Normal Poisson dağılımı. Poisson Dağılımı

Binom dağılım yasası, sabit büyüklükte bir numunenin alındığı durumlar için geçerlidir. Poisson dağılımı aşağıdaki durumlar için geçerlidir: belirli bir uzunluk, alan, hacim veya zaman boyunca meydana gelen rastgele olayların sayısı, dağılımın belirleyici parametresi ise ortalama olay sayısıdır , örneklem büyüklüğü değil P ve başarı olasılığı R.Örneğin bir numunedeki uygunsuzlukların sayısı veya üretim birimi başına düşen uygunsuzlukların sayısı.

Başarı sayısı için olasılık dağılımı X aşağıdaki forma sahiptir:

Veya ayrık bir rastgele değişken diyebiliriz X Olası değerleri 0,1, 2 ise Poisson yasasına göre dağıtılır, ...t, ...p, ve bu tür değerlerin ortaya çıkma olasılığı aşağıdaki ilişkiyle belirlenir:

Nerede M veya λ Poisson dağılım parametresi adı verilen pozitif bir değerdir.

Poisson yasası "nadiren" meydana gelen olaylara uygulanırken, başka bir başarının (örneğin, bir başarısızlığın) olasılığı sürekli kalır, sabittir ve önceki başarı veya başarısızlıkların sayısına bağlı değildir (zaman zaman). Hakkında konuşuyoruz zamanla gelişen süreçlerle ilgili buna “geçmişten bağımsızlık” denir. Poisson yasasının uygulandığı klasik bir örnek, belirli bir zaman aralığında bir telefon santralindeki telefon aramalarının sayısıdır. Diğer örnekler, özensizce yazılmış bir el yazmasının sayfasındaki mürekkep lekelerinin sayısı veya bir arabanın boyanması sırasında kaportada oluşan lekelerin sayısı olabilir. Poisson dağıtım kanunu kusurlu ürün sayısını değil kusur sayısını ölçer.

Poisson dağılımı, sabit zaman aralıklarında veya uzayın sabit bir bölgesinde meydana gelen rastgele olayların sayısına göre yönetilir.<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ>1 değer P(m)artıyor T maksimum yakınında geçer /

Poisson dağılımının bir özelliği varyansın matematiksel beklentiye eşit olmasıdır. Poisson dağılım parametreleri

M(x) = σ 2 = λ (15)

Poisson dağılımının bu özelliği, matematiksel beklenti ve varyansın örnek değerlerinin yaklaşık olarak eşit olması durumunda, bir rastgele değişkenin deneysel olarak elde edilen dağılımının Poisson dağılımına tabi olduğunu pratikte belirtmemize olanak sağlar.

Nadir olaylar kanunu, makine mühendisliğinde bitmiş ürünlerin seçici kontrolü için kullanılır. teknik özellikler Kabul edilen ürün partisinde belirli bir kusur yüzdesine (genellikle küçük) izin verilir.<<0.1.

A olayının q olasılığı çok küçükse (q≤0,1) ve deneme sayısı büyükse, A olayının n denemede m kez meydana gelme olasılığı şuna eşit olacaktır:

burada λ = M(x) = nq

Poisson dağılımını hesaplamak için aşağıdaki yineleme ilişkilerini kullanabilirsiniz.

Poisson dağılımı istatistiksel kalite güvence yöntemlerinde önemli bir rol oynar çünkü hipergeometrik ve binom dağılımlarına yaklaşmak için kullanılabilir.

Böyle bir yaklaşım, qn'nin sonlu bir limite sahip olması ve q'nun olması koşuluyla kabul edilebilir.<0.1. Когда p →∞, A r → 0, ortalama n r = t = inşaat

Nadir olaylar yasasını kullanarak, n birimlik bir numunenin şunları içerme olasılığını hesaplayabilirsiniz: 0,1,2,3, vb. kusurlu parçalar, ör. m kere verildi. Ayrıca böyle bir numunede m veya daha fazla kusurlu parçanın ortaya çıkma olasılığını da hesaplayabilirsiniz. Olasılıkların eklenmesi kuralına dayanan bu olasılık şuna eşit olacaktır:

örnek 1. Parti, oranı 0,1 olan kusurlu parçalar içeriyor. Sırayla 10 parça alınır ve incelenir, ardından partiye geri gönderilir. testler bağımsızdır. 10 parçayı kontrol ederken bir tanesinin arızalı olma olasılığı nedir?

Çözüm Problem koşullarından q=0.1; n=10; m=1. Açıkçası, p=1-q=0,9.

Elde edilen sonuç, partiye geri gönderilmeden arka arkaya 10 parçanın çıkarıldığı duruma da uygulanabilir. Yeterince büyük bir partiyle, örneğin 1000 parçayla, parçaların çıkarılması olasılığı ihmal edilebilir düzeyde değişecektir. Dolayısıyla bu gibi durumlarda arızalı bir parçanın çıkarılması daha önceki test sonuçlarına bağlı olmayan bir olay olarak değerlendirilebilir.

Örnek 2. Parti %1 oranında kusurlu parça içeriyor. Bir partiden 50 adet ürün numunesi alındığında 0, 1, 2, 3, 4 adet hatalı parça içerme olasılığı nedir?

Çözüm. Burada q=0.01, nq=50*0.01=0.5

Bu nedenle, Poisson dağılımını binomun bir yaklaşımı olarak etkili bir şekilde kullanmak için başarı olasılığının bilinmesi gerekir. Rönemli ölçüde daha azdı Q. A n r = t bir (veya birkaç birim) civarındaydı.

Bu nedenle istatistiksel kalite güvence yöntemlerinde

hipergeometrik yasa her boyuttaki numuneler için uygulanabilir P ve herhangi bir düzeyde uygunsuzluk Q ,

binom yasası ve Poisson yasası n/N şartıyla sırasıyla özel durumlardır<0,1 и

Poisson dağılımı - binom dağılımı durumu test sayısı ne zaman N oldukça büyük ve olasılık P olaylar A küçük ().

Poisson dağılımına nadir olay dağılımı da denir. Örneğin, bir yılda üç veya dört ikizin doğumu, aynı dağılım kanunu, radyoaktif bir maddenin birim zamanda bozunan atomlarının sayısına vb. sahiptir.

Nadir olayların meydana gelme olasılığı Poisson formülü kullanılarak hesaplanır :

,

Nerede M olayın meydana gelme sayısı A;

Poisson dağılımının ortalaması;

e=2,7183 - doğal logaritmanın tabanı.

Poisson yasası bir parametreye bağlıdır - λ (lambda) anlamı şu şekildedir: Poisson yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişkenin hem matematiksel beklentisi hem de varyansıdır.

Poisson dağılımının oluşma koşulları

Poisson dağılımının ortaya çıktığı koşulları ele alalım.

İlk önce, Poisson dağılımı binom dağılımı için sınırlayıcıdır deney sayısı ne zaman N süresiz olarak artar (sonsuza doğru yönelir) ve aynı zamanda olasılık P Bir deneydeki başarı süresiz olarak azalır (sıfıra doğru eğilim gösterir), ancak öyle ki sonuçları n.p. limitte sabit ve eşit kalır λ (lambda):

Matematiksel analizde parametre ile Poisson dağılımının olduğu kanıtlanmıştır. λ = n.p. Deney sayısı fazla olduğunda binom yerine yaklaşık olarak kullanılabilir. Nçok yüksek ve olasılık Pçok küçüktür, yani her bireyin olayı deneyimlemesinde A son derece nadir görülür.

İkincisi, Poisson dağılımı, ilkel (veya sabit Poisson akışı) adı verilen bir olay akışı olduğunda ortaya çıkar. . Olayların akışı, iletişim merkezine çağrıların gelmesi, mağazaya ziyaretçilerin gelmesi, trenlerin tümseğe varması ve benzeri anların dizisidir. Poisson akışı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• durağanlık: oluşma olasılığı M belirli bir zaman dilimindeki olaylar sabittir ve zamanın başlangıcına bağlı değildir, yalnızca zaman diliminin uzunluğuna bağlıdır;
• Sıradanlık: Kısa bir zaman diliminde iki veya daha fazla olayın meydana gelme olasılığı, bir olayın bu süre içinde meydana gelme olasılığına kıyasla ihmal edilebilir düzeydedir;
• sonuç yok: gerçekleşme olasılığı M Belirli bir zaman dilimindeki olayların sayısı, önceki dönemde kaç olayın meydana geldiğine bağlı değildir.

Poisson yasasına göre dağıtılan rastgele değişkenin özellikleri

Poisson yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişkenin özellikleri:

beklenen değer ;

standart sapma ;

dağılım .

MS Excel'de Poisson dağılımı ve hesaplamaları

Poisson olasılık dağılımı P(M) ve integral fonksiyonunun değerleri F(M) MS Excel'in POISSON.DAĞ işlevi kullanılarak hesaplanabilir. İlgili hesaplamanın penceresi aşağıda gösterilmiştir (büyütmek için sol tıklayın).

MS Excel aşağıdaki verileri girmenizi gerektirir:

• X- etkinlik sayısı M;
• ortalama;
• integral - mantıksal değer: 0 - olasılığı hesaplamanız gerekiyorsa P(M) ve 1 - eğer olasılık F(M).

Poisson dağılımıyla örnekleri çözme

Örnek 1. Bir telekomünikasyon şirketinin yöneticisi, belirli bir küçük şehirde beş dakika içinde 0, 1, 2, ... çağrıların alınma olasılığını hesaplamaya karar verdi. Beş dakikalık rastgele aralıklar seçildi, her aralıktaki çağrı sayısı sayıldı ve ortalama çağrı sayısı hesaplandı: .

Beş dakika içinde 6 çağrının alınma olasılığını hesaplayın.

Çözüm. Poisson formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

MS Excel'in POISSON.DAĞ fonksiyonunu kullanarak aynı sonucu elde ederiz (integral değerin değeri 0'dır):

P(6 ) = POISSON.DAĞ(6; 4,8; 0) = 0,1398.

Beş dakika içinde 6'dan fazla çağrı gelmeme olasılığını hesaplayalım (integral değerin değeri 1'dir):

P(≤6 ) = POISSON.DAĞ(6; 4,8; 1) = 0,7908.

Örneği kendiniz çözün ve ardından çözümü görün

Örnek 2.Üretici belirli bir şehre 1000 test edilmiş, yani çalışan TV gönderdi. Taşıma sırasında TV'nin arızalanma olasılığı 0,003'tür. Yani bu durumda Poisson dağılım yasası geçerlidir. Teslim edilen tüm TV'ler arasında aşağıdakilerin arızalı olma olasılığını bulun: 1) iki TV; 2) ikiden az TV.

Örnekleri birlikte çözmeye devam edelim

Örnek 3. Müşteri çağrı merkezine dakikada 0,8 çağrı yoğunluğunda çağrı akışı gelmektedir. 2 dakika içinde: a) tek bir çağrının gelmemesi olasılığını bulun; b) tam olarak bir çağrı gelecek; c) en az bir çağrı gelecektir.

Burada λ, aynı bağımsız denemelerdeki olayların ortalama oluşum sayısına eşittir; λ = n × p, burada p bir denemede bir olayın olasılığıdır, e = 2,71828.

Poisson yasası dağılım serisi şu şekildedir:

N'nin büyük olması ve λ = p n > 10 olması durumunda, Poisson formülü çok kaba bir yaklaşım verir ve P n (m)'yi hesaplamak için Moivre-Laplace'ın yerel ve integral teoremleri kullanılır.

Rastgele değişken X'in sayısal özellikleri

Poisson dağılımının varyansı
D[X] = λ

Örnek No.1. Tohumlar %0,1 oranında yabancı ot içerir. Rastgele 2000 tohum seçildiğinde 5 yabancı ot tohumu bulma olasılığı nedir?
Çözüm.
Olasılık p küçüktür, ancak n sayısı büyüktür. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Beklenen değer: M[X] = λ = 2
Dağılım: D[X] = λ = 2

Örnek No.2. Çavdar tohumları arasında %0,4 oranında yabancı ot tohumları bulunmaktadır. Rastgele 5000 tohumluk bir seçimle yabani otların sayısı için bir dağılım yasası hazırlayın. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
Çözüm. Matematiksel beklenti: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Dağılım: D[X] = λ = 20
Dağıtım kanunu:

Örnek No. 3. Bir telefon santralinde 1/200 olasılıkla yanlış bağlantı meydana gelir. 200 bağlantı arasında aşağıdakilerin meydana gelme olasılığını bulun:
a) tam olarak bir yanlış bağlantı;
b) üçten az hatalı bağlantı;
c) ikiden fazla hatalı bağlantı.
Çözüm. Problemin koşullarına göre olayın olasılığı düşük olduğundan Poisson formülünü (15) kullanıyoruz.
a) Verilen: n = 200, p = 1/200, k = 1. P 200(1)’i bulalım.
Şunu elde ederiz: . O halde P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Verilen: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Elimizde: a = 1.

c) Verilen: n = 200, p = 1/200, k > 2. P 200'ü (k > 2) bulun.
Bu problem daha basit bir şekilde çözülebilir: Ters olayın olasılığını bulun, çünkü bu durumda daha az terim hesaplamanız gerekir. Önceki durumu dikkate aldığımızda,

n'nin yeterince büyük ve p'nin yeterince küçük olduğu durumu düşünün; a'nın bir sayı olduğu np = a'yı koyalım. Bu durumda istenen olasılık Poisson formülüyle belirlenir:

Örnek No. 4. Parçanın kusurlu olma olasılığı 0,005'tir. 400 parça kontrol ediliyor. 3'ten fazla parçanın kusurlu olma olasılığını hesaplamak için bir formül sağlayın.

Örnek No. 5. Seri üretim sırasında kusurlu parçaların ortaya çıkma olasılığı p'dir. N parçadan oluşan bir partinin a) tam olarak üç parça içerme olasılığını belirleyin; b) en fazla üç kusurlu parça.
p=0,001; N = 4500
Çözüm.
Olasılık p küçüktür, ancak n sayısı büyüktür. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Rastgele değişken X'in bir değer aralığı vardır (0,1,2,...,m). Bu değerlerin olasılıkları aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

X'in dağılım serisini bulalım.
Burada λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Bu durumda, N parçadan oluşan bir partinin tam olarak üç parça içerme olasılığı şuna eşittir:

Bu durumda, N parçadan oluşan bir partinin üçten fazla hatalı parça içermeme olasılığı:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Örnek No. 6. Otomatik bir telefon santralı saatte ortalama N çağrı alır. Belirli bir dakika içinde aşağıdakileri alma olasılığını belirleyin: a) tam olarak iki çağrı; b) ikiden fazla çağrı.
N=18
Çözüm.
Bir dakika içinde, otomatik telefon santrali ortalama λ = 18/60 dakika alır. = 0,3
Bir dakika içinde PBX'te rastgele sayıda X çağrının alındığını varsayarsak,
Poisson yasasına uyar, formülü kullanarak istenen olasılığı bulacağız

X'in dağılım serisini bulalım.
Burada λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Belirli bir dakikada tam olarak iki çağrı alma olasılığı:
P(2) = 0,03334
Belirli bir dakikada ikiden fazla çağrı alma olasılığı:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Örnek No. 7. Birbirinden bağımsız çalışan iki unsur ele alınmaktadır. Arızasız çalışma süresi, birinci eleman için λ1 = 0,02 ve ikinci eleman için λ2 = 0,05 parametresiyle üstel bir dağılıma sahiptir. 10 saat içinde: a) her iki elemanın da hatasız çalışacağı olasılığını bulun; b) yalnızca 1 No'lu elemanın 10 saat içinde bozulmama olasılığı:
Karar.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0,02*10 = 0,8187

2 numaralı elemanın 10 saat içinde bozulmama olasılığı:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0,05*10 = 0,6065

a) her iki elemanın da kusursuz çalışacağı;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
b) yalnızca bir eleman arızalanacaktır.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Örnek No. 7. Üretim %1 kusur üretir. Araştırma için alınan 1100 üründen en fazla 17'sinin reddedilme olasılığı nedir?
Not: burada n*p =1100*0.01=11 > 10 olduğundan, kullanılması zorunludur

Pratik olarak önemli birçok uygulamada Poisson dağılımı önemli bir rol oynar. Sayısal ayrık niceliklerin çoğu, aşağıdaki özelliklere sahip bir Poisson sürecinin uygulamalarıdır:

• Rastgele bir deneyin olası sonuçlarının belirli bir aralığında belirli bir olayın kaç kez meydana geldiğiyle ilgileniyoruz. Olası sonuçların alanı bir zaman aralığı, bir bölüm, bir yüzey vb. olabilir.
• Belirli bir olayın olasılığı, olası sonuçların tüm alanları için aynıdır.
• Olası sonuçların bir alanında meydana gelen olayların sayısı, diğer alanlarda meydana gelen olayların sayısından bağımsızdır.
• Belirli bir olayın olası sonuçların olduğu aynı alanda birden fazla meydana gelme olasılığı, olası sonuçların alanı azaldıkça sıfıra doğru yönelir.

Poisson sürecinin anlamını daha iyi anlamak için, öğle yemeği sırasında merkezi iş bölgesinde bulunan bir banka şubesini ziyaret eden müşterilerin sayısını incelediğimizi varsayalım. saat 12'den 13'e kadar. Bir dakika içinde gelen müşteri sayısını belirlemek istediğinizi varsayalım. Bu durum yukarıda sıralanan özelliklere sahip mi? Birincisi, bizi ilgilendiren olay bir müşterinin gelişidir ve olası sonuçların aralığı bir dakikalık aralıktır. Bir dakika içinde bankaya kaç müşteri gelecek - hiçbiri mi, bir mi, iki mi yoksa daha fazla mı? İkinci olarak, bir müşterinin bir dakika içinde gelme olasılığının tüm bir dakikalık aralıklar için aynı olduğunu varsaymak mantıklıdır. Üçüncüsü, herhangi bir dakikalık aralıkta bir müşterinin gelişi, herhangi bir diğer bir dakikalık aralıkta başka bir müşterinin gelişinden bağımsızdır. Ve son olarak, zaman aralığının sıfıra yaklaşması örneğin 0,1 saniyenin altına düşmesi durumunda bankaya birden fazla müşterinin gelme olasılığı da sıfıra yaklaşır. Yani öğle yemeği sırasında bir dakika içinde bankaya gelen müşteri sayısı Poisson dağılımı ile açıklanmaktadır.

Poisson dağılımının, λ (Yunanca "lambda" harfi) sembolüyle gösterilen bir parametresi vardır - belirli bir bölgedeki olası sonuçların ortalama başarılı deneme sayısı. Poisson dağılımının varyansı da λ, standart sapması ise . Başarılı denemelerin sayısı X Poisson rastgele değişkeni 0'dan sonsuza kadar değişir. Poisson dağılımı aşağıdaki formülle tanımlanır:

Nerede P(X)- olasılık X başarılı denemeler, λ - beklenen başarı sayısı, e- doğal logaritma tabanı 2,71828'e eşit, X- birim zaman başına başarı sayısı.

Örneğimize dönelim. Diyelim ki öğle tatilinde bankaya dakikada ortalama üç müşteri geliyor. Belirli bir anda iki müşterinin bankaya gelme olasılığı nedir? Bankaya ikiden fazla müşterinin gelme olasılığı nedir?

Formül (1)'i λ = 3 parametresi ile uygulayalım. O zaman iki müşterinin belirli bir dakika içinde bankaya gelme olasılığı şuna eşittir:

Bankaya ikiden fazla müşterinin gelme olasılığı P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) değerine eşittir. Tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olması gerektiğinden formülün sağ tarafındaki serinin terimleri X ≤ 2 olayına eklenme olasılığını temsil etmektedir. Yani bu serinin toplamı 1'e eşittir – P(X ≤ 2). Böylece, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Şimdi formül (1)'i kullanarak şunu elde ederiz:

Yani bir dakika içinde bankaya ikiden fazla müşterinin gelme olasılığı 0,423 (veya %42,3), bir dakika içinde ikiden fazla müşterinin bankaya gelme olasılığı ise 0,577 (veya %57,7) olmaktadır.

Bu tür hesaplamalar, özellikle λ parametresi yeterince büyükse sıkıcı görünebilir. Karmaşık hesaplamalardan kaçınmak için birçok Poisson olasılığı özel tablolarda bulunabilir (Şekil 1). Örneğin, ortalama olarak dakikada üç müşteri bankaya geliyorsa, belirli bir dakikada iki müşterinin bankaya gelme olasılığı çizginin kesişim noktasındadır. X= 2 ve λ sütunu = 3. Böylece 0,2240 veya %22,4'e eşit olur.

Pirinç. 1. λ = 3'te Poisson olasılığı

Günümüzde =POISSON.DIST() işlevine sahip Excel elinizin altındaysa herhangi birinin tabloları kullanması pek olası değildir (Şekil 2). Bu fonksiyonun üç parametresi vardır: başarılı denemelerin sayısı X, ortalama beklenen başarılı deneme sayısı λ, parametre İntegral, iki değer alarak: YANLIŞ – bu durumda başarılı deneme sayısının olasılığı hesaplanır X(Yalnızca X), DOĞRU – bu durumda başarılı deneme sayısının 0'dan 0'a kadar olan olasılığı X.

Pirinç. 2. λ = 3'teki Poisson dağılımının olasılıklarının Excel'de hesaplanması

Poisson dağılımını kullanarak binom dağılımının yaklaşımı

eğer sayı N büyük ve sayı R- küçükse, binom dağılımına Poisson dağılımı kullanılarak yaklaşılabilir. Sayı ne kadar yüksek olursa N ve daha az sayı R yaklaşım doğruluğu ne kadar yüksek olursa. Binom dağılımına yaklaşmak için aşağıdaki Poisson modeli kullanılır.

Nerede P(X)- olasılık X ile başarı verilen parametreler N Ve R, N- örnek boyut, R- gerçek başarı olasılığı, e- doğal logaritmanın tabanı, X- örnekteki başarı sayısı (X = 0, 1, 2,…, N).

Teorik olarak Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişken 0'dan ∞'a kadar değerler alır. Bununla birlikte, binom dağılımına yaklaşmak için Poisson dağılımının kullanıldığı durumlarda, Poisson rastgele değişkeni, aralarındaki başarıların sayısıdır. N gözlemler - sayıyı aşamaz N. Formül (2)'den, sayıların artmasıyla şu sonucu çıkar: N ve sayının azalması R tespit olasılığı çok sayıda başarı oranı azalıyor ve sıfıra yaklaşıyor.

Yukarıda bahsedildiği gibi Poisson dağılımının µ beklentisi ve varyansı σ 2 λ'ya eşittir. Bu nedenle, Poisson dağılımını kullanarak binom dağılımını tahmin ederken, matematiksel beklentiyi tahmin etmek için formül (3) kullanılmalıdır.

(3) µ = E(X) = λ =n.p.

Standart sapmaya yaklaşmak için formül (4) kullanılır.

Formül (4) kullanılarak hesaplanan standart sapmanın, başarı olasılığı göz önüne alındığında binom modelindeki standart sapmaya eğilimli olduğunu unutmayın. P sıfıra eğilimlidir ve buna bağlı olarak başarısızlık olasılığı 1 – s birlik olma eğilimindedir.

Belirli bir tesiste üretilen lastiklerin %8'inin arızalı olduğunu varsayalım. Binom dağılımına yaklaşmak amacıyla Poisson dağılımının kullanımını göstermek için, 20 lastikten oluşan bir örnekte kusurlu bir lastik bulma olasılığını hesaplayalım. Formül (2)'yi uygulayalım, şunu elde edelim

Eğer yaklaşık değeri yerine gerçek binom dağılımını hesaplayacak olsaydık aşağıdaki sonucu elde ederdik:

Ancak bu hesaplamalar oldukça sıkıcıdır. Ancak olasılıkları hesaplamak için Excel'i kullanırsanız Poisson dağılımı yaklaşımını kullanmak gereksiz hale gelir. İncirde. Şekil 3, Excel'deki hesaplamaların karmaşıklığının aynı olduğunu göstermektedir. Ancak bu bölümün bazı koşullar altında binom dağılımı ile Poisson dağılımının benzer sonuçlar verdiğini anlamak açısından faydalı olduğunu düşünüyorum.

Pirinç. 3. Excel'deki hesaplamaların karmaşıklığının karşılaştırılması: (a) Poisson dağılımı; (b) binom dağılımı

Dolayısıyla, bu ve önceki iki notta üç farklı sayısal dağılım dikkate alınmıştır: , ve Poisson. Bu dağılımların birbirleriyle nasıl ilişkili olduğunu daha iyi anlamak için şunları sunuyoruz: küçük ağaç sorular (Şekil 4).

Pirinç. 4. Ayrık olasılık dağılımlarının sınıflandırılması

Levin ve arkadaşlarının Yönetici İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmıştır. – M.: Williams, 2004. – s. 320–328