Farklı rakamların alanı. Bir şeklin alanı nedir? Dikdörtgen veya kare oda

Geometrik şekillerin alanları, iki boyutlu uzayda boyutlarını karakterize eden sayısal değerlerdir. Bu değer sistem ve sistem dışı birimlerde ölçülebilir. Yani, örneğin, sistemik olmayan bir alan birimi yüzüncü hektardır. Ölçülen yüzeyin bir arazi parçası olması durumunda durum böyledir. Sistemin alan birimi uzunluğun karesidir. SI sisteminde düz yüzey alanının birimi metrekaredir. GHS'de alan birimi santimetre kare olarak ifade edilir.

Geometri ve alan formülleri ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bu bağlantı, düzlemsel şekillerin alanlarının hesaplanmasının tam olarak onların uygulanmasına dayanması gerçeğinde yatmaktadır. Birçok şekil için, kare boyutlarının hesaplandığı çeşitli seçenekler türetilmiştir. Sorun tanımındaki verilere dayanarak mümkün olan en basit çözümü belirleyebiliriz. Bu, hesaplamayı kolaylaştıracak ve hesaplama hatası olasılığını en aza indirecektir. Bunu yapmak için geometrideki şekillerin ana alanlarını göz önünde bulundurun.

Herhangi bir üçgenin alanını bulmak için kullanılan formüller çeşitli seçeneklerle sunulmaktadır:

1) Bir üçgenin alanı a tabanından ve h yüksekliğinden hesaplanır. Taban, şeklin yüksekliğin alçaltıldığı tarafı olarak kabul edilir. O halde üçgenin alanı:

2) Hipotenüs taban olarak kabul edilirse dik üçgenin alanı aynı şekilde hesaplanır. Bacağını taban olarak alırsak, sağ üçgenin alanı bacakların yarıya bölünmesine eşit olacaktır.

Herhangi bir üçgenin alanını hesaplamak için kullanılan formüller burada bitmiyor. Başka bir ifade a, b kenarlarını ve a ile b arasındaki γ açısının sinüzoidal fonksiyonunu içerir. Sinüs değeri tablolarda bulunur. Hesap makinesi kullanarak da öğrenebilirsiniz. O halde üçgenin alanı:

Bu eşitliği kullanarak bir dik üçgenin alanının bacak uzunlukları üzerinden belirlendiğinden de emin olabilirsiniz. Çünkü γ açısı dik açıdır, dolayısıyla dik üçgenin alanı sinüs fonksiyonuyla çarpılmadan hesaplanır.

3) Özel bir durumu düşünün - a kenarı koşulla bilinen veya uzunluğu çözüm sırasında bulunabilen normal bir üçgen. Geometri problemindeki şekil hakkında daha fazla bir şey bilinmemektedir. Peki bu koşuldaki alan nasıl bulunur? Bu durumda normal üçgenin alanı formülü uygulanır:

Dikdörtgen

Bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur ve ortak köşe noktası olan kenarların boyutları nasıl kullanılır? Hesaplama için ifade şu şekildedir:

Bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için köşegenlerin uzunluklarını kullanmanız gerekiyorsa, kesiştiklerinde oluşan açının sinüsünün bir fonksiyonuna ihtiyacınız olacaktır. Bir dikdörtgenin alanı için bu formül:

Kare

Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun ikinci kuvveti olarak belirlenir:

Kanıt, karenin dikdörtgen olduğu tanımından çıkar. Kareyi oluşturan tüm kenarlar aynı boyutlara sahiptir. Bu nedenle, böyle bir dikdörtgenin alanının hesaplanması, birinin diğeriyle, yani tarafın ikinci kuvvetiyle çarpılmasına indirgenir. Ve karenin alanını hesaplama formülü istenilen şekli alacaktır.

Bir karenin alanı başka bir şekilde de bulunabilir, örneğin köşegeni kullanırsanız:

Bir daire ile sınırlanan bir düzlemin bir kısmının oluşturduğu bir şeklin alanı nasıl hesaplanır? Alanı hesaplamak için formüller şunlardır:

Paralelkenar

Bir paralelkenar için formül, kenarın doğrusal boyutlarını, yüksekliği ve matematiksel işlemi - çarpmayı içerir. Yükseklik bilinmiyorsa paralelkenarın alanı nasıl bulunur? Hesaplamanın başka bir yolu var. Bitişik kenarların oluşturduğu açının trigonometrik fonksiyonu ve uzunlukları tarafından alınacak belirli bir değer gerekli olacaktır.

Paralelkenarın alanı için formüller şunlardır:

Eşkenar dörtgen

Eşkenar dörtgen adı verilen bir dörtgenin alanı nasıl bulunur? Bir eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerle basit matematik kullanılarak belirlenir. Kanıt, d1 ve d2'deki köşegen parçalarının dik açılarla kesiştiği gerçeğine dayanmaktadır. Sinüs tablosu, dik açı için bu fonksiyonun birliğe eşit olduğunu göstermektedir. Bu nedenle eşkenar dörtgenin alanı şu şekilde hesaplanır:

Eşkenar dörtgenin alanı başka bir şekilde de bulunabilir. Kenar uzunluklarının aynı olduğu göz önüne alındığında bunu kanıtlamak da zor değildir. Daha sonra çarpımlarını paralelkenar için benzer bir ifadeyle değiştirin. Sonuçta, bu özel figürün özel bir durumu eşkenar dörtgendir. Burada γ eşkenar dörtgenin iç açısıdır. Bir eşkenar dörtgenin alanı şu şekilde belirlenir:

Yamuk

Sorun uzunluklarını gösteriyorsa, yamuk alanını tabanlardan (a ve b) nasıl bulabilirim? Burada yükseklik uzunluğu h'nin bilinen bir değeri olmadan böyle bir yamuğun alanını hesaplamak mümkün olmayacaktır. Çünkü bu değer hesaplamaya yönelik ifadeyi içerir:

Dikdörtgen bir yamuğun kare boyutu da aynı şekilde hesaplanabilir. Dikdörtgen bir yamukta yükseklik ve kenar kavramlarının birleştirildiği dikkate alınır. Bu nedenle dikdörtgen bir yamuk için yükseklik yerine yan tarafın uzunluğunu belirtmeniz gerekir.

Silindir ve paralel borulu

Tüm silindirin yüzeyini hesaplamak için neyin gerekli olduğunu düşünelim. Bu şeklin alanı taban adı verilen bir çift daire ve bir yan yüzeydir. Daireleri oluşturan dairelerin yarıçap uzunlukları r'ye eşittir. Bir silindirin alanı için aşağıdaki hesaplama yapılır:

Üç çift yüzden oluşan bir paralelyüzün alanı nasıl bulunur? Ölçümleri belirli bir çiftle eşleşiyor. Karşıt yüzler aynı parametrelere sahiptir. Öncelikle S(1), S(2), S(3) - eşit olmayan yüzlerin kare boyutlarını bulun. Daha sonra paralel borunun yüzey alanı:

Yüzük

Merkezi ortak olan iki daire bir halka oluşturur. Ayrıca halkanın alanını da sınırlandırırlar. Bu durumda her iki hesaplama formülü de her dairenin boyutlarını dikkate alır. Bunlardan ilki, halkanın alanını hesaplayan, daha büyük R ve daha küçük r yarıçaplarını içerir. Daha sıklıkla dış ve iç olarak adlandırılırlar. İkinci ifadede halka alanı daha büyük D ve daha küçük d çapları üzerinden hesaplanır. Böylece halkanın bilinen yarıçaplara göre alanı şu şekilde hesaplanır:

Çapların uzunlukları kullanılarak halkanın alanı şu şekilde belirlenir:

Çokgen

Şekli düzgün olmayan çokgenin alanı nasıl bulunur? Bu tür şekillerin alanı için genel bir formül yoktur. Ancak bir koordinat düzleminde gösteriliyorsa, örneğin kareli kağıt olabilir, o zaman bu durumda yüzey alanı nasıl bulunur? Burada şeklin yaklaşık olarak ölçülmesini gerektirmeyen bir yöntem kullanıyorlar. Bunu yaparlar: Hücrenin köşesine düşen veya tam koordinatlara sahip noktalar bulurlarsa, yalnızca bunlar dikkate alınır. Daha sonra alanın ne olduğunu bulmak için Peake tarafından kanıtlanmış formülü kullanın. Noktaların yarısı üzerinde bulunan kesikli çizginin içinde bulunan noktaların sayısını eklemek ve bir çıkarmak gerekir, yani. şu şekilde hesaplanır:

burada B, G - sırasıyla kesikli çizginin içinde ve tamamında bulunan noktaların sayısı.

Alan formülüÖklid düzleminin belirli bir şekil sınıfında tanımlanan ve 4 koşulu karşılayan gerçek değerli bir fonksiyon olan bir şeklin alanını belirlemek gerekir:

1. Pozitiflik - Alan sıfırdan küçük olamaz;
2. Normalleştirme - yan birimleri olan bir karenin alanı 1'dir;
3. Uyumluluk - uyumlu figürler eşit alana sahiptir;
4. Toplama - ortak iç noktaları olmayan 2 rakamın birleşiminin alanı, bu rakamların alanlarının toplamına eşittir.

Alan: Alan, bir yüzeyin boyutunu ölçen bir miktardır. Matematikte bir şeklin alanı geometrik bir kavramdır, düz bir şeklin boyutudur. Yüzey alanı bir yüzeyin sayısal bir özelliğidir. Mimaride kare, açık... ... Vikipedi

Kare- Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Alan (anlamlar). Alan Boyutu L² SI birimleri m² ... Wikipedia

Bir üçgenin alanı- Standart gösterim Bir üçgen, 3 köşesi (açı) ve 3 kenarı olan en basit çokgendir; Aynı doğru üzerinde yer almayan üç nokta ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç parça ile sınırlanan düzlemin parçası. Bir üçgenin köşeleri ... Vikipedi

Lenin Meydanı (Petrozavodsk)- Lenin Meydanı Petrozavodsk ... Wikipedia

Alan (geometride)- Alan, geometrik şekillerle ilişkili ana niceliklerden biridir. En basit durumlarda, düz bir şekli dolduran birim karelerin sayısıyla, yani bir kenarı bir birim uzunluğa eşit olan karelerle ölçülür. P.'nin hesaplanması zaten eski zamanlardaydı... ...

KARE- düz geometrik şekillerin ve yüzeylerin niceliksel özelliklerinden biri. Dikdörtgenin alanı bitişik iki kenarın uzunluklarının çarpımına eşittir. Kademeli bir şeklin alanı (yani birkaç bitişik parçaya bölünebilen bir alan... ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

ALAN (geometride)- ALAN, düz geometrik şekillerin ve yüzeylerin niceliksel özelliklerinden biridir. Dikdörtgenin alanı bitişik iki kenarın uzunluklarının çarpımına eşittir. Kademeli bir şeklin alanı (yani birkaç parçaya bölünebilen bir alan... ... ansiklopedik sözlük

KARE- ALAN, kareler, önceki. alan hakkında ve (eski) alan hakkında, çoğul. ve alanlar, kadınlar. (kitap). 1. Kırık veya eğri bir çizgiyle (geom.) sınırlanan bir düzlemin parçası. Bir dikdörtgenin alanı. Kavisli bir şeklin alanı. 2. yalnızca birimler. Uzay,… … Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü

Alan (mimar.)- Kare, diğer kentsel alanlar sistemine dahil olan herhangi bir bina, yapı veya yeşil alanla çerçevelenen, mimari olarak düzenlenmiş açık bir alan. Kent saraylarının öncülleri sarayların tören avlularıydı... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Hafıza Meydanı (Tyumen)- Hafıza Meydanı Tyumen Genel bilgiler ... Wikipedia

Kitabın

• Matematik, fizik ve doğadaki rakamlar. Kareler, Üçgenler ve Daireler, Catherine Sheldrick-Ross. Kitap hakkında Kitabın özellikleri 75'ten fazla olağandışı ustalık sınıfı, geometri çalışmasını heyecan verici bir oyuna dönüştürmeye yardımcı olacak Kitap, ana rakamları olabildiğince ayrıntılı olarak anlatıyor: kareler, daireler ve... 1206 ruble karşılığında satın alın
• Matematik, fizik ve doğadaki şekiller Kareler, üçgenler ve daireler, Sheldrick-Ross K.. 75'ten fazla sıra dışı ustalık sınıfı, geometri çalışmasını heyecan verici bir oyuna dönüştürmeye yardımcı olacak. Kitap ana figürleri olabildiğince ayrıntılı olarak anlatıyor: kareler, daireler, üçgenler. Kitap öğretecek...

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Hem düzenli hem de düzensiz, çeşitli şekillerde sonsuz sayıda düz figür vardır. Tüm şekillerin ortak özelliği her birinin bir alanının olmasıdır. Şekillerin alanları, bu şekillerin kapladığı düzlem kısmının belirli birimlerle ifade edilen boyutlarıdır. Bu değer her zaman pozitif bir sayı olarak ifade edilir. Ölçü birimi, kenarı bir uzunluk birimine (örneğin bir metre veya bir santimetre) eşit olan bir karenin alanıdır. Herhangi bir şeklin yaklaşık alanı, bölündüğü birim karelerin sayısı bir karenin alanıyla çarpılarak hesaplanabilir.

Bu kavramın diğer tanımları ise şu şekildedir:

1. Basit şekillerin alanları, koşulları sağlayan skaler pozitif niceliklerdir:

Eşit rakamların eşit alanları vardır;

Bir şekil parçalara (basit şekiller) bölünmüşse, alanı bu şekillerin alanlarının toplamıdır;

Bir kenarı ölçü birimi olan kare, alan birimi görevi görür.

2. Karmaşık şekilli şekillerin (çokgenler) alanları, aşağıdaki özelliklere sahip pozitif niceliklerdir:

Eşit çokgenler aynı alan boyutlarına sahiptir;

Bir çokgen birden fazla çokgenden oluşuyorsa, alanı ikincisinin alanlarının toplamına eşittir. Bu kural örtüşmeyen çokgenler için geçerlidir.

Şekillerin (çokgenlerin) alanlarının pozitif büyüklükler olduğu aksiyom olarak kabul edilmektedir.

Bir dairenin alanının tanımı, bir daire içine yazılan belirli bir dairenin alanının, kenarlarının sayısının sonsuz olma eğiliminde olmasına rağmen, eğilim gösterdiği değer olarak ayrı ayrı verilir.

Düzensiz şekilli şekillerin (rastgele şekillerin) alanlarının bir tanımı yoktur; yalnızca bunları hesaplama yöntemleri belirlenir.

Zaten eski zamanlarda, arazilerin boyutunun belirlenmesinde alanların hesaplanması önemli bir pratik görevdi. Birkaç yüzyıl boyunca alan hesaplamaya ilişkin kurallar Yunan bilim adamları tarafından formüle edilmiş ve Öklid'in Elementleri'nde teoremler olarak ortaya konmuştur. İçlerindeki basit figürlerin alanlarını belirleme kurallarının şimdikiyle aynı olması ilginçtir. Sınıra geçiş kullanılarak kavisli konturlu alanlar hesaplandı.

Okuldaki herkesin bildiği basit bir dikdörtgen veya karenin alanlarını hesaplamak oldukça basittir. Şekillerin harf sembolleri içeren alanları için formülleri ezberlemeye bile gerek yoktur. Birkaç basit kuralı hatırlamak yeterlidir:

2. Bir dikdörtgenin alanı, uzunluğunun genişliğiyle çarpılmasıyla hesaplanır. Uzunluk ve genişliğin aynı ölçü birimleriyle ifade edilmesi gerekmektedir.

3. Karmaşık bir şeklin alanını birkaç basit parçaya bölerek ve elde edilen alanları toplayarak hesaplıyoruz.

4. Bir dikdörtgenin köşegeni, onu alanları eşit ve alanının yarısına eşit olan iki üçgene böler.

5. Bir üçgenin alanı, yüksekliğinin ve tabanının çarpımının yarısı kadar hesaplanır.

6. Bir dairenin alanı, yarıçapın karesi ile iyi bilinen “π” sayısının çarpımına eşittir.

7. Paralelkenarın alanını, bitişik kenarların çarpımı ve aralarındaki açının sinüsü olarak hesaplıyoruz.

8. Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerin iç açının sinüsüyle çarpılmasının sonucudur.

9. Yamuğun alanını, yüksekliğini tabanların aritmetik ortalamasına eşit olan orta çizginin uzunluğuyla çarparak buluyoruz. Bir yamuğun alanını belirlemek için başka bir seçenek de köşegenlerini ve aralarındaki açının sinüsünü çarpmaktır.

Netlik sağlamak için, ilkokuldaki çocuklara sıklıkla görevler verilir: bir palet veya karelere bölünmüş şeffaf bir kağıt kullanarak kağıda çizilen bir şeklin alanını bulun. Böyle bir kağıt, ölçülen şeklin üzerine yerleştirilir, taslağına uyan tam hücrelerin sayısı (alan birimleri) sayılır, ardından yarıya bölünen eksik olanların sayısı sayılır.