Bataklığın çözümü olmadığında. Lineer cebirsel denklemler sistemini çözme yöntemleri

Çözüm... bir = ... r(A)'yı bulun. Çünkü matris Ve 3x4'lük bir mertebeye sahiptir, o zaman en yüksek minör mertebesi 3'tür. Bu durumda, üçüncü mertebeden tüm minörler sıfıra eşittir (kendiniz kontrol edin). Anlamına geliyor, r (A)< 3. Возьмем главный baz minör = -5-4 = -9 ≠ 0. Dolayısıyla r (A) = 2.

Düşünmek matris İLE BİRLİKTE = .

üçüncünün küçüğü Emir ≠ 0. Dolayısıyla, r (C) = 3.

r(A)'dan beri ≠ r (C), o zaman sistem tutarsız.

Örnek 2. Denklem sisteminin tutarlılığını belirleme

Ortak olduğu ortaya çıkarsa bu sistemi çözün.

Çözüm.

bir =, C = ... Açıkçası, r (A) ≤ 3, r (C) ≤ 4. detC = 0 olduğundan, r (C)< 4. Düşünmek küçük üçüncü Emir A ve C matrisinin sol üst köşesinde bulunur: = -23 ≠ 0. Dolayısıyla, r (A) = r (C) = 3.

Sayı Bilinmeyen sistemde n = 3... Dolayısıyla, sistemin sahip olduğu tek karar... Bu durumda, dördüncü denklem ilk üçün toplamını temsil eder ve göz ardı edilebilir.

Cramer formüllerine göre x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 elde ederiz.

2.4. Matris yöntemi. Gauss yöntemi

sistem n lineer denklemler ile birlikte n bilinmeyenler çözülebilir matris yöntemi X = A -1 B formülüne göre (Δ'de ≠ 0), (2)'den her iki parçanın da A -1 ile çarpılmasıyla elde edilir.

Örnek 1. Denklem sistemini çözün

matris yöntemi (Bölüm 2.2'de bu sistem Cramer formülleriyle çözülmüştür)

Çözüm... Δ = 10 ≠ 0 A = dejenere olmayan bir matristir.

= (gerekli hesaplamaları yaparak bunu kendiniz sağlayın).

A -1 = (1 / Δ) x = .

X = A -1 B = x =.

Cevap: .

Pratik açıdan matris yöntemi ve formüller Kramer hesaplama açısından yoğundur, bu nedenle tercih edilir Gauss yöntemi bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılmasından oluşur. Bunun için denklem sistemi, üçgen genişletilmiş matrisli eşdeğer bir sisteme indirgenir (ana köşegenin altındaki tüm elemanlar sıfıra eşittir). Bu eylemlere doğrudan hareketler denir. Elde edilen üçgen sistemden, değişkenler ardışık ikameler (geriye doğru hareket) kullanılarak bulunur.

Örnek 2... Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözün

(Bu sistemin üstü Cramer formülü ve matris yöntemi ile çözülmüştür).

Çözüm.

Doğrudan kurs. Genişletilmiş matrisi yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu üçgen bir forma getiriyoruz:

~ ~ ~ ~ .

alırız sistem

Ters hareket. Bulduğumuz son denklemden NS 3 = -6 ve bunu ikinci denkleme yerleştirin:

NS 2 = - 11/2 - 1/4NS 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

NS 1 = 2 -NS 2 + NS 3 = 2+4-6 = 0.

Cevap: .

2.5. Bir lineer denklem sisteminin genel çözümü

Bir lineer denklem sistemi verilsin = ben(ben=). r (A) = r (C) = r olsun, yani, sistem paylaşılır. Sıfır dışındaki herhangi bir r mertebesindeki minör temel minör. Genelliği kaybetmeden, temel minörün A'nın ilk r (1 ≤ r ≤ min (m, n)) satır ve sütunlarında yer aldığını varsayacağız. son m-r sistemin denklemleri, kesilmiş sistemi yazıyoruz:

hangi orijinaline eşdeğerdir. Bilinmeyenleri arayalım x 1, ... .x r temel ve x r +1, ..., x r serbest ve serbest bilinmeyenleri içeren terimleri, kesik sistemin denklemlerinin sağ tarafına aktarın. Temel bilinmeyenlere göre bir sistem elde ederiz:

serbest bilinmeyenlerin her bir değer kümesi için x r +1 = С 1, ..., x n = С n-r tek çözümü var x 1 (С 1, ..., С n-r), ..., x r (С 1, ..., С n-r), Cramer kuralı ile bulunur.

uygun çözüm kısaltılmış ve sonuç olarak orijinal sistem şu şekildedir:

X (C 1, ..., Cn-r) = - sistemin genel çözümü.

Genel çözümdeki serbest bilinmeyenlere bazı sayısal değerler atarsak, özel olarak adlandırılan doğrusal sistemin bir çözümünü elde ederiz.

Örnek... Uyumluluk sağlayın ve sisteme ortak bir çözüm bulun

Çözüm... bir = , C = .

Yani nasıl r (A)= r (C) = 2 (kendiniz görün), o zaman orijinal sistem uyumludur ve sonsuz sayıda çözüme sahiptir (çünkü r< 4).

Lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümü (SLAE) şüphesiz lineer cebir dersinin en önemli konusudur. Matematiğin tüm dallarından çok sayıda problem, lineer denklem sistemlerini çözmeye indirgenmiştir. Bu faktörler, bu makalenin oluşturulma nedenini açıklar. Makalenin malzemesi seçilmiş ve yapılandırılmıştır, böylece yardımı ile şunları yapabilirsiniz:

lineer cebirsel denklem sisteminizi çözmek için en uygun yöntemi seçin,
seçilen yöntemin teorisini incelemek,
Tipik örneklerin ve problemlerin analiz edilmiş çözümlerini ayrıntılı olarak ele alarak lineer denklem sisteminizi çözün.

Makale malzemesinin kısa açıklaması.

Önce her şeyi verelim gerekli tanımlar, kavramları ve gösterimi tanıtın.

Daha sonra, denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve benzersiz bir çözümü olan lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemlerini ele alacağız. İlk olarak, Cramer'in yöntemi üzerinde duralım, ikinci olarak, bu tür denklem sistemlerini çözmek için bir matris yöntemi gösterelim ve üçüncü olarak, Gauss yöntemini (bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi) analiz edelim. Teoriyi pekiştirmek için kesinlikle birkaç SLAE'yi farklı şekillerde çözeceğiz.

Bundan sonra, lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmeye devam ediyoruz. Genel görünüm denklem sayısının bilinmeyen değişken sayısıyla örtüşmediği veya sistemin ana matrisinin dejenere olduğu. SLAE'lerin uyumluluğunu belirlememizi sağlayan Kronecker - Capelli teoremini formüle edelim. Bir matrisin temel minör kavramını kullanarak sistemlerin çözümünü (uyumlulukları durumunda) analiz edelim. Ayrıca Gauss yöntemini ele alacağız ve örneklerin çözümlerini ayrıntılı olarak açıklayacağız.

Homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerinin genel çözümünün yapısı üzerinde kesinlikle duracağız. Temel bir çözüm sistemi kavramını verelim ve bir SLAE'nin genel çözümünün, temel çözüm sisteminin vektörleri kullanılarak nasıl yazıldığını gösterelim. Daha iyi anlamak için birkaç örneğe bakalım.

Sonuç olarak, çözümünde SLAE'lerin ortaya çıktığı çeşitli problemlerin yanı sıra doğrusal olanlara indirgenen denklem sistemlerini ele alıyoruz.

Sayfa gezintisi.

Tanımlar, kavramlar, adlandırmalar.

Formun n bilinmeyen değişkenli (p n'ye eşit olabilir) p lineer cebirsel denklem sistemlerini ele alacağız.

Bilinmeyen değişkenler, - katsayılar (bazı gerçek veya Karışık sayılar), - ücretsiz üyeler (ayrıca gerçek veya karmaşık sayılar).

SLAE gösteriminin bu biçimine koordinat.

V matris formu notasyon, bu denklem sistemi şu şekildedir,
nerede - sistemin ana matrisi, - bilinmeyen değişkenlerin matris sütunu, - serbest üyelerin matris sütunu.

A matrisine (n + 1) inci sütun olarak serbest terimlerin matris sütununu eklersek, o zaman sözde olanı elde ederiz. genişletilmiş matris lineer denklem sistemleri. Genellikle, genişletilmiş matris T harfi ile gösterilir ve serbest üyelerin sütunu, sütunların geri kalanından dikey bir çizgi ile ayrılır, yani,

Lineer cebirsel denklemler sistemini çözerek sistemin tüm denklemlerini özdeşliğe dönüştüren bilinmeyen değişkenlerin bir değerler kümesidir. Bilinmeyen değişkenlerin verilen değerleri için matris denklemi de bir özdeşliğe dönüşür.

Bir denklem sisteminin en az bir çözümü varsa buna denir. eklem yeri.

Denklem sisteminin çözümü yoksa denir. tutarsız.

SLAE'nin benzersiz bir çözümü varsa, buna denir. belirli; birden fazla çözüm varsa, o zaman - Tanımsız.

Sistemin tüm denklemlerinin serbest terimleri sıfıra eşitse , sonra sistem çağrılır homojen, aksi halde - heterojen.

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemlerinin çözümü.

Sistemin denklem sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse ve ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse, bu tür SLAE'ler çağrılacaktır. temel... Bu tür denklem sistemlerinin benzersiz bir çözümü vardır ve homojen bir sistem durumunda tüm bilinmeyen değişkenler sıfıra eşittir.

Lisede bu tür SLAE'leri incelemeye başladık. Bunları çözerken, bir denklem aldık, bilinmeyen bir değişkeni diğerleri cinsinden ifade ettik ve kalan denklemlere yerleştirdik, sonra bir sonraki denklemi aldık, bir sonraki bilinmeyen değişkeni ifade ettik ve diğer denklemlere yerleştirdik, vb. Ya da toplama yöntemini kullandılar, yani bilinmeyen bazı değişkenleri ortadan kaldırmak için iki veya daha fazla denklem eklediler. Aslında Gauss yönteminin modifikasyonları oldukları için bu yöntemler üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağız.

Temel doğrusal denklem sistemlerini çözmenin ana yöntemleri Cramer yöntemi, matris yöntemi ve Gauss yöntemidir. Onları analiz edelim.

Lineer denklem sistemlerini Cramer yöntemiyle çözme.

Bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmemiz gerektiğini varsayalım.

denklem sayısının bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşit olduğu ve sistemin ana matrisinin determinantının sıfır olmadığı, yani.

Sistemin ana matrisinin determinantı olsun ve - değiştirilerek A'dan elde edilen matrislerin determinantları 1., 2., ..., n. sırasıyla ücretsiz üyeler sütununa:

Bu gösterimle, bilinmeyen değişkenler Cramer yönteminin formülleri ile şu şekilde hesaplanır: ... Lineer cebirsel denklemler sisteminin çözümü Cramer yöntemiyle bu şekilde bulunur.

Örnek.

Cramer yöntemi .

Çözüm.

Sistemin ana matrisi şu şekildedir: ... Belirleyicisini hesaplayalım (gerekirse makaleye bakın):

Sistemin ana matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğu için sistem Cramer yöntemi ile bulunabilen benzersiz bir çözüme sahiptir.

Gerekli belirleyicileri oluşturalım ve hesaplayalım (determinant, A matrisindeki ilk sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilir, determinant - ikinci sütunun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesi, - A matrisinin üçüncü sütununun bir serbest üye sütunu ile değiştirilmesiyle elde edilir. ):

Formüllerle bilinmeyen değişkenleri bulun :

Cevap:

Cramer yönteminin ana dezavantajı (eğer buna bir dezavantaj denilebilirse), sistemdeki denklem sayısı üçten fazla olduğunda determinantları hesaplamanın karmaşıklığıdır.

Lineer cebirsel denklem sistemlerini matris yöntemiyle çözme (ters matris kullanarak).

Lineer cebirsel denklemler sistemi matris biçiminde verilsin, burada A matrisi n'ye n boyutuna sahiptir ve determinantı sıfır değildir.

A matrisi tersinir olduğundan, yani ters matris vardır. Eşitliğin her iki tarafını solla çarparsak, bilinmeyen değişkenlerin sütun matrisini bulmak için bir formül elde ederiz. Böylece matris yöntemiyle bir lineer cebirsel denklem sisteminin çözümünü elde ettik.

Örnek.

Lineer denklem sistemini çözün matris yöntemi.

Çözüm.

Denklem sistemini matris formunda yeniden yazalım:

Çünkü

daha sonra SLAE matris yöntemiyle çözülebilir. Ters matris kullanılarak bu sistemin çözümü şu şekilde bulunabilir: .

A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarından oluşan bir matris kullanarak bir ters matris oluşturalım (gerekirse makaleye bakın):

Hesaplamaya devam ediyor - ters matrisi çarparak bilinmeyen değişkenlerin matrisi serbest üyelerden oluşan bir sütun matrisine (gerekirse makaleye bakın):

Cevap:

veya başka bir gösterimde x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Matris yöntemiyle lineer cebirsel denklem sistemlerine çözüm bulmadaki temel sorun, özellikle üçüncü dereceden daha yüksek mertebeden kare matrisler için ters matris bulmanın karmaşıklığıdır.

Gauss yöntemi ile lineer denklem sistemlerinin çözümü.

n bilinmeyen değişkenli n lineer denklem sistemine bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım.
ana matrisinin determinantı sıfırdan farklıdır.

Gauss yönteminin özü bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılmasından oluşur: ilk olarak, x 1, ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkarılır, ardından x 2, üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden hariç tutulur ve bu, yalnızca bilinmeyen değişkene kadar devam eder. xn son denklemde kalır. Bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması için sistemin denklemlerini dönüştürme işlemine denir. Gauss yönteminin doğrudan seyri ile... Gauss yönteminin ileri çalışması tamamlandıktan sonra, son denklemden x n bulunur, bu değer kullanılarak, sondan bir önceki denklemden x n-1 hesaplanır ve böylece ilk denklemden x 1 bulunur. Sistemin son denkleminden birincisine geçerken bilinmeyen değişkenleri hesaplama işlemine denir. geriye doğru Gauss yöntemi.

Bilinmeyen değişkenleri ortadan kaldırmak için algoritmayı kısaca tanımlayalım.

Bunu, sistemin denklemlerini yeniden düzenleyerek her zaman başarabileceğimiz için varsayacağız. Bilinmeyen değişken x 1'i ikinciden başlayarak sistemin tüm denklemlerinden çıkarın. Bunu yapmak için, sistemin ikinci denklemine birinciyi ekliyoruz, çarpıyoruz, üçüncü denkleme birinciyi ekliyoruz, çarpıyoruz ve böyle devam ediyor, n'inci denkleme birinciyi çarpıyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alır:

Nerede ve .

Sistemin ilk denkleminde x 1'i diğer bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edersek ve elde edilen ifadeyi diğer tüm denklemlerde yerine koyarsak aynı sonuca varırdık. Böylece, x 1 değişkeni, ikinciden başlayarak tüm denklemlerden çıkarılır.

Daha sonra, benzer şekilde hareket ediyoruz, ancak yalnızca şekilde işaretlenmiş olan ortaya çıkan sistemin bir kısmı ile

Bunu yapmak için, sistemin üçüncü denklemine ikinci çarpı ile ekliyoruz, dördüncü denkleme ikinci çarpı ile ekliyoruz ve bu şekilde n'inci denkleme ikinci çarpı ile ekliyoruz. Bu tür dönüşümlerden sonra denklem sistemi şu şekli alır:

Nerede ve ... Böylece, x 2 değişkeni, üçüncüden başlayarak tüm denklemlerden çıkarılır.

Daha sonra, sistemin şekilde işaretli kısmı ile benzer şekilde hareket ederken bilinmeyen x 3'ün ortadan kaldırılmasına geçiyoruz.

Böylece sistem formu alana kadar Gauss yönteminin doğrudan seyrine devam ederiz.

Bu andan itibaren Gauss yönteminin ters seyrine başlıyoruz: elde edilen xn değerini kullanarak son denklemden xn'yi hesaplıyoruz, sondan bir önceki denklemden x n-1 buluyoruz ve böyle devam ediyor, xn'yi buluyoruz. ilk denklem.

Örnek.

Lineer denklem sistemini çözün Gauss yöntemi ile.

Çözüm.

Sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinden bilinmeyen değişken x 1'i çıkarın. Bunu yapmak için, ikinci ve üçüncü denklemlerin her iki kısmına, sırasıyla ve ile çarpılan birinci denklemin karşılık gelen kısımlarını ekleyin:

Şimdi, x 2'yi, sol ve sağ taraflarına ikinci denklemin sol ve sağ taraflarını çarparak ekleyerek üçüncü denklemden çıkarıyoruz:

Bu noktada Gauss yönteminin ileri hareketi bitiyor, geri hareket başlıyor.

Ortaya çıkan denklem sisteminin son denkleminden x 3'ü buluruz:

İkinci denklemden elde ederiz.

İlk denklemden kalan bilinmeyen değişkeni buluyoruz ve bu Gauss yönteminin tersini tamamlıyor.

Cevap:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümü.

Genel durumda, p sistemindeki denklemlerin sayısı, bilinmeyen değişkenlerin sayısı n ile çakışmaz:

Bu tür SLAE'lerin çözümü olmayabilir, tek bir çözümü olabilir veya sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu ifade, temel matrisi kare ve dejenere olan denklem sistemleri için de geçerlidir.

Kronecker - Capelli teoremi.

Bir lineer denklem sistemine bir çözüm bulmadan önce, uyumluluğunu belirlemek gerekir. SLAE'nin ne zaman uyumlu olduğu ve ne zaman uyumsuz olduğu sorusunun cevabı şu şekilde verilmektedir: Kronecker - Capelli teoremi:
n bilinmeyenli (p n'ye eşit olabilir) bir p denklem sisteminin tutarlı olması için, sistemin ana matrisinin rankının genişletilmiş matrisin rankına, yani Rank'a eşit olması gerekli ve yeterlidir. (A) = Sıra (T).

Bir lineer denklem sisteminin uyumluluğunu belirlemek için Kronecker - Capelli teoreminin uygulamasını örnekle ele alalım.

Örnek.

Lineer denklem sisteminin olup olmadığını öğrenin çözümler.

Çözüm.

... Sınırlı küçükler yöntemini kullanalım. İkinci dereceden küçük sıfır olmayan. Onu çevreleyen üçüncü dereceden küçükleri sıralayalım:

Üçüncü dereceden tüm sınırlayıcı küçükler sıfıra eşit olduğundan, ana matrisin sırası ikiye eşittir.

Buna karşılık, genişletilmiş matrisin rankı üçüncü dereceden minör olduğundan üçe eşittir

sıfır olmayan.

Böylece, Rang (A), bu nedenle, Kronecker - Capelli teoremi ile orijinal doğrusal denklem sisteminin tutarsız olduğu sonucuna varabiliriz.

Cevap:

Sistemin çözümü yok.

Böylece Kronecker - Capelli teoremini kullanarak sistemin tutarsızlığını kurmayı öğrendik.

Ancak uyumluluğu kurulmuşsa bir SLAE'ye nasıl bir çözüm bulunur?

Bunu yapmak için, bir matrisin temel minör kavramına ve bir matrisin rankı üzerinde bir teoreme ihtiyacımız var.

A matrisinin sıfırdan farklı en yüksek mertebeden küçüğüne denir. temel.

Temel minör tanımından, sırasının matrisin sırasına eşit olduğu sonucu çıkar. Sıfırdan farklı bir A matrisi için birkaç temel minör olabilir; her zaman bir temel minör vardır.

Örneğin, matrisi düşünün .

Bu matrisin tüm üçüncü dereceden küçükleri sıfıra eşittir, çünkü bu matrisin üçüncü satırının elemanları, birinci ve ikinci satırların karşılık gelen elemanlarının toplamıdır.

Aşağıdaki ikinci dereceden küçükler, sıfırdan farklı oldukları için temeldir.

küçükler sıfıra eşit oldukları için temel değildirler.

Matris sıra teoremi.

p'ye n dereceli bir matrisin rankı r'ye eşitse, matrisin satırlarının (ve sütunlarının) seçilen temel minörü oluşturmayan tüm öğeleri, satırların karşılık gelen öğeleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilir ( ve sütunlar) temel minör oluşturur.

Matris sıralama teoremi bize ne verir?

Kronecker - Capelli teoremine göre, sistemin uyumluluğunu kurduysak, sistemin temel matrisinin herhangi bir temel minörünü seçeriz (sıralaması r'dir) ve olmayan tüm denklemleri sistemden çıkarırız. seçilen temel minörü oluşturur. Bu şekilde elde edilen SLAE, atılan denklemler hala gereksiz olduğundan (matris sıra teoremine göre, bunlar kalan denklemlerin doğrusal bir birleşimidir) orijinaline eşdeğer olacaktır.

Sonuç olarak, sistemin gereksiz denklemleri atıldıktan sonra iki durum mümkündür.

Ortaya çıkan sistemdeki r denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, o zaman kesin olacaktır ve tek çözüm Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile bulunabilir.

Örnek.

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sıralaması ikinci dereceden küçük olduğundan ikiye eşittir sıfır olmayan. Genişletilmiş Matris Sıralaması ayrıca ikiye eşittir, çünkü üçüncü mertebenin tek küçüğü sıfıra eşittir

ve yukarıda ele alınan ikinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır. Kronecker - Capelli teoremine dayanarak, Rank (A) = Rank (T) = 2 olduğundan, orijinal lineer denklem sisteminin uyumluluğunu iddia edebiliriz.

Temel küçük olarak alıyoruz ... Birinci ve ikinci denklemlerin katsayılarından oluşur:

Sistemin üçüncü denklemi, temel minörün oluşumuna katılmaz, bu nedenle, matrisin sıralamasındaki teoreme dayanarak onu sistemden hariç tutarız:

Lineer cebirsel denklemlerin temel sistemini bu şekilde elde ettik. Cramer yöntemini kullanarak çözelim:

Cevap:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Elde edilen SLAE'deki r denklemlerinin sayısı bilinmeyen değişkenlerin sayısından az ise, denklemlerin sol taraflarında temel minörü oluşturan terimleri bırakırız, kalan terimler sağ taraflara aktarılır. zıt işaretli sistemin denklemleri.

Denklemlerin sol taraflarında kalan bilinmeyen değişkenlere (r tane vardır) denir. ana.

Sağ tarafta görünen bilinmeyen değişkenlere (n - r adet vardır) denir. Bedava.

Şimdi, serbest bilinmeyen değişkenlerin keyfi değerler alabileceğini ve r temel bilinmeyen değişkenin benzersiz bir şekilde serbest bilinmeyen değişkenler cinsinden ifade edileceğini varsayıyoruz. İfadeleri, elde edilen SLAE'nin Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemi ile çözülmesiyle bulunabilir.

Bir örnek alalım.

Örnek.

Lineer cebirsel denklemler sistemini çözün .

Çözüm.

Sistemin ana matrisinin sırasını bulun reşit olmayanları sınırlama yöntemiyle. Sıfırdan farklı birinci dereceden küçük olarak 1 1 = 1 alıyoruz. Bu minörü çevreleyen sıfır olmayan ikinci dereceden bir minör aramaya başlayalım:

Sıfır olmayan ikinci dereceden bir minör bu şekilde bulduk. Üçüncü mertebeden sıfırdan farklı bir sınırlayıcı çocuk aramaya başlayalım:

Böylece, ana matrisin sırası üçtür. Genişletilmiş matrisin sıralaması da üçtür, yani sistem tutarlıdır.

Bulunan sıfır olmayan üçüncü dereceden küçük olanı temel olan olarak alıyoruz.

Anlaşılır olması için, temel minörü oluşturan öğeleri gösteriyoruz:

Sistemin denklemlerinin sol tarafında, temel minöre katılan terimleri bırakıyoruz, geri kalanı zıt işaretlerle sağ taraflara aktarılıyor:

Serbest bilinmeyen değişkenler x 2 ve x 5'e keyfi değerler atayalım, yani , keyfi sayılar nerede. Bu durumda, SLAE aşağıdaki formu alacaktır:

Elde edilen lineer cebirsel denklemlerin temel sistemi Cramer'in yöntemiyle çözülür:

Buradan, .

Cevabınızda serbest bilinmeyen değişkenleri belirtmeyi unutmayın.

Cevap:

Rasgele sayılar nerede.

Özetle.

Genel formlu bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için, önce Kronecker - Capelli teoremini kullanarak uyumluluğunu buluruz. Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşit değilse, sistemin uyumsuz olduğu sonucuna varırız.

Ana matrisin sırası, genişletilmiş matrisin sırasına eşitse, temel minörü seçer ve seçilen temel minörün oluşumuna katılmayan sistemin denklemlerini atarız.

Temel minörün sırası bilinmeyen değişkenlerin sayısına eşitse, SLAE'nin bilinen herhangi bir yöntemle bulduğumuz benzersiz bir çözümü vardır.

Temel minörün mertebesi bilinmeyen değişkenlerin sayısından az ise, sistemin denklemlerinin sol tarafında temel bilinmeyen değişkenli terimleri bırakır, kalan terimleri sağ tarafa aktarırız ve serbest bilinmeyen değişkenlere keyfi değerler verin. Ortaya çıkan lineer denklem sisteminden, Cramer yöntemi, matris yöntemi veya Gauss yöntemiyle ana bilinmeyen değişkenleri buluruz.

Genel formun lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümü için Gauss yöntemi.

Gauss yöntemi, herhangi bir türdeki lineer cebirsel denklem sistemlerini, önce uyumluluk açısından incelemeden çözmek için kullanılabilir. Bilinmeyen değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması işlemi, SLAE'nin hem uyumluluğunu hem de uyumsuzluğunu sonuca bağlamayı mümkün kılar ve bir çözüm varsa onu bulmayı mümkün kılar.

Hesaplamalı çalışma açısından Gauss yöntemi tercih edilir.

Onu izle Detaylı Açıklama ve genel formdaki lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi makalesinde tartışılan örnekler.

Temel çözüm sisteminin vektörlerini kullanarak homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel sistemlerin genel çözümünün yazılması.

Bu bölümde, sonsuz bir çözüm kümesiyle uyumlu homojen ve homojen olmayan lineer cebirsel denklem sistemlerine odaklanacağız.

Önce homojen sistemlerle ilgilenelim.

Temel karar sistemi n bilinmeyen değişkenli homojen bir p lineer cebirsel denklem sistemi, bu sistemin lineer olarak bağımsız çözümlerinin (n - r) kümesidir, burada r, sistemin temel matrisinin temel minörünün mertebesidir.

Homojen bir SLAE'nin lineer bağımsız çözümlerini X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) n-by-1 olarak gösterirsek sütun matrisleri) , daha sonra bu homojen sistemin genel çözümü, rasgele sabit katsayıları С 1, С 2, ..., С (nr), yani, temel çözüm sisteminin vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilir.

Homojen bir lineer cebirsel denklem sisteminin (oroslau) genel çözümü terimi ne anlama geliyor?

Anlamı basittir: formül, orijinal SLAE'ye olası tüm çözümleri belirtir, başka bir deyişle, formüle göre herhangi bir keyfi sabit С 1, С 2, ..., С (nr) değerini alır. orijinal homojen SLAE'nin çözümlerinden birini elde edin.

Böylece, temel bir çözüm sistemi bulursak, bu homojen SLAE'nin tüm çözümlerini olarak belirtebileceğiz.

Homojen bir SLAE için temel bir çözüm sistemi oluşturma sürecini gösterelim.

Orijinal lineer denklem sisteminin temel minörünü seçiyoruz, diğer tüm denklemleri sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyen değişkenleri içeren tüm terimleri, sistemin zıt işaretli denklemlerinin sağ taraflarına aktarıyoruz. Serbest bilinmeyen değişkenlere 1,0,0, ..., 0 değerlerini verelim ve elde edilen temel doğrusal denklem sistemini herhangi bir şekilde, örneğin Cramer yöntemiyle çözerek ana bilinmeyenleri hesaplayalım. Bu, temel sisteme ilk çözüm olan X (1)'i verecektir. Serbest bilinmeyenlere 0,1,0,0,…, 0 değerlerini verir ve ana bilinmeyenleri hesaplarsak X (2) elde ederiz. Vesaire. Serbest bilinmeyen değişkenlere 0.0, ..., 0.1 değerlerini verirsek ve temel bilinmeyenleri hesaplarsak, X (n-r) elde ederiz. Homojen bir SLAE'nin temel çözüm sistemi bu şekilde oluşturulacak ve genel çözümü formda yazılabilir.

Lineer cebirsel denklemlerin homojen olmayan sistemleri için, genel çözüm, karşılık gelen homojen sistemin genel çözümü ve serbest bilinmeyenlere değerleri vererek elde ettiğimiz orijinal homojen olmayan SLAE'nin özel çözümü olan formda temsil edilir 0,0, ..., 0 ve ana bilinmeyenlerin değerlerinin hesaplanması.

Örneklere bir göz atalım.

Örnek.

Lineer cebirsel denklemlerin homojen sisteminin temel çözüm sistemini ve genel çözümünü bulun .

Çözüm.

Homojen lineer denklem sistemlerinin ana matrisinin sırası her zaman genişletilmiş matrisin sırasına eşittir. Ana matrisin rankını bordering minors yöntemiyle bulalım. Sıfır olmayan bir birinci dereceden küçük olarak, sistemin ana matrisinin a 1 1 = 9 öğesini alıyoruz. Sınırda sıfır olmayan ikinci dereceden bir minör bulun:

Sıfır olmayan ikinci dereceden bir minör bulundu. Sıfırdan farklı bir tane bulmak için onu çevreleyen üçüncü dereceden küçükleri gözden geçirelim:

Üçüncü dereceden tüm sınırlayıcı küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle ana ve genişletilmiş matrislerin sırası ikiye eşittir. Temel bir minör olarak kabul edin. Netlik için, onu oluşturan sistemin unsurlarını not ediyoruz:

Orijinal SLAE'nin üçüncü denklemi, temel minör oluşumuna katılmaz, bu nedenle hariç tutulabilir:

Denklemlerin sağ taraflarına ana bilinmeyenleri içeren terimleri bırakıyoruz ve sağ taraflara serbest bilinmeyenli terimleri aktarıyoruz:

Orijinal homojen lineer denklem sistemine temel bir çözüm sistemi oluşturalım. Bu SLAE'nin temel çözüm sistemi, orijinal SLAE dört bilinmeyen değişken içerdiğinden ve temel minörünün sırası iki olduğundan, iki çözümden oluşur. X (1)'i bulmak için, serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 = 1, x 4 = 0 değerlerini atarız, sonra denklem sisteminden ana bilinmeyenleri buluruz.
.

Cramer yöntemini kullanarak çözelim:

Böylece, .

Şimdi X (2) oluşturacağız. Bunu yapmak için, serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 = 0, x 4 = 1 değerlerini atarız, sonra lineer denklemler sisteminden ana bilinmeyenleri buluruz.
.

Cramer'in yöntemini tekrar kullanalım:

Aldığımız.

Böylece temel çözüm sisteminin iki vektörünü elde ettik ve şimdi homojen lineer cebirsel denklem sisteminin genel çözümünü yazabiliriz:

, burada C 1 ve C 2 rasgele sayılardır. sıfıra eşittir. Ayrıca minörü temel olarak alıyoruz, üçüncü denklemi sistemden çıkarıyoruz ve serbest bilinmeyenli terimleri sistemin denklemlerinin sağ taraflarına aktarıyoruz:

Bulmak için, serbest bilinmeyen değişkenlere x 2 = 0 ve x 4 = 0 değerlerini veriyoruz, sonra denklem sistemi şeklini alıyor. , Cramer yöntemiyle ana bilinmeyen değişkenleri nereden buluruz:

Sahibiz , buradan,

burada C 1 ve C 2 rasgele sayılardır.

Belirsiz homojen lineer cebirsel denklem sisteminin çözümlerinin doğrusal uzay

Çözüm.

Dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemindeki bir elipsoidin kanonik denklemi şu şekildedir: ... Görevimiz a, b ve c parametrelerini belirlemektir. Elipsoid A, B ve C noktalarından geçtiğinden, koordinatlarını elipsoidin kanonik denkleminde yerine koyarken özdeşliğe dönüşmesi gerekir. Böylece üç denklemli bir sistem elde ederiz:

biz belirtiriz , o zaman sistem bir lineer cebirsel denklemler sistemi haline gelir .

Sistemin ana matrisinin determinantını hesaplayalım:

Sıfır olmadığı için çözümü Cramer yöntemiyle bulabiliriz:
). Açıkçası, x = 0 ve x = 1 bu polinomun kökleridir. bölme oranı üzerinde bir . Böylece bir açılımımız var ve orijinal ifade şu şekli alıyor: .

Tanımsız katsayılar yöntemini kullanalım.

Payların karşılık gelen katsayılarını eşitleyerek, lineer cebirsel denklemler sistemine ulaşırız. ... Çözümü bize istenen tanımsız A, B, C ve D katsayılarını verecektir.

Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözelim:

Gauss yönteminin tersi yönünde D = 0, C = -2, B = 1, A = 1 buluyoruz.

alırız

Cevap:

Denklem sistemleri, ekonomik endüstride çeşitli süreçlerin matematiksel modellemesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, üretimin yönetimi ve planlaması, lojistik rotalar (nakliye sorunu) veya ekipman yerleşimi sorunlarını çözerken.

Denklem sistemleri sadece matematik alanında değil, fizik, kimya ve biyolojide de popülasyon büyüklüğünü bulma problemlerinin çözümünde kullanılmaktadır.

Bir lineer denklem sistemi, genel bir çözüm bulmanın gerekli olduğu birkaç değişkenli iki veya daha fazla denklem olarak adlandırılır. Tüm denklemlerin gerçek eşitlik haline geldiği veya dizinin var olmadığını kanıtladığı böyle bir sayı dizisi.

Doğrusal Denklem

ax + by = c biçimindeki denklemlere doğrusal denir. x, y notasyonu, değeri bulunması gereken bilinmeyendir, b, a değişkenlerin katsayılarıdır, c denklemin serbest terimidir.
Grafiği çizerek denklemin çözümü, tüm noktaları polinomun çözümü olan düz bir çizgi şeklinde olacaktır.

Lineer denklem sistemlerinin türleri

En basit örnekler, X ve Y olmak üzere iki değişkenli lineer denklem sistemleri olarak kabul edilir.

F1 (x, y) = 0 ve F2 (x, y) = 0, burada F1,2 fonksiyonlar ve (x, y) fonksiyon değişkenleridir.

denklem sistemini çöz - sistemin gerçek bir eşitliğe dönüştüğü bu tür değerleri (x, y) bulmak veya x ve y için uygun değerlerin olmadığını tespit etmek anlamına gelir.

Bir noktanın koordinatları olarak yazılan bir çift değere (x, y), bir lineer denklem sisteminin çözümü denir.

Sistemlerin ortak bir çözümü varsa veya çözüm yoksa, bunlara eşdeğer denir.

Homojen lineer denklem sistemleri, sağ tarafı sıfıra eşit olan sistemlerdir. "Eşit" işaretinden sonraki sağ kısım bir değere sahipse veya bir fonksiyonla ifade ediliyorsa, böyle bir sistem heterojendir.

Değişken sayısı ikiden çok olabilir, o zaman üç veya daha fazla değişkenli bir lineer denklem sistemi örneğinden bahsetmeliyiz.

Okul çocukları sistemlerle karşı karşıya kaldıklarında, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısıyla mutlaka çakışması gerektiğini varsayarlar, ancak durum böyle değildir. Sistemdeki denklem sayısı değişkenlere bağlı değildir, istediğiniz kadar denklem olabilir.

Denklem sistemlerini çözmek için basit ve karmaşık yöntemler

Bu tür sistemleri çözmenin genel bir analitik yolu yoktur; tüm yöntemler sayısal çözümlere dayanmaktadır. Okul matematik dersi permütasyon, cebirsel toplama, ikame gibi yöntemlerin yanı sıra grafik ve matris yöntemi, Gauss yöntemiyle çözüm gibi yöntemleri ayrıntılı olarak açıklar.

Çözüm yöntemlerinin öğretilmesindeki ana görev, sistemin nasıl düzgün bir şekilde analiz edileceğini ve her bir örnek için en uygun çözüm algoritmasını nasıl bulacağını öğretmektir. Ana şey, her yöntem için kurallar ve eylemler sistemini ezberlemek değil, belirli bir yöntemi uygulama ilkelerini anlamaktır.

Programın 7. sınıfının lineer denklem sistemleri örneklerinin çözümü Kapsamlı okul oldukça basit ve çok detaylı anlatılmış. Matematikle ilgili herhangi bir ders kitabında bu bölüme yeterince dikkat edilir. Lineer denklem sistemlerinin örneklerinin Gauss ve Cramer yöntemiyle çözümü, yüksek öğretim kurumlarının ilk yıllarında daha ayrıntılı olarak incelenir.

Sistemlerin ikame yöntemiyle çözümü

Yerine koyma yönteminin eylemleri, bir değişkenin değerini ikinci cinsinden ifade etmeyi amaçlar. İfade, kalan denklemde ikame edilir, ardından tek değişkenli bir forma indirgenir. Sistemdeki bilinmeyenlerin sayısına göre işlem tekrarlanır.

İkame yöntemiyle 7. sınıfın bir lineer denklem sisteminin bir örneğinin çözümünü verelim:

Örnekte görebileceğiniz gibi, x değişkeni F(X) = 7 + Y ile ifade edildi. Ortaya çıkan ifade, sistemin 2. denkleminde X yerine ikame edilerek, 2. denklemde bir Y değişkeninin elde edilmesine yardımcı oldu. . Bu örneğin çözümü herhangi bir zorluk çıkarmaz ve Y değerini almanızı sağlar.Son adım, elde edilen değerleri kontrol etmektir.

Bir lineer denklem sistemi örneğini ikame yoluyla çözmek her zaman mümkün değildir. Denklemler karmaşık olabilir ve bir değişkenin ikinci bilinmeyen cinsinden ifadesi sonraki hesaplamalar için çok hantal olacaktır. Sistemde 3'ten fazla bilinmeyen olduğunda, ikame ile çözüm de pratik değildir.

Lineer homojen olmayan denklemler sisteminin bir örneğinin çözümü:

Cebirsel toplama çözümü

Toplama yöntemiyle sistemlerin çözümünü ararken, terim terim toplama ve denklemlerin çarpımı farklı sayılar... Matematiksel işlemlerin nihai amacı, tek değişkenli bir denklemdir.

Uygulamalar için Bu method uygulama ve gözlem gereklidir. Değişken sayısı 3 veya daha fazla olan bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemiyle çözmek kolay değildir. Cebirsel toplama, denklemlerde kesirler ve ondalık sayılar olduğunda faydalıdır.

Çözüm eylem algoritması:

Denklemin her iki tarafını da bir sayı ile çarpın. Aritmetik işlem sonucunda değişkenin katsayılarından birinin 1'e eşit olması gerekir.
Elde edilen ifadeyi terime göre ekleyin ve bilinmeyenlerden birini bulun.
Kalan değişkeni bulmak için elde edilen değeri sistemin 2. denkleminde değiştirin.

Yeni bir değişken tanıtarak çözüm

Sistemin en fazla iki denklem için bir çözüm bulması gerekiyorsa yeni bir değişken eklenebilir, bilinmeyenlerin sayısı da ikiden fazla olmamalıdır.

Yöntem, yeni bir değişken girerek denklemlerden birini basitleştirmek için kullanılır. Yeni denklem girilen bilinmeyene göre çözülür ve elde edilen değer orijinal değişkeni belirlemek için kullanılır.

Örnek, yeni bir t değişkeni ekleyerek, sistemin 1. denklemini standart bir ikinci dereceden üç terimliye indirgemenin mümkün olduğunu göstermektedir. Diskriminantı bularak polinomu çözebilirsiniz.

İyi bilinen formüle göre diskriminantın değerini bulmak gerekir: D = b2 - 4 * a * c, burada D gerekli diskriminanttır, b, a, c polinomun faktörleridir. Verilen örnekte, a = 1, b = 16, c = 39, dolayısıyla D = 100. Diskriminant sıfırdan büyükse iki çözüm vardır: t = -b ± √D / 2 * a, diskriminant sıfırdan küçükse bir çözüm vardır: x = -b / 2 * a.

Elde edilen sistemlerin çözümü toplama yöntemi ile bulunur.

Sistemleri çözmek için görsel yöntem

3 denklemli sistemler için uygundur. Yöntem, sisteme dahil edilen her bir denklemin grafiklerinin koordinat ekseninde çizilmesinden oluşur. Eğrilerin kesişme noktalarının koordinatları sistemin genel çözümü olacaktır.

Grafik yönteminin birkaç nüansı vardır. Lineer denklem sistemlerini görsel olarak çözmenin birkaç örneğini ele alalım.

Örnekte görebileceğiniz gibi, her düz çizgi için iki nokta oluşturuldu, x değişkeninin değerleri keyfi olarak seçildi: 0 ve 3. x değerlerine dayanarak, y için değerler bulundu. : 3 ve 0. Koordinatları (0, 3) ve (3, 0) olan noktalar grafik üzerinde işaretlendi ve bir çizgi ile birleştirildi.

Adımlar ikinci denklem için tekrarlanmalıdır. Çizgilerin kesişme noktası sistemin çözümüdür.

Aşağıdaki örnekte, bir lineer denklem sistemine grafiksel bir çözüm bulmanız gerekiyor: 0,5x-y + 2 = 0 ve 0,5x-y-1 = 0.

Örnekte görebileceğiniz gibi, sistemin çözümü yoktur, çünkü grafikler paraleldir ve tüm uzunlukları boyunca kesişmez.

Örnek 2 ve 3'teki sistemler benzerdir, ancak bunu oluştururken çözümlerinin farklı olduğu ortaya çıkar. Unutulmamalıdır ki bir sistemin çözümü olup olmadığını söylemek her zaman mümkün değildir, her zaman bir grafik oluşturmak gereklidir.

Matris ve çeşitleri

Matrisler, bir lineer denklem sistemini kısaca yazmak için kullanılır. Matris, sayılarla dolu özel bir tablodur. n * m'nin n - satırı ve m - sütunu vardır.

Sütun ve satır sayısı birbirine eşit olduğunda bir matris karedir. Bir vektör matrisi, sonsuz sayıda satır içeren tek sütunlu bir matristir. Köşegenlerinden biri boyunca birler ve diğer sıfır elemanları olan bir matrise birim matris denir.

Ters bir matris, orijinal olanın bir kimlik matrisine dönüştüğü çarpıldığında böyle bir matristir, böyle bir matris yalnızca orijinal kare için var olur.

Bir denklem sistemini matrise dönüştürme kuralları

Denklem sistemlerine uygulandığında, denklemlerin katsayıları ve serbest terimleri matrisin sayıları olarak yazılır, bir denklem matrisin bir satırıdır.

Satırın en az bir elemanı sıfır değilse, bir matris satırına sıfırdan farklı denir. Bu nedenle, denklemlerden herhangi birinde değişken sayısı farklıysa, eksik bilinmeyen yerine sıfır yazmak gerekir.

Matrisin sütunları kesinlikle değişkenlerle eşleşmelidir. Bu, x değişkeninin katsayılarının yalnızca bir sütuna, örneğin birincisi, bilinmeyen y'nin katsayısına - yalnızca ikincisine yazılabileceği anlamına gelir.

Bir matris çarpılırken, matrisin tüm elemanları sırayla bir sayı ile çarpılır.

Ters matrisi bulmanın çeşitleri

Ters matrisi bulma formülü oldukça basittir: K -1 = 1 / | K |, burada K -1 ters matristir ve | K | matrisin determinantıdır. |K | sıfır olmamalıdır, o zaman sistemin bir çözümü vardır.

Determinant, ikiye iki matris için kolayca hesaplanır, köşegen üzerindeki elemanları birbiriyle çarpmanız yeterlidir. "Üçte üç" seçeneği için, | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formülü vardır. 3 + bir 3 b 2 c 1. Formülü kullanabilir veya her satırdan ve her sütundan bir eleman almanız gerektiğini hatırlayabilirsiniz, böylece üründeki sütun ve satır sayıları tekrar etmesin.

Matris yöntemiyle doğrusal denklem sistemleri örneklerinin çözümü

Bir çözüm bulmanın matris yöntemi, çok sayıda değişken ve denklem içeren sistemleri çözerken hantal kayıtları azaltmaya izin verir.

Örnekte, a nm denklemlerin katsayılarıdır, matris bir vektördür x n değişkenlerdir ve b n serbest terimlerdir.

Sistemlerin Gauss çözümü

Yüksek matematikte Gauss yöntemi Cramer yöntemi ile birlikte çalışılır ve sistemlere çözüm bulma işlemine Gauss-Cramer yöntemi denir. Bu yöntemler, çok sayıda lineer denklem içeren değişken sistemleri bulmak için kullanılır.

Gauss'un yöntemi, ikame ve cebirsel toplama çözümlerine çok benzer, ancak daha sistematiktir. Okul dersinde, 3 ve 4 denklem sistemleri için Gauss çözümü kullanılır. Yöntemin amacı, sistemin ters çevrilmiş bir yamuk gibi görünmesini sağlamaktır. Sistemin denklemlerinden birindeki bir değişkenin değeri cebirsel dönüşümler ve ikamelerle bulunur. İkinci denklem 2 bilinmeyenli, ancak 3 ve 4 - sırasıyla 3 ve 4 değişkenli bir ifadedir.

Sistemi tarif edilen forma getirdikten sonra, diğer çözüm, bilinen değişkenlerin sistemin denklemlerine sıralı ikamesine indirgenir.

7. sınıf için okul ders kitaplarında, Gauss yöntemiyle bir çözüm örneği şu şekilde açıklanmaktadır:

Örnekte görebileceğiniz gibi, (3) adımında iki denklem elde edilmiştir: 3x 3 -2x 4 = 11 ve 3x 3 + 2x 4 = 7. Herhangi bir denklemin çözümü, x n değişkenlerinden birini bulmanızı sağlayacaktır.

Metinde bahsedilen Teorem 5, sistemin denklemlerinden birinin eşdeğeri ile değiştirilirse, ortaya çıkan sistemin de orijinaline eşdeğer olacağını belirtir.

Gauss'un yöntemi öğrencilerin algılaması zor lise ancak ileri matematik ve fizik derslerinde çocukların zekasını geliştirmenin en eğlenceli yollarından biridir.

Hesaplamaları kaydetme kolaylığı için aşağıdakileri yapmak gelenekseldir:

Denklemlerin katsayıları ve serbest terimler, matrisin her satırının sistemin denklemlerinden biriyle ilişkili olduğu bir matris şeklinde yazılır. denklemin sol tarafını sağ taraftan ayırır. Romen rakamları, sistemdeki denklemlerin sayısını gösterir.

Önce çalışacakları matrisi, ardından satırlardan biriyle gerçekleştirilen tüm eylemleri yazarlar. Elde edilen matris ok işaretinden sonra yazılır ve sonuç elde edilene kadar gerekli cebirsel işlemlere devam edilir.

Sonuç olarak, köşegenlerden birinin 1 olduğu ve diğer tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu bir matris elde edilmelidir, yani matris tek bir forma getirilir. Denklemin her iki tarafındaki sayılarla hesaplama yapmayı unutmayın.

Bu kayıt yöntemi daha az hantaldır ve birçok bilinmeyeni listeleyerek dikkatinizin dağılmamasını sağlar.

Herhangi bir çözümün ücretsiz uygulaması, özen ve belirli bir miktar deneyim gerektirecektir. Tüm yöntemler uygulamalı nitelikte değildir. Çözüm bulmanın bazı yolları, belirli bir insan faaliyeti alanında daha çok tercih edilirken, diğerleri eğitim amaçlıdır.

Bununla birlikte, pratikte, iki vaka daha yaygındır:

- Sistem uyumsuz (çözüm yok);
- Sistem uyumludur ve sonsuz sayıda çözüme sahiptir.

Not : "Birlikte çalışabilirlik" terimi, sistemin en azından bir çözümü olduğunu ima eder. Bir dizi görevde, önce sistemi uyumluluk açısından araştırmak gerekir, bunun nasıl yapılacağı - hakkında makaleye bakın matris sıralaması.

Bu sistemler için tüm çözüm yöntemlerinin en evrenseli kullanılır - Gauss yöntemi... Aslında, "okul" yöntemi cevaba götürecektir, ancak yüksek matematikte bilinmeyenlerin ardışık ortadan kaldırılmasına yönelik Gauss yöntemini kullanmak gelenekseldir. Gauss yöntemi algoritmasına aşina olmayanlar için lütfen önce dersi inceleyiniz. Aptallar için Gauss yöntemi.

Temel matris dönüşümlerinin kendileri tamamen aynıdır., fark çözümün sonunda olacaktır. İlk önce sistemin çözümü olmadığında (tutarsız) birkaç örneği ele alalım.

örnek 1

Bu sistemde hemen gözünüze çarpan nedir? Denklem sayısı değişken sayısından azdır. Denklem sayısı değişken sayısından az ise, o zaman sistemin ya uyumsuz olduğunu ya da sonsuz sayıda çözümü olduğunu hemen söyleyebiliriz. Ve sadece öğrenmek için kalır.

Çözümün başlangıcı tamamen sıradan - sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getiriyoruz:

(1) Sol üst basamakta +1 veya -1 almamız gerekiyor. İlk sütunda böyle bir sayı yoktur, bu nedenle satırları yeniden düzenlemek hiçbir şey yapmaz. Ünite bağımsız olarak organize edilmelidir ve bu birkaç yolla yapılabilir. Bunu yaptım: İlk satıra -1 ile çarpılan üçüncü satırı ekliyoruz.

(2) Şimdi ilk sütunda iki sıfır alıyoruz. İkinci satıra 3 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz. Üçüncü satıra 5 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz.

(3) Yapılan dönüşümden sonra her zaman bakmak tavsiye edilir ve ortaya çıkan çizgileri basitleştirmek mümkün müdür? Yapabilmek. İkinci satırı 2'ye bölün, aynı anda ikinci adımda istenen –1'i elde edin. Üçüncü satırı –3'e bölün.

(4) İkinci satırı üçüncü satıra ekleyin.

Muhtemelen herkes, temel dönüşümlerin bir sonucu olarak ortaya çıkan kötü çizgiye dikkat etti: ... Bunun böyle olamayacağı açıktır. Gerçekten de, elde edilen matrisi yeniden yazıyoruz lineer denklem sistemine geri dönelim:

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, sıfırdan farklı bir sayı olan formun bir dizisi elde edilirse, sistem uyumsuzdur (çözümleri yoktur).

Bir ödevin sonunu nasıl kaydederim? Beyaz tebeşirle çizelim: "temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, formun bir çizgisi, nerede" elde edildi ve cevabı verelim: sistemin çözümü yok (tutarsız).

Koşullara göre sistemin uyumluluğu için ARAŞTIRMA yapılması gerekiyorsa, konseptin dahil edilmesiyle daha sağlam bir tarzda bir çözüm üretilmesi gerekir. matrisin rankı ve Kronecker-Capelli teoremi.

Lütfen burada Gauss geri izleme olmadığını unutmayın - hiçbir çözüm yoktur ve bulunacak hiçbir şey yoktur.

Örnek 2

Lineer denklem sistemini çözün

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın. Tekrar hatırlatırım, sizin karar rotanız benim karar rotamdan farklı olabilir, Gauss algoritmasının güçlü bir "rijitliği" yoktur.

Bir diğeri teknik özellikçözümler: temel dönüşümler durdurulabilir hemen, formun bir satırı göründüğü anda, nerede. Düşünmek koşullu örnek: ilk dönüşümden sonra matrisin elde edildiğini varsayalım ... Matris henüz kademeli bir forma indirgenmemiştir, ancak formun bir çizgisi göründüğü için daha fazla temel dönüşüme gerek yoktur. Sistemin uyumsuz olduğunu hemen cevaplamalısınız.

Bir lineer denklem sisteminin çözümü olmadığında, bu neredeyse bir hediyedir, çünkü bazen tam anlamıyla 2-3 adımda kısa bir çözüm elde edilir.

Ancak bu dünyadaki her şey dengelidir ve sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu problem sadece daha uzundur.

Örnek 3

Lineer denklem sistemini çözün

4 denklem ve 4 bilinmeyen vardır, yani sistem ya tek bir çözüme sahip olabilir ya da hiç çözümü olmayabilir ya da sonsuz sayıda çözümü olabilir. Öyle olabilir ama Gauss yöntemi bizi yine de cevaba götürecektir. Bu onun çok yönlülüğüdür.

Başlangıç yine standarttır. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu aşamalı bir forma getirelim:

Hepsi bu ve sen korktun.

(1) İlk sütundaki tüm sayıların 2'ye bölünebildiğine dikkat edin, bu nedenle sol üst adımda iki ile mutluyuz. İkinci satıra, -4 ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Üçüncü satıra, –2 ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Dördüncü satıra, -1 ile çarpılan ilk satırı ekleyin.

Dikkat! Birçoğu dördüncü satırdan cezbedilebilir çıkarmakİlk satır. Bu yapılabilir, ancak gerekli değildir, deneyimler, hesaplamalarda hata olasılığının birkaç kez arttığını göstermektedir. Sadece şunu ekleyin: Dördüncü satıra, -1 ile çarpılan ilk satırı ekleyin - kesinlikle!

(2) Son üç satır orantılıdır, ikisi silinebilir.

Burada tekrar göstermeniz gerekiyor artan dikkat, ama çizgiler gerçekten orantılı mı? Güvenli tarafta olmak için (özellikle bir çaydanlık için) ikinci satırı -1 ile çarpmak ve dördüncü satırı 2'ye bölerek üç özdeş satır elde etmek gereksiz olmayacaktır. Ve ancak o zaman ikisini silin.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak, sistemin genişletilmiş matrisi kademeli bir forma indirgenir:

Bir defterdeki görevi doldururken, netlik için aynı notları kurşun kalemle yapmanız önerilir.

Karşılık gelen denklem sistemini yeniden yazalım:

Buradaki sistemin tek çözümü "her zamanki gibi" kokmuyor. Kötü bir çizgi de yok. Bu, bunun kalan üçüncü durum olduğu anlamına gelir - sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Bazen duruma göre, sistemin uyumluluğunu araştırmak gerekir (yani, çözümün var olduğunu kanıtlamak için), makalenin son paragrafında bunu okuyabilirsiniz. Bir matrisin rankını nasıl bulabilirim? Ancak şimdilik, temelleri analiz ediyoruz:

Sonsuz sayıda sistem çözümü kısaca sözde şeklinde yazılmıştır. genel sistem çözümü .

Gauss yönteminin tersini kullanarak sistemin genel çözümünü bulacağız.

İlk önce hangi değişkenlere sahip olduğumuzu belirlememiz gerekiyor. temel ve hangi değişkenler Bedava... Lineer cebir terimleriyle uğraşmaya gerek yok, böyle olduğunu hatırlamak yeterli. temel değişkenler ve serbest değişkenler.

Temel değişkenler her zaman kesinlikle matrisin adımlarına "oturur".
Bu örnekte, temel değişkenler ve

Serbest değişkenler her şeydir geriye kalan basamak almayan değişkenler. Bizim durumumuzda bunlardan ikisi var: - serbest değişkenler.

şimdi ihtiyacın var herşey temel değişkenler ifade etmek sadece aracılığıyla serbest değişkenler.

Gauss algoritmasının tersi geleneksel olarak aşağıdan yukarıya doğru çalışır.
Sistemin ikinci denkleminden temel değişkeni ifade ediyoruz:

Şimdi ilk denkleme bakalım: ... İlk olarak, bulunan ifadeyi onun yerine koyarız:

Temel değişkeni serbest değişkenler cinsinden ifade etmeye devam ediyor:

Sonunda ihtiyacımız olanı aldık - herşey temel değişken(ler) ifade edilir sadece aracılığıyla serbest değişkenler:

Aslında, genel çözüm hazır:

Genel çözüm nasıl doğru yazılır?
Serbest değişkenler genel çözüme "kendi başlarına" ve kesinlikle yerlerine yazılır. Bu durumda serbest değişkenler ikinci ve dördüncü pozisyonlara yazılmalıdır:
.

Temel değişkenler için elde edilen ifadeler ve açıkçası, birinci ve üçüncü pozisyonlara yazmanız gerekiyor:

Serbest değişkenler vermek keyfi değerler, sonsuz sayıda bulabilirsiniz özel çözümler... En popüler değerler sıfırdır, çünkü özel çözüm en kolayıdır. Genel çözümde yerine koyalım:

- özel bir çözüm.

Birimler başka bir tatlı çifttir, onları genel çözümde değiştirelim:

- bir özel çözüm daha.

denklem sisteminin olduğunu görmek kolaydır. sonsuz sayıda çözüm(serbest değişkenler verebildiğimiz için herhangi değerler)

Her biriözel çözüm tatmin etmelidir her birine sistemin denklemi. Bu, çözümün doğruluğunun "hızlı" kontrolünün temelidir. Örneğin, belirli bir çözümü alın ve orijinal sistemdeki her denklemin sol tarafına takın:

Her şey birbirine uymalı. Ve aldığınız herhangi bir kararla - her şey de aynı fikirde olmalıdır.

Ancak, kesinlikle konuşursak, belirli bir çözümü kontrol etmek bazen yanıltıcıdır, yani. bazı özel çözümler sistemin her denklemini karşılayabilir, ancak genel çözümün kendisi aslında yanlış bulunur.

Bu nedenle, genel çözümün kontrolü daha kapsamlı ve güvenilirdir. Ortaya çıkan genel çözüm nasıl kontrol edilir ?

Kolay, ama oldukça kasvetli. ifade alman gerekiyor temel değişkenler, bu durumda ve ve bunları sistemin her denkleminin sol tarafında değiştirin.

Sistemin ilk denkleminin sol tarafında:

Sistemin ikinci denkleminin sol tarafında:

Orijinal denklemin sağ tarafı elde edilir.

Örnek 4

Sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözün. Genel bir çözüm ve iki özel çözüm bulun. Genel çözümü kontrol edin.

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Bu arada, burada yine denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısından daha azdır, bu da sistemin ya uyumsuz ya da sonsuz bir çözüm kümesiyle olacağı hemen açık olduğu anlamına gelir. Karar sürecinin kendisinde önemli olan nedir? Dikkat, tekrar dikkat... Çözümü tamamlayın ve öğreticinin sonunda yanıtlayın.

Ve materyali pekiştirmek için birkaç örnek daha

Örnek 5

Bir lineer denklem sistemi çözün. Sistemin sonsuz sayıda çözümü varsa, iki özel çözüm bulun ve genel çözümü kontrol edin.

Çözüm: Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu kademeli bir forma getirelim:

(1) İlk satırı ikinci satıra ekleyin. Üçüncü satıra 2 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz. Dördüncü satıra 3 ile çarpılan ilk satırı ekliyoruz.
(2) –5 ile çarpılan ikinci satırı üçüncü satıra ekleyin. Dördüncü satıra, -7 ile çarpılan ikinci satırı ekleyin.
(3) Üçüncü ve dördüncü satırlar aynı, birini siliyoruz.

İşte böyle bir güzellik:

Temel değişkenler basamaklara oturur, bu nedenle temel değişkenler.
Burada adım almayan tek bir serbest değişken var:

Ters:
Temel değişkenleri serbest değişken cinsinden ifade edelim:
Üçüncü denklemden:

İkinci denklemi düşünün ve bulunan ifadeyi onun yerine koyun:

İlk denklemi düşünün ve bulunan ifadeleri yerine koyun:

Evet, sıradan kesirleri sayan bir hesap makinesi hala kullanışlıdır.

Yani genel çözüm:

Bir kez daha, nasıl oldu? Serbest değişken, haklı dördüncü sırada tek başına oturur. Temel değişkenler için elde edilen ifadeler de sıralı yerlerini aldı.

Hemen genel çözümü kontrol edelim. Siyahlar için çalış, ama ben zaten yaptım, o yüzden yakala =)

Sistemin her denkleminin sol tarafında üç kahramanı değiştiriyoruz:

Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece genel çözüm doğru olarak bulunur.

Şimdi bulunan ortak çözümden iki özel çözüm elde ederiz. Buradaki tek serbest değişken şef. Kafanı kırmana gerek yok.

izin ver o zaman - özel bir çözüm.
izin ver o zaman - bir özel çözüm daha.

Cevap: Ortak karar: , özel çözümler: , .

Buradaki siyahları hatırlamamalıydım ... ... çünkü aklıma türlü türlü sadist motifler geldi ve beyaz cüppeli Klanların tarlada koşuşturduğu ünlü foto-kurbağayı hatırladım. siyah futbolcu. Oturuyorum, sessizce gülümsüyorum. Ne kadar dikkat dağıtıcı olduğunu biliyorsun….

Çok fazla matematik zararlıdır, bu nedenle kendi çözümünüz için benzer bir son örnek.

Örnek 6

Bir lineer denklem sisteminin genel çözümünü bulun.

Genel çözümü zaten kontrol ettim, cevaba güvenilebilir. Sizin karar rotanız benim karar rotamdan farklı olabilir, esas olan genel kararların örtüşmesidir.

Muhtemelen, birçok kişi çözümlerde hoş olmayan bir an fark etti: çoğu zaman, Gauss yönteminin tersi sırasında, onarmak zorunda kaldık. sıradan kesirler... Pratikte, bu doğrudur, kesirlerin olmadığı durumlar çok daha az yaygındır. Zihinsel ve en önemlisi teknik olarak hazırlıklı olun.

Çözümün çözülmüş örneklerde bulunmayan bazı özellikleri üzerinde duracağım.

Sistemin genel çözümü bazen bir sabit (veya sabitler) içerebilir, örneğin:. Burada temel değişkenlerden biri sabit bir sayıya eşittir:. Bunda egzotik bir şey yok, oluyor. Açıkçası, bu durumda, herhangi bir özel çözüm, ilk konumda bir A içerecektir.

Nadiren, ancak olduğu sistemler vardır denklem sayısı değişken sayısından fazladır... Gauss yöntemi en zorlu koşullarda çalışır, sistemin genişletilmiş matrisini standart algoritmaya göre sakin bir şekilde kademeli bir forma indirmelisiniz. Böyle bir sistem tutarsız olabilir, sonsuz sayıda çözümü olabilir ve garip bir şekilde tek bir çözümü olabilir.

Sistemler m lineer denklemler n Bilinmeyen.
Lineer denklem sistemini çözme Böyle bir sayı kümesi mi ( x 1, x 2, ..., xn), sistemin denklemlerinin her birine değiştirildiğinde, doğru eşitlik elde edilir.
nerede a ij, ben = 1, ..., m; j = 1,…, n- sistem katsayıları;
ben, ben = 1, ..., m- ücretsiz üyeler;
x j, j = 1, ..., n- Bilinmeyen.
Yukarıdaki sistem matris formunda yazılabilir: bir X = B,

nerede ( A|B) Sistemin ana matrisidir;
A- genişletilmiş sistem matrisi;
x- bilinmeyenler sütunu;
B- ücretsiz üyeler sütunu.
matris ise B bir boş matris ∅ değilse, bu lineer denklem sistemine homojen olmayan denir.
matris ise B= ∅, o zaman bu lineer denklem sistemine homojen denir. Homojen bir sistem her zaman sıfır (önemsiz) bir çözüme sahiptir: x 1 = x 2 =…, x n = 0.
Lineer denklemlerin ortak sistemiÇözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
Tutarsız lineer denklem sistemiÇözümü olmayan lineer denklemler sistemidir.
Kesin bir lineer denklem sistemi benzersiz bir çözümü olan bir lineer denklem sistemidir.
Belirsiz lineer denklem sistemi Sonsuz bir çözüm kümesine sahip bir lineer denklem sistemidir.
n bilinmeyenli n lineer denklem sistemleri
Bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşitse, matris karedir. Bir matrisin determinantı, bir lineer denklem sisteminin ana determinantı olarak adlandırılır ve Δ sembolü ile gösterilir.
Cramer yöntemi sistemleri çözmek n lineer denklemler n Bilinmeyen.
Cramer kuralı.
Bir lineer denklem sisteminin ana belirleyicisi sıfıra eşit değilse, sistem tutarlı ve tanımlıdır ve tek çözüm Cramer'in formülleriyle hesaplanır:
nerede Δ i - sistemin ana determinantından elde edilen determinantlar Δ değiştirilerek benücretsiz üye sütunu başına inci sütun. ...
n bilinmeyenli m lineer denklem sistemleri
Kronecker - Capelli teoremi.

Belirli bir lineer denklem sisteminin tutarlı olması için, sistemin matrisinin rankının, sistemin genişletilmiş matrisinin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, çaldı (Α) = çaldı (Α | B).
Eğer çaldı (Α) ≠ çaldı (Α | B), o zaman sistemin kesinlikle hiçbir çözümü yoktur.
Eğer çaldı (Α) = çaldı (Α | B), o zaman iki durum mümkündür:
1) çaldı (Α) = n(bilinmeyenlerin sayısına) - çözüm benzersizdir ve Cramer formülleriyle elde edilebilir;
2) çaldı (Α)< n - sonsuz sayıda çözüm var.
Gauss yöntemi lineer denklem sistemlerini çözmek için

Genişletilmiş bir matris oluşturalım ( A|B) bilinmeyen ve sağ taraftaki belirli bir katsayı sisteminin.
Gauss yöntemi veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi, genişletilmiş matrisi ( A|B) satırları üzerindeki temel dönüşümlerin yardımıyla köşegen forma (üst üçgen forma). Denklem sistemine dönersek, tüm bilinmeyenler belirlenir.
Dizeler üzerindeki temel dönüşümler şunları içerir:
1) iki satırın değiştirilmesi;
2) bir dizgiyi 0'dan farklı bir sayı ile çarpmak;
3) isteğe bağlı bir sayı ile çarpılan başka bir dize eklemek;
4) boş dizeyi atmak.
Köşegen forma indirgenmiş genişletilmiş bir matris, çözümü zorluklara neden olmayan, verilene eşdeğer doğrusal bir sisteme karşılık gelir. ...
Homojen lineer denklemler sistemi.
Homojen bir sistem şöyle görünür:

matris denklemine karşılık gelir bir X = 0.
1) Homojen bir sistem her zaman uyumludur, çünkü r (A) = r (A | B), her zaman sıfır bir çözüm vardır (0, 0,…, 0).
2) Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için gerekli ve yeterlidir. r = r(A)< n , Δ = 0'a eşdeğerdir.
3) Eğer r< n , sonra kasıtlı olarak Δ = 0, sonra serbest bilinmeyenler ortaya çıkar c 1, c 2, ..., c n-r, sistemin önemsiz olmayan çözümleri vardır ve bunlardan sonsuz sayıda vardır.
4) Genel çözüm x NS r< n matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
çözümler nerede X 1, X 2, ..., X n-r temel bir karar sistemi oluşturur.
5) Temel çözümler sistemi, homojen bir sistemin genel çözümünden elde edilebilir:

,
parametre değerleri sırayla (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1) olarak kabul edilirse.
Çözümlerin temel sistemi açısından genel çözümün ayrıştırılması Temel sisteme ait çözümlerin lineer bir kombinasyonu şeklinde genel bir çözümün kaydıdır.
teorem... Bir lineer homojen denklemler sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü olması için Δ ≠ 0 olması gerekli ve yeterlidir.
Dolayısıyla, determinant Δ ≠ 0 ise, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.
Δ ≠ 0 ise, lineer homojen denklemler sistemi sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir.
teorem... Homojen bir sistemin sıfırdan farklı bir çözüme sahip olması için gerekli ve yeterlidir. r (A)< n .
Kanıt:
1) r daha fazla olamaz n(matrisin sırası, sütun veya satır sayısını geçmez);
2) r< n dan beri Eğer r = n, o zaman sistemin ana belirleyicisi Δ ≠ 0'dır ve Cramer'in formüllerine göre benzersiz bir önemsiz çözüm vardır. x 1 = x 2 =… = x n = 0, bu durumla çelişir. Anlamına geliyor, r (A)< n .
Sonuç... Homojen bir sistem için n lineer denklemler n bilinmeyenlerin sıfır olmayan bir çözümü varsa, Δ = 0 olması gerekli ve yeterlidir.