Aplicación práctica de la teoría de las bifurcaciones en informática. Teoría de la bifurcación

a) Introducción a la teoría de las bifurcaciones

La teoría de bifurcaciones de sistemas dinámicos describe cambios cualitativos abruptos en los retratos de fase de ecuaciones diferenciales con un cambio continuo y suave en los parámetros. Entonces, en caso de pérdida de estabilidad por un punto singular, puede surgir un ciclo límite, y en caso de pérdida de estabilidad por un ciclo límite, caos. Este tipo de cambios se denominan bifurcaciones.

En las ecuaciones diferenciales que describen fenómenos físicos reales, la mayoría de las veces hay puntos singulares y ciclos límite en posición general, es decir, hiperbólicos. Sin embargo, también existen clases especiales de ecuaciones diferenciales donde la situación es diferente. Tales son, por ejemplo, sistemas con simetrías relacionadas con la naturaleza del fenómeno descrito, así como ecuaciones hamiltonianas, sistemas reversibles, ecuaciones que preservan el volumen de fase. Entonces, por ejemplo, considere una familia de sistemas dinámicos de un parámetro en una línea con simetría de segundo orden:

Una bifurcación típica de una posición de equilibrio simétrica en tal sistema ("tridente") se muestra en la Fig. 1. Consiste en que dos nuevas posiciones de equilibrio, menos simétricas, se derivan de una posición de equilibrio simétrica que está perdiendo estabilidad. En este caso, la posición simétrica de equilibrio se mantiene, pero pierde su estabilidad.

Los fundamentos de la teoría matemática de las bifurcaciones fueron creados por A. Poincaré y A. M. Lyapunov a principios del siglo XX, y luego desarrollados por algunas escuelas. La teoría de la bifurcación encuentra aplicaciones en diversas ciencias, desde la física y la química hasta la biología y la sociología.

El origen del término bifurcación (del latín bifurcus - bifurcado) está asociado con el hecho de que un sistema dinámico cuyo comportamiento en la región de equilibrio está descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales lineales que tienen única decisión, cuando los parámetros cambian a un cierto valor crítico, alcanza el llamado punto de bifurcación, el punto de ramificación de las posibles rutas evolutivas del sistema.

Este momento (punto de ramificación) corresponde a la transición del sistema a un estado de no equilibrio, y a nivel de descripción matemática corresponde a la transición a ecuaciones diferenciales no lineales y la ramificación de sus soluciones.

La bifurcación es la adquisición de una nueva cualidad de evolución (en movimiento) de un sistema dinámico con un pequeño cambio en sus parámetros. La bifurcación corresponde a la reestructuración de la naturaleza del movimiento o estructura de un sistema real (físico, químico, biológico, etc.).

Desde el punto de vista de las matemáticas, la bifurcación es un cambio en la estructura topológica de la partición del espacio de fase de un sistema dinámico en trayectorias con un pequeño cambio en sus parámetros.

Esta definición se basa en el concepto de equivalencia topológica de sistemas dinámicos: dos sistemas son topológicamente equivalentes si tienen la misma estructura de partición del espacio de fases en trayectorias, si los movimientos de uno de ellos pueden reducirse a movimientos por el otro mediante un cambio continuo de coordenadas y tiempo.

Un ejemplo de esta equivalencia es el movimiento de un péndulo para diferentes valores del coeficiente de fricción k: para baja fricción, las trayectorias en el plano de fase parecen espirales retorcidas, y para gran fricción, parecen parábolas (Fig. En la siguiente diapositiva)

La transición del retrato de fase a a b no representa una bifurcación, ya que las bifurcaciones son una transición de un sistema dado a uno topológicamente no equivalente.

Ejemplo: en un modelo matemático, la aparición de células de Benard corresponde a una bifurcación del nacimiento de nuevos estados de equilibrio (correspondientes a una estructura celular).

Entre las diversas bifurcaciones en el análisis de modelos de sistemas físicos, las llamadas bifurcaciones locales son especialmente interesantes: se trata de bifurcaciones, en las que hay una reorganización de los movimientos individuales de un sistema dinámico.

Los más simples e importantes son:

bifurcaciones de estados de equilibrio (células de Benard)

bifurcaciones de movimientos periódicos.

Conclusión. Características importantes de la bifurcación.

Las bifurcaciones, como resultado de las cuales desaparecen modos estáticos o periódicos (es decir, estados de equilibrio o ciclos límite), pueden llevar a que el sistema dinámico entre en un modo de oscilaciones estocásticas.

En las aplicaciones de la teoría de las bifurcaciones, se plantea el problema: para cada situación específica, encontrar expresiones analíticas para las variantes de soluciones de ecuaciones que surgen en los puntos de bifurcación, así como determinar los valores de los parámetros en los que la ramificación de soluciones de ecuaciones comienza. Es necesario analizar primero la estabilidad del sistema y buscar puntos de su inestabilidad. Los métodos de este análisis se basan en la teoría de la estabilidad, están desarrollados con suficiente detalle y son de naturaleza puramente técnica.

En la teoría de las bifurcaciones se describen un gran número de situaciones de bifurcación. En el desarrollo de sistemas naturales reales, no se pueden observar bifurcaciones individuales, sino cascadas completas de bifurcaciones (un ejemplo clásico es la aparición de turbulencias y otras inestabilidades hidrodinámicas). Además, se distinguen bifurcaciones y catástrofes. Incluso existe una teoría de las catástrofes. Sin embargo, analizar las relaciones y diferencias entre ellos está más allá del alcance de este tutorial.

Una característica muy importante de las bifurcaciones: en el momento en que el sistema está cerca del punto de bifurcación, pequeñas perturbaciones de los valores de sus parámetros comienzan a jugar un papel muy importante. Estas alteraciones pueden ser puramente aleatorias o intencionadas. Depende de ellos qué rama evolutiva seguirá el sistema después de pasar por el punto de bifurcación. Es decir, si, antes de pasar el punto de bifurcación, el comportamiento del sistema obedece a leyes deterministas, entonces en el mismo punto de bifurcación el caso juega un papel decisivo.

Como resultado, según I. Prigogine, el mundo se vuelve "misterioso, impredecible, incontrolable". En cierto sentido, esto es así. Pero uno no puede estar completamente de acuerdo con esta afirmación, ya que para cualquier sistema en el punto de bifurcación no hay un conjunto arbitrario, sino un conjunto de caminos evolutivos bastante definidos. Por lo tanto, incluso si la aleatoriedad funciona, funciona en un campo de posibilidades estrictamente definido. Y, por tanto, es incorrecto hablar de total incertidumbre y, además, completo misterio. En cuanto a la incontrolabilidad, entonces, por supuesto, no tiene sentido hablar de control total, pero en algunos procesos es posible intervenir como un empujón a las opciones de desarrollo deseadas.

4. CAOS

Teoría del caos- un aparato matemático que describe el comportamiento de algunos sistemas dinámicos no lineales sujetos, en determinadas condiciones, a un fenómeno conocido como caos, que se caracteriza por una fuerte sensibilidad del comportamiento del sistema a las condiciones iniciales; el comportamiento de tal sistema parece ser aleatorio, incluso si el modelo que describe el sistema es determinista; ejemplos de tales sistemas son la atmósfera, los flujos turbulentos, las poblaciones biológicas, la sociedad como sistema de comunicación y sus subsistemas: económico, político y otros sistemas sociales.

La teoría del caos establece que sistemas complejos son extremadamente dependientes de las condiciones iniciales y los pequeños cambios en el medio ambiente tienen consecuencias impredecibles.

Los sistemas matemáticos con comportamiento caótico son deterministas, es decir, obedecen a una determinada ley estricta y, en cierto sentido, están ordenados.

Caos dinámico- un fenómeno en la teoría de sistemas dinámicos en el que el comportamiento de un sistema no lineal parece aleatorio, a pesar de que está determinado por leyes deterministas. El motivo de la aparición del caos es la inestabilidad con respecto a las condiciones y parámetros iniciales: un pequeño cambio en la condición inicial con el tiempo conduce a cambios arbitrariamente grandes en la dinámica del sistema.

Dado que el estado inicial de un sistema físico no se puede especificar con absoluta precisión (por ejemplo, debido a las limitaciones de los instrumentos de medición), siempre es necesario considerar una región determinada (aunque muy pequeña) de las condiciones iniciales. Cuando se mueve en una región limitada del espacio, la divergencia exponencial en el tiempo de órbitas cercanas conduce a la mezcla de los puntos iniciales en toda la región. Después de tal mezcla, no tiene sentido hablar de la coordenada de la partícula, pero puede encontrar la probabilidad de que esté en algún momento.

Caos determinista - combina determinismo y aleatoriedad, previsibilidad limitada e impredecibilidad y se manifiesta en fenómenos tan diferentes como la cinética reacciones químicas, turbulencia de líquido y gas, geofísica, en particular, cambios climáticos, reacciones fisiológicas del cuerpo, dinámica de la población, epidemias, fenómenos sociales (por ejemplo, precios de las acciones).

Teoría de la bifurcación

Anotación: La teoría de las bifurcaciones de los retratos de fase de ecuaciones diferenciales cerca de los equilibrios y ciclos límite se presenta en los dos primeros capítulos. La presentación comienza con conceptos y hechos básicos y termina con nuevos resultados sobre bifurcaciones en familias típicas de un parámetro que ocurren en el límite de la región. conjunto de sistemas Morse-Smale. Las vibraciones de relajación se estudian desde el punto de vista de la teoría de las singularidades y la teoría de las formas normales; incluyó resultados sobre retardo de pandeo y soluciones de trama.
Bibl. 206.

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Bases de datos abstractas:

Tipo de publicación: Artículo
UDC: 517.925 +517.928

Citación: V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov, "Teoría de las bifurcaciones", Sistemas dinámicos - 5, Resultados de la ciencia y la tecnología. Ser. Vamos a mentir. probl. estera. Fondo. direcciones, 5, VINITI, M., 1986, 5-218

Cotización en formato AMSBIB

\ Bibitem (ArnAfrIly86)
\ por V. ~ I. ~ Arnold, V. ~ S. ~ Afraimovich, Yu. ~ S. ~ Ilyashenko, L. ~ P. ~ Shilnikov
\ paper La teoría de las bifurcaciones
\ inbook Sistemas dinámicos ~ - ~ 5
\ serial Results of Science and Technology. Ser. Vamos a mentir. probl. estera. Fondo. direcciones
\ año 1986
\ vol 5
\ páginas 5--218
\ publ VINITI
\ publaddr M.
\ mathnet (http: //mi.site/intf40)
\ mathscinet (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=895653)
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Prefacio
Capítulo 1. Bifurcaciones de posiciones de equilibrio
§ 1. Familias y deformaciones
1.1. Familias de campos vectoriales
1.2. Espacio jet
1.3. Lema de Sard y teoremas de transversalidad
1.4. Aplicaciones básicas: puntos singulares de campos vectoriales típicos
1.5. Deformaciones topológicamente irreales
1.6. Teorema de reducción
1.7. Familias tipicas y principales
§ 2. Bifurcaciones de puntos singulares en familias típicas de un parámetro
2.1. Brotes típicos y familias principales
2.2. Pandeo suave y duro
§ 3. Bifurcaciones de puntos singulares en familias multiparamétricas en posición general con una sola degeneración de la parte lineal
3.1. Familias principales
3.2. Diagramas de bifurcación de familias principales (3 ±)
3.3. Diagramas de bifurcación (equivalencia relativamente débil) y retratos de fase de familias principales (4 ±)
§ 4. Bifurcaciones de puntos singulares de campos vectoriales con doble degeneración de la parte lineal
4.1. Lista de degeneraciones
4.2. Dos valores propios voluntarios
4.3. Reducciones a sistemas bidimensionales
4.4. Cero y un par de valores propios puramente imaginarios
4.5. Dos parejas puramente imaginarias
4.6. Deformaciones principales de ecuaciones de tipo difícil en el problema de dos pares imaginarios (según Zholondek)
§ 5. Indicadores de pandeo blando y duro
5.1. Definición
5.2. Tabla de indicadores
Capítulo 2. Bifurcaciones de ciclos límite
§ 1. Bifurcaciones de ciclos límite en familias típicas de un parámetro
1.1. Dibujante 1
1.2. Multiplicador -1 y bifurcación de duplicación del período
1.3. Un par de multiplicadores conjugados complejos
1.4. Bifurcaciones no locales en familias de difeomorfismos de un parámetro
1.5. Bifurcaciones no locales de soluciones periódicas
1.6. Bifurcaciones de descomposición de toros invariantes
§ 2. Bifurcaciones de ciclos en familias típicas de dos parámetros con degeneración adicional única
2.1. Lista de degeneraciones
2.2. Multiplicador de 1 o -1 con degeneración adicional en términos no lineales
2.3. Par de multiplicadores en el círculo unitario con degeneración adicional en términos no lineales
§ 3. Bifurcaciones de ciclos en familias típicas de dos parámetros con fuertes resonancias de orden (?)
3.1. Forma normal en el caso de una celda de Jordan unipotente
3.2. Promedio en foliaciones de Seifert y Möbius
3.3. Campos principales y deformaciones
3.4. Versalles de las principales deformaciones.
3.5. Bifurcaciones de soluciones estacionarias de ecuaciones diferenciales periódicas con fuertes resonancias de orden (?)
§ 4. Bifurcaciones de ciclos límite cuando pasa un par de multiplicadores (?)
4.1. Familias degeneradas
4.2. Familias degeneradas encontradas analíticamente
4.3. Familias degeneradas encontradas numéricamente
4.4. Bifurcaciones en familias no degeneradas
4.5. Limitar ciclos de sistemas con simetría de cuarto orden
§ 5. Formas normales finas y uniformes de familias locales
5.1. Resumen de resultados
5.2. Definiciones y ejemplos
5.3. Teoremas generales y deformaciones de gérmenes no resonantes.
5.4. Reducir a forma lineal normal
5.5. Deformaciones de gérmenes de difeomorfismos de tipo Poincaré
5.6. Deformaciones de gérmenes hiperbólicos odiorezoicos
5.7. Deformaciones de gérmenes, campos vectoriales con un valor propio cero en un punto singular
5.8. Invariantes funcionales de difeomorfismos de línea
5.9. Invariantes funcionales de familias locales de difeomorfismos
5.10. -Invariantes funcionales de familias de campos vectoriales
5.11. Invariantes funcionales de la clasificación topológica de familias locales de difeomorfismos de línea (según Russari)
§ 6. Universalidad de Feigenbaum para difeomorfismos y flujos
6.1. Cascada de duplicación
6.2. Reordenamientos de puntos fijos
6.3. Cascada (?): Múltiples aumentos en el período
6.4. Duplicar en sistemas hamiltonianos
6.5. Operador de duplicación para asignaciones "unidimensionales
6.6. Mecanismo de duplicación universal para difeomorfismos
Capítulo 3. Bifurcaciones no locales
§ 1. Degeneraciones de la codimensión 1. Resumen de resultados
1.1. Bifurcaciones locales y no locales
1.2. Puntos singulares no hiperbólicos
1.3. Ciclos no hiperbólicos
1.4. Intersecciones no transversales de variedades
1.5. Contornos
1.6. Superficies de bifurcación
1.7. Características de las bifurcaciones
1.8. Resumen de Resultados
§ 2. Bifurcaciones no locales de flujos en superficies bidimensionales
2.1. Bifurcaciones semilocales de flujos en superficies.
2.2. Bifurcaciones no locales en la esfera; caso de un parámetro
2.3. Familias de campos vectoriales típicas
2.4. Condiciones típicas
2.5. Familias de un parámetro en superficies distintas de una esfera
2.6. Bifurcaciones globales de sistemas, con una secante global en el toro.
2.7. Algunas bifurcaciones globales en la botella de Klein
2.8. Bifurcación en una esfera bidimensional. Caso multiparamétrico
2.9. Algunas preguntas abiertas
§ 3. Bifurcaciones de trayectorias homoclínicas de un punto singular no hiperbólico
3.1. Nodo variable hiperbólico
3.2. Silla en variables hiperbólicas: una trayectoria homoclínica
3.3. Esquema topológico de Bernoulli
3.4. Silla en variables hiperbólicas: varias trayectorias homoclínicas
3.5. Familias principales
§ 4. Bifurcaciones de trayectorias homoclínicas4 y ciclo hiperbólico
4.1. La estructura de la familia de trayectorias homocliicas.
4.2. Ciclos críticos y no críticos
4.3. El nacimiento de un atractor bidimensional suave
4.4. El nacimiento de conjuntos invariantes complejos (caso no crítico)
4.5. Caso critico
4.6. Transición en dos pasos de robustez a turbulencia
4.7. Conjunto no compacto de trayectorias homoclínicas
4.8. Intermitencia
4.9. Alcanzable, inalcanzable
4.10. Estabilidad de familias de difeomorfismos.
4.11. Algunas preguntas abiertas
§ 5. Puntos singulares hiperbólicos con trayectoria homoclínica
5.1. Conceptos preliminares: direcciones principales y valores de silla de montar
5.2. Bifurcaciones de trayectorias homocliicas de silla de montar que ocurren en el límite del conjunto de sistemas Morse-Smale
5.3. Requisitos de generalidad
5.4. Familias principales en R3 y sus propiedades
5.5. Versatilidad de las principales familias
5.6. Sillín con dirección de conducción integrada en R3
5.7. Anexo: bifurcaciones de bucles homoclíicos fuera del "límite del conjunto de sistemas Morse-Smale
§ 6. Bifurcaciones asociadas a intersecciones no transversales
6.1. Campos vectoriales sin contornos y trayectorias homocliicas
6.2. Teorema de inalcanzabilidad
6.3. Módulos
6.4. Sistemas con contornos
6.5. Diffeomorfismos con conjuntos básicos no triviales
6.6. Campos vectoriales en R3 con trayectoria de ciclo homocliico
6.7. Dinámica simbólica
6.8. Bifurcaciones de herraduras femeninas
6,9. Campos vectoriales en una superficie de bifurcación
6.10. Diffeomorfismos con un conjunto infinito de trayectorias periódicas estables
§ 7. Conjuntos infinitos no errantes
7.1. Campos vectoriales en un toro bidimensional
7.2. Bifurcaciones de sistemas con dos curvas de silla homocliicas
7.3. Sistemas con atractores de Feigenbaum
7.4. Nacimiento de conjuntos no errantes
7.5. Conservación y suavidad de variedades invariantes (en el sentido de Fe-nicel)
7.6. Familia degenerada y su barrio en un espacio funcional
7.7. Nacimiento de Tori en un espacio de fase tridimensional
§ 8. Atractores y sus bifurcaciones
8.1. Conjuntos de límites de probabilidad (según Milnor)
8.2. Conjuntos de límites estadísticos
8.3. Bifurcaciones internas y crisis de atractores
8.4. Bifurcaciones internas y crisis de posiciones y ciclos de equilibrio
8.5. Bifurcaciones de un toro bidimensional
Capítulo 4. Vibraciones de relajación
§ 1. Conceptos básicos
1.1. Ejemplo. Ecuación de Van der Pol
1.2. Movimientos rápidos y lentos
1.3. Superficie lenta y ecuación lenta
1.4. La cámara lenta como aproximación a lo perturbado
1.5. Fenómeno de avería
§ 2. Características de los movimientos rápidos y lentos
2.1. Características de movimiento rápido en puntos de ruptura de sistemas con una variable rápida
2.2. Consideraciones de diseño de superficies lentas
2.3. Cámara lenta de sistemas con una variable lenta
2.4. Cámara lenta de sistemas con dos variables lentas
2.5. Formas normales de curvas de fase en cámara lenta
2.6. Conexión con la teoría de ecuaciones no resuelta con respecto a la derivada
2.7. Degeneración de la estructura de contacto.
§ 3. Asintóticas de las oscilaciones de relajación
3.1. Sistemas degenerados
3.2. Sistemas de primera aproximación
3.3. Normalización de ecuaciones rápido-lento con dos variables lentas para (?)> 0
3.4. Derivación de sistemas de primera aproximación
3.5. Investigación de sistemas de primera aproximación
3.6. Embudos
3.7. Oscilaciones periódicas de relajación en el plano.
§ 4. Prolongación de la pérdida de estabilidad cuando un par de valores propios pasa por el eje imaginario
4.1. Sistemas típicos
4.2. Apriete pandeo
4.3. Rigidez del pandeo en sistemas analíticos de tipo 2
4.4. Histéresis
4.5. Mecanismo de apriete
4.6. Cálculo del momento de ruptura en sistemas analíticos.
4.7. Ciclo de apriete al pandear
4.8. Apriete el pandeo y la trama
§ 5. Soluciones para patos
5.1. Ejemplo: un punto singular en un pliegue de una superficie lenta
5.2. Existencia de soluciones de pato.
5.3. Evolución de patos degenerados simples
5.4. Fenómeno semilocal: patos con relajación
5.5. Patos y (?) Y (?)
Lectura recomendada
Literatura

En muchos campos del conocimiento (biología, geografía, pedagogía), el término "bifurcación" significa "bifurcación", "división". En dinámica no lineal, el término "bifurcación" se interpreta de manera más amplia: es un cambio cualitativo en el estado del sistema con un pequeño cambio en los parámetros de control. Definición de la Enciclopedia Universal "por Cirilo y Metodio: Bifurcación, la adquisición de una nueva cualidad en los movimientos de un sistema dinámico con un pequeño cambio en sus parámetros. Al principio, A. Poincaré y A. M. Lyapunov sentaron las bases de la teoría de la bifurcación. Siglo XX, entonces esta teoría fue desarrollada por A.A. Andronov y estudiantes. El conocimiento de las principales bifurcaciones permite facilitar significativamente el estudio de sistemas reales (físicos, químicos, biológicos, etc.), en particular, predecir la naturaleza de los nuevos movimientos que surgen en el momento de la transición del sistema a un Estado cualitativamente diferente, para evaluar su estabilidad y región de existencia.

Como ejemplo, considere un sistema mecánico simple: una bola que rueda sobre una rampa, cuyo perfil se determina usando la relación:

(8.1) y (x) = x 4 + ax 2 + bx

El gráfico correspondiente que explica el sistema en consideración se muestra en la Fig. 8.1. Aquí NS- una variable que determina de manera única la ubicación de la pelota (y, por lo tanto, el estado del sistema en ese momento), pero y B- parámetros de control que determinan el perfil de la canaleta considerada. Al cambiar los valores de los parámetros de control pero y B el perfil de la rampa cambia, lo que implica un cambio en el estado del sistema - la ubicación del estado de equilibrio cambia, la bola cambia a una nueva posición de equilibrio (el valor de la variable NS). Por lo tanto, cambiar los parámetros de control pero y B, podemos cambiar el estado del sistema.

Arroz. 8.1. Una bola en un hoyo potencial ( pero = –0,8; B= 1). Coordinar x 0 determina la ubicación de la pelota, parámetros pero y B- perfil de canaleta

Todos los valores posibles de los parámetros de control se pueden imaginar como un plano ( a, b), llamado plano de parámetros de control. Cualquier punto de este plano corresponde inequívocamente a un tipo bastante definido de perfil de ranura, a lo largo del cual rueda la bola. Por el contrario, cualquier surco de la forma (8.1) puede asociarse con un punto en el plano ( a, b). Si hubiera más de dos parámetros de control (por ejemplo, tres), estaríamos hablando del espacio de parámetros. Volvamos, sin embargo, al concepto de "bifurcación". El punto es que con pequeños cambios en los valores de los parámetros de control, se produce un cambio cualitativo en el estado del sistema. Destaquemos dos puntos importantes: pequeños cambios en los valores de los parámetros de control y un cambio cualitativo en el estado del sistema. En otras palabras, cualquier cambio (pequeño) en los parámetros de control, por supuesto, conduce a un cambio en el estado del sistema, pero si las diferencias entre los estados inicial y final no difieren cualitativamente, entonces no se puede hablar de bifurcación.

Expliquemos lo que se ha dicho utilizando el ejemplo de una bola en un agujero potencial. En la Fig. 8.2 muestra el plano de los parámetros de control ( a, b), y en algunos puntos se muestra el perfil de la ranura a lo largo del cual puede rodar la bola. La figura muestra, por ejemplo, que en los puntos 3 y 4 del plano de parámetros, los perfiles de canalón, por supuesto, difieren entre sí, pero esta diferencia es cuantitativa, no cualitativa. Cualitativamente, ambos perfiles son similares: tienen un mínimo y, por lo tanto, un estado de equilibrio estable. Al mismo tiempo, en el plano de parámetros, hay una región (delimitada por líneas discontinuas) en la que la rampa tiene tres estados de equilibrio. La rampa tiene tres puntos en los que la bola puede estar en equilibrio; dos de estos estados son estables y uno es inestable.

Arroz. 8.2. El plano de los parámetros de control ( a, b) y la forma del pozo de potencial en algunos puntos del plano de parámetros

Si la pelota está en un estado de equilibrio inestable (figura 8.3), entonces cualquier influencia arbitrariamente pequeña sobre ella (y tales influencias se realizarán tarde o temprano) sacará a la pelota de este estado de equilibrio y rodará hacia uno de los agujeros, o el izquierdo, o el derecho. Tanto en el pozo izquierdo como en el derecho, la pelota estará en un estado de equilibrio estable durante un tiempo arbitrariamente largo. En cuál de estos dos agujeros cae la bola se determina por casualidad. Dichos sistemas, en los que son posibles varios estados estables (de los cuales, por supuesto, solo se realiza uno), se denominan multiestables y el fenómeno en sí se denomina multiestabilidad.

Arroz. 8.3. Un sistema en estado de equilibrio inestable. Influencias externas insignificantes sobre el sistema conducirán inevitablemente a que el sistema entre en un estado estable de equilibrio.

Está claro que un canalón con dos hoyos (y tres estados de equilibrio) es cualitativamente diferente de un canalón con un estado de equilibrio. La transición de un estado a otro, cualitativamente diferente, como se puede adivinar, se realiza sobre las líneas de puntos (ver Fig. 8.2). Si en el plano de los parámetros de control está lo suficientemente cerca como para "llegar" a la línea de puntos, entonces, cambiando ligeramente el parámetro de control, puede cruzar esta línea, lo que conducirá a una reestructuración cualitativa de todo el sistema. Ocurrirá lo que se llama bifurcación: un cambio cualitativo en el estado del sistema con un pequeño cambio en los parámetros de control. La línea, en la intersección de la cual ocurre la bifurcación, se llama línea de bifurcación, y los valores de los parámetros en los que se observa la bifurcación se denominan parámetros de bifurcación.

Consideremos ahora la esencia de los fenómenos que tienen lugar desde el punto de vista de la bola, que está en el surco. Deje que los parámetros de control pero y B cambie lentamente como lo muestra la flecha en la Fig. 8.4. De acuerdo con el cambio en los parámetros de control, el perfil del canalón cambia continuamente. En el punto 1 del plano de parámetros, la rampa tiene un estado de equilibrio estable, en el que se encuentra la bola. Cuando la línea de puntos se cruza en el punto 2, el canalón tiene un mínimo y un máximo más, es decir, Aparecen dos estados de equilibrio más, uno de los cuales es estable (mínimo) y el otro no. A medida que avanzamos por el plano de parámetros por la ruta indicada, el segundo mínimo se hace cada vez más profundo (punto 3), y al llegar al punto 4, la profundidad de ambas fosas resulta ser la misma. En este caso, ambos estados de equilibrio son "iguales". Sin embargo, tenga en cuenta que la pelota ni siquiera ha "notado" la aparición de un segundo estado de equilibrio, en el que bien podría estar. Para la bola, casi nada ha cambiado: como estaba en el hoyo, sigue ahí. Sí, la coordenada cambia al cambiar los parámetros de control. x 0 estado de equilibrio y, en consecuencia, la coordenada de la ubicación de la pelota, pero este cambio es tan insignificante que la pelota no le da especial importancia. Los cambios suaves y pequeños son imperceptibles y no parecen importantes.

Arroz. 8.4. Cambiar el estado del sistema cuando se mueve a lo largo del plano de parámetros en la dirección que muestra la flecha

De hecho, ¿pensamos cada mañana en el hecho de que nos hemos vuelto un día mayores? ¿Prestamos atención al hecho de que el 15 de enero la duración del día era de 7 horas 39 minutos, y el 16 de enero - 7 horas 42 minutos? ¿Notamos en un día de otoño que las hojas se han vuelto un poco más amarillas que el día anterior? Cambios tan pequeños que no prestamos atención a que se acumulen imperceptiblemente. Un pequeño cambio en la coordenada del estado de equilibrio de un punto a otro cuando se mueve a lo largo del plano de los parámetros de control es algo tan insignificante y sin importancia que la pelota no le presta atención. Probablemente, la bola puede parecer interesante e importante para la aparición de un segundo estado posible en el que podría estar, pero este segundo estado permanece invisible para la bola, está oculto por las paredes altas de la ranura y la bola simplemente no sabe de su existencia.

Sigamos moviéndonos por el plano de los parámetros de control. En el punto 5, la profundidad del segundo mínimo "alternativo" excede la profundidad del mínimo donde se encuentra la bola, y el ancho del segundo mínimo también es mayor que el ancho del primero. Está claro que el segundo estado estable de equilibrio es ahora más preferible que el primero. Sin embargo, la pelota todavía "vive" en el primer estado de equilibrio, y para él, en general, nada ha cambiado. El segundo estado de equilibrio todavía le resulta invisible. Aunque ahora la pelota puede, si presta atención, signos indirectos para determinar que algo ha cambiado en el sistema: las paredes del agujero en el que está ubicado se han vuelto menos empinadas y la profundidad del agujero parece haberse reducido. Pero si la bola detrás de estos cambios menores (que son precursores de eventos futuros) podrá ver algo más serio que algún cambio en su entorno, si podrá comprender que su estado de equilibrio actual está amenazado, depende de su, la pelota, "sagacidad" ... En un sistema mecánico tan simple, probablemente no sea muy difícil, especialmente si la pelota tiene algo de experiencia, es decir, si ya ha estado en situaciones similares varias veces. Después de todo, incluso un pequeño movimiento, un ligero cambio en los parámetros de control y el estado de equilibrio, en el que estuvo la pelota durante mucho tiempo, desaparecerán (punto 6), y la pelota se lanzará a un lugar completamente diferente. estado.

Pongamos otro ejemplo clásico de bifurcación, considerado por el gran Euler. Necesitamos una regla de medir, un cuchillo de mesa delgado, una hoja de sierra, un peine largo de plástico, etc. Colóquelo verticalmente sobre una base sólida y usted mismo, protegiendo su mano de lesiones, comience a presionarlo hacia abajo (Fig. 8.5). Esfuerzo creciente F, encontrarás eso para F B O más importante F b la tira no conserva su forma rectilínea original (figura 8.5a); este estado pierde estabilidad y, en cambio, uno de los otros dos estados (1 o 2 en la figura 8.5b) es posible cuando la tira está curvada. Además, qué estado se establecerá depende de varios factores insignificantes (deformación inicial de la tira, desviación de la vertical de la fuerza aplicada, vibraciones, etc.). Aquí F- parámetro de control, F b es su valor de bifurcación.

Arroz. 8.5. Experiencia con un gobernante: a) el estado del gobernante antes de la bifurcación (valor F menor que el valor de bifurcación); b) dos posibles estados estables, a los que pasa el sistema cuando se excede la fuerza F valor de bifurcación F b; c) el diagrama de bifurcación correspondiente

Es conveniente ilustrar lo que sucede en el sistema considerado mediante gráficas (figura 8.5c, donde NS- desviación del punto medio de la franja con respecto a la vertical) - diagramas de bifurcación. En la figura, los valores del parámetro se grafican horizontalmente, y los valores de la variable correspondiente a ellos, establecidos en el sistema, se grafican horizontalmente (es decir, este no es un plano de fase ni un plano de parámetros , pero algo combinado). El diagrama muestra que en lugar de un estado marcado con el número 0, después de la bifurcación, existen los estados 1 y 2 y se pueden implementar en la práctica. En cuanto al estado 0, sigue existiendo, en principio, en valores F, B O la bifurcación más grande, pero no se puede realizar prácticamente debido a su inestabilidad.

Está claro que los eventos que caen bajo la definición de "bifurcación" (un cambio cualitativo en el estado del sistema con pequeños cambios en los parámetros de control) también se pueden encontrar en los sistemas sociales. Un ejemplo es la revolución, que está reestructurando fundamentalmente la vida habitual de la sociedad humana. También son posibles ejemplos menos "globales". Una persona trabaja, trabaja en algún lugar, y de repente sin motivo aparente, aparentemente por una nimiedad, dice: “Pero ella arde con fuego, todo este sharaga” y escribe una carta de renuncia. El sistema pasa a un estado diferente, cualitativamente diferente.

Sin embargo, cabe señalar el siguiente aspecto: los sistemas sociales son sumamente complejos, por lo que conviene recordar que es necesario aplicar los conceptos existentes en la dinámica no lineal a dichos sistemas (incluidos los conceptos de "bifurcación", "multiestabilidad") con precaución, teniendo en cuenta el hecho de que una simple transferencia mecánica puede dar lugar a errores y, a veces, a falsificaciones. Cuando se trata de una bola en un pozo de potencial, está perfectamente claro qué estados posibles del sistema están en cuestión, cuáles de ellos son estables, cuáles no y, finalmente, qué estado se está realizando en el momento actual. Pero, ¿qué se entiende por estados posibles del sistema social? El estado de realización en un momento dado es el único, sobre el resto de los estados, si "existen" (más precisamente, si podrían haberse hecho realidad en lugar del actual) o no, solo podemos adivinar, y nuestro las conjeturas seguirán siendo conjeturas, sobre cuya fiabilidad también podemos sacar nuestras conclusiones, pero no más. El concepto de "multiestabilidad", muy probablemente, se puede aplicar a los sistemas sociales, pero probablemente sea imposible verificar "experimentalmente" la existencia de multiestabilidad en los sistemas sociales. Es imposible demostrar que para cualquier momento fijo en el tiempo (por ejemplo, hoy), además del estado que se está realizando, hay uno más (o varios) estados alternativos, cada uno de los cuales podría realizarse con alguna probabilidad. Esto se puede suponer, pero no es posible verificarlo experimentalmente. Y por supuesto, es mucho más difícil “ver”, “sentir” que el sistema social se acerca al punto de bifurcación, más allá del cual surgirá un estado cualitativamente diferente. Y si viéramos que la bola, que está en el hoyo potencial, prácticamente hasta el último momento no “ve” la bifurcación inminente (y la transición del sistema a otro estado), ¿qué podemos decir de las personas y de las redes sociales? sistemas. NS. Jruschov, por ejemplo, no advirtió el acercamiento del sistema al punto de la bifurcación, pasando de vacaciones al Pleno del Comité Central en octubre de 1964, por lo que fue destituido del cargo de Primer Secretario de la Central. Comité y destituido del Presidium, y al día siguiente - del puesto de Presidente del Consejo de Ministros de la URSS. Y Guy Julio César en el 44 a. C. Tampoco se dio cuenta de la inminente bifurcación, por la que pagó con su vida.

Prestemos atención a un aspecto más importante relacionado con el concepto de "bifurcación". En el momento en que el sistema (en términos de parámetros) está cerca del punto de bifurcación, las pequeñas perturbaciones comienzan a jugar un papel muy importante. Estas perturbaciones pueden ser aleatorias o dirigidas, pero su función está aumentando significativamente. Regresemos a la bola en el hoyo potencial y consideremos dos estados del sistema: lejos y cerca del punto de bifurcación (figura 8.6). Se puede observar que cuando el sistema está lejos del punto de bifurcación, pequeñas influencias sobre él no provocan cambios significativos en su estado: la bola permanece en la misma posición que antes. Para "transferir" el sistema a otro estado posible, es necesario aplicar mucho más O gran esfuerzo. Al mismo tiempo, cuando el sistema está cerca del punto de bifurcación, incluso un pequeño impacto (que el sistema simplemente no habría notado antes) es suficiente para transferir el sistema de un estado a otro.

Arroz. 8.6. El sistema "bola en un agujero potencial" lejos y cerca del punto de bifurcación.

Por lo tanto, cerca del punto de bifurcación, pequeños impactos en el sistema pueden conducir a "respuestas" desproporcionadamente grandes. Otro factor que puede provocar un cambio en el estado del sistema es un pequeño cambio en los parámetros de control. Si el sistema está cerca del punto de bifurcación, entonces un ligero "movimiento" de los parámetros de control puede llevar al hecho de que el sistema ya está más allá del límite de bifurcación (como dicen, en la región supercrítica), y el sistema en sí, ya sin influencias externas, pasará a un nuevo estado. Usando el ejemplo de una bola en un canalón, después de cruzar la línea de bifurcación en el punto 6 (ver Fig. 8.4), el estado de equilibrio estable, en el que la bola estaba hasta ese momento, se fusiona con la inestable y desaparece, y , por lo tanto, la bola se queda con nada más que "Ir" a otro estado de equilibrio.

Hay muchos ejemplos de este comportamiento de sistemas cerca de la línea de bifurcación. Aparentemente, también se pueden utilizar como ejemplo una serie de transacciones en los mercados financieros y de valores. Las acciones organizadas de un grupo de personas interesadas en realizar una determinada transacción financiera, realizada en el momento oportuno, llevan a que o bien se influya en el sistema, que se encuentra próximo al estado de bifurcación, que lo saca del estado de equilibrio , o hay una pequeña perturbación de los parámetros de control y el sistema resulta estar en la región supercrítica. Como resultado, el sistema pasa a un nuevo estado, por ejemplo, una persona interesada adquiere una participación de control. Pero si dicha operación se lleva a cabo en un momento en que el sistema está lejos del estado de bifurcación, se pueden gastar grandes fondos, pero no se puede lograr el resultado deseado.

Por lo tanto, al actuar sobre un sistema ubicado cerca del estado de bifurcación, es posible lograr cambios dramáticos. Otra cosa es que los sistemas sociales no son una bola en la cuneta. Determinar cuándo un sistema se acerca a un punto de bifurcación es una tarea difícil. Pero una tarea no menos difícil y no menos importante, si existe el deseo de administrar los sistemas sociales de esta manera, es determinar el estado del sistema después de que abandona el estado de equilibrio.

Sin embargo, uno no debería pensar que la bifurcación es siempre algún tipo de cambio abrupto, cuando el sistema cambia más allá del reconocimiento. El ejemplo de bifurcación con posiciones de equilibrio coexistentes descrito anteriormente es uno de los más simples. En general, en la teoría de las bifurcaciones, hay un número bastante grande diferentes tipos situaciones de bifurcación. Así, por ejemplo, se distinguen bifurcaciones y catástrofes; incluso existe una teoría de las catástrofes. Se debe enfatizar que las bifurcaciones pueden ocurrir sin problemas, a veces de manera imperceptible. La intersección de la línea de puntos en el punto 2 de la Fig. 8.4 conduce al hecho de que el sistema cambia cualitativamente (cambia el número de posibles estados de equilibrio estable en el sistema), por lo tanto, se produce una bifurcación. Sin embargo, como ya se mencionó, una bola ubicada en otro hoyo no nota la bifurcación que se ha producido. Otro ejemplo con el mismo sistema se muestra en la Fig. 8.7. Al moverse a lo largo del plano de los parámetros de control a lo largo de la línea B= 0 en el punto a= 0 se produce una bifurcación, el estado del sistema cambia cualitativamente, pero este cambio se produce sin problemas, sin "cataclismos". La pelota puede notar que algo ha cambiado en el sistema, ya que su coordenada x 0 inicialmente (antes de la bifurcación) era igual a cero y luego se convirtió en distinto de cero. Sin embargo, este cambio ocurrió sin problemas y puede pasarse por alto.

Arroz. 8.7. Cambiar el estado del sistema al moverse a lo largo del plano de parámetros a lo largo de la línea B= 0 en la dirección de la flecha

Pero incluso en este caso, cerca del punto de bifurcación, los pequeños impactos en el sistema juegan un papel importante. Son estas influencias las que determinan en cuál de los agujeros (izquierdo o derecho) caerá la bola. Son estas insignificantes influencias las que determinan, en general, el futuro destino del sistema. En la situación mostrada en la Fig. 8.7, pequeños impactos provocaron que el balón quedara en la fosa derecha. Si, luego de que el sistema sale del punto de bifurcación, es necesario cambiar el estado del sistema, será necesario lanzar la bola a otro hoyo, entonces habrá que hacer esfuerzos, inconmensurablemente más que los que en el punto de bifurcación determinó la elección de la evolución posterior del sistema. Un ejemplo de una bifurcación tan "suave" pero notable pueden ser las elecciones democráticas. Hasta que tenga lugar la votación, el destino del futuro desarrollo del país puede verse influido por los factores más insignificantes (tal vez hasta el peinado del candidato). Después de las elecciones, es mucho más difícil cambiar algo.

Recientemente se publicó un artículo de I. Prigogine El hueso aún no se ha tirado. Mensaje a las generaciones futuras. En particular, escribe lo siguiente. “El futuro no se nos da por adelantado. El gran historiador francés Fernand Braudel comentó una vez: "Los eventos son polvo". ¿Es esto correcto? ¿Qué es un evento? Una analogía viene inmediatamente a las "bifurcaciones", que se estudian principalmente en la física del desequilibrio. Estas bifurcaciones aparecen en puntos singulares donde la trayectoria a lo largo de la cual se mueve el sistema se divide en "ramas". Todas las ramas son igualmente posibles, pero solo una de ellas se realizará. Por lo general, no hay una sola bifurcación, sino una secuencia completa de bifurcaciones ... Desde este punto de vista, la historia resulta ser una secuencia de bifurcaciones ".

Además, I. Prigogine enfatiza que las fluctuaciones a nivel microscópico son responsables de la elección de la rama que surge después del punto de bifurcación (determinan el evento que ocurrirá). Aplicado a la sociedad (según Prigogine, tal aplicación es una metáfora), un evento es el surgimiento de una nueva estructura social después de pasar por una bifurcación, y las fluctuaciones son una consecuencia de acciones individuales. Por tanto, el evento tiene una microestructura. Como ejemplo, I. Prigogine examina la revolución de 1917 en Rusia, señalando que el fin del régimen zarista podría tomar varias formas. Él cree que la rama por la que avanzó el desarrollo fue el resultado de las acciones de "fluctuaciones" asociadas con la falta de previsión del zar, la impopularidad de su esposa, la debilidad de Kerensky y la violencia de Lenin. Esta microestructura determinó todos los eventos posteriores.

“Mi mensaje para las generaciones futuras es, por lo tanto, que aún no se ha lanzado el hueso, que aún no se ha elegido la rama a lo largo de la cual procederá el desarrollo después de la bifurcación. Vivimos en una era de fluctuaciones, donde la acción individual sigue siendo esencial ... Creo en el surgimiento de las fluctuaciones necesarias, a través de las cuales los peligros que sentimos hoy podrían superarse con éxito ".

(del latín bifurcus - bifurcado) es un proceso de transición cualitativa de un estado de equilibrio al caos a través de un cambio muy pequeño sucesivo (por ejemplo, la duplicación de Feigenbaum en la bifurcación de la duplicación) de puntos periódicos.
Es imperativo señalar que hay un cambio cualitativo en las propiedades del sistema, el llamado salto catastrófico. El momento del salto (bifurcación en la bifurcación de duplicación) ocurre en el punto de bifurcación.
El caos puede surgir a través de la bifurcación, como lo muestra Mitchell Feigenbaum. Al crear su propia teoría de los fractales, Feigenbaum analizó principalmente la siguiente ecuación logística:
X +, = CX - C (X y = CX (1 - X)
n + 1 y 4 u7 ny n "
donde X es un número complejo; C es un parámetro externo.
De esta ecuación, dedujo que bajo ciertas restricciones en todas estas ecuaciones, hay una transición de un estado de equilibrio al caos.
A continuación se muestra un ejemplo biológico clásico de esta ecuación.
Por ejemplo, una población de individuos con un número normalizado de X vive en aislamiento. Un año después, aparece la descendencia de X
y u + 1
El crecimiento de la población se describe mediante el primer término del lado derecho de la ecuación (CXJ, donde el coeficiente C determina la tasa de crecimiento y es el parámetro determinante. La pérdida de animales (por sobrepoblación, falta de alimento, etc.) es determinado por el segundo término no lineal C (Xn) 2.
Los resultados del cálculo son las siguientes conclusiones:
en С en la región 1 en el rango 3 en С> 3.57 el número de soluciones de la ecuación logística comienza a tender al infinito, como resultado de lo cual las regiones de diferentes soluciones se superponen (parecen estar pintadas) y el comportamiento de el sistema se vuelve caótico.
Con un aumento de C, a veces aparecen áreas en las que el número de soluciones de la ecuación logística vuelve a disminuir a valores visibles. Entonces, en Ht 3.627 a 3.631 (inclusive), el número de soluciones disminuye a seis, y en C = 3.632 llega a doce.
Posteriormente, sin embargo, con un aumento de C, el número de soluciones aumenta nuevamente.
El valor del parámetro externo C = = 3.67857351 también puede ser de interés. Antes que él, la solución de la ecuación logística para cada n es mayor o menor que la anterior. Después de alcanzar este valor, comienza a manifestarse el siguiente efecto: después del valor creciente de Xn, a veces comienzan a aparecer valores crecientes de Xn, aunque anteriormente un aumento siempre iba seguido de una caída.
Este comportamiento de la ecuación logística llevó a los clásicos de la teoría del caos a la conclusión de que el resultado del desarrollo de todos los sistemas físicos en evolución es un estado similar al estado de caos dinámico.
De esto se extraen las siguientes conclusiones sobre los sistemas caóticos:
Los sistemas caóticos son sistemas con retroalimentación, cuando el siguiente depende del valor anterior. Este hecho indica directamente que los sistemas caóticos no son aleatorios, ya que una de las propiedades de los paseos aleatorios es la independencia de los eventos anteriores y posteriores entre sí.
En los sistemas caóticos, hay muchos puntos de equilibrio. Entonces, cuando el parámetro C alcanza cierto valor, se observa más de un punto de equilibrio. En nuestro ejemplo, esta propiedad ya se manifiesta en C = 3. Hasta el primer punto de bifurcación, el sistema es lineal y aún no caótico. Sin embargo, tras la primera bifurcación, la dinámica del sistema se vuelve no lineal, adquiriendo contornos cada vez más caóticos. Y después de C> 3,57, el número de variantes de soluciones de la ecuación logística adquiere un carácter completamente caótico.
El sistema caótico es un fractal. Como recordamos, la propiedad principal de los fractales es la auto-semejanza. Entonces, en el conocido modelo de bifurcación, los elementos pequeños son similares a los grandes, lo que se ve muy claramente en la Fig. 6.11.


Si consideramos la teoría de la bifurcación en intersección con la teoría de los mercados eficientes, en el punto de bifurcación, ingresa nueva información al mercado, lo que conduce a otro cambio de bifurcación. Tan pronto como finaliza la acción de la información, el mercado se calma. Se calma hasta que aparece nueva información, es decir, hasta un nuevo punto de bifurcación.
Las variables dinámicas Xn toman valores que dependen en gran medida de las condiciones iniciales. En los cálculos realizados en una computadora, incluso para valores iniciales de C muy cercanos, los valores finales pueden diferir considerablemente. Además, los cálculos se vuelven incorrectos, ya que comienzan a depender de procesos aleatorios en la propia computadora (picos de tensión, etc.).
Por lo tanto, el estado del sistema en el momento de la bifurcación es extremadamente inestable, y un impacto infinitamente pequeño puede llevar a la elección de un camino de movimiento adicional, y este, como ya sabemos, es el signo principal de un sistema caótico ( una dependencia significativa de las condiciones iniciales).
La ecuación logística se puede reducir al siguiente sistema de ecuaciones siempre que yn tienda a yn:
Гх „(1-х„) = х „_1 (1-хя_1)
[X „= CX„ _1 (1-XY_1)
De este sistema, se deriva una fórmula simple, que vimos anteriormente:
X = 1 - 11C.
NS
Por lo tanto, se puede ver que Xn es menor que uno para cualquier valor de C. La segunda conclusión: Xn es el mayor, el mayor C. Esto significa el crecimiento del punto de convergencia (o encontrar el punto en el que la logística ecuación busca encontrar el equilibrio) junto con el crecimiento del parámetro externo.
Con base en esta fórmula, se puede calcular fácilmente que en C - 3 la solución de la ecuación logística tiende a 2/3, es decir, a 0.666666 ... en el período.
Puede calcular la ecuación logística en una computadora personal usando una hoja de cálculo de Excel. Para hacer esto, en la celda A1, coloque el valor del parámetro externo C. Comience, por ejemplo, con 0.5. En la celda B1, coloque el valor de un número complejo X, por ejemplo 0.1. Además, en la celda B2, deberá ingresar la siguiente fórmula, que se extenderá por el número máximo de valores posibles para una columna (por ejemplo, hasta 65,536 filas):
= $ A $ 1 X B1 X (1 - B1).
Los cálculos elementales le mostrarán que, de hecho, con períodos crecientes n, el resultado de la ecuación logística tiende a cero.
A medida que el parámetro C aumenta a 2, la ecuación logística converge a 0,5 después de n = 5 (en X - 0,1).
Con un aumento del parámetro C a 3, el resultado de la ecuación logística, efectivamente, al principio parece bifurcado, pero luego, como todos los valores anteriores de C, tiende a converger en un punto, cuyo valor ya lo sabemos (2/3).
De la fórmula de la ecuación logística, se puede ver que con un aumento de n se nivela la diferencia en el primer valor de X para la solución final de la ecuación logística. Curiosamente, esto también es cierto para valores grandes de C. De esto podemos concluir que en la ecuación logística la variable más importante es el valor del parámetro externo C. En un ejemplo biológico, este parámetro es la tasa de crecimiento de la población. . A valores bajos de la tasa de crecimiento, como muestran los cálculos, determinará el período de tiempo n durante el cual el sistema llegará al equilibrio.
Feigenbaum, como resultado de su investigación, encontró la siguiente regularidad en la aparición de bifurcaciones:
F = = 4,669201660910 ...,
Ow-s ")
donde F es el número de Feigenbaum (una constante universal, como el número Ti);
B es el valor del parámetro externo C en la enésima bifurcación.
Por cierto, la universalidad de la constante de Feigenbaum como característica de muchos procesos caóticos naturales deja esperanzas para la sistematización y clasificación del caos.
Usando el número de Feigenbaum, se puede encontrar el valor de C, en el cual se puede esperar la siguiente bifurcación de soluciones de la ecuación logística:
4.669201609...
La aplicación de esta fórmula permite predecir qué valores del parámetro externo C son críticos para la aparición de una nueva bifurcación. Es interesante que mis cálculos mostraron que el parámetro externo C para la ecuación logística que estamos considerando tiende al límite 3.569945672, y no importa cuánto tiempo hice los cálculos en busca del siguiente punto de bifurcación, terminaron en falla. Por supuesto, puede ingresar manualmente valores grandes de C, pero la fórmula anterior para determinar el valor del parámetro externo C en la enésima bifurcación ya no nos ayudará en esto. Al mismo tiempo, esta fórmula permite comprender claramente cómo cambios muy pequeños en el parámetro externo C conducen a cambios muy grandes en la solución de la ecuación logística a través de un gran número de períodos p.
Feigenbaum también estableció leyes universales que gobiernan la transición al caos dinámico cuando se duplica el período. Debe decirse aquí que en la literatura sobre la teoría del caos, se hacen referencias a la confirmación experimental de esta transición para una amplia clase de sistemas mecánicos, hidrodinámicos, químicos y otros.
El resultado de la investigación de Feigenbaum fue el llamado árbol Feigenbaum (Fig. 6.12).

Arroz. 6.12. Árbol de Feigenbaum (cálculo basado en logística ligeramente modificada
fórmulas)