Ürün farklılaştırma formülü. Türevi bulun: algoritma ve çözüm örnekleri

Türevi bulma işlemine farklılaşma denir.

Türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak en basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin çözülmesinin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış farklılaşma kuralları ortaya çıktı. . Türev bulma alanında ilk çalışmalar yapanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olmuştur.

Bu nedenle günümüzde herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yukarıda belirtilen fonksiyonun artımının argümanın artımına oranının limitini hesaplamanıza gerek yoktur, yalnızca tabloyu kullanmanız gerekir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

Türevi bulmak için, asal işaretin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri bileşenlere ayırın ve hangi eylemlerin gerçekleştirileceğini belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler birbiriyle ilişkilidir. Daha sonra, temel fonksiyonların türevlerini türev tablosunda ve çarpım, toplam ve bölüm türevlerinin formüllerini türev kurallarında buluyoruz. Türev tablosu ve türev kuralları ilk iki örnekten sonra verilmiştir.

Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türev alma kurallarından, bir fonksiyon toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz;

Türev tablosundan "x" türevinin bire, sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. İkinci terimin sabit bir faktöre sahip olduğu bir toplamın türevi olarak türev alıyoruz; türevin işaretinden çıkarılabilir:

Eğer hala bir şeyin nereden geldiğine dair sorular ortaya çıkıyorsa, bunlar genellikle türev tablosuna ve türev almanın en basit kurallarına aşina olduktan sonra açıklığa kavuşturulur. Şu anda onlara doğru ilerliyoruz.

Basit fonksiyonların türevleri tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfıra eşittir. Bunu hatırlamak çok önemlidir, çünkü çok sık ihtiyaç duyulur.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "X". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir
3. Derecenin türevi. Problem çözerken karekök olmayanları kuvvetlere dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. Türev kare kök
6. Sinüs türevi
7. Kosinüs Türevi
8. Teğetin türevi
9. Kotanjantın Türevi
10. Arsinüsün türevi
11. Arkosinin türevi
12. Arktanjantın türevi
13. Ark kotanjantının türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik fonksiyonun türevi
16. Üssün türevi
17. Üstel bir fonksiyonun türevi

Farklılaşma kuralları

1. Bir toplamın veya farkın türevi
2. Ürünün türevi
2a. Bir ifadenin sabit bir faktörle çarpılmasının türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse fonksiyonlar aynı noktada türevlenebilirdir

onlar. fonksiyonların cebirsel toplamının türevi şuna eşittir: cebirsel toplam bu fonksiyonların türevleri.

Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyonun farkı sabit bir terim ise türevleri eşittir yani

Kural 2.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse çarpımları aynı noktada türevlenebilirdir

onlar. İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımları ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir:

Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, her faktörün ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Örneğin üç çarpan için:

Kural 3.Eğer işlevler

bir noktada farklılaşabilir Ve , o zaman bu noktada onların bölümü de türevlenebiliru/v ve

onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, pay, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir ve payda, karesidir. eski pay.

Diğer sayfalardaki şeyleri nerede arayabilirim?

Gerçek problemlerde bir çarpımın ve bölümün türevini bulurken her zaman birkaç türev alma kuralını aynı anda uygulamak gerekir, bu nedenle daha fazla örnek bu türevler için - makalede"Çarpının türevi ve fonksiyonların bölümü".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşit olur ve sabit bir faktör olması durumunda türevlerin işareti dışına çıkarılır. Bu tipik hata, üzerinde meydana gelen İlk aşama Türevleri inceliyorlar, ancak birkaç bir ve iki parçalı örnekleri çözdükçe, ortalama bir öğrenci artık bu hatayı yapmıyor.

Ve eğer bir ürünü veya bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum örnek 10'da tartışılmıştır).

Diğer bir yaygın hata, karmaşık bir fonksiyonun türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik olarak çözmektir. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.

Yol boyunca ifadeleri dönüştürmeden yapamazsınız. Bunu yapmak için kılavuzu yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirlerle işlemler .

Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından “Küsleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi” dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , daha sonra “Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri” dersini alacaksınız.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini tanımlarız: ifadenin tamamı bir çarpımı temsil eder ve faktörleri toplamlardır; ikincisinde terimlerden biri sabit bir faktör içerir. Çarpım farklılaşması kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımlarının diğerinin türevine göre toplamına eşittir:

Daha sonra, toplamın türev alma kuralını uyguluyoruz: Cebirsel fonksiyonlar toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda her toplamda ikinci terimin bir eksi işareti vardır. Her toplamda hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani “X” bire, eksi 5 ise sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığından ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarpıyoruz. Aşağıdaki türev değerlerini elde ederiz:

Bulunan türevleri çarpımların toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Ve türev probleminin çözümünü adresinde kontrol edebilirsiniz.

Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Şunu elde ederiz:

Örnek 2'de paydaki faktörlerin türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci faktör olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve kuvvet yığınının bulunduğu sorunlara çözüm arıyorsanız, örneğin, , o zaman sınıfa hoş geldiniz "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi" .

Sinüs, kosinüs, teğet ve diğer trigonometrik fonksiyonların türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, yani fonksiyon şuna benzer: o zaman sana bir ders "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir çarpım görüyoruz. Çarpımı ve karekök türevinin tablo değerini farklılaştırma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:

Türev probleminin çözümünü adresinden kontrol edebilirsiniz. çevrimiçi türev hesaplayıcı .

Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bir bölüm görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümlerin farklılaşma kuralını ve karekök türevinin tablolaştırılmış değerini kullanarak şunu elde ederiz:

Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.

Türev fonksiyonu nedir - bu, analizdeki integrallerle aynı seviyede olan temel bir matematiksel kavramdır. Bu fonksiyon belirli bir noktadaki fonksiyonun bu noktadaki değişim hızının bir karakteristiğini verir.
Farklılaşma ve entegrasyon gibi kavramlar, birincisi bir türev arama eylemi olarak deşifre edilir, ikincisi ise tam tersine belirli bir türevden başlayarak bir fonksiyonu geri yükler.
Türev hesaplamaları diferansiyel hesaplamalarda önemli bir rol oynar.
İçin açık örnek türevini koordinat düzleminde gösterelim.

y=f(x) fonksiyonunda (x0; f(X0)) ve N f (x0+?x)'in her apsis için?x biçiminde bir artışın olduğu M noktalarını sabitleriz. Artış, apsisin değiştiği, ardından koordinatın da değiştiği süreçtir. ?y olarak gösterilir.
Bunun için M ve N noktalarını kullanarak MPN üçgenindeki açının tanjantını bulalım.

tg mi? = NP/MP = ?у/?x.

x 0'a giderken. Kesişen MN, MT teğetine ve ? açısına yaklaşıyor. irade?. Bu nedenle, tg? tg için maksimum değer?

tg mi? = lim'den?x-0 tg ? = lim?x-0 ?y/?x'ten itibaren

Türev tablosu

Her birinin ifadesini telaffuz ederseniz türev formülleri. Tablonun hatırlanması daha kolay olacaktır.
1) Sabit bir değerin türevi 0'dır.
2) Asal olan X bire eşittir.
3) Eğer sabit bir faktör varsa bunu türev olarak çıkarırız.
4) Türetilmiş bir kuvveti bulmak için, belirli bir kuvvetin üssünü aynı tabana sahip, üssü 1 eksik olan bir kuvvetle çarpmanız gerekir.
5) Bir kökü bulmak, birin bu köklerin 2'ye bölünmesine eşittir.
6) Birin X'e bölünmesinin türevi, eksi işaretli birin X'in karesine bölünmesine eşittir.
7) P sinüs kosinüse eşittir
8) P kosinüs eksi işaretli sinüse eşittir.
9) P tanjantı birin kosinüs karesine bölünmesine eşittir.
10) P kotanjantı, eksi işaretli bire eşittir, sinüs kareye bölünür.

Farklılaştırmada da kurallar vardır ve bunları yüksek sesle konuşarak öğrenmesi daha kolaydır.

1) Çok basit, n. terim toplamına eşittir.
2) Çarpmadaki türev, birinci değerin ikinciyle çarpımına eşittir ve ikinci değerin birinciyle çarpımını kendisine ekler.
3) Bölmedeki türev, birinci değerin ikinciyle çarpımına, ikinci değerin birinciyle çarpımının çıkarılmasına eşittir. Kesirin ikinci değerin karesine bölümü.
4) Formülasyon üçüncü formülün özel bir durumudur.

Bu derste fonksiyonların türevlerini incelemeye devam ediyoruz ve daha ileri bir konuya, yani çarpımların ve bölümlerin türevlerine geçiyoruz. Önceki dersi izlediyseniz muhtemelen yalnızca en basit yapıları, yani türevi dikkate aldığımızı fark etmişsinizdir. güç fonksiyonu, toplamlar ve farklar. Özellikle, bir toplamın türevinin toplamlarına eşit olduğunu ve bir farkın türevinin sırasıyla farklarına eşit olduğunu öğrendik. Maalesef bölüm ve çarpım türevleri durumunda formüller çok daha karmaşık olacaktır. Fonksiyonların çarpımının türevinin formülüyle başlayacağız.

Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Başlangıç olarak küçük bir lirik inceleme yapayım. Gerçek şu ki, standart kuvvet fonksiyonuna - $y=((x)^(n))$ ek olarak, bu derste $y=\sin x$ ve $ gibi diğer fonksiyonlarla da karşılaşacağız. y=\ cos x$ ve diğer trigonometri - $y=tgx$ ve tabii ki $y=ctgx$.

Eğer hepimiz bir kuvvet fonksiyonunun türevini çok iyi biliyorsak, yani $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, o zaman Trigonometrik fonksiyonlardan ayrıca bahsetmek gerekir. Bunu yazalım:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Ama siz bu formülleri çok iyi biliyorsunuz, devam edelim.

Bir ürünün türevi nedir?

İlk olarak, en önemli şey: Eğer bir fonksiyon diğer iki fonksiyonun çarpımı ise, örneğin $f\cdot g$, o zaman bu yapının türevi aşağıdaki ifadeye eşit olacaktır:

Gördüğünüz gibi bu formül, daha önce incelediğimiz formüllerden önemli ölçüde farklı ve daha karmaşıktır. Örneğin, bir toplamın türevi temel bir şekilde hesaplanır - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ veya türevi aynı zamanda temel bir şekilde hesaplanan bir fark - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Problemde bize verilen iki fonksiyonun türevlerini hesaplamak için ilk formülü uygulamaya çalışalım. İlk örnekle başlayalım:

Açıkçası, aşağıdaki yapı bir çarpım, daha doğrusu çarpan görevi görüyor: $((x)^(3))$, bunu $f$ ve $\left(x-5 \right) olarak düşünebiliriz. $'ı $g$ olarak düşünebiliriz. O zaman ürünleri tam olarak iki fonksiyonun ürünü olacaktır. Biz karar veriyoruz:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) sağ))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(hizala)\].

Şimdi her bir terimimize daha yakından bakalım. Hem birinci hem de ikinci terimin $x$ derecesini içerdiğini görüyoruz: ilk durumda $((x)^(2))$, ikinci durumda ise $((x)^(3)) $. Parantez içinde bırakarak en küçük dereceyi parantezlerden çıkaralım:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(hizala)\]

İşte bu, cevabı bulduk.

Sorunlarımıza dönelim ve çözmeye çalışalım:

O halde yeniden yazalım:

Bir kez daha şunu fark ediyoruz Hakkında konuşuyoruz iki fonksiyonun çarpımı hakkında: $f$ ile gösterilebilen $x$ ve $g$ ile gösterilebilen $\left(\sqrt(x)-1 \right)$.

Böylece önümüzde yine iki fonksiyonun çarpımı var. $f\left(x \right)$ fonksiyonunun türevini bulmak için yine formülümüzü kullanacağız. Şunu elde ederiz:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Cevap bulundu.

Neden faktör türevleri?

Kendi başlarına türevlerle ilgili olmayan, ancak onların bilgisi olmadan, çok önemli birkaç matematiksel gerçeği kullandık, bu konuyla ilgili daha fazla çalışmanın hiçbir anlamı yok.

Öncelikle ilk problemi çözüp türevlerin tüm işaretlerinden kurtulduktan sonra, bir nedenden dolayı bu ifadeyi çarpanlarına ayırmaya başladık.

İkinci olarak, aşağıdaki problemi çözerken, ayrı ayrı tekrarlamaya değer olan 8-9. Sınıf formülünü kullanarak kökten rasyonel üslü kuvvete ve geriye doğru birkaç kez geçtik.

Çarpanlara ayırmayla ilgili olarak tüm bu ek çabalara ve dönüşümlere neden ihtiyaç duyuldu? Aslında problem basitçe "bir fonksiyonun türevini bulun" diyorsa bu ek adımlara gerek yoktur. Ancak her türlü sınav ve testte sizi bekleyen gerçek problemlerde sadece türevi bulmak çoğu zaman yeterli değildir. Gerçek şu ki, türev yalnızca bir fonksiyonun artışını veya azalmasını öğrenebileceğiniz bir araçtır ve bunun için denklemi çözmeniz ve onu çarpanlara ayırmanız gerekir. Ve bu tekniğin çok uygun olacağı yer burasıdır. Ve genel olarak, herhangi bir dönüşüm gerekiyorsa gelecekte çarpanlara ayrılmış bir fonksiyonla çalışmak çok daha rahat ve keyifli. Bu nedenle kural 1: Eğer türev çarpanlarına ayrılabiliyorsa, yapmanız gereken de budur. Ve hemen 2 numaralı kural (esasen bu 8-9. sınıf materyalidir): eğer problem bir kök içeriyorsa N-inci derece ve kök açıkça ikiden büyükse, bu kökün yerini rasyonel bir üsle sıradan bir derece alabilir ve üs içinde bir kesir görünecektir; N- tam da bu derece - bu kesrin paydasında olacaktır.

Tabii kökün altında bir derece varsa (bizim durumumuzda bu derecedir) k), o zaman hiçbir yere gitmez, sadece bu derecenin payına düşer.

Artık bunları anladığınıza göre çarpımın türevlerine geri dönelim ve birkaç denklem daha hesaplayalım.

Ancak doğrudan hesaplamalara geçmeden önce aşağıdaki kalıpları hatırlatmak isterim:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

İlk örneği ele alalım:

Yine iki fonksiyonun çarpımı var: birincisi $f$, ikincisi $g$. Formülü hatırlatayım:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Karar verelim:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]

Gelelim ikinci fonksiyona:

Yine, $\left(3x-2 \right)$ $f$'ın bir fonksiyonudur, $\cos x$ $g$'ın bir fonksiyonudur. Toplamda iki fonksiyonun çarpımının türevi şuna eşit olacaktır:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Ayrı ayrı yazalım:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Bu ifadeyi çarpanlara ayırmıyoruz çünkü bu henüz nihai cevap değil. Şimdi ikinci kısmı çözmemiz gerekiyor. Bunu yazalım:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Şimdi asıl görevimize dönelim ve her şeyi tek bir yapıda bir araya getirelim:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

İşte bu, bu son cevap.

Konusuna geçelim son örnek- hesaplamalar açısından en karmaşık ve en hacimli olacaktır. Yani bir örnek:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Her parçayı ayrı ayrı sayıyoruz:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Orijinal fonksiyona dönersek türevini bir bütün olarak hesaplayalım:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2))))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Aslında türev çalışmalarla ilgili size anlatmak istediğim tek şey buydu. Gördüğünüz gibi formülle ilgili asıl sorun onu ezberlemek değil, oldukça fazla miktarda hesaplama içermesidir. Ama sorun değil, çünkü şimdi gerçekten çok çalışmamız gereken bölüm türevine geçiyoruz.

Bir bölümün türevi nedir?

Yani bölümün türevinin formülü. Bu belki de okuldaki türev dersindeki en karmaşık formüldür. Diyelim ki $\frac(f)(g)$ biçiminde bir fonksiyonumuz var; burada $f$ ve $g$ aynı zamanda asal sayıyı da kaldırabileceğimiz fonksiyonlardır. Daha sonra aşağıdaki formüle göre hesaplanacaktır:

Pay bize bir bakıma çarpımın türev formülünü hatırlatıyor ama terimler arasında eksi işareti var ve orijinal paydanın karesi de paydaya eklenmiş. Bunun pratikte nasıl çalıştığını görelim:

Çözmeye çalışalım:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Her bölümü ayrı ayrı yazıp şunları yazmanızı öneririm:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ sağ))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\son(hizala)\]

İfademizi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2))))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2)))) \\\end(hizala)\]

Cevabı bulduk. Gelelim ikinci fonksiyona:

Payı sadece bir olduğu için buradaki hesaplamalar biraz daha basit olacaktır. O halde şunu yazalım:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2))))\]

Örneğin her bölümünü ayrı ayrı hesaplayalım:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

İfademizi yeniden yazalım:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2) )+4 \sağ))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]

Cevabı bulduk. Beklendiği gibi, hesaplama miktarının ilk fonksiyona göre önemli ölçüde daha az olduğu ortaya çıktı.

Tanımlamalar arasındaki fark nedir?

Dikkatli öğrencilerin muhtemelen zaten bir sorusu vardır: Neden bazı durumlarda fonksiyonu $f\left(x \right)$ olarak belirtiyoruz ve diğer durumlarda sadece $y$ yazıyoruz? Aslında matematik açısından kesinlikle hiçbir fark yoktur - hem birinciyi hem de ikinciyi kullanma hakkına sahipsiniz ve sınavlarda veya testlerde herhangi bir ceza alınmayacaktır. Hâlâ ilgilenenler için, ders kitaplarının ve problemlerin yazarlarının neden bazı durumlarda $f\left(x \right)$ yazdıklarını ve diğerlerinde (çok daha sık) - sadece $y$ yazdıklarını açıklayacağım. Gerçek şu ki, \ biçiminde bir fonksiyon yazarak, hesaplamalarımızı okuyanlara, özellikle fonksiyonel bağımlılığın cebirsel yorumundan bahsettiğimizi dolaylı olarak ima etmiş oluyoruz. Yani belli bir $x$ değişkeni var, bu değişkene olan bağımlılığı dikkate alıyoruz ve onu $f\left(x \right)$ olarak gösteriyoruz. Aynı zamanda, böyle bir atamayı gören, hesaplamalarınızı okuyan kişi, örneğin müfettiş, bilinçaltında gelecekte onu yalnızca cebirsel dönüşümlerin beklediğini bekleyecektir - grafik yok ve geometri yok.

Öte yandan, \ biçimindeki notasyonları kullanarak, yani bir değişkeni tek bir harfle göstererek, gelecekte fonksiyonun geometrik yorumuyla ilgilendiğimizi, yani öncelikle ilgilendiğimizi hemen açıkça ortaya koyarız. hepsi grafiğinde. Buna göre, okuyucunun formun bir kaydıyla karşılaştığında grafik hesaplamalar, yani grafikler, yapılar vb. bekleme hakkı vardır, ancak hiçbir durumda analitik dönüşümler beklenmez.

Bugün ele aldığımız görevlerin tasarımının bir özelliğine de dikkatinizi çekmek isterim. Pek çok öğrenci hesaplamaları çok detaylı verdiğimi ve birçoğunun atlanabileceğini ya da basitçe kafalarında çözülebileceğini düşünüyor. Bununla birlikte, saldırgan hatalardan kurtulmanıza ve örneğin doğru çözülmüş sorunların yüzdesini önemli ölçüde artırmanıza olanak tanıyan tam da bu kadar ayrıntılı bir kayıttır. bireysel çalışma Testler veya sınavlar için. Bu nedenle, yeteneklerinizden hala emin değilseniz, bu konuyu incelemeye yeni başlıyorsanız acele etmeyin - her adımı ayrıntılı olarak açıklayın, her faktörü, her vuruşu yazın ve çok yakında bu tür örnekleri daha iyi çözmeyi öğreneceksiniz. birçok okul öğretmeninden daha fazla. Umarım açık olmuştur. Birkaç örnek daha sayalım.

Birkaç ilginç görev

Bu sefer, gördüğümüz gibi, hesaplanan türevlerde trigonometri mevcut. Bu nedenle şunu hatırlatmama izin verin:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Elbette bölümün türevi olmadan yapamayız:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2))))\]

İlk fonksiyonu ele alalım:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\bit(hizala)\]

Böylece bu ifadeye bir çözüm bulduk.

Gelelim ikinci örneğe:

Açıkçası, bu fonksiyonun hem payında hem de paydasında trigonometri mevcut olduğu için türevi daha karmaşık olacaktır. Biz karar veriyoruz:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))))(((\left(\cos x \right)) ^(2))))\]

Ürünün bir türevine sahip olduğumuzu unutmayın. Bu durumda şuna eşit olacaktır:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) sağ))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Hesaplamalarımıza dönelim. Şunları yazıyoruz:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(hizala)\]

Bu kadar! Matematiği yaptık.

Bir bölümün türevi, bir ürünün türevi için basit bir formüle nasıl indirgenir?

Ve burada trigonometrik fonksiyonlarla ilgili çok önemli bir açıklama yapmak istiyorum. Gerçek şu ki, orijinal yapımız $\frac(\sin x)(\cos x)$ biçiminde bir ifade içerir ve bu ifade kolayca $tgx$ ile değiştirilebilir. Böylece bir bölümün türevini, bir çarpımın türevi için daha basit bir formüle indirgemiş oluyoruz. Bu örneği tekrar hesaplayalım ve sonuçları karşılaştıralım.

O halde şimdi şunları dikkate almamız gerekiyor:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Bu gerçeği hesaba katarak orijinal fonksiyonumuzu $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ yeniden yazalım. Şunu elde ederiz:

Hadi sayalım:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Şimdi elde edilen sonucu daha önce farklı bir şekilde hesaplarken elde ettiğimiz sonuçla karşılaştırırsak aynı ifadeyi aldığımıza ikna olacağız. Yani türev hesabında hangi yöne gidersek gidelim her şey doğru hesaplanırsa cevap aynı olacaktır.

Sorunları çözerken önemli nüanslar

Sonuç olarak size bir bölümün türevinin hesaplanmasıyla ilgili bir incelikten daha bahsetmek istiyorum. Şimdi anlatacaklarım video dersinin orijinal senaryosunda yoktu. Ancak çekimlerden birkaç saat önce öğrencilerimden biriyle çalışıyordum ve sadece bölüm türevleri konusunu tartışıyorduk. Ve ortaya çıktığı gibi, birçok öğrenci bu noktayı anlamıyor. Diyelim ki aşağıdaki fonksiyonun kaldırma vuruşunu hesaplamamız gerekiyor:

Prensip olarak, ilk bakışta bunda doğaüstü hiçbir şey yok. Ancak hesaplama sürecinde pek çok aptalca ve saldırgan hata yapabiliriz, bunu şimdi tartışmak istiyorum.

Bu türevi hesaplıyoruz. Öncelikle $3((x)^(2))$ terimine sahip olduğumuzu not edelim, dolayısıyla aşağıdaki formülü hatırlamamız yerinde olacaktır:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ek olarak $\frac(48)(x)$ terimine sahibiz - bunu bölümün türevi aracılığıyla ele alacağız, yani:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2))))\]

Öyleyse karar verelim:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

İlk dönemde herhangi bir sorun yok, bakınız:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Ancak ilk terim olan $\frac(48)(x)$ ile ayrı ayrı çalışmanız gerekir. Gerçek şu ki, birçok öğrenci $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ bulmaları gerektiğinde ve $((\left) bulmaları gerektiğinde durumu karıştırıyor (\frac (48)(x) \sağ))^(\prime ))$. Yani, sırasıyla sabit payda olduğunda ve sabit payda olduğunda, değişken payda veya paydada olduğunda kafaları karışır.

İlk seçenekle başlayalım:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

Öte yandan aynı şeyi ikinci kesir için de yapmaya çalışırsak şunu elde ederiz:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right) ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(hizalama)\]

Ancak aynı örnek farklı şekilde de hesaplanabilir: Bölümün türevine geçtiğimiz aşamada $\frac(1)(x)$'ı negatif üslü bir kuvvet olarak ele alabiliriz, yani aşağıdaki sonucu elde ederiz: :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Ve böylece aynı cevabı aldık.

Böylece iki önemli gerçeğe bir kez daha ikna olduk. Öncelikle aynı türev tam olarak hesaplanabilir. Farklı yollar. Örneğin, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ hem bir bölümün türevi hem de bir kuvvet fonksiyonunun türevi olarak düşünülebilir. Üstelik tüm hesaplamalar doğru yapılırsa cevap her zaman aynı olacaktır. İkinci olarak, hem değişken hem de sabit içeren türevleri hesaplarken, değişkenin payda veya paydada nerede bulunduğu temel olarak önemlidir. İlk durumda değişken payda olduğunda kolayca hesaplanabilen basit bir doğrusal fonksiyon elde ederiz. Ve eğer değişken paydadaysa, daha önce verilen hesaplamalarla daha karmaşık bir ifade elde ederiz.

Bu noktada ders tamamlanmış sayılabilir, dolayısıyla bir bölümün veya çarpımın türevleri hakkında hiçbir şey anlamıyorsanız ve genel olarak bu konuyla ilgili herhangi bir sorunuz varsa tereddüt etmeyin - web siteme gidin , yazın, arayın, size yardımcı olabilir miyim diye mutlaka deneyeceğim.

Türevlerin kendisi karmaşık bir konu değildir ancak çok kapsamlıdır ve şu anda üzerinde çalıştığımız şeyler gelecekte daha karmaşık problemleri çözerken kullanılacaktır. Bu nedenle bir bölümün veya çarpımın türevlerinin hesaplanmasıyla ilgili tüm yanlış anlamaları hemen şimdi tespit etmek daha iyidir. Büyük bir yanlış anlama kartopu olduklarında değil, baş edilmesi kolay küçük bir tenis topu olduklarında.

Hatırlanması çok kolay.

Neyse fazla uzağa gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alalım. Üstel fonksiyonun tersi hangi fonksiyondur? Logaritma:

Bizim durumumuzda taban sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

Fonksiyonun türevini bulun.
Fonksiyonun türevi nedir?

Yanıtlar: Üstel ve doğal logaritma, türev perspektifinden bakıldığında benzersiz derecede basit fonksiyonlardır. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

Farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir dönem mi, yine mi?!...

Farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Bu kadar. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçiler diferansiyele bir fonksiyonun aynı artışı adını verirler. Bu terim Latince diferansiyelden gelir - farklılık. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural bulunmaktadır.

Sabit türev işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

bir noktada;
bir noktada;
bir noktada;
noktada.

Çözümler:

(Doğrusal bir fonksiyon olduğundan türev her noktada aynıdır, hatırladınız mı?);

Ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtalım ve onun artışını bulalım:

Türev:

Örnekler:

Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

Üstel bir fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).

Peki, bazı sayılar nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o halde fonksiyonumuzu yeni bir tabana indirgemeye çalışalım:

Bunun için kullanacağız basit kural: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün bir üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani artık yazılamayan bir sayıdır. basit biçimde. Bu nedenle cevapta bu formda bırakıyoruz.

Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, dolayısıyla ilgili türev kuralını uyguluyoruz:

Bu örnekte iki fonksiyonun çarpımı:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:

Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık fonksiyon" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonların anlaşılması zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar, ikincisi ise onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için adımların tersini uygulamanız gerekir. Ters sipariş.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici) ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyonun bir örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştirdiğimizde ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci eylemi gerçekleştirdiğimizde.

Başka bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .

Örneğimiz için, .

Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.

İkinci örnek: (aynı şey). .

En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda

İlk önce hangi eylemi gerçekleştireceğiz? İlk önce sinüsü hesaplayalım ve ancak o zaman küpünü alalım. Bu, bunun dahili bir fonksiyon olduğu, ancak harici bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
Ve asıl işlev bunların bileşimidir: .
Dahili: ; harici: .
Muayene: .
Dahili: ; harici: .
Muayene: .
Dahili: ; harici: .
Muayene: .
Dahili: ; harici: .
Muayene: .

Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.

Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak şöyle görünür:

Başka bir örnek:

O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

Basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(Şimdilik kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen anlaşılıyor: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlev ve biz de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir ambalaja koyun) ve evrak çantasında bir kurdeleyle). Ancak korkmanıza gerek yok: Bu işlevi yine de her zamanki gibi aynı sırayla "paketinden çıkaracağız": sondan itibaren.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi farklılaştırıyoruz. Daha sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda eylemlerin numaralandırılması uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "harici" olacaktır. Eylem sırası öncekiyle aynıdır:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Hareket tarzını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit türev işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Ürünün türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

“İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
“Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.