaki integrallerdir:

(8.7)

Bu limit mevcutsa ve sonluysa, buna f(x)'in [a,+ ∞) aralığında yakınsak uygunsuz integrali denir ve f(x) fonksiyonuna [a,+ ∞) sonsuz aralığında integrallenebilir denir. ). Aksi halde integralin var olmadığı veya ıraksadığı söylenir.

(-∞,b] ve (-∞, + ∞) aralıklarındaki uygun olmayan integraller benzer şekilde tanımlanır:

Sınırsız bir fonksiyonun integrali kavramını tanımlayalım. Eğer f(x), f(x)'in sonsuz bir süreksizliğe sahip olduğu c noktası dışındaki parçanın tüm x değerleri için sürekli ise, o zaman ikinci türde uygunsuz integral f(x) a'dan b'ye kadar değişen miktar denir:

eğer bu sınırlar mevcutsa ve sonluysa. Tanım:

İntegral hesaplama örnekleri

Örnek 3.30.∫dx/(x+2)'yi hesaplayın.

Çözüm. t = x+2 diyelim, o zaman dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Örnek 3.31. ∫ tgxdx'i bulun.

Çözüm: ∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. t=cosx olsun, o zaman ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Örnek3.32 . ∫dx/sinx'i bulun

Örnek3.33. Bulmak .

Çözüm. =

Örnek3.34 . ∫arctgxdx'i bulun.

Çözüm. Parçalara göre integral alalım. u=arctgx, dv=dx'i gösterelim. O zaman du = dx/(x 2 +1), v=x, dolayısıyla ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; Çünkü
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Örnek3.35 . ∫lnxdx'i hesaplayın.

Çözüm. Parçalara göre entegrasyon formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. O zaman ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Örnek3.36 . ∫e x sinxdx'i hesaplayın.

Çözüm. Parçalara göre entegrasyon formülünü uygulayalım. u = e x, dv = sinxdx diyelim, o zaman du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx ayrıca kısmi integral alır: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Sahibiz:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx ilişkisini elde ettik, buradan 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Örnek 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x'i hesaplayın.

Çözüm: dx/x = dlnx olduğundan J= ∫cos(lnx)d(lnx) olur. lnx'i t ile değiştirerek J = ∫ maliyetdt = sint + C = sin(lnx) + C integral tablosuna ulaşırız.

Örnek 3.38 . J ='yi hesaplayın.

Çözüm. = d(lnx) olduğunu göz önünde bulundurarak lnx = t yerine koyarız. O halde J = .

Örnek 3.39 . J'yi hesaplayın = .

Çözüm. Sahibiz: . Bu yüzden =

Konsepti inceliyoruz « integral »

Entegrasyon Eski Mısır'da biliniyordu. Elbette modern haliyle değil ama yine de. O zamandan bu yana matematikçiler bu konu üzerine pek çok kitap yazdılar. Özellikle kendilerini öne çıkardılar Newton Ve Leibniz ama şeylerin özü değişmedi.

Belirsiz integral

Biraz fonksiyonumuz olsun f(x) .

Belirsiz integral fonksiyonu f(x) bu fonksiyon denir F(x) türevi fonksiyona eşit olan f(x) .

Başka bir deyişle, bir integral ters türev veya ters türevdir. Bu arada türevlerin nasıl hesaplanacağıyla ilgili yazımızı okuyun.

Basit örnek:

Temel fonksiyonların ters türevlerini sürekli hesaplamamak için bunları bir tabloya koymak ve hazır değerleri kullanmak uygundur.

Öğrenciler için tam integral tablosu

Kesin integral

İntegral kavramıyla uğraşırken sonsuz küçük niceliklerle uğraşıyoruz. İntegral, bir şeklin alanını, düzgün olmayan bir cismin kütlesini, düzensiz hareket sırasında kat edilen mesafeyi ve çok daha fazlasını hesaplamaya yardımcı olacaktır. Bir integralin sonsuz sayıda sonsuz küçük terimin toplamı olduğu unutulmamalıdır.

Örnek olarak, bir fonksiyonun grafiğini hayal edin.

a ve b noktalarına integralin sınırları denir.

« İntegral »

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var. her türlü iş

Aptallar için integral hesaplama kuralları

Belirsiz integralin özellikleri

Belirsiz bir integral nasıl çözülür? Burada örnekleri çözerken işinize yarayacak belirsiz integralin özelliklerine bakacağız.

İntegralin türevi integrale eşittir:

Sabit, integral işaretinin altından çıkarılabilir:

Toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir. Bu aynı zamanda fark için de geçerlidir:

Belirli bir integralin özellikleri

Doğrusallık:

İntegral sınırları değiştirilirse integralin işareti değişir:

Şu tarihte: herhangi puan A, B Ve İle:

Belirli bir integralin bir toplamın limiti olduğunu daha önce öğrenmiştik. Ancak bir örneği çözerken belirli bir değer nasıl elde edilir? Bunun için Newton-Leibniz formülü var:

İntegral çözme örnekleri

Aşağıda belirsiz integrali ve çözüm örneklerini ele alacağız. Çözümün inceliklerini kendiniz çözmenizi ve net olmayan bir şey varsa yorumlarda sorular sormanızı öneririz.