Farklı paydalara sahip basit kesirler nasıl bölünür? Kesirlerle işlemler
Ders içeriğiPaydaları benzer olan kesirleri toplama
İki tür kesir toplama işlemi vardır:
- Paydaları Benzer Kesirlerin Toplanması;
- Kesirleri şununla ekleme: farklı paydalar.
Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerin toplama işlemini inceleyelim. Burada her şey basit. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.
Örneğin kesirleri toplayalım ve . Payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya pizza eklerseniz pizza elde edersiniz:
Örnek 2. Kesirleri ekleyin ve .
Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Görevin sonu geldiğinde uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Uygunsuz bir kesirden kurtulmak için onun tamamını seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda, parçanın tamamı kolayca izole edilebilir - ikiye bölünen bir olacaktır:
İki parçaya bölünen bir pizzayı hatırlarsak bu örneği daha kolay anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz bir bütün pizza elde edersiniz:
Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .
Yine payları topluyoruz ve paydayı değiştirmeden bırakıyoruz:
Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz pizza alırsınız:
Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza ekleyip daha fazla pizza eklerseniz 1 tam pizza ve daha fazla pizza elde edersiniz.
Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirleri toplamanın karmaşık bir tarafı yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplamanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması
Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri nasıl toplayacağımızı öğrenelim. Kesirleri eklerken kesirlerin paydalarının aynı olması gerekir. Ancak her zaman aynı değildirler.
Örneğin kesirler aynı paydalara sahip oldukları için toplanabilir.
Ancak kesirlerin paydaları farklı olduğundan kesirler hemen eklenemez. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.
Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Diğer yöntemler yeni başlayanlar için karmaşık görünebileceğinden bugün bunlardan yalnızca birine bakacağız.
Bu yöntemin özü, öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sinin aranmasıdır. LCM daha sonra ilk ek faktörü elde etmek için ilk kesrin paydasına bölünür. Aynısını ikinci kesir için de yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci bir ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek faktörlerle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz.
örnek 1. Kesirleri toplayalım ve
Öncelikle her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 2 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.
LCM (2 ve 3) = 6
Şimdi kesirlere dönelim ve . İlk olarak, LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün ve ilk ek faktörü elde edin. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.
Ortaya çıkan 2 sayısı ilk ek çarpandır. Bunu ilk kesire yazıyoruz. Bunu yapmak için kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çizin ve üzerinde bulunan ek çarpanı yazın:
Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz ve ikinci ek faktörü elde ediyoruz. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.
Ortaya çıkan 3 sayısı ikinci ek çarpandır. Bunu ikinci kesire yazıyoruz. Yine ikinci kesrin üzerine küçük bir eğik çizgi çiziyoruz ve onun üzerinde bulunan ek çarpanı yazıyoruz:
Artık eklemeye hazır her şeyimiz var. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Geldiğimiz noktaya dikkatlice bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:
Bu örneği tamamlıyor. Eklemek ortaya çıkıyor.
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir tam pizza ve altıda bir pizza daha alırsınız:
Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri ve . Bu iki fraksiyon aynı pizza parçalarıyla temsil edilecek. Tek fark bu sefer eşit paylara bölünecek (aynı paydaya indirgenecek).
İlk çizim bir kesri (altıda dört parça), ikinci çizim ise bir kesri (altıda üç parça) temsil etmektedir. Bu parçaları ekleyerek (altıdan yedi parça) elde ederiz. Bu kısım uygunsuz olduğundan tamamını vurguladık. Sonuç olarak (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza) elde ettik.
Lütfen bu örneği çok ayrıntılı olarak anlattığımızı unutmayın. İÇİNDE Eğitim Kurumları Bu kadar ayrıntılı yazmak alışılmış bir şey değil. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulmanız ve ayrıca bulunan ek faktörleri paylarınız ve paydalarınızla hızlı bir şekilde çarpmanız gerekir. Eğer okulda olsaydık bu örneği şu şekilde yazmamız gerekirdi:
Ancak madalyonun bir de diğer yüzü var. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında detaylı notlar almazsanız bu tür sorular ortaya çıkmaya başlar. “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden bir anda bambaşka kesirlere dönüşüyor? «.
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:
- Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
- LCM'yi her fraksiyonun paydasına bölün ve her fraksiyon için ek bir faktör elde edin;
- Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın;
- Paydaları aynı olan kesirleri ekleyin;
- Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısmını seçin;
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
.
Yukarıda verilen talimatları kullanalım.
Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun
Her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır
Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir faktör elde edin
LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek faktör olan 6'yı elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası da 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İkinci ek faktör olan 4'ü elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek faktör 3'ü elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:
Adım 3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın
Pay ve paydaları ek faktörleriyle çarpıyoruz:
Adım 4. Paydaları aynı olan kesirleri toplayın
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Geriye kalan tek şey bu kesirleri eklemek. Üzerine eklemek:
Ekleme tek satıra sığmadığı için kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Buna matematikte izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) konulması gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.
Adım 5. Cevabın hatalı bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, cevabın tamamını seçin
Cevabımızın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Bir kısmını tam olarak vurgulamamız gerekiyor. Şunları vurguluyoruz:
Bir cevap aldık
Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
Kesirlerde iki tür çıkarma işlemi vardır:
- Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
- Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma
Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmayı öğrenelim.
Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.
Örneğin ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Bunu yapalım:
Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:
Örnek 2.İfadenin değerini bulun.
Yine birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. İlk kesirin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:
Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirlerde çıkarma işleminde karmaşık bir şey yoktur. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
- Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, o zaman onun tamamını vurgulamanız gerekir.
Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma
Örneğin, kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesirden bir kesir çıkarabilirsiniz. Ancak bir kesirden kesir çıkaramazsınız çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.
Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibin aynısını kullanarak bulunur. Öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, ilk kesrin paydasına bölünür ve ilk kesrin üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci kesrin üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirler ek katsayılarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz.
Örnek 1.İfadenin anlamını bulun:
Bu kesirlerin paydaları farklı olduğundan onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.
İlk önce her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 4 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.
LCM (3 ve 4) = 12
Şimdi kesirlere dönelim ve
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üstüne bir dört yazın:
Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine bir üç yazın:
Artık çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:
Bir cevap aldık
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Pizzayı pizzadan keserseniz pizza alırsınız
Bu, çözümün ayrıntılı versiyonudur. Okulda olsaydık bu örneği daha kısa çözmek zorunda kalırdık. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:
Kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri elde ettik. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer eşit paylara bölünecekler (aynı paydaya indirgenmiş):
İlk resim bir kesiri (on ikiden sekizi) gösterirken, ikinci resim bir kesiri (on ikiden üçü) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça kestiğimizde on iki parçadan beş parça elde ediyoruz. Kesir bu beş parçayı tanımlamaktadır.
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu nedenle önce onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.
Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulalım.
Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.
LCM(10, 3, 5) = 30
Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için LCM'yi her kesrin paydasına bölün.
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölerek ilk ek çarpan 3'ü elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölerek ikinci ek faktör 10'u elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üzerine yazıyoruz:
Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e bölerek üçüncü ek faktör 6'yı elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:
Artık her şey çıkarma işlemine hazır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.
Örneğin devamı tek satıra sığmayacağından devamını bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:
Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı ve her şey bize uygun görünüyor, ancak bu çok hantal ve çirkin. Bunu daha basit hale getirmeliyiz. Ne yapılabilir? Bu kısmı kısaltabilirsiniz.
Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarının (GCD) ile bölmeniz gerekir.
Böylece 20 ve 30 sayılarının gcd'sini buluyoruz:
Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan gcd'ye yani 10'a bölüyoruz.
Bir cevap aldık
Bir kesri bir sayıyla çarpmak
Bir kesri bir sayıyla çarpmak için kesrin payını o sayıyla çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.
örnek 1. Bir kesri 1 sayısıyla çarpın.
Kesrin payını 1 sayısıyla çarpın
Kayıt yarım 1 kez sürüyormuş gibi anlaşılabilir. Örneğin, bir kez pizza yerseniz pizza alırsınız
Çarpma yasalarından biliyoruz ki, çarpan ve çarpan yer değiştirirse çarpım değişmeyecektir. İfade olarak yazılırsa çarpım yine eşit olacaktır. Bir tam sayı ile bir kesri çarpma kuralı yine işe yarar:
Bu notasyon birin yarısını almak şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 1 tam pizza varsa ve yarısını alırsak pizza elde ederiz:
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Kesrin payını 4 ile çarpın
Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:
İfadeden iki çeyreğin 4 kere alınması şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 4 pizza alırsanız 2 tam pizza alırsınız.
Çarpan ile çarpanı yer değiştirirsek, ifadesini elde ederiz. Bu da 2'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi dört tam pizzadan iki pizzanın alınması şeklinde de anlayabiliriz:
Kesirle çarpılan sayı ve kesrin paydası, ortak çarpanları birden büyükse çözümlenir.
Örneğin bir ifade iki şekilde değerlendirilebilir.
İlk yol. 4 sayısını kesrin payı ile çarpın ve kesrin paydasını değiştirmeden bırakın:
İkinci yol. Çarpılan dört ve kesrin paydasındaki dört azaltılabilir. İki dördün en büyük ortak böleni dördün kendisi olduğundan bu dörtler 4'e indirgenebilir:
Aynı sonucu elde ettik 3. Dörtleri indirdikten sonra onların yerine yeni sayılar oluşuyor: iki bir. Ama birini üçle çarpıp bire bölmek hiçbir şeyi değiştirmez. Bu nedenle çözüm kısaca şöyle yazılabilir:
İlk yöntemi kullanmaya karar verdiğimizde bile azaltma yapılabilir, ancak 4 sayısı ile pay 3'ün çarpılması aşamasında indirgemeyi kullanmaya karar verdik:
Ancak örneğin, ifade yalnızca ilk şekilde hesaplanabilir - 7'yi kesrin paydasıyla çarpın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Bunun nedeni, 7 sayısı ile kesrin paydasının birden büyük ortak böleninin olmaması ve dolayısıyla birbirini götürmemesidir.
Bazı öğrenciler çarpılacak sayıyı ve kesrin payını yanlışlıkla kısaltırlar. Bunu yapamazsın. Örneğin aşağıdaki girdi doğru değil:
Bir kesrin azaltılması şu anlama gelir: hem pay hem de payda aynı sayıya bölünecektir. İfade durumunda bölme işlemi sadece payda yapılır, çünkü yazmak yazmakla aynı şeydir. Bölmenin sadece payda yapıldığını, paydada bölme yapılmadığını görüyoruz.
Kesirlerin Çarpılması
Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, onun tamamını vurgulamanız gerekir.
Örnek 1.İfadenin değerini bulun.
Bir cevap aldık. Bu oranın azaltılması tavsiye edilir. Kesir 2 oranında azaltılabilir. Daha sonra nihai çözüm aşağıdaki formu alacaktır:
İfade yarım pizzadan pizza almak şeklinde anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:
Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? Öncelikle bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:
Ve bu üç parçadan ikisini alın:
Pizza yapacağız. Üç parçaya bölündüğünde pizzanın nasıl göründüğünü unutmayın:
Bu pizzanın bir parçası ile aldığımız iki parça aynı boyutlara sahip olacak:
Başka bir deyişle, Hakkında konuşuyoruz yaklaşık aynı büyüklükte pizza. Bu nedenle ifadenin değeri
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:
Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:
Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı, ancak kısaltılması iyi olurdu. Bu kesri azaltmak için, bu kesrin payını ve paydasını 105 ve 450 sayılarının en büyük ortak bölenine (GCD) bölmeniz gerekir.
O halde 105 ve 450 sayılarının gcd'sini bulalım:
Şimdi cevabımızın payını ve paydasını şimdi bulduğumuz gcd'ye, yani 15'e bölüyoruz.
Bir tam sayıyı kesir olarak gösterme
Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin 5 sayısı şu şekilde gösterilebilir. Bu beşin anlamını değiştirmez çünkü ifade “beş sayısının bire bölümü” anlamına gelir ve bu da bildiğimiz gibi beşe eşittir:
Karşılıklı sayılar
Şimdi matematikte çok ilginç bir konuyla tanışacağız. Buna "ters sayılar" denir.
Tanım. Numaraya geri dönA ile çarpıldığında bir sayıdırA bir tane verir.
Bu tanımda değişken yerine yerine koyalım A 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:
Numaraya geri dön 5 ile çarpıldığında bir sayıdır 5 bir tane verir.
5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulunabilir mi? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Beşi kesir olarak düşünelim:
Daha sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Yani kesri kendisiyle ancak tersten çarpalım:
Bunun sonucunda ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek şunu elde ederiz:
Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5'i çarptığınızda bir elde edersiniz.
Bir sayının tersi herhangi bir tam sayı için de bulunabilir.
Ayrıca herhangi bir kesrin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmeniz yeterlidir.
Bir kesri bir sayıya bölmek
Diyelim ki yarım pizzamız var:
İkiye eşit olarak paylaştıralım. Kişi başına ne kadar pizza verilecek?
Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri birer pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülüyor. Böylece herkes pizza alır.
) ve payda payda (çarpımın paydasını alıyoruz).
Kesirleri çarpma formülü:
Örneğin:
Pay ve paydaları çarpmaya başlamadan önce kesrin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir. Kesri azaltabilirseniz daha ileri hesaplamalar yapmanız daha kolay olacaktır.
Ortak bir kesri bir kesire bölmek.
Doğal sayılarla kesirleri bölme.
Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplama durumunda olduğu gibi, tamsayıyı paydası bir olan kesire dönüştürüyoruz. Örneğin:
Karışık kesirlerin çarpılması.
Kesirleri çarpma kuralları (karışık):
- karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek;
- kesirlerin pay ve paydalarının çarpılması;
- fraksiyonu azaltın;
- Eğer uygunsuz bir kesir elde ederseniz, yanlış kesri karışık kesire dönüştürürüz.
Not! Karışık bir kesiri başka bir karışık kesirle çarpmak için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine dönüştürmeniz ve ardından sıradan kesirleri çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.
Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmanın ikinci yolu.
Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmanın ikinci yöntemini kullanmak daha uygun olabilir.
Not! Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için kesrin paydasını bu sayıya bölmeniz ve payı değiştirmemeniz gerekir.
Yukarıdaki örnekten, bir kesrin paydasının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi durumunda bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.
Çok öykülü kesirler.
Lisede üç katlı (veya daha fazla) kesirlere sıklıkla rastlanır. Örnek:
Böyle bir kesri normal şekline getirmek için 2 noktaya bölmeyi kullanın:
Not! Kesirlerde bölme işleminde bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanızın karışması kolaydır.
Not, Örneğin:
Birini herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesir olacaktır, yalnızca ters çevrilmiştir:
Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Zihinsel hesaplamalarda kaybolmaktansa taslağınıza fazladan birkaç satır yazmak daha iyidir.
2. Görevlerde farklı şekiller kesirler - sıradan kesirler biçimine gidin.
3. Tüm kesirleri azaltmak artık mümkün olmayana kadar azaltıyoruz.
4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 noktaya bölme yöntemini kullanarak sıradan ifadelere dönüştürüyoruz.
5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.
Kesirlerin nasıl bölüneceğini anlamak için kuralı inceleyelim ve örnekleri kullanarak kuralın nasıl uygulanacağına bakalım.
Sıradan kesirleri bölme kuralı
İki kesri bölmek için, ilk sayıyı ikinciyle çarpmanız gerekir (yani, ilk kesri ters çevrilmiş ikinciyle çarparız).
Sıradan kesirleri bölme örnekleri:
Bu kesirleri bölmek için, ilk kesri ve ikincinin tersini yeniden yazıyoruz (böleni bölenin tersiyle çarpıyoruz). Burada hiçbir şey kısaltılamaz.
Bu kesirleri bölmek için ilk sayıyı değiştirmeden yeniden yazıp ikincinin tersiyle çarpıyoruz: 6 ve 9'u 3'e, 20 ve 25'i 5'e. Sonuçta elde edilen 8/15 kesri uygun ve indirgenemez. Yani bu son cevap.
İlk kesri değiştirmeden bırakıp ikinci kesrin tersiyle çarpıyoruz. 45 ve 36'yı 9'a, 65'i ve 52'yi 13'e indiriyoruz. Sonuç olarak uygunsuz bir kesir elde ediyoruz.
İki eşit sayıyı böldüğümüzde bir elde ederiz, böylece cevabı hemen yazabiliriz.
Kesirleri bölmek için birinciyi ikincinin tersiyle çarpmanız gerekir. 23 ve 23'ü 23'e, 14'ü ve 7'yi 7'ye indiriyoruz. Payda bir olduğundan cevap tam sayıdır.
Bir dahaki sefere bir tam sayıyı kesre nasıl böleceğimize bakacağız.
1. İlk kesri ikinciye bölmek için, bölüneni bölenin tersi olan sayıyla çarpmanız gerekir.
Doğru ve yanlış kesirler için bölme kuralı aşağıdaki gibidir:
Ortak bir kesri bölmek için, bölünenin payını bölenin paydasıyla çarpmanız ve bölenin payını bölenin payıyla çarpmanız gerekir. Birinci çarpımı pay, ikinci çarpımı ise payda olarak alıyoruz.
Bir kesirin bir kesire bölünmesi.
1. sıradan kesri sıfıra eşit olmayan ikinciye bölmek için yapmanız gerekenler:
- 1. kesirin payını 2. kesirin paydasıyla çarpın ve sonucu elde edilen kesrin payına yazın;
- 1. kesrin paydasını 2. kesrin payı ile çarpın ve elde edilen kesrin paydasına çarpımı yazın.
Başka bir deyişle kesirleri bölmek çarpma işlemine yol açar.
1. kesri ikinciye bölmek için, bölüneni (1. kesir) bölenin karşılıklı kesri ile çarpmanız gerekir.
Bir kesri bir sayıya bölmek.
Bir kesri bir doğal sayıya bölmek şematik olarak şöyle görünür:
Bir kesri bir doğal sayıya bölmek için aşağıdaki yöntemi kullanın:
Doğal sayıyı, payı sayının kendisine ve paydası 1'e eşit olan bileşik kesir olarak ifade ederiz.
Bölünme belirir. Bu yazıda bunun hakkında konuşacağız adi kesirlerin bölünmesi. Öncelikle sıradan kesirleri bölme kuralını vereceğiz ve kesirleri bölme örneklerine bakacağız. Daha sonra sıradan bir kesri bir doğal sayıya ve sayıları da bir kesre bölmeye odaklanacağız. Son olarak, ortak bir kesri tam sayılı bir sayıya nasıl böleceğimize bakalım.
Sayfada gezinme.
Ortak bir kesri ortak bir kesire bölmek
Bölmenin çarpma işleminin tersi olduğu bilinmektedir (bkz. bölme ve çarpma arasındaki bağlantı). Yani bölme, ürün ve başka bir faktör bilindiğinde bilinmeyen bir faktörün bulunmasını içerir. Sıradan kesirleri bölerken de bölmenin aynı anlamı korunur.
Sıradan kesirleri bölme örneklerine bakalım.
Kesirleri azaltmayı ve tüm parçayı yanlış kesirden ayırmayı unutmamamız gerektiğini unutmayın.
Bir kesri doğal sayıya bölme
Hemen vereceğiz kesri bir doğal sayıya bölme kuralı: a/b kesrini n doğal sayısına bölmek için payı aynı bırakıp paydayı n ile çarpmanız gerekir.
Bu bölme kuralı doğrudan sıradan kesirleri bölme kuralından gelir. Aslında bir doğal sayıyı kesir olarak temsil etmek aşağıdaki eşitliklere yol açar: 
.
Bir kesri bir sayıya bölme örneğine bakalım.
Örnek.
16/45 kesrini 12 doğal sayısına bölün.
Çözüm.
Bir kesri bir sayıya bölme kuralına göre, 
. Kısaltmayı yapalım: . Bu bölüm tamamlandı.
Cevap:
.
Doğal bir sayıyı kesre bölme
Kesirleri bölme kuralı benzerdir doğal sayıyı kesre bölme kuralı: Bir n doğal sayısını ortak bir a/b kesrine bölmek için, n sayısını a/b kesirinin tersiyle çarpmanız gerekir.
Belirtilen kurala göre, ve bir doğal sayıyı sıradan bir kesirle çarpma kuralı, onun formda yeniden yazılmasına izin verir.
Bir örneğe bakalım.
Örnek.
25 doğal sayısını 15/28 kesrine bölün.
Çözüm.
Bölme işleminden çarpma işlemine geçelim, elimizde 
. Parçanın tamamını küçültüp seçtikten sonra elde ederiz.
Cevap:
.
Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek
Bir kesri tam sayılı bir sayıya bölmek sıradan kesirleri bölmeye kolayca indirgenir. Bunu yapmak için yürütmek yeterlidir
