si cinsinden salınım periyodu. Matematiksel sarkaç: periyot, ivme ve formüller

Bunlar o kadar yaygın ki, belki de bu fiziksel süreçlerin gözlemlenmeyeceği varlık alanını belirtmek imkansızdır. Doğa araştırmalarının en yaygın alanları mekanik, elektronik, astronomi, konum ve diğerleridir.

Tüm bu dallar, içlerindeki salınım hareketlerinin doğasının aynı olması ve dolayısıyla bu fenomenleri açıklayan teorinin evrensel olması gerçeğiyle birleşir. Örneğin, genel olarak periyodun, bir cismin tam bir salınım yaptığı ve daha sonra eski haline döndüğü belirli bir zaman periyodu olduğu kabul edilir. başlangıç ​​pozisyonu. Çoğu iyi örnek mekanikte bu, saatin sarkacının salınımıdır.

Salınımlar, özelliklerine göre serbest (veya kendi) ve harmonik arasında ayırt edilir. Serbest olanlar, bir nesneye uygulanan ve onu dengeden çıkaran dış kuvvetlerin neden olduğulardır (mekanikte: bir müzik aletinin teli, bir ipte asılı bir ağırlık, vb.). Salınım süreçleri teorisinde daha önemli bir yer, harmonik salınımlar tarafından işgal edilir. Bu teorinin yasalarını formüle etmemize ve çeşitli fiziksel ortamlardaki (su, hava, gaz, vakum vb.) salınımların doğasını düşünmemize izin veren temeli oluşturanlar onlardır.

Salınım teorisinin evrenselliği hakkındaki ifadeye dayanarak, bu salınımların büyüklüğünü yansıtan fiziksel birimlerin, doğası ve kapsamı ne olursa olsun evrensel olduğu sonucuna varabiliriz. Bunlar periyot ve sıklıktır. Salınım süresinin nasıl belirlendiği yukarıda zaten söylendi. Salınım frekansı, belirli bir zaman biriminde nesnelerin mükemmel tam salınımlarının sayısı olarak tanımlanır. Salınım teorisindeki periyot ve frekans, bu teoride ortak olan tek bir formülle bağlantılıdır. Periyodu tanımlayan formül şu şekildedir: f = 1 /T, burada f frekanstır, T periyottur (frekansla birlikte bu fenomenin ana parametresi olarak işlev görür).

Salınım süreçlerinin genlik, faz gibi başka özellikleri de vardır, ancak bunların kullanımı salınımları açıklamak için daha karmaşık koşullardan kaynaklanmaktadır. Bu koşullar:

Aslında salınım sürecinin doğası, yani ne tür titreşimleri ele alıyoruz - mekanik, elektromanyetik, döngüsel veya diğerleri;

Salınımlı süreçlerin meydana geldiği ortam - hava, su veya başka türlü. Bu koşullar, salınım periyodu da dahil olmak üzere tüm proses parametrelerini en önemli şekilde etkiler. Örneğin, döngüsel için salınım periyodunun belirlendiği formül, dairesel salınımların büyüklüğünü karakterize eden 2πν göstergesini de içerir.

Salınım frekansı, büyük fizikçi Heinrich Hertz'in adını taşıyan ve kısaltılmış: Hz. Ele aldığımız formüle göre 1 Hz, bir saniyede meydana gelen tam bir salınıma eşit bir değerdir. Bu birim, bizi çevreleyen çok çeşitli parametrelerle karakterize edilir. Gündelik Yaşam. Örneğin evde kullandığımız alternatif akımın frekansı 50 Hz'dir. Bu, iletkendeki elektron akışının hareket yönünü 50 kez değiştirdiği anlamına gelir. Frekanslar, hem küçük değerlerle (örneğin, bir sarkacın salınımları) hem de saniyede milyarlarca salınıma ulaşan değerlerle karakterize edilebilir. Bunlar, örneğin, hesaplama işlemlerini karakterize eden frekanslardır. modern bilgisayarlar. Daha sonra değerleri yansıtmak için hertz kullanmak sakıncalı hale gelir ve bunlara birden çok değer eklenir: kilo- (kHz, 1000), mega- (MHz, 1000000), giga- (GHz, 1000000000) vb. .

Bize salınım periyodunu gösteren değer, en yaygın metrik birimlerdir (kez, tabiri caizse), yani belirli bir süre için tamamlanmış salınım hareketlerinin sayısının sayısal bir göstergesidir.

İlk anda olduğu, keyfi olarak seçildi).

Prensip olarak, fonksiyonun periyodunun matematiksel konsepti ile örtüşür, ancak fonksiyon ile kastedilen fiziksel miktarın zamana bağlı olarak salınmasıdır.

Bu formdaki bu kavram, hem harmonik hem de anharmonik kesinlikle periyodik salınımlar (ve yaklaşık olarak - bir başarı ile - ve periyodik olmayan salınımlar, en azından periyodikliğe yakın olanlar için) için geçerlidir.

durumda ne zaman Konuşuyoruz sönümlü bir harmonik osilatörün salınımları hakkında, süre, salınımlı bileşeninin (sönümlemeyi göz ardı ederek) periyodu olarak anlaşılır ve salınımlı değerin sıfıra en yakın geçişleri arasındaki zaman aralığının iki katı ile çakışır. Prensip olarak, bu tanım az ya da çok doğru ve faydalı bir şekilde bazı genelleştirmelerde diğer özelliklere sahip sönümlü salınımlara genişletilebilir.

Tanımlar: salınım periyodu için olağan standart notasyon şu şekildedir: $T$(diğerleri geçerli olsa da, en yaygın olanı $\backslash \; tau$, Bazen $\backslash \; teta$ vb.).

$T\; =\; \backslash frac(1)(\backslash nu),\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash nu\; =\; \backslash frac(1)(T).$

Dalga süreçleri için, periyot açıkça dalga boyuyla da ilişkilidir. $\backslash lambda$

$v\; =\; \backslash lambda\; \backslash nu,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; T\; =\; \backslash frac(\backslash lambda)(v),$

nerede $v$ dalga yayılma hızıdır (daha kesin olarak, faz hızı).

kuantum fiziğinde salınım periyodu doğrudan enerji ile ilgilidir (çünkü kuantum fiziğinde bir nesnenin enerjisi - örneğin bir parçacık - dalga fonksiyonunun salınım frekansıdır).

teorik bulgu belirli bir fiziksel sistemin salınım periyodu, kural olarak, bu sistemi tanımlayan dinamik denklemlerin (denklem) bir çözümünün bulunmasına indirgenir. kategori için lineer sistemler(ve yaklaşık olarak doğrusal yaklaşımdaki doğrusallaştırılabilir sistemler için, ki bu genellikle çok iyidir) bunu yapmak için standart nispeten basit matematiksel yöntemler vardır (eğer sistemi tanımlayan fiziksel denklemlerin kendileri biliniyorsa).

Deneysel belirleme için periyot, saatler, kronometreler, frekans ölçerler, stroboskoplar, strobe takometreler, osiloskoplar kullanılmaktadır. Ayrıca, bir heterodinleştirme yöntemi olan atımlar da uygulanır. farklı şekiller, rezonans ilkesi kullanılır. Dalgalar için, periyodu dolaylı olarak - interferometrelerin, kırınım ızgaralarının vb. Kullanıldığı dalga boyu aracılığıyla ölçebilirsiniz. Bazen, belirli bir zor durum için özel olarak geliştirilmiş karmaşık yöntemler de gerekir (zorluk, özellikle çok kısa veya tam tersi çok uzun süreler söz konusu olduğunda, hem zamanın kendisinin ölçülmesi hem de dalgalanan bir değeri gözlemlemenin zorluğu olabilir).

Doğada salınım dönemleri

Çeşitli salınım periyotları fikri fiziksel süreçler Frekans aralıkları makalesini verir (saniye cinsinden sürenin hertz cinsinden frekansın tersi olduğu göz önüne alındığında).

Çeşitli fiziksel süreçlerin periyotlarının büyüklükleri hakkında bazı fikirler, elektromanyetik salınımların frekans ölçeğiyle de verilebilir (bkz. Elektromanyetik spektrum).

Bir kişinin işitebileceği bir sesin salınım periyotları aralıktadır.

5 10 −5'ten 0,2'ye

(açık sınırları biraz keyfidir).

Karşılık gelen elektromanyetik salınım dönemleri farklı renkler görünür ışık - aralıkta

1,1 10 −15'ten 2,3 10 −15'e.

Son derece büyük ve son derece küçük salınım periyotları için, ölçüm yöntemleri giderek daha dolaylı hale gelme eğiliminde olduğundan (teorik ekstrapolasyonlara yumuşak bir akışa kadar), doğrudan ölçülen salınım periyodu için net bir üst ve alt sınır belirtmek zordur. Üst sınır için bazı tahminler, modern bilimin var olduğu zamana (yüzlerce yıl) ve alt sınır için - şu anda bilinen en ağır parçacığın dalga fonksiyonunun salınım süresine () göre verilebilir.

Neyse Alt sınır göre çok küçük olan Planck zamanı olarak hizmet edebilir. modern fikirler fiziksel olarak neredeyse hiçbir şekilde ölçülememekle kalmaz, aynı zamanda az çok öngörülebilir gelecekte niceliklerin ölçümüne çok daha büyük mertebelere yaklaşmanın mümkün olması da pek olası değildir, ancak üst sınır- Evrenin varoluş süresi - on milyar yıldan fazla.

En basit fiziksel sistemlerin salınım dönemleri

yay sarkacı

matematiksel sarkaç

$T=2\backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(l)(g))$

nerede $ben$- askının uzunluğu (örneğin ipler), $g$- yerçekimi ivmesi .

1 metre uzunluğundaki matematiksel bir sarkacın (Dünya üzerindeki) küçük salınım periyodu, iyi bir doğrulukla 2 saniyeye eşittir.

fiziksel sarkaç

$T=2\backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(J)(mgl))$

burulma sarkaç

$T\; =\; 2\; \backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(I)(K))$

Bu formül 1853 yılında İngiliz fizikçi W. Thomson tarafından türetilmiştir.

"Salınım Dönemi" makalesi hakkında yorum yazınız

notlar

Bağlantılar

• - Büyük Sovyet Ansiklopedisi'nden makale

Salınım dönemini karakterize eden bir alıntı

Aynı günün akşamı, Denisov'un dairesinde filo subayları arasında hararetli bir sohbet yaşanıyordu.
"Ama sana söylüyorum, Rostov, alay komutanından özür dilemelisin," dedi, kızıl saçlı, ajite Rostov'a dönerek, yüksek karargah yüzbaşısı, kır saçlı, kocaman bıyıklı ve buruşuk bir yüzün büyük yüz hatları .
Kurmay yüzbaşı Kirsten, şeref işleri nedeniyle iki kez askerlere indirildi ve iki kez iyileştirildi.
"Kimsenin sana yalan söylediğimi söylemesine izin vermeyeceğim!" diye bağırdı Rostov. Bana yalan söylediğimi söyledi, ben de onun yalan söylediğini söyledim. Ve böylece kalacak. Beni her gün bile göreve alıp tutuklayabilirler ama kimse benden özür diletemez, çünkü bir alay komutanı olarak beni tatmin etmeye layık olmadığını düşünüyorsa, o zaman ...
- Evet, sen bekle baba; beni dinle, - kaptan, uzun bıyığını sakince düzelterek, bas sesiyle personelin sözünü kesti. - Alay komutanına diğer subayların önünde subayın çaldığını söylersin ...
- Konuşmanın diğer memurların önünde başlaması benim suçum değil. Belki onların önünde konuşmamalıydım ama ben diplomat değilim. Daha sonra süvarilere katıldım ve burada inceliklere gerek olmadığını düşünerek gittim, ama bana yalan söylediğimi söylüyor ... bu yüzden beni tatmin etmesine izin ver ...
- Sorun değil, kimse senin korkak olduğunu düşünmüyor ama mesele bu değil. Denisov'a sor, bir askeri öğrencinin bir alay komutanından memnuniyet talep etmesi bir şeye benziyor mu?
Bıyığını ısıran Denisov, konuşmayı kasvetli bir bakışla dinledi, görünüşe göre müdahale etmek istemiyor. Kaptanın personeli tarafından sorulduğunda, başını olumsuz anlamda salladı.
Karargah yüzbaşısı, "Subayların önünde bu kirli numara hakkında alay komutanıyla konuşuyorsunuz" diye devam etti. - Bogdanich (Bogdanich'e alay komutanı deniyordu) sizi kuşattı.
- Kuşatma yapmadı ama yalan söylediğimi söyledi.
- Evet, ona aptalca bir şey söyledin ve özür dilemelisin.
- Hiçbir zaman! diye bağırdı Rostov.
Karargah kaptanı ciddi ve sert bir şekilde, "Senden geldiğini düşünmemiştim," dedi. - Özür dilemek istemiyorsun ve sen baba, sadece onun önünde değil, tüm alayın önünde, hepimizin önünde, her yeri suçlayacaksın. Ve işte böyle: keşke bu konuyu nasıl ele alacağınızı düşünüp danışsaydınız, aksi takdirde doğrudan, ancak memurların önünde ve yumruk attınız. Alay komutanı şimdi ne yapmalı? Subayı yargılayıp tüm alayı mı karıştıralım? Bir kötü adam yüzünden tüm alayı utandırmak mı? Yani ne düşünüyorsun? Ama bizce öyle değil. Ve aferin Bogdanich, sana doğruyu söylemediğini söyledi. Bu tatsız, ama ne yapmalı baba, kendileri bununla karşılaştılar. Ve şimdi, meseleyi susturmak istedikleri için, bir tür fanatizm yüzünden, özür dilemek istemiyorsunuz, ama her şeyi anlatmak istiyorsunuz. Görevde olduğun için kırgınsın ama neden yaşlı ve dürüst bir memurdan özür dileyesin ki! Bogdanich ne olursa olsun, ama tamamen dürüst ve cesur, yaşlı albay, çok gücendiniz; ve alayı mahvetmek senin için sorun değil mi? - Kaptanın personelinin sesi titremeye başladı. - Sen baba, bir yıl olmadan bir hafta alaydasın; bugün burada, yarın bir yerlere emir subaylarına taşındılar; ne diyecekleri umrunda değil: "Hırsızlar Pavlograd memurları arasında!" Ve umurumuzda değil. Ne olmuş, Denisov? Hepsi aynı değil mi?
Denisov sessiz kaldı ve hareket etmedi, ara sıra parlak siyah gözleriyle Rostov'a baktı.
"Kendi fanatizminiz sizin için değerli, özür dilemek istemiyorsunuz," diye devam etti karargah yüzbaşısı, "ama biz yaşlılar, nasıl büyüdük ve Allah'ın izniyle alayda öleceğiz, bu yüzden alayın onuru bizim için çok değerli ve Bogdanich bunu biliyor. Ah, ne kadar canım, baba! Ve bu iyi değil, iyi değil! Orada alın ya da almayın, ama ben her zaman rahme doğruyu söyleyeceğim. İyi değil!
Ve kaptanın asası ayağa kalktı ve Rostov'dan uzaklaştı.
- Pg "avda, chog" al şunu! diye bağırdı Denisov zıplayarak. - Pekala, G "iskelet! Pekala!
Kızaran ve solgunlaşan Rostov, önce bir subaya, sonra diğerine baktı.
- Hayır beyler, hayır ... düşünmeyin ... Çok iyi anlıyorum, benim hakkımda böyle düşünmemelisiniz ... Ben ... benim için ... Ben alayın şerefinden yanayım. ama ne? Pratikte göstereceğim ve benim için pankartın onuru ... peki, hepsi aynı, gerçekten, bu benim hatam! .. - Gözlerinde yaşlar durdu. - Ben suçluyum, her yerde suçlanacak! ... Peki, başka ne istiyorsun? ...
Kaptan, "İşte bu kadar," diye bağırdı, arkasını döndü ve iri eliyle omzuna vurdu.
Denisov, "Sana söylüyorum," diye bağırdı, "hoş bir ufaklık.
"Böylesi daha iyi Kont," diye tekrarladı kurmay kaptanı, sanki tanınması için ona bir unvan demeye başlıyormuş gibi. - Ekselansları gidin ve özür dileyin, evet s.
Rostov yalvaran bir sesle, "Beyler, her şeyi yapacağım, kimse benden tek kelime duymayacak," dedi, "ama Tanrı adına özür dileyemem, ne isterseniz yapamam!" Küçük bir çocuk gibi af dilemek için nasıl özür dileyeceğim?
Denisov güldü.
- Senin için daha kötü. Bogdanych kinci, inatçılığının bedelini öde, - dedi Kirsten.
- Vallahi inat değil! Sana bu duyguyu tarif edemem, yapamam...
- Pekala, iraden, - dedi karargah kaptanı. - Peki, bu piç nereye gitti? Denisov'a sordu.
- Hasta olduğunu söyledi, zavtg "ve pg emretti" ve dışlamak için, - dedi Denisov.
Kurmay Yüzbaşı, "Bu bir hastalık, aksi halde izahı mümkün değil" dedi.
- Zaten orada, hastalık bir hastalık değil ve gözüme çarpmazsa seni öldürürüm! Denisov kana susamış bir şekilde bağırdı.
Zherkov odaya girdi.
- Nasılsınız? memurlar aniden yeni gelene döndü.
- Yürüyün beyler. Mack bir mahkum olarak ve orduyla birlikte kesinlikle teslim oldu.
- Yalan söylüyorsun!
- Kendim gördüm.
- Nasıl? Mac'i canlı gördün mü? kollarla mı bacaklarla mı?
- Yürüyüş! Kampanya! Bu tür haberler için ona bir şişe verin. Buraya nasıl geldin?
"Şeytan için, Mack için onu alaya geri gönderdiler. Avusturyalı general şikayet etti. Onu Mack'in gelişinden dolayı tebrik ettim ... Sen, Rostov, hamamdan mısın?
- İşte kardeşim ikinci gün böyle bir karmaşa yaşıyoruz.
Alay emir subayı içeri girdi ve Zherkov'un getirdiği haberi doğruladı. Yarın konuşmaları emredildi.
- Gidin beyler!
- Tanrıya şükür, çok uzun kaldık.

Kutuzov, Inn (Braunau'da) ve Traun (Linz'de) nehirlerindeki köprüleri yıkarak Viyana'ya çekildi. 23 Ekim'de Rus birlikleri Enns Nehri'ni geçti. Günün ortasında Rus arabaları, topçuları ve birlik sütunları, köprünün bu ve bu tarafı boyunca Enns şehri boyunca uzanıyordu.

(lat. genlik- büyüklük) - bu, salınan cismin denge konumundan en büyük sapmasıdır.

Bir sarkaç için bu, topun denge konumundan hareket ettiği maksimum mesafedir (aşağıdaki şekil). Küçük genlikli salınımlar için bu mesafe yay 01 veya 02'nin uzunluğu ve ayrıca bu segmentlerin uzunlukları olarak alınabilir.

Salınım genliği, uzunluk birimleri cinsinden ölçülür - metre, santimetre, vs.

salınım dönemi.

salınım süresi- bu, salınımlar yapan sistemin, keyfi olarak seçilen zamanın ilk anında olduğu duruma tekrar döndüğü en küçük süredir.

Diğer bir deyişle salınım periyodu ( T) bir tam salınımın gerçekleştiği zamandır. Örneğin, aşağıdaki şekilde, sarkacın ağırlığının en sağdaki noktadan denge noktasına hareket etmesi için geçen süredir. Ö en soldaki noktaya ve noktadan geri Ö yine en sağda.

Bu nedenle, tam bir salınım periyodu için, vücut dört genliğe eşit bir yol kat eder. Salınım süresi saniye, dakika vb. zaman birimleriyle ölçülür. Salınım süresi iyi bilinen salınım grafiğinden belirlenebilir (aşağıdaki şekle bakın).

"Salınım periyodu" kavramı, tam anlamıyla, ancak salınım miktarının değerleri belirli bir süre sonra tam olarak tekrarlandığında, yani harmonik salınımlar için geçerlidir. Bununla birlikte, bu kavram aynı zamanda yaklaşık olarak tekrar eden niceliklere de uygulanır, örneğin, sönümlü salınımlar.

salınım frekansı.

salınım frekansı birim zamandaki salınımların sayısıdır, örneğin 1 s'de.

SI frekans biriminin adı hertz(Hz.) Alman fizikçi G. Hertz'in (1857-1894) onuruna. Eğer salınım frekansı ( v) eşittir 1 Hz., o zaman bu, her saniye için bir salınım yapıldığı anlamına gelir. Salınımların sıklığı ve periyodu şu ilişkilerle ilişkilidir:

Salınım teorisinde, kavram da kullanılır döngüsel, veya dairesel frekans ω . Normal frekansla alakalıdır. v ve salınım süresi T oranlar:

.

döngüsel frekans başına salınım sayısıdır 2π saniye.

Harmonik salınımlar - sinüs ve kosinüs yasalarına göre gerçekleştirilen salınımlar. Aşağıdaki şekil, kosinüs yasasına göre bir noktanın koordinatındaki değişimin zaman içindeki grafiğini göstermektedir.

resim

salınım genliği

Bir harmonik salınımın genliği, vücudun denge konumundan yer değiştirmesinin en büyük değeridir. genlik alabilir çeşitli anlamlar. Zamanın ilk anında bedeni denge konumundan ne kadar uzaklaştırdığımıza bağlı olacaktır.

Genlik, başlangıç ​​koşulları, yani zamanın ilk anında vücuda verilen enerji tarafından belirlenir. Sinüs ve kosinüs -1 ile 1 aralığında değerler alabildiğinden, denklem salınımların genliğini ifade eden Xm faktörünü içermelidir. Harmonik titreşimler için hareket denklemi:

x = Xm*cos(ω0*t).

salınım süresi

Salınım periyodu, bir tam salınım için geçen süredir. Salınım periyodu T harfi ile gösterilir. Periyodun birimleri zaman birimlerine karşılık gelir. Yani, SI'da saniyedir.

Salınım frekansı - birim zamandaki salınım sayısı. Salınım frekansı ν harfi ile gösterilir. Salınım frekansı, salınım periyodu cinsinden ifade edilebilir.

v = 1/T.

SI 1/sn cinsinden frekans birimleri. Bu ölçü birimine Hertz denir. 2 * pi saniyelik bir sürede salınım sayısı şuna eşit olacaktır:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

salınım frekansı

Bu değere döngüsel salınım frekansı denir. Bazı literatürlerde dairesel frekans adı bulunur. Bir salınım sisteminin doğal frekansı, serbest salınımların frekansıdır.

Doğal salınımların frekansı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Doğal salınımların frekansı, malzemenin özelliklerine ve yükün kütlesine bağlıdır. Yayın sertliği arttıkça, doğal salınımların frekansı da artar. Yükün kütlesi ne kadar büyük olursa, doğal salınımların frekansı o kadar düşük olur.

Bu iki sonuç açıktır. Yay ne kadar sert olursa, sistem dengesiz olduğunda vücuda vereceği ivme o kadar büyük olur. Vücudun kütlesi ne kadar büyükse, bu vücudun bu hızı o kadar yavaş değişecektir.

Serbest salınım periyodu:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Küçük sapma açılarında, cismin yay üzerindeki salınım periyodunun ve sarkacın salınım periyodunun salınımların genliğine bağlı olmayacağı dikkat çekmektedir.

Matematiksel bir sarkaç için serbest salınımların periyodu ve frekansı için formülleri yazalım.

o zaman dönem olacak

T = 2*pi*√(l/g).

Bu formül sadece küçük sapma açıları için geçerli olacaktır. Formülden, salınım periyodunun sarkaç ipliğinin uzunluğu ile arttığını görüyoruz. Uzunluk ne kadar uzun olursa, vücut o kadar yavaş salınır.

Salınım süresi yükün kütlesine bağlı değildir. Ancak serbest düşüş ivmesine bağlıdır. g azaldıkça salınım periyodu artacaktır. Bu mülk uygulamada yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, serbest ivmenin tam değerini ölçmek için.

Tanım

Dönem- bu, bir tam salınım hareketinin gerçekleştirildiği minimum süredir.

Dönem $T$ harfi ile gösterilir.

burada $\Delta t$ - salınım süresi; $N$ - tam salınımların sayısı.

Bir yay sarkacının salınım denklemi

Mekanik salınımların gerçekleştirilebileceği en basit salınım sistemini düşünün. Bu, bir yay üzerinde asılı duran $m$ kütleli bir yüktür ve elastiklik katsayısı $k\ $(şekil 1)'e eşittir. Yerçekimi etkisi ve bir yayın elastik kuvvetinden kaynaklanan bir yükün dikey hareketini düşünün. Böyle bir sistemin denge durumunda, esneklik kuvvetinin büyüklüğü yerçekimi kuvvetine eşittir. Bir yay sarkacının salınımları, sistem dengeden çıkarıldığında, örneğin yayı biraz ek olarak gererek ve ardından sarkaç kendi haline bırakıldığında meydana gelir.

Yayın kütlesinin yükün kütlesine kıyasla küçük olduğunu varsayalım; salınımları tanımlarken bunu hesaba katmayacağız. Referans noktası, yükün denge konumu ile çakışan koordinat ekseni (X) üzerindeki bir nokta olarak kabul edilir. Bu konumda, yayın zaten $b$ ile gösterdiğimiz bir uzantısı vardır. Yayın gerilimi, yerçekiminin yük üzerindeki etkisi nedeniyle oluşur, bu nedenle:

Yük ek olarak yer değiştirirse, ancak Hooke yasası hala karşılanıyorsa, yay kuvveti şuna eşit olur:

Hareketin X ekseni boyunca gerçekleştiğini hatırlayarak yükün ivmesini şu şekilde yazıyoruz:

Yük için Newton'un ikinci yasası şu şekli alır:

Eşitliği (2) dikkate alıyoruz, formül (5) şu forma dönüştürülüyor:

$(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ gösterimini eklersek, salınım denklemini şu şekilde yazarız:

\[\ddot(x)+(\omega )^2_0x=0\left(7\right),\]

burada $(\omega )^2_0=\frac(k)(m)$ yay sarkacının salınımlarının döngüsel frekansıdır. Denklem (7)'nin çözümü (bu doğrudan ikame ile doğrulanır) şu fonksiyondur:

burada $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))>0$ sarkacın döngüsel salınım frekansıdır, $A$ salınım genliğidir; $((\omega )_0t+\varphi)$ - salınım aşaması; $\varphi $ ve $(\varphi )_1$ - salınımların ilk aşamaları.

Bir yay sarkacının salınım periyodu için formüller

Bir yay sarkacının salınımlarının kosinüs veya sinüs fonksiyonu ile tanımlandığını bulduk. Bunlar periyodik fonksiyonlardır, yani yer değiştirme $x$, salınım periyodu olarak adlandırılan belirli eşit zaman aralıklarında eşit değerler alacaktır. Dönem T harfi ile gösterilir.

Salınımları karakterize eden başka bir miktar, salınım periyodunun tersidir, buna frekans ($\nu $) denir:

Periyot, döngüsel salınım frekansı ile şu şekilde ilişkilidir:

Yukarıda bir yay sarkacı için $(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))$ elde ettik, dolayısıyla bir yay sarkacının salınım periyodu şuna eşittir:

Bir yay sarkacının (11) salınım periyodu formülü, $T$'nin yaya bağlı yükün kütlesine ve yayın esneklik katsayısına bağlı olduğunu, ancak salınım genliğine (A) bağlı olmadığını gösterir. Salınımların bu özelliğine izokronizm denir. Eşzamanlılık, Hooke yasası geçerli olduğu sürece tatmin olur. Yayın büyük uzantılarında, Hooke yasası ihlal edilir, salınımların genliğe bağımlılığı ortaya çıkar. Bir yay sarkacının salınım periyodunu hesaplamak için kullanılan formülün (11) küçük salınımlar için geçerli olduğunu vurguluyoruz.

Salınım dönemi için görev örnekleri

örnek 1

Egzersiz yapmak. Bir yaylı sarkaç, 10 s'ye eşit bir sürede 50 tam salınım yaptı. Sarkacın salınım periyodu nedir? Bu salınımların sıklığı nedir?

Çözüm. Sarkacın bir tam salınımı tamamlaması için gereken minimum süre periyot olduğundan, bunu şu şekilde buluruz:

Dönemi hesaplayın:

Frekans, dönemin tersidir, bu nedenle:

\[\nu=\frac(1)(T)\left(1.2\right).\]

Salınım frekansını hesaplayalım:

\[\nu =\frac(1)(0,2)=5\ \left(Hz\right).\]

Cevap.$1)\ T=0.2$ sn; 2) 5Hz

Örnek 2

Egzersiz yapmak.$k_1$ ve $k_2$ elastik katsayılı iki yay paralel olarak bağlanmıştır (Şekil 2), sisteme $M$ kütleli bir yük bağlanmıştır. Ortaya çıkan yay sarkacının salınım periyodu nedir, eğer yayların kütleleri ihmal edilebilirse, yüke etkiyen elastik kuvvet Hooke yasasına uyar?

Çözüm. Bir yay sarkacının salınım periyodunu hesaplamak için formülü kullanalım:

Yaylar paralel bağlandığında, sistemin ortaya çıkan rijitliği şu şekilde bulunur:

Bu, bir yay sarkacının periyodunu hesaplama formülündeki $k$ yerine, (2.2) ifadesinin sağ tarafını değiştirdiğimiz anlamına gelir:

Cevap.$T=2\pi \sqrt(\frac(M)(k_1(+k)_2))$