Algebarski niz. Kako pronaći zbir aritmetičke progresije: formule i primjer njihove upotrebe

Matematika ima svoju ljepotu, baš kao i slikarstvo i poezija.

Ruski naučnik, mehaničar N.E. Zhukovsky

Problemi vezani za pojam aritmetičke progresije vrlo su česti problemi na prijemnim ispitima iz matematike. Za uspješno rješavanje takvih problema potrebno je dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.

Prvo se prisjećamo glavnih svojstava aritmetičke progresije i predstavljamo najvažnije formule, vezano za ovaj koncept.

Definicija. Redoslijed brojeva, u kojem se svaki naredni pojam razlikuje od prethodnog za isti broj, zove se aritmetička progresija. Štaviše, brojnazvana razlika u progresiji.

Za aritmetičku progresiju važe sljedeće formule

, (1)

gdje. Formula (1) se naziva formulom za opći pojam aritmetičke progresije, a formula (2) je glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije podudara se s aritmetičkom sredinom susjednih članova i.

Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva razmatrana progresija naziva "aritmetička".

Gore navedene formule (1) i (2) generaliziraju se na sljedeći način:

(3)

Da biste izračunali iznos prvi članovi aritmetičke progresijeobično se primjenjuje formula

(5) gdje i.

Uzimajući u obzir formulu (1), onda formula (5) implicira

Ako označimo, onda

gdje . Budući da su formule (7) i (8) generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).

Posebno, formula (5) implicira, šta

Svojstvo aritmetičke progresije, formulisano pomoću sljedeće teoreme, je među malo poznatima većini studenata.

Teorema. Ako onda

Dokaz. Ako onda

Teorema je dokazana.

Na primjer , koristeći teoremu, može se pokazati da

Prijeđimo na razmatranje tipičnih primjera rješavanja problema na temu "Aritmetička progresija".

Primjer 1. Neka i. Find.

Rešenje. Primjenom formule (6) dobijamo. Od i, onda ili.

Primjer 2. Neka to bude tri puta više, a dijeljenjem s u količniku dobijemo 2, a ostatak 8. Odredimo i.

Rešenje. Uslov primjera implicira sistem jednačina

Pošto, i, onda iz sistema jednačina (10) dobijamo

Rješenje ovog sistema jednadžbi je i.

Primjer 3. Pronađite ako i.

Rešenje. Prema formuli (5) imamo ili. Međutim, korištenjem svojstva (9) dobivamo.

Od i, tada iz jednakosti sledi jednačina ili.

Primjer 4. Pronađi ako.

Rešenje.Po formuli (5) imamo

Međutim, koristeći teoremu, može se pisati

Iz ovoga i formule (11) dobijamo.

Primjer 5. Dato:. Find.

Rešenje. Od tada. Međutim, stoga.

Primjer 6. Neka, i. Pronađite .

Rešenje. Koristeći formulu (9), dobivamo. Stoga, ako, tada ili.

Od i, onda ovdje imamo sistem jednadžbi

Rešavajući koje, dobijamo i.

Prirodni korijen jednadžbe je .

Primjer 7. Pronađite ako i.

Rešenje. Budući da po formuli (3) to imamo, tada izjava o problemu podrazumijeva sistem jednadžbi

Ako zamijenite izrazu drugu jednačinu sistema, tada dobijamo ili.

Roots kvadratna jednadžba su i.

Razmotrimo dva slučaja.

1. Neka onda. Od i tada.

U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo

2. Ako, onda, i

Odgovor: i.

Primjer 8. Poznato je da i. Find.

Rešenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, zapisujemo i.

Otuda slijedi sistem jednadžbi

Pomnožimo li prvu jednadžbu sistema sa 2, a zatim je dodamo drugoj jednadžbi, dobivamo

Prema formuli (9), imamo... S tim u vezi, iz (12) slijedi ili.

Od i tada.

Odgovor:.

Primjer 9. Pronađite ako i.

Rešenje. Pošto, i po uslovu, onda ili.

Iz formule (5) je poznato, šta . Od tada.

dakle, ovdje imamo sistem linearnih jednadžbi

Stoga dobijamo i. Uzimajući u obzir formulu (8), zapisujemo.

Primjer 10. Riješite jednačinu.

Rešenje. Iz date jednadžbe proizlazi da. Pretpostavimo da ,, i. U ovom slučaju .

Prema formuli (1), možete napisati ili.

Budući da, tada jednačina (13) ima jedan odgovarajući korijen.

Primjer 11. Pronađite najveću vrijednost pod uvjetom da i.

Rešenje. Budući da se razmatrana aritmetička progresija smanjuje. U tom smislu izraz poprima maksimalnu vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.

Koristimo formulu (1) i činjenicu, as. Onda dobijemo to ili.

Pošto, tada ili ... Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, dakle.

Ako su vrijednosti i zamijenjene formulom (6), tada dobivamo.

Odgovor:.

Primjer 12. Odredite zbir svih dvocifrenih prirodnih brojeva koji, kada se podijele sa 6, daju ostatak od 5.

Rešenje. Označimo skupom svih dvocifrenih prirodnih brojeva, tj. ... Zatim konstruiramo podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se podijele sa 6, daju ostatak 5.

Nije teško ustanoviti, šta . Očigledno, da su elementi skupaformiraju aritmetičku progresiju, u kojem i.

Pretpostavljamo da za utvrđivanje kardinalnosti (broja elemenata) skupa. Pošto i, onda iz formule (1) slijedi ili. Uzimajući u obzir formulu (5), dobivamo.

Gore navedeni primjeri rješavanja problema ni na koji način ne mogu tvrditi da su iscrpni. Ovaj članak je napisan na osnovu analize savremene metode rješavanje tipičnih zadataka na zadanu temu. Za dublje proučavanje metoda za rješavanje problema povezanih s aritmetičkom progresijom, preporučljivo je pozvati se na listu preporučene literature.

1. Zbirka matematičkih zadataka za podnosioce zahtjeva za tehničke fakultete / Ur. M.I. Skanavi. - M.: Mir i obrazovanje, 2013.-- 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. - M.: Lenand / URSS, 2014.- 216 str.

3. Medynsky M.M. Kompletan kurs osnovne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojčani nizovi i progresije. - M.: Editus, 2015.- 208 str.

Imate još pitanja?

Da dobijete pomoć od tutora - registrujte se.

web mjesto, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza na izvor.

Ako svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da je dato numerički niz :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz- funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 su pozvani prvi član niza , broj a 2 — drugi mandat , broj a 3 — treći itd. Broj a n su pozvani n-ti član niza , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n i a n +1 član sekvence a n +1 su pozvani naknadno (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste naveli niz, morate navesti metodu koja vam omogućava da pronađete člana niza s bilo kojim brojem.

Često se niz daje sa formule za n -ti pojam , odnosno formula koja vam omogućuje da odredite član niza prema njegovom broju.

Na primjer,

formulom se može odrediti niz pozitivnih neparnih brojeva

a n= 2n - 1,

i redoslijed naizmjeničnog 1 i -1 - po formuli

b n = (-1)n +1 . ◄

Slijed se može odrediti rekurzivna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jedan ili više) članova.

Na primjer,

ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza postavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvence mogu biti final i beskrajan .

Slijed se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Slijed se zove beskrajan ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvocifrenih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajno. ◄

Slijed se zove povećanje ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Slijed se zove smanjuje se ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - povećanje sekvence;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - opadajući niz. ◄

Zove se niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, naprotiv, ne povećavaju monotoni niz .

Monotoni nizovi, posebno, su uzlazni nizovi i silazni nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija poziva se niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojem se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n ispunjen je uslov:

a n +1 = a n + d,

gdje d - neki broj.

Dakle, razlika između narednih i prethodnih članova date aritmetičke progresije je uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d su pozvani razlika aritmetičke progresije.

Da biste postavili aritmetičku progresiju, dovoljno je naznačiti njen prvi izraz i razliku.

Na primjer,

ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d ona n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očigledno

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Koristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

dakle,

◄

Zapiši to n -ti izraz aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i sve prethodne a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

onda očigledno

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je poluzbroju članova ove aritmetičke progresije jednako udaljenih od nje.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju, jednakost je tačna:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

prvi n članovi aritmetičke progresije jednaki su proizvodu poluzbroja ekstremnih članova na broj članova:

Stoga posebno proizlazi da ako je potrebno zbrojiti uvjete

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je zadana aritmetička progresija, tada su vrijednosti a 1 , a n, d, n iS n povezane sa dve formule:

Stoga, ako su date vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombinirane u sistem dviju jednadžbi s dvije nepoznate.

Aritmetička progresija je monoton niz. Pri čemu:

• ako d > 0 , onda se povećava;
• ako d < 0 , tada se smanjuje;
• ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija poziva se niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija za bilo koji prirodan broj n ispunjen je uslov:

b n +1 = b n · q,

gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana date geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q su pozvani nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi izraz i nazivnik.

Na primjer,

ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q ona n th pojam se može naći po formuli:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očigledno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.

Budući da je i obrnuta izjava tačna, vrijedi sljedeća izjava:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak proizvodu druga dva, to jest, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da je slijed dat formulom b n= -3 2 n , je eksponencijalna progresija. Koristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

dakle,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

koji dokazuje traženu izjavu. ◄

Zapiši to n -ti izraz geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 ali i bilo koji prethodni mandat b k , za koje je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očigledno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je proizvodu članova ove progresije jednako udaljenoj od nje.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije sa nazivnikom q ≠ 0 izračunato po formuli:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti uvjete

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je data geometrijska progresija, onda su vrijednosti b 1 , b n, q, n i S n povezane sa dve formule:

Stoga, ako su date vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombinirane u sistem dviju jednadžbi s dvije nepoznate.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q sljedeće monotona svojstva :

• napredovanje raste, ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i q> 1;

b 1 < 0 i 0 < q< 1;

• progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 i 0 < q< 1;

b 1 < 0 i q> 1.

Ako q< 0 , tada se geometrijska progresija izmjenjuje: njeni neparni članovi imaju isti predznak kao i njen prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Rad prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija

Beskonačno opadajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija, čiji je modul nazivnika manji od 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno opadajuća geometrijska progresija možda nije opadajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom slijed se izmjenjuje. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije je broj na koji je zbir prvog n članovi progresije sa neograničenim povećanjem broja n ... Ovaj broj je uvijek konačan i izražava se formulom

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos između aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija usko su povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija sa razlikom 2 i

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija sa nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija sa nazivnikom q , onda

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetička progresija sa razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija sa nazivnikom 6 i

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetička progresija sa razlikom lg 6 . ◄

Na primjer, niz \ (2 \); \(5\); \ (osam \); \ (jedanaest \); \ (14 \) ... je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog dodavanjem trojke):

U ovoj progresiji, razlika \ (d \) je pozitivna (jednaka \ (3 \)), pa je stoga svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve se progresije nazivaju povećanje.

Međutim, \ (d \) također može biti negativan. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \ (16 \); \(deset\); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... razlika progresije \ (d \) jednaka je minus šest.

I u ovom slučaju svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju opadajući.

Aritmetički zapis progresije

Napredak je označen malim latiničnim slovom.

Brojevi koji tvore progresiju to nazivaju članovi(ili elementi).

Označeni su istim slovom kao aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.

Na primjer, aritmetička progresija \ (a_n = \ lijevo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ desno \) \) sastoji se od elemenata \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \ (a_n = \ lijevo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ desno \) \)

Rješavanje problema za aritmetičku progresiju

U principu, gornje informacije su već dovoljne za rješavanje gotovo svakog problema za aritmetičku progresiju (uključujući i one koje se nude na OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija specificirana je uslovima \ (b_1 = 7; d = 4 \). Pronađite \ (b_5 \).
Rešenje:

Odgovor: \ (b_5 = 23 \)

Primjer (OGE). Daju se prva tri člana aritmetičke progresije: \ (62; 49; 36 ... \) Nađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije.
Rešenje:

Odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Dano je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) Pronađite vrijednost elementa označenu slovom \ (x \).
Rešenje:

Odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je postavljena sledeci uslovi: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Nađite zbir prvih šest članova ove progresije.
Rešenje:

Odgovor: \ (S_6 = 9 \).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Pronađite razliku između ove progresije.
Rešenje:

Odgovor: \ (d = 7 \).

Važne formule aritmetičke progresije

Kao što vidite, mnogi problemi aritmetičke progresije mogu se riješiti jednostavnim razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u ovom lancu se dobija dodavanjem istog broja prethodnom (razlika progresije).

Međutim, ponekad se dešavaju situacije kada je vrlo nezgodno odlučiti se "čelo u oči". Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \ (b_5 \), već trista osamdeset šesti \ (b_ (386) \). Šta je to, mi \ (385 \) puta dodamo četiri? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbir prva sedamdeset tri elementa. Bićeš mučen da izbrojiš...

Stoga u takvim slučajevima ne rješavaju "čeono", već koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavni su formula za n -ti član progresije i formula za zbir \ (n \) prvih članova.

Formula za \ (n \) - ti član: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), gdje je \ (a_1 \) prvi član progresije;
\ (n \) - broj elementa koji se traži;
\ (a_n \) je član progresije s brojem \ (n \).

Ova formula nam omogućava da brzo pronađemo barem tristoti, čak i milioniti element, znajući samo prvi i razliku progresije.

Primjer. Aritmetička progresija je specificirana uslovima: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Pronađi \ (b_ (246) \).
Rešenje:

Odgovor: \ (b_ (246) = 1850 \).

Formula za zbir prvih n članova: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), gdje je

\ (a_n \) - posljednji zbrojeni član;

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je određena uslovima \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Pronađite zbir prvih \ (25 \) članova ove progresije.
Rešenje:

Odgovor: \ (S_ (25) = 1090 \).

Za zbir \ (n \) prvih pojmova možete dobiti drugu formulu: samo trebate \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) umjesto \ (a_n \) zamijenite formulu za to \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Dobijamo:

Formula za zbir prvih n članova: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), gdje je

\ (S_n \) - potrebna suma \ (n \) prvih elemenata;
\ (a_1 \) - prvi sažeti pojam;
\ (d \) - razlika u progresiji;
\ (n \) - broj elemenata u zbiru.

Primjer. Nađi zbroj prvih \ (33 \) - bivših članova aritmetičke progresije: \ (17 \); \ (15,5 \); \(četrnaest\)…
Rešenje:

Odgovor: \ (S_ (33) = - 231 \).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve potrebne informacije za rješavanje gotovo svakog problema s aritmetičkom progresijom. Temu zaključujemo razmatranjem problema u kojima ne treba samo primijeniti formule, već i malo razmisliti (u matematici to može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Naći zbir svih negativnih članova progresije: \ (- 19,3 \); \ (-19 \); \ (- 18,7 \) ...
Rešenje:

Odgovor: \ (S_ (65) = - 630,5 \).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je specificirana uslovima: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Naći zbroj od \ (26 \) th do \ (42 \) elementa uključujući.
Rešenje:

Odgovor: \ (S = 1683 \).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmatrali u ovom članku zbog njihove niske praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.

Šta je glavna suština formule?

Ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n " .

Naravno, morate znati i prvi pojam. a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara, ne možete snimiti određenu progresiju.

Pamtiti (ili prskati) ovu formulu nije dovoljno. Potrebno je asimilirati njenu suštinu i primijeniti formulu u različitim zadacima. I ne zaboravite u pravo vrijeme, da ...) Kako ne zaboravi- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti ako je potrebno, reći ću vam tačno. Oni koji savladaju lekciju do kraja.)

Dakle, pozabavimo se formulom za n -ti član aritmetičke progresije.

Šta je uopšte formula - zamišljamo.) Šta je aritmetička progresija, broj člana, razlika u progresiji - dostupno je u prethodnoj lekciji. Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje da shvatimo šta je n -ti termin.

Napredak u opšti pogled može se napisati kao niz brojeva:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označava prvog člana aritmetičke progresije, a 3- treći mandat, a 4- četvrti i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo s njim a 5 ako sto dvadeset - od a 120.

I kako to označiti općenito bilo kojičlan aritmetičke progresije, s bilo koji broj? Veoma jednostavno! Volim ovo:

a n

To je to n -ti član aritmetičke progresije. Slovo n skriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4 itd.

A šta nam takav snimak daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ovaj unos nam daje moćan alat za rad sa aritmetičkom progresijom. Koristeći zapis a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti gomilu problema u progresiji. Vidjet ćete i sami.

U formuli za n -ti član aritmetičke progresije:

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- broj člana.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n; a 1; d i n. Svi se problemi u progresiji vrte oko ovih parametara.

Formula n-tog pojma se također može koristiti za snimanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je napredovanje specificirano uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav zadatak može čak i zbuniti... Nema serije, nema razlike... Ali, upoređujući stanje sa formulom, lako je zaključiti da u ovoj progresiji a 1 = 5 i d = 2.

A može biti još ljutije!) Ako uzmemo isti uslov: a n = 5 + (n-1) 2, da otvoriti zagrade i donijeti slične? Hajde da dobijemo novu formulu:

a n = 3 + 2n.

to Samo ne općenito, već za određenu progresiju. Tu se krije zamka. Neki ljudi misle da je prvi termin trostruki. Iako je u stvarnosti prvi termin pet ... Nešto kasnije ćemo raditi s tako izmijenjenom formulom.

Postoji još jedna oznaka u problemima za progresiju - a n + 1... Ovo je, pogađate, "en plus prvi" termin u progresiji. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj veći od n za jedan. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo za a n onda peti mandat a n + 1 bit će šesti član. Itd.

Najčešće oznaka a n + 1 javlja se u rekurzivnim formulama. Nemojte se plašiti ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodnu. Pretpostavimo da nam je data aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n + 1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. I kako odmah izbrojati, recimo, dvadeseti rok, a 20?? Ali nema šanse!) Dok se 19. član ne prepozna, 20. se ne može izbrojati. Ovo je temeljna razlika između ponavljajuće formule i formule n-termina. Rekurentno funkcionira samo kroz prethodni termin, a formula n -tog termina je gotova prvo i dozvoljava odmah pronađite bilo kojeg člana prema njegovom broju. Ne računajući čitav niz brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji, formula koja se ponavlja može se lako pretvoriti u običnu. Izbrojite par uzastopnih pojmova, izračunajte razliku d, pronaći, ako je potrebno, prvi član a 1, zapišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. U GIA -i se takvi zadaci često nalaze.

Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo direktnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

Dobijate aritmetičku progresiju (a n). Nađi 121 ako je 1 = 3 i d = 1/6.

Ovaj problem se može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na osnovu značenja aritmetičke progresije. Dodajte, da dodajte ... sat ili dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete odrediti vrijeme.) Odlučujemo.

Uvjeti pružaju sve podatke za korištenje formule: a 1 = 3, d = 1/6. Ostaje da shvatimo čemu je to jednako n. Nema problema! Moramo pronaći a 121... Pa pišemo:

Molimo obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se određeni broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. To je ovo značenje n= 121 zamijenit ćemo dalje u formuli, u zagradama. Zamjenjujemo sve brojeve u formuli i brojimo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3 + 20 = 23

To je sve. Jednako brzo mogao se pronaći petsto deseti član, i hiljadu i tri, bilo koji. Umesto toga stavljamo nželjeni indeksni broj za slovo " a " i u zagradama i računamo.

Dopustite mi da vas podsjetim na poentu: ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji termin aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n " .

Hajde da riješimo zadatak lukavije. Hajde da imamo ovakav problem:

Nađi prvi član aritmetičke progresije (a n) ako je a 17 = -2; d = -0,5.

Ako budete imali poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapišite formulu za n -ti član aritmetičke progresije! Da da. Napišite rukama, tačno u bilježnicu:

I sada, gledajući slova formule, shvaćamo koje podatke imamo, a šta nedostaje? Tu je d = -0,5, ima sedamnaesti član ... je li to sve? Ako mislite da je to sve, onda nećete rešiti problem, da...

Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 = -2 skriveno dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). One. n = 17. Ova „sitnica“ često prođe pored glave, a bez nje (bez „sitnice“, a ne glave!) problem se ne može rešiti. Iako ... i bez glave.)

Sada možete samo glupo zamijeniti naše podatke u formuli:

a 17 = a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamenimo:

-2 = a 1 + (17-1) (-0,5)

To je, u suštini, sve. Ostaje da izrazimo prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunamo. Odgovor će biti: a 1 = 6.

Ova tehnika - pisanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - puno pomaže u jednostavnim zadacima. Pa, morate, naravno, biti u stanju izraziti varijablu iz formule, ali šta učiniti!? Bez ove vještine matematika se uopće može izbjeći ...

Još jedna popularna zagonetka:

Nađi razliku aritmetičke progresije (a n) ako je a 1 = 2; a 15 = 12.

Šta mi radimo? Iznenadit ćete se, mi pišemo formulu!)

Uzmimo u obzir ono što znamo: a 1 = 2; a 15 = 12; i (posebno ću to istaći!) n = 15. Slobodno zamijenite formulu:

12 = 2 + (15-1) d

Računamo aritmetički.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je tačan odgovor.

Dakle, zadaci za a n, a 1 i d riješeno. Ostaje naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 = 12; d = 3. Pronađi broj ovog člana.

Zamjenjujemo količine koje su nam poznate u formuli za n -ti pojam:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled postoje dvije nepoznanice: a n i n. Ali a n je neki član progresije s brojem n... I poznajemo ovog člana progresije! 99 je. Ne znamo njegov broj. n, pa je potrebno pronaći ovaj broj. Zamjenjujemo pojam progresije 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, razmislite. Dobijamo odgovor: n = 30.

A sada slagalica na istu temu, ali kreativnija):

Odredite hoće li broj 117 biti član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Ponovo pišemo formulu. Šta, nema parametara? Hm... Zašto su nam date oči?) Vidite prvog člana progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete sa sigurnošću napisati: a 1 = -3,6. Razlika d može se odrediti iz broja? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 -(-3,6) = 1,2

Dakle, uradili smo najjednostavniju stvar. Ostaje da se pozabavimo nepoznatim brojem n i neshvatljiv broj 117. U prethodnom zadatku se barem znalo da je to član progresije koja je data. A ovdje ni ne znamo ... Kako biti!? Pa, kako biti, kako biti ... Uključite kreativnost!)

Mi pretpostavimo da je 117, na kraju krajeva, član našeg napredovanja. Sa nepoznatim brojem n... I, kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. One. zapisujemo formulu (da, da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n -1) 1,2

Ponovo izražavamo iz formulen, računamo i dobijamo:

Ups! Broj se pokazao fractional! Sto i po. I razlomci u progresijama ne može biti. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan našeg napretka. To je negdje između sto prvog i sto drugog člana. Ako se broj pokazao prirodnim, tj. pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: no

Zadatak zasnovan na stvarnoj verziji GIA -e:

Aritmetička progresija određena je uvjetom:

a n = -4 + 6,8n

Pronađite prvog i desetog člana progresije.

Ovdje napredovanje nije postavljeno na vrlo poznat način. Neka vrsta formule ... To se događa.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - je također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona takođe dozvoljava pronaći bilo koji član progresije prema njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri, kobno je pogrešno!) Zato što je formula u problemu izmijenjena. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriveno. Ništa, sad ćemo to pronaći.)

Kao i u prethodnim zadacima, zamjenjujemo n = 1 u ovu formulu:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Ovde! Prvi termin je 2,8, a ne -4!

Slično, tražimo deseti pojam:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je sve.

A sada, za one koji su pročitali ove redove - obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji GIA -e ili USE -a zaboravili korisnu formulu za n -ti član aritmetičke progresije. Nešto se podsjeća, ali nekako nesigurno ... Ili n tamo ili n + 1, ili n-1 ... Kako biti!?

Miran! Ovu formulu je lako zaključiti. Nije jako strogo, ali za izvjesnost i ispravno rješenje definitivno će biti dovoljno!) Za zaključak, dovoljno je sjetiti se elementarnog značenja aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo treba da nacrtate sliku. Radi jasnoće.

Nacrtajte os broja i označite prvu na njoj. drugi, treći itd. članovi. I primijetite razliku d između članova. Volim ovo:

Pogledamo sliku i shvatimo: čemu je jednak drugi član? Sekunda jedna stvar d:

a 2 = a 1 + 1 D

Šta je treći termin? Treće pojam je jednak prvom članu plus dva d.

a 3 = a 1 + 2 D

Razumiješ li? Nije uzalud neke riječi podebljano. U redu, još jedan korak).

Šta je četvrti termin? Četvrto pojam je jednak prvom članu plus tri d.

a 4 = a 1 + 3 D

Vrijeme je da shvatimo da je broj praznina, tj. d, uvek jedan manji od broja potrebnog člana n. Odnosno, prema broju n, broj intervalaće n-1. Stoga će formula biti (nema opcija!):

Općenito, slikovne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih matematičkih problema. Ne zanemarujte slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n -tog pojma omogućuje vam da s rješenjem povežete cijeli moćni matematički arsenal - jednadžbe, nejednakosti, sisteme itd. Ne mozes sliku staviti u jednacinu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 = 3; a 5 = 5.1. Pronađite 3.

Savjet: prema slici, problem se rješava za 20 sekundi... Prema formuli, ispada teže. Ali za savladavanje formule to je korisnije.) Odeljak 555 je rešio ovaj problem i slikom i formulom. Osetite razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Pronađite 3.

Šta, ne volite da nacrtate sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da ...

3. Aritmetička progresija je određena uslovom:a 1 = -5,5; a n + 1 = a n +0,5. Pronađite sto dvadeset peti član ove progresije.

U ovom zadatku, napredovanje se daje na ponavljajući način. Ali ako računamo do sto dvadeset peti mandat ... Ne može svako učiniti takav podvig.) Ali formula n-tog termina je u svačijoj moći!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Pronađite broj najmanjeg pozitivnog člana u progresiji.

5. Prema uslovu zadatka 4, pronađite zbir najmanjih pozitivnih i najvećih negativnih članova progresije.

6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije je -2,5, a zbir trećeg i jedanaestog člana nula. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da ...) Ovdje metoda "na prste" neće funkcionirati. Morat ćemo napisati formule i riješiti jednadžbe.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Desilo se? Lijepo je!)

Nije sve u redu? Dešava se. Inače, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Prilikom čitanja problema bit će potrebna pažnja. I logika.

Rješenje svih ovih problema detaljno je obrađeno u odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i osjetljivi trenutak za šesti, te opći pristupi za rješavanje bilo kakvih problema na formuli n -tog pojma - sve je zapisano . Preporučeno.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Usput, imam za vas još nekoliko zanimljivih web stranica.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Trenutno testiranje valjanosti. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Ili je aritmetika vrsta uređenog numeričkog niza čija se svojstva proučavaju u tečaju školske algebre. Ovaj članak detaljno razmatra pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije.

Kakva je ovo progresija?

Prije nego što nastavite razmatrati pitanje (kako pronaći zbroj aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu će biti riječi.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti od svakog prethodnog broja naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, prevedena na jezik matematike, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa reda a i. Dakle, znajući samo jedno sjeme, lako možete rekonstruirati čitavu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da sljedeća jednakost vrijedi za niz brojeva koji se razmatra:

a n = a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa u redoslijedu, dodajte razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Što je zbir aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavan poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, morate pronaći njihov zbir. Budući da je u progresiji malo članova (10), moguće je problem riješiti direktno, odnosno sabrati sve elemente po redu.

S 10 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Vrijedi razmotriti jednu zanimljivost: budući da se svaki pojam razlikuje od sljedećeg po istoj vrijednosti d = 1, tada će zbrajanje u paru prvog s desetim, drugog s devetim itd. Dati isti rezultat. Zaista:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, postoji samo 5 ovih suma, to jest, točno dva puta manje od broja elemenata u nizu. Zatim pomnožite broj zbroja (5) sa rezultatom svakog zbira (11), doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generaliziramo ovo rezonovanje, onda možemo napisati sljedeći izraz:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n, kao i ukupan broj pojmova n.

Vjeruje se da je Gauss prvi put pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje za problem koji je postavio njegov školski učitelj: zbroj prvih 100 cijelih brojeva.

Zbir elemenata od m do n: formula

Formula dana u prethodnom paragrafu daje odgovor na pitanje kako pronaći zbir aritmetičke progresije (prvi elementi), ali često je u problemima potrebno zbrojiti niz brojeva u sredini progresije. Kako uraditi?

Najlakši način da se odgovori na ovo pitanje je razmatranjem sljedećeg primjera: neka je potrebno pronaći zbir članova od m-tog do n-tog. Da bi se riješio problem, dati segment od m do n progresije treba prikazati u obliku nove numeričke serije. U takvim reprezentacija m izraz a m će biti prvi, a a n će biti n- (m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za zbir, dobivate sljedeći izraz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja navedenih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbir njegovih članova, počevši od 5. i završavajući sa 12.:

Navedeni brojevi ukazuju da je razlika d 3. Koristeći izraz za n -ti element, možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispostavilo se:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Poznavajući vrijednosti brojeva na krajevima razmatrane algebarske progresije, kao i znajući koji brojevi u redu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbir dobiven u prethodnom paragrafu. Pokazaće se:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Vrijedi napomenuti da se ova vrijednost može dobiti drugačije: prvo, pronađite zbir prvih 12 elemenata koristeći standardnu ​​formulu, zatim izračunajte zbir prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbroja.