Praktična primjena teorije bifurkacija u računarstvu. Teorija bifurkacije

a) Uvod u teoriju bifurkacija

Teorija bifurkacija dinamičkih sistema opisuje kvalitativne, nagle promjene faznih portreta diferencijalnih jednadžbi s kontinuiranom, glatkom promjenom parametara. Dakle, u slučaju gubitka stabilnosti zbog pojedinačne tačke, može nastati granični ciklus, a u slučaju gubitka stabilnosti zbog graničnog ciklusa, kaos. Takve se promjene nazivaju bifurkacije.

U diferencijalnim jednadžbama koje opisuju stvarne fizičke pojave najčešće postoje singularne točke i granični ciklusi u općem položaju, odnosno hiperbolični. Međutim, postoje i posebne klase diferencijalnih jednadžbi gdje je situacija drugačija. Takvi su, na primjer, sistemi sa simetrijama koje se odnose na prirodu opisanog fenomena, kao i Hamiltonove jednadžbe, reverzibilni sistemi, jednadžbe koje čuvaju fazni volumen. Na primjer, razmotrite jednoparametarsku porodicu dinamičkih sistema na liniji sa simetrijom drugog reda:

Tipična bifurkacija simetrične ravnotežne pozicije u takvom sistemu ("trozubac") prikazana je na Sl. 1. Sastoji se u činjenici da se dva nova, manje simetrična ravnotežna položaja odvajaju od simetričnog ravnotežnog položaja koji gubi stabilnost. U tom slučaju održava se simetrični položaj ravnoteže, ali gubi stabilnost.

Temelje matematičke teorije bifurkacija stvorili su A. Poincaré i A. M. Lyapunov početkom dvadesetog stoljeća, a zatim su ih razvile neke škole. Teorija bifurkacije nalazi primjenu u raznim naukama, od fizike i hemije do biologije i sociologije.

Poreklo izraza bifurkacija (od latinskog bifurcus - bifurkirano) povezano je s činjenicom da je dinamički sistem čije se ponašanje u području ravnoteže opisuje sistemom linearnih diferencijalnih jednadžbi koje imaju jedina odluka, kada se parametri promijene na određenu kritičnu vrijednost, dostiže takozvanu tačku bifurkacije - tačku grananja mogućih evolutivnih puteva sistema.

Ovaj trenutak (tačka grananja) odgovara prelasku sistema u neravnotežno stanje, a na nivou matematičkog opisa odgovara prelasku na nelinearne diferencijalne jednačine i grananju njihovih rješenja.

Bifurkacija je stjecanje novog kvaliteta evolucije (u pokretu) dinamičkog sistema s malom promjenom njegovih parametara. Bifurkacija odgovara restrukturiranju prirode kretanja ili strukture stvarnog sistema (fizičkog, hemijskog, biološkog itd.).

Sa stanovišta matematike, bifurkacija je promjena topološke strukture podjele faznog prostora dinamičkog sistema na trajektorije s malom promjenom njegovih parametara.

Ova definicija temelji se na konceptu topološke ekvivalencije dinamičkih sistema: dva sistema su topološki ekvivalentna ako imaju istu strukturu podjele faznog prostora na trajektorije, ako se kretanja jednog od njih mogu svesti na kretanja drugog pomoću stalna promjena koordinata i vremena.

Primjer ove ekvivalencije je kretanje njihala za različite vrijednosti koeficijenta trenja k: pri niskom trenju trajektorije na faznoj ravnini izgledaju poput uvijenih spirala, a za veliko trenje izgledaju kao parabole (sl. Na sljedećem slajdu)

Prijelaz sa faznog portreta a na b ne predstavlja bifurkaciju, budući da su bifurkacije prijelaz iz datog sistema u topološki neekvivalentni.

Primjer: U matematičkom modelu, pojava Benardovih ćelija odgovara bifurkaciji rađanja novih ravnotežnih stanja (što odgovara ćelijskoj strukturi).

Među različitim bifurkacijama u analizi modela fizičkih sistema posebno su zanimljive takozvane lokalne bifurkacije - to su bifurkacije u kojima dolazi do restrukturiranja pojedinačnih kretanja dinamičkog sistema.

Najjednostavniji i najvažniji su:

bifurkacije ravnotežnih stanja (Benardove ćelije)

bifurkacije periodičnih pokreta.

Zaključak. Važne karakteristike bifurkacije

Bifurkacije, uslijed kojih nestaju statički ili periodični načini (odnosno stanja ravnoteže ili granični ciklusi), mogu dovesti do činjenice da dinamički sustav prelazi u način stohastičkih oscilacija.

U primjenama teorije bifurkacija postavlja se problem - za svaku konkretnu situaciju pronaći analitičke izraze za varijante rješenja jednadžbi koje nastaju u tačkama bifurkacije, kao i odrediti vrijednosti parametara na kojima se grananje rješenja jednadžbi počinje. Potrebno je prvo analizirati stabilnost sistema i potražiti tačke njegove nestabilnosti. Metode ove analize temelje se na teoriji stabilnosti, dovoljno su detaljno razvijene i čisto tehničke prirode.

Veliki broj situacija bifurkacije opisan je u teoriji bifurkacija. U razvoju stvarnih prirodnih sistema ne mogu se promatrati pojedinačne bifurkacije, već čitave kaskade bifurkacija (klasičan primjer je pojava turbulencija i drugih hidrodinamičkih nestabilnosti). Osim toga, razlikuju se bifurkacije i katastrofe. Postoji čak i teorija katastrofa. Međutim, analiza odnosa i razlika među njima izlazi iz okvira ovog vodiča.

Vrlo važna karakteristika bifurkacija: U vrijeme kada se sistem nalazi blizu tačke bifurkacije, male poremećaje vrijednosti njegovih parametara počinju igrati veliku ulogu. Ovi poremećaji mogu biti čisto slučajni ili svrhoviti. Od njih zavisi koju će evolucionu granu sistem slijediti nakon prolaska kroz tačku bifurkacije. Odnosno, ako, prije nego što prođe tačku bifurkacije, ponašanje sistema poštuje determinističke zakone, tada u samoj tački bifurkacije slučaj igra odlučujuću ulogu.

Kao rezultat toga, prema I. Prigogineu, svijet postaje "misteriozan, nepredvidljiv, nekontroliran". U izvesnom smislu, to je tako. No, ne možemo se u potpunosti složiti s ovom tvrdnjom, jer za bilo koji sustav u točki bifurkacije ne postoji proizvoljan, već sasvim određeni skup evolucijskih puteva. Stoga, čak i ako slučajnost funkcionira, djeluje u strogo definiranom polju mogućnosti. Stoga je netočno govoriti o potpunoj neizvjesnosti i, štoviše, potpunoj misteriji. Što se tiče nekontroliranosti, onda, naravno, nema smisla govoriti o potpunoj kontroli, ali u nekim je procesima moguće intervenirati kao poticaj do željenih razvojnih opcija.

4. HAOS

Teorija haosa- matematički aparat koji opisuje ponašanje nekih nelinearnih dinamičkih sistema podložnih, pod određenim uslovima, fenomenu poznatom kao haos, koji karakteriše snažna osjetljivost ponašanja sistema na početne uslove; čini se da je ponašanje takvog sistema nasumično, čak i ako je model koji opisuje sistem deterministički; primjeri takvih sistema su atmosfera, turbulentni tokovi, biološke populacije, društvo kao komunikacijski sistem i njegovi podsistemi: ekonomski, politički i drugi društveni sistemi.

Teorija haosa to tvrdi složeni sistemi izuzetno ovise o početnim uvjetima, a male promjene u okolišu dovode do nepredvidivih posljedica.

Matematički sistemi sa kaotičnim ponašanjem su deterministički, odnosno potčinjavaju se određenom strogom zakonu i u određenom smislu su uređeni.

Dinamički haos- pojava u teoriji dinamičkih sistema u kojoj ponašanje nelinearnog sistema izgleda slučajno, uprkos činjenici da je određeno determinističkim zakonima. Razlog za nastanak kaosa je nestabilnost u odnosu na početne uvjete i parametre: mala promjena početnog stanja s vremenom dovodi do proizvoljno velikih promjena u dinamici sistema.

Budući da se početno stanje fizičkog sistema ne može odrediti apsolutno točno (na primjer, zbog ograničenja mjernih instrumenata), uvijek je potrebno uzeti u obzir određeno (iako vrlo malo) područje početnih uvjeta. Prilikom kretanja u ograničenom području prostora, eksponencijalna divergencija tokom vremena u bliskim orbitama dovodi do miješanja početnih tačaka u cijeloj regiji. Nakon takvog miješanja nema smisla govoriti o koordinati čestice, ali možete pronaći vjerojatnost da će to u nekom trenutku biti.

Deterministički haos - kombinira determinizam i slučajnost, ograničenu predvidljivost i nepredvidljivost te se očituje u takvim različitim fenomenima kao što je kinetika hemijske reakcije, turbulencije tekućine i plina, geofizičke, posebno, vremenske promjene, fiziološke reakcije tijela, dinamika stanovništva, epidemije, društveni fenomeni (na primjer, cijene dionica).

Ova publikacija je citirana u (ukupno u 63 članci)

Teorija bifurkacije

Napomena: Teorija bifurkacija faznih portreta diferencijalnih jednadžbi u blizini ravnotežnih i graničnih ciklusa predstavljena je u prva dva poglavlja. Prezentacija počinje osnovnim pojmovima i činjenicama i završava novim rezultatima o bifurkacijama u tipičnim jednoparametarskim obiteljima koje se pojavljuju na granici skup Morse-Smaleovih sistema. Relaksacijske vibracije proučavaju se sa stajališta teorije singularnosti i teorije normalnih oblika; uključivao je rezultate o kašnjenju izvijanja i rješenjima potke.
Bibl. 206.

Ceo tekst: PDF datoteka (31704 kB)

Apstraktne baze podataka:

Vrsta publikacije:Članak
UDK: 517.925 +517.928

Citiranje: V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov, „Theory of bifurcations“, Dinamički sistemi - 5, Rezultati nauke i tehnologije. Ser. Lažemo. probl. mat. Fond. smjerovi, 5, VINITI, M., 1986, 5-218

Citiranje u formatu AMSBIB

\ RBibitem (ArnAfrIly86)
\ by V. ~ I. ~ Arnold, V. ~ S. ~ Afraimovich, Yu. ~ S. ~ Ilyashenko, L. ~ P. ~ Shilnikov
\ paper Teorija bifurkacija
\ inbook Dinamički sistemi ~ - ~ 5
\ serial Rezultati nauke i tehnologije. Ser. Lažemo. probl. mat. Fond. upute
\ god 1986
\ vol 5
\ stranice 5--218
\ publ VINITI
\ publaddr M.
\ mathnet (http: //mi.site/intf40)
\ mathscinet (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=895653)
\ zmath (https://zbmath.org/?q=anternet797.58003)

Primjeri veza do ove stranice:

http: //mi.site/intf40

http: //mi.site/rus/intf/v5/p5

POŠALJI:

Ova je publikacija citirana u sljedećim člancima:

GR Belitskii, “Glatka ekvivalentnost klica vektorskih polja s jednom nulom ili parom čisto imaginarnih vlastitih vrijednosti”, Opcije analiza i njen prid., 20: 4 (1986), 1-8; G. R. Belitskii, “Glatka ekvivalencija klica vektorskih polja s jednom nulom vlastite vrijednosti ili parom čisto imaginarnih vlastitih vrijednosti”, Funct. Anal. Appl. , 20: 4 (1986), 253-259
MA Shereshevsky, “O Hausdorff-ovoj dimenziji fraktalnih baznih skupova koji nastaju pod određenim globalnim bifurkacijama tokova na trodimenzionalnim mnogostrukostima”, Uspekhi Mat.Nauk 43: 3 (261) (1988), 199-200; M. A. Shereshevskii, “O Hausdorff-ovoj dimenziji fraktalnih baznih skupova koji nastaju u određenim globalnim bifurkacijama tokova na trodimenzionalnim mnogostrukostima”, Russian Math. Surveys, 43: 3 (1988), 223-224
AV Babin, MI Vishik, “Spektralno i stabilizirano asimptotsko ponašanje rješenja nelinearnih evolucijskih jednadžbi”, Uspekhi Mat.Nauk 43: 5 (263) (1988), 99-132 A. V. Babin, M. I. Vishik, „Spektralno i stabilizirano asimptotsko ponašanje rješenja nelinearnih evolucijskih jednadžbi“, Ruska matematika. Surveys, 43: 5 (1988), 121-164
BA Khesin, „Versalne deformacije presjeka invarijantnih podmnožica dinamičkih sistema“, Uspekhi Mat.Nauk, 44: 3 (267) (1989), 181-182; B. A. Khesin, „Versalne deformacije presjeka invarijantnih podmnožica dinamičkih sistema“, Ruska matematika. Surveys, 44: 3 (1989), 201-203
Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko, “Konačno glatki normalni oblici lokalnih obitelji difeomorfizama i vektorskih polja.”, Uspekhi Mat.Nauk, 46: 1 (277) (1991), 3-39; Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Jakovenko, “Konačno glatki normalni oblici lokalnih porodica difeomorfizama i vektorskih polja”, Ruska matematika. Ankete, 46: 1 (1991), 1-43
ID Chueshov, “Globalni atraktori u nelinearnim problemima matematičke fizike”, Uspekhi Mat.Nauk, 48: 3 (291) (1993), 135-162 I. D. Chueshov, “Globalni atraktori za nelinearne probleme matematičke fizike”, Ruska matematika. Surveys, 48: 3 (1993), 133-161
EV Nikolaev, “Bifurkacije graničnih ciklusa diferencijalnih jednadžbi koje dopuštaju involutivnu simetriju”, Mat. Sub. 186: 4 (1995), 143-160; E. V. Nikolaev, “Bifurkacije graničnih ciklusa diferencijalnih jednadžbi koje dopuštaju involutivnu simetriju”, Sb. Math. , 186: 4 (1995), 611-627
SV Gonchenko, “Moduli konjugacije $ \ Omega $ dvodimenzionalnih difeomorfizama s grubom heterokliničkom konturom”, Mat. Sub. , 187: 9 (1996), 3-24; S. V. Gonchenko, “Moduli $ \ Omega $ -konjugacije dvodimenzionalnih difeomorfizama sa strukturno nestabilnom heterokliničkom konturom”, Sb. Math. , 187: 9 (1996), 1261-1281
D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vasiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, VV Kozlov, ML Kontsevich, Yu. I. Manin, AI Neishtadt, SP Novikov, Yu. S. Osipov, MB Sevryuk, Ya. G. Sinai, AN Tyurin, LD Faddeev, BA Khesin, AG Khovanskiy, „Vladimir Igorevich Arnold (povodom njegovog šezdesetog rođendana)“, UMN, 52: 5 (317) (1997), 235-255; D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vassiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovanskii, „Vladimir Igorevich Arnol“ d (na svoj 60. rođendan) ”, Ruska matematička istraživanja, 52: 5 (1997), 1117-1139
SA Vakulenko, PV Gordon, “Širenje i raspršivanje pregiba u nehomogenom nelinearnom mediju”, TMF, 112: 3 (1997), 384-394 S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, “Širenje i rasipanje preloma u nehomogenim nelinearnim medijima”, Teoret. and Math. Phys. , 112: 3 (1997), 1104-1112
EA Sataev, “Schwarzova derivacija za višedimenzionalna preslikavanja i tokove”, Mat. Sub. 190: 1 (1999), 139-160; E. A. Sataev, “Schwartzijeva izvedenica za višedimenzionalne karte i tokove”, Sb. Math. , 190: 1 (1999), 143-164
E. E. Shnol, EV Nikolaev, “O bifurkacijama simetričnih ravnoteža koje odgovaraju dvostrukim vlastitim vrijednostima”, Mat. Sub. 190: 9 (1999), 127-150; È. È. Shnol ", E. V. Nikolaev," O bifurkacijama ravnoteža koje odgovaraju dvostrukim vlastitim vrijednostima ", Sb. Matematika, 190: 9 (1999), 1353-1376
Yu. N. Bibikov, “Stabilnost i bifurkacija pod periodičnim poremećajima ravnotežnog položaja oscilatora s beskonačno velikom ili beskonačno malom frekvencijom titranja”, Matem. Bilješke 65: 3 (1999), 323-335; Yu. N. Bibikov, “Stabilnost i bifurkacija pod periodičnim poremećajima ravnotežnog položaja oscilatora s beskonačno velikom ili beskonačno malom frekvencijom oscilacija”, Math. Bilješke, 65: 3 (1999), 269-279
E. E. Shnol, “Regularni politopi i bifurkacije simetričnih ravnoteža običnih diferencijalnih jednadžbi”, Mat. Sub. , 191: 8 (2000), 141-157; È. È. Shnol "," Pravilni poliedri i bifurkacije simetričnih ravnoteža običnih diferencijalnih jednadžbi ", Sb. Matematika, 191: 8 (2000), 1243-1258
SV Bogatyrev, “Pačji ciklusi u Liénardovom sistemu”, Vestn. Osobno. država tech. un-that. Ser. Phys.-mat. Science, 12, SamSTU, Samara, 2001, 36-39
LI Kononenko, “Kvalitativna analiza singularno poremećenih sistema s jednom ili dvije spore i brze varijable”, Sib. zhurn. industrijski mat., 5 :4 (2002), 55-62
EP Volokitin, SA Treskov, “Bifurkacijski dijagram kubičnog sistema tipa Lienard”, Sib. zhurn. industrijski mat., 5 :3 (2002), 67-75
E. A. Shchepakina, "Sigurnosni uvjeti za paljenje zapaljive tekućine u poroznom izolacijskom materijalu", Sib. zhurn. industrijski mat., 5 :3 (2002), 162-169
M. D. Novikov, B. M. Pavlov, “O nekim jednostavnim sistemima toka sa haotičnim režimima”, Mat. modeliranje, 14 :11 (2002), 63-77
EA Shchepakina, "Privlačenje i odbijanje integralnih površina u problemima sagorijevanja", Mat. modeliranje, 14 :3 (2002), 30-42
OD Anosova, “Invarijantni mnogostrukosti u singularno poremećenim sistemima” ,, Zbornik. Povodom 80. rođendana akademika Evgenija Froloviča Miščenka, Tr. Steklov Matematički institut, 236, nauka, MAIK "Nauka / Interperiodika", M., 2002, 27-32; O. D. Anosova, „Invarijantni mnogostrukosti u singularno poremećenim sistemima“, Proc. Steklov Inst. Math. , 236 (2002), 19-24
EA Shchepakina, “Pojedinačno poremećeni modeli sagorijevanja u višefaznim medijima”, Sib. zhurn. industrijski mat., 6 :4 (2003), 142-157
EA Shchepakina, “Posebne smetnje u problemu modeliranja sigurnih načina sagorijevanja”, Mat. modeliranje, 15 :8 (2003), 113-117
L. I. Kononenko, „Beskonačno mala analiza singularnih sistema sa brzim i sporim varijablama“, Sib. zhurn. industrijski mat., 6 :4 (2003), 51-59
LG Kurakin, VI Yudovich, “O ravnotežnim bifurkacijama pod uništavanjem kosimetrije dinamičkog sistema”, Sib. mat. zhurn. 45: 2 (2004), 356-374; L. G. Kurakin, V. I. Yudovich, “O ravnotežnim bifurkacijama u kolapsu kosimetrije dinamičkog sistema”, Sibirska matematika. J., 45: 2 (2004), 294-310
S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “O bifurkacijama pri rođenju zatvorenih invarijantnih krivulja u slučaju dvodimenzionalnih difeomorfizama s homokliničkim tangencijama”, Dinamički sistemi i srodna pitanja geometrije, Sažetak članaka. Posvećeno sjećanju na akademika Andreja Andrejeviča Bolibruha, Tr. Matematički institut Steklov, 244, nauka, MAIK "Nauka / Interperiodica", M., 2004, 87-114; S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “O bifurkacijama rođenja zatvorenih invarijantnih krivulja u slučaju dvodimenzionalnih difeomorfizama s homokliničkim tangencijama”, Proc. Steklov Inst. Math. , 244 (2004), 80-105
J. Guckenheimer, R. Haiduc, „Kanardi na presavijenim čvorovima“, Mosc. Math. J., 5: 1 (2005), 91-103
L. Aero, SA Vakulenko, “Asimptotsko ponašanje rješenja za jako nelinearni model kristalne rešetke”, TMF, 143: 3 (2005), 357-367; E. L. Aero, S. A. Vakulenko, “Asimptotsko ponašanje rješenja jako nelinearnog modela kristalne rešetke”, Teoret. and Math. Phys. , 143: 3 (2005), 782-791
AR Borisyuk, „Globalne bifurkacije na Kleinovoj boci. Opšti slučaj ”, Mat. Sub. 196: 4 (2005), 3-22; A. R. Borisyuk, „Globalne bifurkacije na Kleinovoj boci. Opšti slučaj ”, Sb. Math. , 196: 4 (2005), 465-483
EP Belan, "O dinamici putujućih valova u paraboličkoj jednadžbi s transformacijom pomaka prostorne varijable", Journal. mat. fizički, anal., geom., 1 :1 (2005), 3-34
TS Firsova, “Topologija analitičkih folijacija u $ \ mathbb C ^ 2 $. Imanje Kupka-Smale ”, Nelinearne analitičke diferencijalne jednadžbe, Zbornik radova, Tr. Matematički institut Steklov, 254, nauka, MAIK "Nauka / Interperiodica", M., 2006, 162-180; T. S. Firsova, “Topologija analitičkih folijacija u $ \ mathbb C ^ 2 $. Nekretnina Kupka-Smale ”, Proc. Steklov Inst. Math. , 254 (2006), 152-168
AO Remizov, „Multidimenzionalna Poincaréova konstrukcija i singulariteti podignutih polja za implicitne diferencijalne jednadžbe“, Optimalna kontrola, CMFD, 19, PFUR, M., 2006, 131-170; A. O. Remizov, „Višedimenzionalna Poincaréova konstrukcija i osobenosti podignutih polja za implicitne diferencijalne jednadžbe“, Časopis za matematičke nauke, 151 :6 (2008), 3561-3602
LI Kononenko, “Kvalitativna analiza singularno poremećenog sistema u $ \ mathbb R ^ 3 $”, Sib. zhurn. industrijski mat. 10: 4 (2007), 76-82; L. I. Kononenko, “Kvalitativna analiza singularno poremećenog sistema u $ \ mathbb R ^ 3 $”, J. Appl. Industr. Math. , 3: 4 (2009), 456-461
Yu. A. Grishina, AA Davydov, „Strukturna stabilnost najjednostavnijih dinamičkih nejednakosti“, Dinamički sistemi i optimizacija, Sažetak članaka. Povodom 70. rođendana akademika Dmitrija Viktoroviča Anosova, Tr. Matematički institut Steklov, 256, Nauka, MAIK "Nauka / Interperiodika", M., 2007, 89-101; Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, „Strukturna stabilnost najjednostavnijih dinamičkih nejednakosti“, Proc. Steklov Inst. Math. , 256 (2007), 80-91
F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, E. E. Shnol, E. A. Ermakova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, „Složeni režimi širenja i samoorganizacije pobude u modelima koagulacije krvi“, UFN, 177: 1 (2007), 87-104; F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, È. È. Shnol ", E. A. Ermakova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin," Zamršeni režimi širenja pobude i samoorganizacije u modelu zgrušavanja krvi ", Phys. Usp., 50: 1 (2007), 79-94
PD Lebedev, “Proračun mjere nekonveksnosti ravnih skupova”, Tr. IMM UB RAS, 13, br. 3, 2007, 84-94
„Vladimir Igorevič Arnold (povodom svog sedamdesetog rođendana)“, UMN, 62: 5 (377) (2007), 175-184; „Vladimir Igorevich Arnol“ d (na svoj 70. rođendan) ”, Ruska matematička istraživanja, 62: 5 (2007), 1021-1030
Yu. M. Aponin, EA Aponina, „Hijerarhija modela matematičke biologije i numeričko-analitičkih metoda njihovog proučavanja (pregled)“, Mat. biologija i bioinform., 2 :2 (2007), 347-360
E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, „Modeliranje sigurnih procesa sagorijevanja s maksimalnom temperaturom“, Mat. modeliranje, 20: 5 (2008), 55-68; E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, “Modeliranje sigurnog sagorijevanja s maksimalnom temperaturom”, Matematika. Modeli Comput. Simul. , 1: 2 (2009), 322-334
VM Zakalyukin, AO Remizov, “Legendrove singularnosti u sistemima implicitnih običnih diferencijalnih jednačina i brzo sporih dinamičkih sistema”, Diferencijalne jednadžbe i dinamički sistemi, Zbornik radova, Tr. Matematički institut Steklov, 261, MAIK "Nauka / Interperiodika", M., 2008, 140-153; V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, „Legendrove singularitete u sistemima implicitnih ODE-ova i sporobrzih dinamičkih sistema“, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 136-148
N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmakova, „O radijalnim rješenjima Swift-Hohenbergove jednadžbe“, Diferencijalne jednadžbe i dinamički sistemi, Zbornik radova, Tr. Matematički institut Steklov, 261, MAIK "Nauka / Interperiodica", M., 2008, 188-209; N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmakova, „O radijalnim rješenjima Swift-Hohenbergove jednadžbe“, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 183-203
P. D. Lebedev, A. A. Uspenski, „Geometrija i asimptotika talasnih frontova“, Izv. univerzitetima. Mat., 2008, br. 3, 27-37; P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, „Geometrija i asimptotika valnih oblika ”, Russian Math. (Iz. VUZ), 52: 3 (2008), 24-33
L. I. Kononenko, „Opuštanja u singularno poremećenim sistemima na ravni“, Vestn. NSU. Ser. mat., meha., informirati., 9 :4 (2009), 45-50
D. V. Anosov, "O matematičkim radovima L. S. Pontryagina", Diferencijalne jednadžbe i topologija. I, Sažetak članaka. Posvećeno 100. rođendanu akademika Leva Semenoviča Pontryagina, Tr. Matematički institut Steklov, 268, MAIK "Nauka / Interperiodika", M., 2010, 11-23; D. V. Anosov, “O matematičkom radu L. S. Pontryagina”, Proc. Steklov Inst. Math. , 268 (2010), 5-16

Predgovor
Poglavlje 1. Bifurkacije ravnotežnih položaja
§ 1. Porodice i deformacije
1.1. Porodice vektorskih polja
1.2. Jet space
1.3. Sardova lema i transverzalne teoreme
1.4. Osnovne aplikacije: Singularne tačke tipičnih vektorskih polja
1.5. Topološki nerealne deformacije
1.6. Redukcijska teorema
1.7. Tipične i velike porodice
§ 2. Bifurkacije singularnih tačaka u tipičnim jednoparametarskim porodicama
2.1. Tipični izdanci i glavne porodice
2.2. Meko i tvrdo savijanje
§ 3. Bifurkacije singularnih tačaka u višeparametarskim porodicama u opštem položaju sa jednom degeneracijom linearnog dijela
3.1. Glavne porodice
3.2. Dijagrami bifurkacije glavnih porodica (3 ±)
3.3. Bifurkacijski dijagrami (relativno slaba ekvivalentnost) i fazni portreti glavnih porodica (4 ±)
§ 4. Bifurkacije singularnih tačaka vektorskih polja sa dvostrukom degeneracijom linearnog dijela
4.1. Spisak degeneracija
4.2. Dvije dobrovoljne vlastite vrijednosti
4.3. Redukcije na dvodimenzionalne sisteme
4.4. Nula i par čisto zamišljenih vlastitih vrijednosti
4.5. Dva čisto zamišljena para
4.6. Glavne deformacije jednadžbi teškog tipa u problemu dva zamišljena para (prema Zholondeku)
§ 5. Pokazatelji mekog i tvrdog izvijanja
5.1. Definicija
5.2. Tabela indikatora
Poglavlje 2. Bifurkacije graničnih ciklusa
§ 1. Bifurkacije graničnih ciklusa u tipičnim jednoparametarskim porodicama
1.1. Crtač 1
1.2. Multiplikator -1 i bifurkacija udvostručenja perioda
1.3. Par složenih konjugiranih množitelja
1.4. Nelokalne bifurkacije u jednoparametarskim porodicama difeomorfizama
1.5. Nelokalne bifurkacije periodičnih rješenja
1.6. Raspadanje bifurkacija invarijantnih torija
§ 2. Bifurkacije ciklusa u tipičnim dvoparametarskim porodicama s jednom dodatnom degeneracijom
2.1. Spisak degeneracija
2.2. Množitelj 1 ili -1 s dodatnom degeneracijom u nelinearnim terminima
2.3. Par množitelja na jediničnoj kružnici s dodatnom degeneracijom u nelinearnim terminima
§ 3. Bifurkacije ciklusa u tipičnim dvoparametarskim porodicama sa jakim rezonancama reda (?)
3.1. Normalni oblik u slučaju unipotentne Jordanove ćelije
3.2. Prosjek u folijacijama Seifert i Möbius
3.3. Glavna polja i deformacije
3.4. Versajske glavne deformacije
3.5. Bifurkacije stacionarnih rješenja periodičnih diferencijalnih jednadžbi s jakim rezonancama reda (?)
§ 4. Bifurkacije graničnih ciklusa kada par množitelja prolazi kroz (?)
4.1. Degenerirane porodice
4.2. Analitički pronađene degenerirane porodice
4.3. Degenerirane porodice pronađene brojčano
4.4. Bifurkacije u nedegeneriranim porodicama
4.5. Granični ciklusi sistema sa simetrijom četvrtog reda
§ 5. Konačno glatki normalni oblici lokalnih porodica
5.1. Pregled rezultata
5.2. Definicije i primjeri
5.3. Opći teoremi i deformacije nerezonantnih klica
5.4. Svođenje u linearni normalni oblik
5.5. Deformacije klica difeomorfizma Poincaréovog tipa
5.6. Deformacije odiorezoičnih hiperboličkih klica
5.7. Deformacije klica, vektorska polja sa jednom nultom vlastitom vrijednošću u singularnoj tački
5.8. Funkcionalne invarijante linijskih difeomorfizama
5.9. Funkcionalne invarijante lokalnih porodica difeomorfizama
5.10. Funkcionalno -invarijante porodica vektorskih polja
5.11. Funkcionalne invarijante topološke klasifikacije lokalnih familija linijskih difeomorfizama (prema Russariju)
§ 6. Feigenbaumova univerzalnost za difeomorfizme i tokove
6.1. Dupla kaskada
6.2. Preuređivanje fiksnih tačaka
6.3. Kaskada (?) - višestruko povećanje u periodu
6.4. Udvostručavanje u Hamiltonovim sistemima
6.5. Operator udvostručavanja za jednodimenzionalna "preslikavanja"
6.6. Univerzalni mehanizam udvostručavanja za diffieomorfizme
Poglavlje 3. Nelokalne bifurkacije
§ 1. Degeneracije kodimenzije 1. Sažetak rezultata
1.1. Lokalne i nelokalne bifurkacije
1.2. Nehiperbolične singularne tačke
1.3. Nehiperbolični ciklusi
1.4. Neprečni poprečni presjeci višestrukosti
1.5. Konture
1.6. Bifurkacijske površine
1.7. Karakteristike bifurkacija
1.8. Sažetak rezultata
§ 2. Nelokalne bifurkacije tokova na dvodimenzionalnim površinama
2.1. Polu-lokalne bifurkacije tokova na površinama
2.2. Nelokalne bifurkacije na sferi; slučaj sa jednim parametrom
2.3. Tipične porodice polja vektora
2.4. Tipični uslovi
2.5. Obitelji s jednim parametrom na površinama koje nisu sfera
2.6. Globalne bifurkacije sistema, sa globalnom sekantom na torusu
2.7. Neke globalne bifurkacije na Kleinovoj boci
2.8. Bifurkacija u dvodimenzionalnoj sferi. Kućište sa više parametara
2.9. Neka otvorena pitanja
§ 3. Bifurkacije homokliničkih trajektorija nehiperbolične singularne tačke
3.1. Hiperbolični varijabilni čvor
3.2. Sedlo u hiperboličkim varijablama: jedna homoklinička putanja
3.3. Bernoullijeva topološka shema
3.4. Sedlo u hiperboličkim varijablama: nekoliko homokliničkih trajektorija
3.5. Glavne porodice
§ 4. Bifurkacije homokliničkih putanja4 i hiperboličkog ciklusa
4.1. Struktura porodice homoklijskih putanja
4.2. Kritični i nekritični ciklusi
4.3. Rođenje glatkog dvodimenzionalnog atraktora
4.4. Rođenje složenih invarijantnih skupova (nekritički slučaj)
4.5. Kritičan slučaj
4.6. Dvostupanjski prijelaz iz robusnosti u turbulenciju
4.7. Nekompaktan skup homokliničkih putanja
4.8. Isprekidanost
4.9. Dosegljivo, nedostižno
4.10. Stabilnost porodica difeomorfizama
4.11. Neka otvorena pitanja
§ 5. Hiperbolične singularne tačke sa homokliničkom putanjom
5.1. Preliminarni koncepti: vodeći smjerovi i vrijednosti sedla
5.2. Bifurkacije homoklijskih putanja sedla koje se dešavaju na granici skupa Morseovih - Smaleovih sistema
5.3. Opšti zahtevi
5.4. Glavne porodice u R3 i njihova imanja
5.5. Svestranost glavnih porodica
5.6. Sedlo s integriranim smjerom vožnje u R3
5.7. Dodatak: bifurkacije homoklijskih petlji izvan "granice skupa Morseovih - Smaleovih sistema"
§ 6. Bifurkacije povezane s ne-poprečnim presjecima
6.1. Vektorska polja bez kontura i homoklijskih putanja
6.2. Teorema nedostižnosti
6.3. Moduli
6.4. Sistemi sa konturama
6.5. Diffeomorfizmi s netrivijalnim osnovnim skupovima
6.6. Vektorska polja u R3 sa homoklijskom ciklusom
6.7. Simbolička dinamika
6.8. Male bifurkacije potkove
6.9. Vektorska polja na površini bifurkacije
6.10. Diffeomorfizmi s beskonačnim skupom stabilnih periodičnih putanja
§ 7. Beskonačni skupovi koji ne lutaju
7.1. Vektorska polja na dvodimenzionalnom torusu
7.2. Bifurkacije sistema sa dvije homoklijske krivine sedla
7.3. Sistemi sa Feigenbaumovim atraktorima
7.4. Rođenje setova koji ne lutaju
7.5. Očuvanje i glatkoća invarijantnih mnogostrukosti (u smislu Fe-nicela)
7.6. Degenerirana porodica i njeno susjedstvo u funkcionalnom prostoru
7.7. Tori rođenje u trodimenzionalnom faznom prostoru
§ 8. Atraktori i njihove bifurkacije
8.1. Granice vjerovatnoće (prema Milnor -u)
8.2. Statistički ograničeni skupovi
8.3. Unutrašnje bifurkacije i krize privlačenja
8.4. Unutrašnje bifurkacije i krize ravnotežnih položaja i ciklusa
8.5. Bifurkacije dvodimenzionalnog torusa
Poglavlje 4. Opuštajuće vibracije
§ 1. Osnovni pojmovi
1.1. Primjer. Van der Pol jednadžba
1.2. Brzi i spori pokreti
1.3. Spora površina i spora jednadžba
1.4. Usporeno kretanje kao aproksimacija poremećenog
1.5. Fenomen kvara
§ 2. Značajke brzih i sporih pokreta
2.1. Karakteristike brzog kretanja na tačkama prekida sistema sa jednom brzom varijablom
2.2. Razmatranja sporog dizajna površine
2.3. Usporeno kretanje sistema sa jednom sporom varijablom
2.4. Usporeno kretanje sistema sa dvije spore varijable
2.5. Normalni oblici faznih krivulja usporenog kretanja
2.6. Veza s teorijom jednadžbi nije riješena u odnosu na derivaciju
2.7. Degeneracija kontaktne strukture
§ 3. Asimptotika relaksacijskih oscilacija
3.1. Degenerisani sistemi
3.2. Sistemi prve aproksimacije
3.3. Normalizacija brzo-sporih jednadžbi s dvije spore varijable za (?)> 0
3.4. Izvođenje sistema prve aproksimacije
3.5. Istraživanje sistema prve aproksimacije
3.6. Lijevci
3.7. Periodične relaksacijske oscilacije u ravnini
§ 4. Produženje gubitka stabilnosti kada par vlastitih vrijednosti prođe kroz zamišljenu os
4.1. Tipični sistemi
4.2. Zatezanje izvijanja
4.3. Krutost izvijanja u analitičkim sistemima tipa 2
4.4. Histereza
4.5. Mehanizam zatezanja
4.6. Proračun momenta kvara u analitičkim sistemima
4.7. Zatezanje ciklusa pri savijanju
4.8. Zatezanje kopče i potke
§ 5. Rješenja za patke
5.1. Primjer: jedinstvena točka na pregibu spore površine
5.2. Postojanje rješenja za patke
5.3. Evolucija jednostavnih degeneriranih patki
5.4. Polu-lokalni fenomen: patke sa opuštanjem
5.5. Patke i (?) I (?)
Preporučena literatura
Književnost

U mnogim poljima znanja (biologija, geografija, pedagogija) izraz "bifurkacija" znači "bifurkacija", "podjela". U nelinearnoj dinamici, pojam "bifurkacija" tumači se šire - to je kvalitativna promjena stanja sistema s malom promjenom upravljačkih parametara. Definicija iz Univerzalne enciklopedije “od Ćirila i Metodija: Bifurkacija, stjecanje nove kvalitete u kretanjima dinamičkog sistema s malom promjenom njegovih parametara. Temelje teorije bifurkacije postavili su A. Poincaré i A. M. Lyapunov na početku. XX. Stoljeća, a zatim je ovu teoriju razvio A.A. Andronov i studenti. Poznavanje glavnih bifurkacija omogućuje značajno olakšavanje proučavanja stvarnih sistema (fizičkih, hemijskih, bioloških itd.), Posebno predviđanje prirode novih kretanja koja nastaju u vrijeme prelaska sistema na kvalitativno drugačije stanje, za procjenu njihove stabilnosti i regije postojanja.

Kao primjer, razmotrimo jednostavan mehanički sistem: kuglu koja se kotrlja po žlijebu čiji se profil određuje omjerom:

(8.1) y (x) = x 4 + ax 2 + bx

Odgovarajući grafikon koji objašnjava sistem koji se razmatra prikazan je na Sl. 8.1. Evo NS- varijabla koja jedinstveno određuje lokaciju lopte (i, prema tome, stanje sistema u ovom trenutku), a i b- kontrolni parametri koji određuju profil oluka koji se razmatra. Pri promjeni vrijednosti kontrolnih parametara a i b mijenja se profil padobrana, što podrazumijeva promjenu stanja sistema - mijenja se lokacija ravnotežnog stanja, lopta se prebacuje u novi ravnotežni položaj (vrijednost varijable NS). Tako se mijenjaju parametri upravljanja a i b, možemo promijeniti stanje sistema.

Pirinač. 8.1. Lopta u potencijalnoj rupi ( a = –0,8; b= 1). Koordiniraj x 0 određuje lokaciju lopte, parametre a i b- profil oluka

Sve moguće vrijednosti upravljačkih parametara mogu se zamisliti kao ravnina ( a, b), koja se naziva ravninom upravljačkih parametara. Svaka točka na ovoj ravnini nedvosmisleno odgovara jednoj, sasvim određenoj vrsti profila utora, po kojem se kugla kotrlja. Nasuprot tome, svaki utor oblika (8.1) može se pridružiti tački na ravni ( a, b). Da postoji više od dva kontrolna parametra (na primjer, tri), tada bismo govorili o prostoru parametara. Vratimo se, međutim, konceptu "bifurkacije". Poanta je u tome da se s malim promjenama vrijednosti kontrolnih parametara dolazi do kvalitativne promjene stanja sistema. Naglasimo dva važne tačke: male promjene vrijednosti kontrolnih parametara i kvalitativna promjena stanja sistema. Drugim riječima, svaka (mala) promjena kontrolnih parametara, naravno, dovodi do promjene stanja sistema, ali ako se razlike između početnog i završnog stanja ne razlikuju kvalitativno, onda se ne može govoriti o bifurkaciji.

Objasnimo ono što je rečeno na primjeru loptice u potencijalnoj rupi. Na sl. 8.2 prikazuje ravan kontrolnih parametara ( a, b), a na nekim mjestima prikazan je profil utora po kojem se lopta može kotrljati. Slika prikazuje, na primjer, da se u točki 3 i 4 ravnine parametara profili oluka, naravno, međusobno razlikuju, ali ta razlika je kvantitativna, a ne kvalitativna. Kvalitativno, oba su ova profila slična: imaju jedan minimum, a samim tim i jedno stanje stabilne ravnoteže. Istovremeno, na ravnini parametara postoji područje (omeđeno isprekidanim linijama) u kojem padobran ima tri stanja ravnoteže. Padobran ima tri tačke u kojima lopta može biti u ravnoteži; dva od ovih stanja su stabilna, a jedno nestabilno.

Pirinač. 8.2. Ravan kontrolnih parametara ( a, b) i oblik potencijalne jame u nekim tačkama parametarske ravni

Ako je lopta u stanju nestabilne ravnoteže (slika 8.3), tada će proizvoljno mali utjecaji na nju (a takvi će se utjecaji prije ili kasnije realizirati) izvesti loptu iz ovog stanja ravnoteže i ona će se otkotrljati u jedna od rupa - ili lijeva, ili desna. I u lijevoj i u desnoj jami lopta će biti proizvoljno dugo u stanju stabilne ravnoteže. U koju od ove dvije rupe lopta padne, slučajno se utvrđuje. Takvi sustavi, u kojima je moguće nekoliko stabilnih stanja (od kojih je, naravno, samo jedno realizirano), nazivaju se višestabilnim, a sam fenomen naziva se višestabilnošću.

Pirinač. 8.3. Sistem u stanju nestabilne ravnoteže. Beznačajni vanjski utjecaji na sistem neizbježno će dovesti do toga da sistem pređe u stabilno stanje ravnoteže.

Jasno je da se oluk s dvije jame (i tri stanja ravnoteže) kvalitativno razlikuje od oluka s jednim stanjem ravnoteže. Prijelaz iz jednog stanja u drugo, kvalitativno različit, kao što možete pretpostaviti, vrši se na isprekidane linije (vidi sliku 8.2). Ako je na ravnini kontrolnih parametara dovoljno blizu da "dođe" do isprekidane linije, tada, laganom promjenom kontrolnog parametra, možete prijeći ovu liniju, što će dovesti do kvalitativnog restrukturiranja cijelog sistema. Dogodit će se ono što se naziva bifurkacija: kvalitativna promjena stanja sistema s malom promjenom kontrolnih parametara. Linija na čijem se sjecištu događa bifurkacija naziva se bifurkacijska linija, a vrijednosti parametara na kojima se promatra bifurkacija nazivaju se bifurkacijski parametri.

Razmotrimo sada suštinu fenomena koji se odvijaju sa stanovišta loptice koja se nalazi u utoru. Neka kontrolni parametri a i b polako mijenjajte kako je prikazano strelicom na Sl. 8.4. U skladu s promjenom parametara upravljanja, profil oluka se kontinuirano mijenja. U točki 1 ravnine parametara, padobran ima jedno stabilno stanje ravnoteže, u kojem se nalazi kugla. Kada se isprekidana linija prijeđe u točki 2, oluk ima još jedan minimum i jedan maksimum, tj. pojavljuju se još dva stanja ravnoteže, od kojih je jedno stabilno (minimalno), a drugo nije. Kako se dalje krećemo po ravnini parametara duž naznačene rute, drugi minimum postaje sve dublji (tačka 3), a po dostizanju tačke 4, dubina oba korita postaje ista. U ovom slučaju, oba stanja ravnoteže su "jednaka". Imajte na umu, međutim, da lopta nije ni primijetila pojavu drugog stanja ravnoteže, u kojem bi to moglo biti. Za loptu se gotovo ništa nije promijenilo: onakva kakva je bila u rupi, nastavlja ostati tamo. Da, koordinata se mijenja s promjenom upravljačkih parametara x 0 stanje ravnoteže, a time i koordinatu lokacije loptice, ali ta je promjena toliko beznačajna da joj lopta ne pridaje posebnu važnost. Glatke, male promjene su neprimjetne i djeluju nevažno.

Pirinač. 8.4. Promjena stanja sistema pri kretanju po ravnini parametara u smjeru koji pokazuje strelica

Zaista, razmišljamo li svakog jutra o činjenici da smo postali dan stariji? Obraćamo li pažnju na činjenicu da je 15. januara dužina dana bila 7 sati 39 minuta, a 16. januara 7 sati 42 minute? Primjećujemo li jednog jesenjeg dana da je lišće postalo čak i malo žućkasto nego prethodnog dana? Toliko malih promjena da ne obraćamo pažnju da se neprimjetno nakupe. Mala promjena koordinate stanja ravnoteže od tačke do tačke pri kretanju po ravni kontrolnih parametara stvar je toliko beznačajna i nevažna da lopta na to ne obraća pažnju. Vjerojatno bi se lopta mogla činiti zanimljivom i važnom za pojavu drugog mogućeg stanja u kojem bi mogla biti, ali ovo drugo stanje ostaje nevidljivo za loptu, skriveno je od nje visokim zidovima utora i loptom jednostavno ne zna za njegovo postojanje.

Nastavimo kretanje po ravnini upravljačkih parametara. U tački 5, dubina drugog, "alternativnog" minimuma prelazi dubinu minimuma na kojem se lopta nalazi, a širina drugog minimuma je takođe veća od širine prvog. Jasno je da je drugo stabilno stanje ravnoteže sada poželjnije od prvog. Ipak, lopta i dalje "živi" u prvom stanju ravnoteže i za nju se, uglavnom, ništa nije promijenilo. Drugo stanje ravnoteže za njega je još uvijek nevidljivo. Iako sada lopta može, ako se obrati pažnja, do indirektni znakovi kako bi se utvrdilo da se nešto promijenilo u sistemu: zidovi rupe u kojoj se nalazi nisu postali toliko strmi, a čini se da je dubina rupe postala manja. No, hoće li lopta iza ovih manjih promjena (koje su prethodnici daljnjih događaja) moći vidjeti nešto ozbiljnije od neke promjene u svom okruženju, hoće li moći shvatiti da mu je trenutno stanje ravnoteže ugroženo njegova, lopta, "pamet" ... U tako jednostavnom mehaničkom sistemu vjerovatno nije jako teško, pogotovo ako lopta ima određeno iskustvo, tj. ako je već nekoliko puta bio u sličnim situacijama. Uostalom, čak i mali pokret, lagana promjena kontrolnih parametara i stanje ravnoteže, u kojem je lopta bila jako dugo, nestat će (točka 6), a lopta će biti bačena u potpuno drugačiji oblik država.

Navedimo još jedan klasičan primjer bifurkacije, koji je smatrao veliki Euler. Trebamo mjerno ravnalo, tanki stolni nož, oštricu pile, dugački plastični češalj itd. Postavite je okomito na čvrstu podlogu i sami, štiteći ruku od ozljeda, počnite je pritiskati (slika 8.5). Povećanje napora F, to ćete pronaći za F b O važnije F b traka ne zadržava svoj izvorni pravocrtni oblik (slika 8.5a) - ovo stanje gubi stabilnost, a umjesto njega moguće je jedno od druga dva stanja (1 ili 2 na slici 8.5b), kada je traka zakrivljena. Štoviše, koje će se stanje uspostaviti ovisi o različitim beznačajnim faktorima (početna deformacija trake, odstupanje od okomice primijenjene sile, vibracije itd.). Evo F- kontrolni parametar, F b je njegova vrijednost bifurkacije.

Pirinač. 8.5. Iskustvo s ravnalom: a) stanje vladara prije bifurkacije (vrijednost F manje od vrijednosti bifurkacije); b) dva moguća stabilna stanja u koja sistem prelazi pri prekoračenju sile F vrijednost bifurkacije F b; c) odgovarajući dijagram bifurkacije

Prikladno je prikazati šta se dešava u razmatranom sistemu pomoću grafikona (slika 8.5c, gdje NS- odstupanje sredine trake od vertikale) - dijagrami bifurkacije. Na slici su vrijednosti parametra iscrtane vodoravno, a vrijednosti varijable koja im odgovara, uspostavljene u sistemu, vodoravno (tj. Ovo nije fazna ravnina ili ravnina parametara, ali nešto kombinovano). Dijagram pokazuje da umjesto jednog stanja označenog brojem 0, nakon bifurkacije postoje stanja 1 i 2. koja se mogu implementirati u praksi. Što se tiče stanja 0, ono u principu nastavlja postojati na vrijednostima F b O najveća bifurkacija, ali se zbog svoje nestabilnosti ne može praktično realizirati.

Jasno je da se događaji koji potpadaju pod definiciju "bifurkacije" (kvalitativna promjena stanja sistema uz male promjene kontrolnih parametara) mogu naći i u društvenim sistemima. Primjer je revolucija koja temeljno restrukturira uobičajeni život ljudskog društva. Mogući su i manje "globalni" primjeri. Osoba radi, radi negdje i odjednom bez ikakvog razloga, naizgled zbog sitnice, kaže: "Ali ona gori od vatre, sva ova šaraga" i piše ostavku. Sistem prelazi u drugačije, kvalitativno drugačije stanje.

Međutim, treba napomenuti sljedeći aspekt: društveni sustavi su izuzetno složeni, pa se treba sjetiti da je potrebno primijeniti koncepte koji postoje u nelinearnoj dinamici na takve sisteme (uključujući koncepte "bifurkacije", "višestabilnosti") sa oprez, imajući na umu činjenicu da jednostavan mehanički prijenos može dovesti do grešaka, a ponekad i do krivotvorenja. Kada je u pitanju lopta u potencijalnom bunaru, savršeno je jasno o kojim se mogućim stanjima sistema radi, koja su od njih stabilna, koja nisu, i na kraju, koje se stanje trenutno realizuje. No, što se podrazumijeva pod mogućim stanjima društvenog sistema? Realizujuće stanje u datom trenutku je jedino, o ostalim stanjima, da li oni "postoje" (tačnije, jesu li se mogli ostvariti umjesto sadašnjeg) ili ne, možemo samo nagađati, a naše nagađanja će ostati nagađanja, o čijoj pouzdanosti također možemo izvući zaključke, ali ne više. Koncept "višestabilnosti", najvjerovatnije, može se primijeniti na društvene sisteme, ali je vjerovatno nemoguće "eksperimentalno" provjeriti postojanje višestabilnosti u društvenim sistemima. Nemoguće je pokazati da za bilo koji fiksni trenutak u vremenu (na primjer, danas), pored stanja koje se ostvaruje, "postoji" još jedno (ili nekoliko) alternativnih stanja, od kojih bi se svako moglo realizirati s nekim vjerovatnoća. To se može pretpostaviti, ali nije moguće eksperimentalno provjeriti. I naravno, mnogo je teže „vidjeti“, „osjetiti“ da se društveni sistem približava tački bifurkacije, iza koje će nastati kvalitativno drugačije stanje. A ako bismo vidjeli da lopta, koja se nalazi u potencijalnoj rupi, praktički do posljednjeg trenutka "ne vidi" predstojeću bifurkaciju (i prijelaz sistema u drugo stanje), što možemo reći o ljudima i o društvenom sistema. NS. Hruščov, na primjer, nije primijetio približavanje sistema do tačke bifurkacije, odlazeći s godišnjeg odmora na Plenum Centralnog komiteta u oktobru 1964., zbog čega je razriješen dužnosti prvog sekretara Centralne uprave Odbora i smijenjen s Predsjedništva, a sljedećeg dana - s mjesta predsjednika Vijeća ministara SSSR -a. A Gaj Julije Cezar 44. pne. takođe nije primijetio predstojeću bifurkaciju, za šta je platio životom.

Obratimo pažnju na još jedan važan aspekt vezan za pojam "bifurkacije". U trenutku kada se sistem (u smislu parametara) nalazi blizu tačke bifurkacije, male smetnje počinju igrati vrlo veliku ulogu. Ovi poremećaji mogu biti nasumični ili ciljani, ali njihova se uloga značajno povećava. Vratimo se lopti u potencijalnoj rupi i razmotrimo dva stanja sistema: daleko i blizu tačke bifurkacije (slika 8.6). Može se vidjeti da kada se sistem nalazi daleko od tačke bifurkacije, mali uticaji na njega ne dovode do značajnih promjena u njegovom stanju: lopta ostaje u istom položaju kao i prije. Da bi se sistem "prenio" u drugo moguće stanje, potrebno je primijeniti mnogo više O veliki trud. U isto vrijeme, kada je sistem blizu tačke bifurkacije, čak je i mali uticaj (koji sistem jednostavno ne bi primijetio prije) dovoljan za prijenos sistema iz jednog stanja u drugo.

Pirinač. 8.6. Sistem "kugla u potencijalnoj rupi" daleko i blizu tačke bifurkacije

Dakle, blizu tačke bifurkacije, mali uticaji na sistem mogu dovesti do nesrazmjerno velikih "odgovora". Drugi faktor koji može dovesti do promjene stanja sistema je mala promjena kontrolnih parametara. Ako je sustav blizu točke bifurkacije, tada lagano "pomeranje" kontrolnih parametara može dovesti do činjenice da je sustav već izvan granice bifurkacije (kako kažu, u nadkritičnoj regiji), a sam sustav, bez ikakvih vanjskih utjecaja, preći će u novo stanje. Na primjeru kugle u oluku, nakon što je prešla liniju bifurkacije u točki 6 (vidi sliku 8.4), stabilno stanje ravnoteže, u kojem je kugla bila do tog trenutka, stapa se s nestabilnim i nestaje, a , stoga, lopti ne preostaje ništa drugo nego "Idi" u drugo stanje ravnoteže.

Postoji mnogo primjera takvog ponašanja sistema u blizini linije bifurkacije. Očigledno, brojne transakcije na finansijskom i berzanskom tržištu takođe se mogu koristiti kao primjer. Organizirane radnje grupe osoba koje su zainteresirane za izvršenje određene finansijske transakcije, izvedene u pravo vrijeme, dovode do činjenice da se na bilo koji sistem, koji je blizu stanja bifurkacije, utiče, izvlačeći ga iz stanja ravnoteže , ili postoji mala smetnja kontrolnih parametara, a sistem je u nadkritičnom području. Kao rezultat toga, sistem prelazi u novo stanje, na primjer, zainteresirana osoba stječe kontrolni udio. No, ako se takva operacija izvede u vrijeme kada je sustav daleko od stanja bifurkacije, mogu se potrošiti velika sredstva, ali se ne može postići željeni rezultat.

Tako je djelovanjem na sistem koji se nalazi blizu bifurkacijskog stanja moguće postići dramatične promjene. Druga stvar je da društveni sistemi nisu lopta u oluku. Utvrđivanje kada se sistem približava tački bifurkacije težak je zadatak. Ali ništa manje težak i ne manje važan zadatak, ako postoji želja za upravljanjem društvenim sistemima na ovaj način, nije utvrđivanje stanja u koje će sistem ući nakon što napusti stanje ravnoteže.

Međutim, ne treba misliti da je bifurkacija uvijek neka vrsta nagle promjene, kada se sistem promijeni do neprepoznatljivosti. Gore opisani primjer bifurkacije s koegzistirajućom ravnotežom jedan je od najjednostavnijih. Općenito, u teoriji bifurkacija postoji prilično velik broj različite vrste bifurkacijske situacije. Tako se, na primjer, razlikuju bifurkacije i katastrofe; čak postoji i teorija katastrofa. Treba naglasiti da bifurkacije mogu nastati glatko, ponekad neprimjetno. Presek isprekidane linije u tački 2 na Sl. 8.4 dovodi do činjenice da se sistem kvalitativno mijenja (mijenja se broj mogućih stabilnih ravnotežnih stanja u sistemu), pa dolazi do bifurkacije. Međutim, kao što je već spomenuto, lopta koja se nalazi u drugoj rupi ne primjećuje bifurkaciju koja se dogodila. Još jedan primjer sa istim sistemom prikazan je na Sl. 8.7. Prilikom kretanja po ravnini upravljačkih parametara duž linije b= 0 u tački a= 0 dolazi do bifurkacije, stanje sistema se kvalitativno mijenja, ali do te promjene dolazi glatko, bez "kataklizmi". Lopta može primijetiti da se nešto promijenilo u sistemu, od njegove koordinate x 0 u početku (prije bifurkacije) bilo je jednako nuli, a zatim je postalo različito od nule. Međutim, ta se promjena dogodila vrlo glatko i može se zanemariti.

Pirinač. 8.7. Promjena stanja sistema pri kretanju po ravnini parametara duž linije b= 0 u smjeru strelice

Ali čak i u ovom slučaju, blizu tačke bifurkacije, mali utjecaji na sistem igraju značajnu ulogu. Ti utjecaji određuju u koju od rupa (lijevu ili desnu) će lopta upasti. Ti beznačajni uticaji određuju, u velikoj mjeri, dalju sudbinu sistema. U situaciji prikazanoj na Sl. 8.7, zbog malih udaraca lopta je bila u desnoj jami. Ako je, nakon što sistem napusti tačku bifurkacije, potrebno promijeniti stanje sistema, bit će potrebno baciti loptu u drugu rupu, tada će se morati uložiti napori, neuporedivo veći od onih koji su u tački bifurkacije odredio je izbor daljnje evolucije sistema. Primjer takve "meke", ali primjetne bifurkacije mogu biti demokratski izbori. Dok glasanje ne prođe, najneznačajniji faktori (možda do frizure kandidata) mogu utjecati na sudbinu daljnjeg razvoja zemlje. Nakon održanih izbora mnogo je teže bilo što promijeniti.

Nedavno je objavljen članak I. Prigogina koji još nije bačen. Poruka budućim generacijama. Konkretno, on piše sljedeće. „Budućnost nam nije data unaprijed. Veliki francuski povjesničar Fernand Braudel jednom je primijetio: "Događaji su prašina." Je li to točno? Što je događaj? Analogija odmah dolazi do "bifurkacija", koje se primarno proučavaju u fizici neravnoteže. Ove bifurkacije pojavljuju se na posebnim mjestima gdje je putanja po kojoj se sistem kreće podijeljena na "grane". Sve grane su jednako moguće, ali samo jedna će se realizirati. Obično ne postoji jedna bifurkacija, već cijeli niz bifurkacije ... S ove tačke gledišta, istorija se ispostavlja kao niz bifurkacija. "

Nadalje, I. Prigogine naglašava da su fluktuacije na mikroskopskom nivou odgovorne za izbor grane koja nastaje nakon tačke bifurkacije (one određuju događaj koji će se dogoditi). Primijenjeno na društvo (prema Prigožinu, takva primjena je metafora), događaj je nastanak nove društvene strukture nakon prolaska kroz bifurkaciju, a fluktuacije su posljedica individualnih radnji. Dakle, događaj ima mikrostrukturu. Kao primjer, I. Prigogine razmatra revoluciju u Rusiji 1917. godine, ističući da bi kraj carskog režima mogao poprimiti različite oblike. Smatra da je grana uz koju se razvijao rezultat posljedica djelovanja "fluktuacija" povezanih s nedostatkom carske dalekovidnosti, nepopularnošću njegove žene, slabošću Kerenskog i Lenjinovim nasiljem. Ova mikrostruktura odredila je sve kasnije događaje.

“Moja poruka budućim generacijama je, dakle, da kost još nije bačena, da grana uz koju će se razvoj odvijati nakon bifurkacije još nije odabrana. Živimo u eri fluktuacija, kada pojedinačna akcija ostaje bitna ... Vjerujem u pojavu nužnih fluktuacija, kroz koje bi se opasnosti koje danas osjećamo mogle uspješno prevladati. "

(od latinskog bifurcus - bifurkiran) je proces kvalitativnog prijelaza iz stanja ravnoteže u kaos kroz uzastopnu vrlo malu promjenu (na primjer, Feigenbaum koji se udvostručuje s dvostrukom bifurkacijom) periodičnih točaka.
Imperativ je napomenuti da postoji kvalitativna promjena svojstava sistema, takozvani katastrofalni skok. Trenutak skoka (bifurkacija na udvostručenoj bifurkaciji) događa se na tački bifurkacije.
Haos može nastati bifurkacijom, kako je pokazao Mitchell Feigenbaum. Prilikom stvaranja vlastite teorije fraktala, Feigenbaum je analizirao uglavnom sljedeću logističku jednadžbu:
X +, = CX - C (X y = CX (1 - X)
n + 1 i 4 u7 ny n "
gdje je X kompleksan broj; C je vanjski parametar.
Iz ove je jednadžbe zaključio da pod određenim ograničenjima u svim takvim jednadžbama postoji prijelaz iz stanja ravnoteže u kaos.
Ispod je klasičan biološki primjer ove jednadžbe.
Na primjer, populacija pojedinaca s normaliziranim brojem X živi izolirano. Godinu dana kasnije pojavljuje se potomstvo X
i u + 1
Rast populacije opisan je prvim izrazom na desnoj strani jednadžbe (CXJ, gdje koeficijent C određuje brzinu rasta i parametar je koji određuje. Gubitak životinja (zbog prenapučenosti, nedostatka hrane itd.) Je određen drugim, nelinearnim članom C (Xn) 2.
Rezultati proračuna su sljedeći zaključci:
na S u području 1 u rasponu 3 na S> 3,57 broj rješenja logističke jednadžbe počinje težiti u beskonačnost, uslijed čega se područja različitih rješenja preklapaju (čini se da su prefarbana) i ponašanje sistem postaje haotičan.
S povećanjem C ponekad se pojavljuju područja u kojima se broj rješenja logističke jednadžbe opet smanjuje na vidljive vrijednosti. Dakle, na Sot 3.627 do 3.631 (uključivo), broj rješenja se smanjuje na šest, a na C = 3.632 doseže dvanaest.
Nakon toga, međutim, s povećanjem C, broj rješenja ponovno se povećava.
Vrijednost vanjskog parametra C = = 3.67857351 također može biti od interesa. Prije njega, rješenje logističke jednadžbe za svako n bilo je više ili manje od prethodnog. Nakon dostizanja ove vrijednosti, počinje se očitovati sljedeći učinak - nakon rasta vrijednosti Xn, ponekad se počinju pojavljivati rastuće vrijednosti Xn, iako je prethodno povećanje uvijek pratilo smanjenje.
Ovakvo ponašanje logističke jednadžbe navelo je klasike teorije haosa na zaključak da je rezultat razvoja svih evoluirajućih fizičkih sistema stanje slično stanju dinamičkog kaosa.
Iz ovoga se izvode sljedeći zaključci o kaotičnim sistemima:
Kaotični sistemi su sistemi sa povratnom spregom, kada sljedeći zavisi od prethodne vrijednosti. Ova činjenica izravno ukazuje na to da kaotični sistemi nisu slučajni, budući da je jedno od svojstava slučajnih hodova neovisnost prethodnih i sljedećih događaja jedan od drugog.
U kaotičnim sistemima postoji mnogo tačaka ravnoteže. Dakle, kada parametar C dosegne određenu vrijednost, opaža se više od jedne točke ravnoteže. U našem primjeru, ovo svojstvo se manifestuje već pri C = 3. Do prve tačke bifurkacije, sistem je linearan i još nije kaotičan. Međutim, nakon prve bifurkacije, dinamika sustava postaje nelinearna, dobivajući sve više kaotičnih obrisa. A nakon C> 3,57, broj varijanti rješenja logističke jednadžbe dobiva potpuni kaotični karakter.
Kaotični sistem je fraktal. Kao što se sjećamo, glavno svojstvo fraktala je samosličnost. Tako su u dobro poznatom modelu bifurkacije mali elementi slični velikim, što se vrlo jasno vidi na Sl. 6.11.

Ako teoriju bifurkacije razmotrimo u presjeku s teorijom efikasnih tržišta, u trenutku bifurkacije nove informacije ulaze na tržište, što dovodi do još jedne promjene bifurkacije. Čim akcija informacija prestane, tržište se smiruje. Smiruje se dok se ne pojave nove informacije, što znači do nove tačke bifurkacije.
Dinamičke varijable Xn poprimaju vrijednosti koje jako ovise o početnim uvjetima. U proračunima provedenim na računaru, čak i za vrlo bliske početne vrijednosti C, konačne vrijednosti mogu se naglo razlikovati. Štaviše, proračuni postaju netačni, jer počinju zavisiti od slučajnih procesa u samom računaru (skokovi struje itd.).
Dakle, stanje sistema u trenutku bifurkacije je izuzetno nestabilno, a beskrajno mali utjecaj može dovesti do izbora daljnjeg puta kretanja, a to je, kao što već znamo, glavni znak kaotičnog sistema ( značajna zavisnost od početnih uslova).
Logistička jednadžba može se svesti na sljedeći sistem jednadžbi pod uvjetom da yn teži yn:
Gh „(1-h„) = h „_1 (1-hâ_1)
[X „= CX„ _1 (1-XYa_1)
Iz ovog sistema izvedena je jednostavna formula koju smo vidjeli ranije:
X = 1 - 11C.
NS
Stoga se može vidjeti da je Xn manji od jedan za bilo koju vrijednost C. Drugi zaključak: Xn je veći, veći C. To znači rast tačke konvergencije (ili pronalaženje tačke u kojoj je logistička jednadžba nastoji pronaći ravnotežu) zajedno s rastom vanjskog parametra.
Na temelju ove formule može se lako izračunati da pri C - 3 rješenje logističke jednadžbe teži 2/3, tj. na 0,666666 ... u tom periodu.
Logističku jednadžbu možete izračunati na osobnom računaru pomoću Excel proračunske tablice. Da biste to učinili, u ćeliju A1 postavite vrijednost vanjskog parametra C. Počnite, na primjer, s 0,5. U ćeliju B1 postavite vrijednost kompleksnog broja X, na primjer 0,1. Nadalje, u ćeliju B2 morat ćete unijeti sljedeću formulu, koja će biti proširena za najveći mogući broj vrijednosti za jednu kolonu (na primjer, do 65.536 redova):
= $ A $ 1 X B1 X (1 - B1).
Elementarni proračuni će vam pokazati da, s povećanjem perioda n, rezultat logističke jednadžbe teži nuli.
Kako se parametar C povećava na 2, logistička jednadžba konvergira na 0,5 nakon n = 5 (pri X - 0,1).
Kad se parametar C poveća na 3, rezultat logističke jednadžbe uistinu se čini da se isprva račva, ali kasnije, kao i sve prethodne vrijednosti C, nastoji konvergirati u jednu točku, čiju vrijednost već znamo (2/3).
Iz formule logističke jednadžbe može se vidjeti da se s povećanjem n razlika u prvoj vrijednosti X za konačno rješenje logističke jednadžbe izravnava. Zanimljivo je da to vrijedi i za velike vrijednosti C. Iz ovoga možemo zaključiti da je u logističkoj jednadžbi najvažnija varijabla vrijednost vanjskog parametra C. U biološkom primjeru, ovaj parametar je stopa rasta populacije . Pri niskim vrijednostima stope rasta, kako pokazuju proračuni, ona će odrediti vremenski period n tokom kojeg će sistem doći u ravnotežu.
Feigenbaum je, kao rezultat svog istraživanja, otkrio sljedeću pravilnost u pojavi bifurkacija:
F = = 4.669201660910 ...,
Ow-s ")
gdje je F Feigenbaumov broj (univerzalna konstanta, poput Ti broja);
B je vrijednost vanjskog parametra C na n-toj bifurkaciji.
Inače, univerzalnost Feigenbaumove konstante kao karakteristika mnogih prirodnih kaotičnih procesa ostavlja nadu u sistematizaciju i klasifikaciju kaosa.
Koristeći Feigenbaumov broj može se pronaći vrijednost C pri kojoj se može očekivati sljedeća bifurkacija rješenja logističke jednadžbe:
4.669201609...
Primjena ove formule omogućuje predviđanje koje su vrijednosti vanjskog parametra C kritične za nastanak nove bifurkacije. Zanimljivo je da su moji proračuni pokazali da vanjski parametar C za logističku jednadžbu koju razmatramo teži granici 3.569945672, i bez obzira na to koliko sam dugo radio proračune u potrazi za sljedećom tačkom bifurkacije, završili su neuspješno. Naravno, velike vrijednosti C mogu se unijeti i ručno, ali gornja formula za određivanje vrijednosti vanjskog parametra C na n -toj bifurkaciji nam više neće u tome pomoći. U isto vrijeme, ova formula omogućuje jasno razumijevanje kako vrlo male promjene vanjskog parametra C dovode do vrlo velikih promjena u rješenju logističke jednadžbe kroz veliki broj periodi p.
Feigenbaum je također uspostavio univerzalne zakone koji reguliraju prijelaz u dinamički kaos kada se period udvostruči. Ovdje treba reći da se u literaturi o teoriji haosa spominju eksperimentalne potvrde ovog prijelaza za široku klasu mehaničkih, hidrodinamičkih, hemijskih i drugih sistema.
Rezultat Feigenbaumovog istraživanja bilo je takozvano Feigenbaumovo drvo (slika 6.12).

Pirinač. 6.12. Feigenbaumovo drvo (proračun se temelji na blago izmijenjenoj logistici
formule)

,
Postoji sličnost između logističke jednadžbe Feigenbaumovog stabla (Xn + 1 = CXn (1 - XJ) i Mandelbrotovog skupa (Zn + 1 - Z2 + C), što se također očituje jednostavnom grafičkom usporedbom. Ovdje vidimo presjek bifurkacijskih modela s fraktalima, što još jednom potvrđuje da su bifurkacije fraktalne prirode, budući da su i same sebi slične.
Jedina razlika je u tome što stablo Feigenbaum raste u suprotnom smjeru od skupa Mandelbrota. To je zbog razlike u znakovima unutar odgovarajućih formula, gdje se u prvoj formuli oduzima kvadrat broja X, a u drugoj - kvadrat broja Z.

.
Na sl. 6.13 može se vidjeti da je svaka bifurkacija popraćena pojavom nove fraktalne figure u Mandelbrotovom skupu.
Šta su bifurkacije u svakodnevnom životu? Kao što znamo, bifurkacije nastaju pri prijelazu sistema iz stanja vidljive stabilnosti i ravnoteže u kaos. Primjeri takvih prijelaza su dim, voda i mnogi drugi najčešći prirodni fenomeni. Dakle, dizanje dima cigarete isprva izgleda kao uređena kolona. Međutim, nakon nekog vremena počinje doživljavati promjene koje se isprva čine urednima, a zatim postaju kaotično nepredvidive. U stvari, prvi prijelaz iz stabilnosti u neki oblik vidljivog uređenja, ali već varijabilnosti, događa se na prvoj točki bifurkacije. Nadalje, broj bifurkacija se povećava, dostižući ogromne vrijednosti. Sa svakom bifurkacijom, funkcija turbulencije dima približava se kaosu. Razlog bifurkacija ovdje je ubrzanje koje, neko vrijeme nakon pojave dima, dovodi do činjenice da gustoća dima pada ispod gustoće zraka i da se dim raspršuje.
Pomoću teorije bifurkacija može se predvidjeti priroda kretanja koja nastaje pri prijelazu sistema u kvalitativno različito stanje, kao i područje postojanja sistema te procijeniti njegova stabilnost.
Nažalost, samo postojanje teorije haosa teško je pomiriti s klasičnom naukom. Obično se znanstvene ideje provjeravaju na temelju predviđanja i njihovog uspoređivanja sa stvarnim rezultatima. Međutim, kao što već znamo, kaos je nepredvidljiv, a kada proučavate kaotičan sistem, možete samo predvidjeti njegov model ponašanja. Stoga, uz pomoć kaosa, nije samo nemoguće izgraditi tačnu prognozu, već je, shodno tome, i provjeriti. Međutim, to ne bi trebalo govoriti o netočnosti teorije haosa, što je potvrđeno i matematičkim proračunima i životom.
Danas još uvijek ne postoji matematički precizan aparat za primjenu teorije haosa na proučavanje tržišnih cijena, pa se ne žuri s primjenom znanja o haosu. Ujedno, zaista, ovo je najperspektivniji savremeni smjer matematike sa stanovišta primijenjenog istraživanja finansijskih tržišta.