Cómo llevar las raíces al mismo grado. Usar las propiedades de las raíces al transformar expresiones irracionales, ejemplos, soluciones.

El material de este artículo debe considerarse como parte del tema de la transformación de expresiones irracionales. Aquí analizaremos mediante ejemplos todas las sutilezas y matices (de los que son muchos) que surgen al realizar transformaciones basadas en las propiedades de las raíces.

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Recuerda las propiedades de las raíces.

En cuanto nos vamos a ocupar de la transformación de expresiones utilizando las propiedades de las raíces, no está de más recordar las principales, o mejor aún, anotarlas en un papel y colocarlas frente a nosotros.

Primero, estudiamos las raíces cuadradas y sus siguientes propiedades (a, b, a 1, a 2, ..., a k son números reales):

Y luego, se amplía el concepto de raíz, se introduce la definición de raíz n-ésima y se consideran tales propiedades (a, b, a 1, a 2, ..., ak son números reales, m, n , n 1, n 2, ..., nk son números naturales):

Conversión de expresiones con números bajo signos raíz

Como de costumbre, primero aprenden a trabajar con expresiones numéricas y solo después pasan a expresiones con variables. Haremos lo mismo, y primero nos ocuparemos de la transformación. expresiones irracionales que contiene solo expresiones numéricas bajo los signos de raíces, y ya más adelante en la siguiente sección introduciremos variables bajo los signos de raíces.

¿Cómo se puede usar esto para transformar expresiones? Es muy simple: por ejemplo, podemos reemplazar una expresión irracional con una expresión o viceversa. Es decir, si la expresión convertida contiene una expresión que coincide con la forma de la expresión del lado izquierdo (derecho) de cualquiera de las propiedades enumeradas de las raíces, entonces se puede reemplazar con la expresión correspondiente del lado derecho (izquierdo) . Esta es la transformación de expresiones usando las propiedades de las raíces.

A continuación se muestran algunos ejemplos más.

Simplifiquemos la expresión ... Los números 3, 5 y 7 son positivos, por lo que podemos aplicar con seguridad las propiedades de las raíces. Aquí puedes actuar de diferentes formas. Por ejemplo, una raíz basada en una propiedad se puede representar como, y una raíz que usa una propiedad con k = 3 - cómo, con este enfoque, la solución se verá así:

Se podría haber actuado de manera diferente, reemplazando y además, en este caso, la solución se vería así:

Son posibles otras soluciones, por ejemplo, esta:

Veamos la solución de un ejemplo más. Transformemos la expresión. Habiendo mirado la lista de propiedades de las raíces, seleccionamos de ella las propiedades que necesitamos para resolver el ejemplo, está claro que aquí dos de ellas son útiles y que son válidas para cualquier a. Tenemos:

Alternativamente, al principio era posible convertir expresiones bajo los signos de raíces usando

y luego aplicar las propiedades de las raíces

Hasta este punto, hemos transformado expresiones que solo contienen raíces cuadradas. Es hora de trabajar con raíces que tienen diferentes indicadores.

Ejemplo.

Convertir una expresión irracional .

Solución.

Por propiedad el primer factor del producto dado se puede reemplazar por el número -2:

Adelante. En virtud de la propiedad, el segundo factor se puede representar como, y no está de más reemplazar 81 con una potencia cuádruple de un triple, ya que en el resto de factores bajo los signos de las raíces, aparece el número 3:

Es conveniente reemplazar la raíz de una fracción con la relación de raíces de la forma, que se puede transformar aún más: ... Tenemos

La expresión resultante después de realizar acciones con dos tomará la forma, y ​​queda por transformar el producto de las raíces.

Para transformar los productos de las raíces, generalmente se reducen a un indicador, para lo cual es recomendable tomar indicadores de todas las raíces. En nuestro caso, el LCM (12, 6, 12) = 12, y solo la raíz tendrá que reducirse a este indicador, ya que las otras dos raíces ya tienen dicho indicador. Hacer frente a esta tarea permite la igualdad, que se aplica de derecha a izquierda. Entonces ... Teniendo en cuenta este resultado, tenemos

Ahora el producto de las raíces puede ser reemplazado por la raíz del producto y el resto, ya obvio, se pueden realizar transformaciones:

Elaboremos una breve solución:

Respuesta:

.

Por separado, enfatizamos que para aplicar las propiedades de las raíces, es necesario tener en cuenta las restricciones impuestas a los números bajo los signos de las raíces (a≥0, etc.). Ignorarlos puede provocar resultados incorrectos. Por ejemplo, sabemos que la propiedad es válida para a no negativo. Basándonos en él, podemos ir con seguridad, por ejemplo, de a, ya que 8 es un número positivo. Pero si tomamos una raíz significativa de un número negativo, por ejemplo, y, según la propiedad anterior, la reemplazamos con, entonces en realidad reemplazamos −2 por 2. De hecho, a. Es decir, para a negativo, la igualdad puede ser incorrecta, al igual que otras propiedades de las raíces pueden ser incorrectas sin tener en cuenta las condiciones especificadas para ellas.

Pero lo dicho en el párrafo anterior no significa en absoluto que expresiones con números negativos bajo los signos de las raíces no se puedan transformar usando las propiedades de las raíces. Solo necesitan estar "preparados" primero aplicando las reglas de acción con números o usando la definición de una raíz impar de un número negativo, que corresponde a la igualdad, donde −a es un número negativo (siendo a positivo). Por ejemplo, no se puede reemplazar inmediatamente con, ya que −2 y −3 son números negativos, pero nos permite ir de la raíz a, y luego aplicar la propiedad de la raíz del producto: ... Y en uno de los ejemplos anteriores, no fue necesario ir de raíz a raíz del decimoctavo grado. y entonces .

Entonces, para transformar expresiones usando las propiedades de las raíces, necesita

• seleccione una propiedad adecuada de la lista,
• asegúrese de que los números debajo de la raíz satisfagan las condiciones para la propiedad seleccionada (de lo contrario, debe realizar conversiones preliminares),
• y llevar a cabo la transformación prevista.

Conversión de expresiones con variables bajo signos raíz

Para transformar expresiones irracionales que contienen no solo números, sino también variables bajo el signo de la raíz, las propiedades de las raíces enumeradas en el primer párrafo de este artículo deben aplicarse con cuidado. Esto se debe principalmente a las condiciones que deben cumplir los números que participan en las fórmulas. Por ejemplo, según la fórmula, la expresión se puede reemplazar por una expresión solo para aquellos valores de x que satisfagan las condiciones x≥0 yx + 1≥0, ya que la fórmula especificada se especifica para a≥0 y b ≥0.

¿Por qué es peligroso ignorar estas condiciones? El siguiente ejemplo ilustra la respuesta a esta pregunta. Digamos que necesitamos calcular el valor de una expresión en x = −2. Si sustituimos inmediatamente el número −2 en lugar de la variable x, obtenemos el valor que necesitamos ... Ahora imaginemos que, por alguna razón, convertimos la expresión dada a la forma, y ​​solo después de eso decidimos calcular el valor. Sustituye x por −2 y llega a la expresión que no tiene sentido.

Veamos qué sucede con el rango de valores válidos (ADV) de la variable x cuando pasamos de una expresión a otra. No mencionamos la ODZ por casualidad, ya que es una herramienta seria para controlar la admisibilidad de las transformaciones realizadas, y cambiar la ODZ después de transformar la expresión debería al menos alertar. No es difícil encontrar la ODZ para las expresiones especificadas. Para expresar la ODV se determina a partir de la desigualdad x · (x + 1) ≥0, su solución da el conjunto numérico (−∞, −1] ∪∪∪

No se imponen restricciones adicionales sobre los números de la derecha o de la izquierda: si existen los factores raíces, entonces el producto también existe.

Ejemplos. Veamos cuatro ejemplos con números a la vez:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27) )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3). \\ \ end (alinear) \]

Como puede ver, el objetivo principal de esta regla es simplificar las expresiones irracionales. Y si en el primer ejemplo nosotros mismos hubiéramos extraído las raíces de 25 y 4 sin nuevas reglas, entonces la lata comienza más adelante: $ \ sqrt (32) $ y $ \ sqrt (2) $ no se cuentan por sí mismos, pero su producto resulta ser un cuadrado exacto, por lo que la raíz es igual al número racional.

También me gustaría señalar la última línea. Allí, ambas expresiones radicales son fracciones. Gracias al producto, se anulan muchos factores y toda la expresión se convierte en un número adecuado.

Por supuesto, no siempre todo será tan hermoso. A veces habrá un desastre completo debajo de las raíces: no está claro qué hacer con él y cómo transformarlo después de la multiplicación. Un poco más tarde, cuando comiences a estudiar ecuaciones y desigualdades irracionales, generalmente habrá todo tipo de variables y funciones. Y muy a menudo los creadores de problemas esperan que encuentre algunos términos o factores de cancelación, después de lo cual la tarea se simplificará enormemente.

Además, no es necesario multiplicar exactamente dos raíces. Puedes multiplicar tres a la vez, cuatro, ¡pero al menos diez! Esto no cambiará la regla. Echar un vistazo:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0.001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0.001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10). \\ \ end (alinear) \]

Y nuevamente, un pequeño comentario sobre el segundo ejemplo. Como puede ver, en el tercer factor debajo de la raíz hay una fracción decimal; en el proceso de cálculos, la reemplazamos por la habitual, después de lo cual todo se cancela fácilmente. Entonces: recomiendo ampliamente deshacerse de las fracciones decimales en cualquier expresión irracional (es decir, que contenga al menos un signo de radical). Esto le ahorrará mucho tiempo y problemas en el futuro.

Pero esta fue una digresión lírica. Ahora consideremos un caso más general: cuando el exponente de la raíz contiene un número arbitrario $ n $, y no solo los dos "clásicos".

Caso de exponente arbitrario

Entonces, descubrimos las raíces cuadradas. ¿Y qué hacer con las cúbicas? ¿O en general con raíces de grado arbitrario $ n $? Sí, todo es igual. La regla sigue siendo la misma:

Para multiplicar dos raíces de grado $ n $, basta con multiplicar sus expresiones radicales y luego escribir el resultado debajo de un radical.

En general, nada complicado. Excepto que la cantidad de cálculo puede resultar mayor. Veamos un par de ejemplos:

Ejemplos. Calcule los productos:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = cinco; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0.16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3)) )) = \ sqrt (((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (3))) = \ frac (4) (25). \\ \ end (alinear) \]

Y nuevamente, atención a la segunda expresión. Multiplicamos las raíces cúbicas, nos deshacemos de la fracción decimal y, como resultado, obtenemos el producto de los números 625 y 25 en el denominador. Este es un número bastante grande; personalmente, no calcularé a qué es igual. .

Por lo tanto, simplemente seleccionamos el cubo exacto en el numerador y denominador, y luego usamos una de las propiedades clave (o, si lo prefiere, la definición) de la raíz $ n $ -ésima:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a; \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ left | a \ derecha |. \\ \ end (alinear) \]

Estas "maquinaciones" pueden ahorrarle mucho tiempo en el examen o trabajo de prueba así que recuerda:

No se apresure a multiplicar números en una expresión radical. Primero, verifique: ¿qué pasa si el grado exacto de alguna expresión está "encriptado" allí?

Con toda la obviedad de esta observación, debo admitir que la mayoría de los estudiantes no capacitados no ven los grados exactos a quemarropa. En cambio, lo multiplican todo y luego se preguntan: ¿por qué obtuvieron números tan brutales? :)

Sin embargo, todo esto es pueril comparado con lo que estudiaremos ahora.

Multiplicación de raíces con diferentes indicadores.

Bien, ahora podemos multiplicar raíces con los mismos indicadores. ¿Y si los indicadores son diferentes? Diga cómo multiplicar el $ \ sqrt (2) $ habitual por alguna basura como $ \ sqrt (23) $? ¿Es posible hacer esto en absoluto?

Sí por supuesto que puedes. Todo se hace de acuerdo con esta fórmula:

Regla de multiplicación de raíces. Para multiplicar $ \ sqrt [n] (a) $ por $ \ sqrt [p] (b) $, solo necesita realizar la siguiente transformación:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Sin embargo, esta fórmula solo funciona si las expresiones radicales no son negativas... Este es un punto muy importante al que volveremos un poco más adelante.

Por ahora, veamos un par de ejemplos:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot 8) = \ sqrt (648); \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625). \\ \ end (alinear) \]

Como ves, nada complicado. Ahora averigüemos de dónde vino el requisito de no negatividad y qué sucede si lo violamos. :)

¿Por qué las expresiones radicales deberían ser no negativas?

Por supuesto, puede ser como un maestro de escuela y citar el libro de texto con una mirada inteligente:

El requisito de no negatividad está asociado con diferentes definiciones de raíces de grados pares e impares (respectivamente, sus dominios de definición también son diferentes).

Bueno, ¿se ha vuelto más claro? Personalmente, cuando estaba leyendo estas tonterías en el octavo grado, me di cuenta de algo como esto: "El requisito de no negatividad está conectado con * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%" - en resumen, no No entiendo una mierda esa vez. :)

Así que ahora te lo explicaré todo de forma normal.

Primero, averigüemos de dónde proviene la fórmula de multiplicación dada arriba. Para hacer esto, permítame recordarle una propiedad importante de la raíz:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

En otras palabras, podemos elevar con seguridad la expresión radical a cualquier potencia natural de $ k $; en este caso, el exponente de la raíz tendrá que multiplicarse por la misma potencia. Por lo tanto, podemos reducir fácilmente cualquier raíz a un indicador común y luego multiplicar. De ahí que se tome la fórmula para la multiplicación:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

Pero hay un problema que limita severamente la aplicación de todas estas fórmulas. Considere este número:

De acuerdo con la fórmula que se acaba de dar, podemos agregar cualquier grado. Intentemos agregar $ k = 2 $:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ left (-5 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]

Eliminamos el menos solo porque el cuadrado quema el menos (como cualquier otro poder uniforme). Y ahora realizaremos la transformación inversa: "reduciremos" los dos en el exponente y el grado. Después de todo, cualquier igualdad se puede leer tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda:

\ [\ begin (align) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ Rightarrow \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ] (a); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ Rightarrow \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5). \\ \ end (alinear) \]

Pero luego resulta una especie de mierda:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (5) \]

Esto no puede ser, porque $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $ y $ \ sqrt (5) \ gt 0 $. Esto significa que para potencias pares y números negativos, nuestra fórmula ya no funciona. Entonces tenemos dos opciones:

1. Patéate contra la pared para afirmar que las matemáticas son una ciencia estúpida, donde “hay algunas reglas, pero esto es inexacto”;
2. Introducir restricciones adicionales bajo las cuales la fórmula funcionará al 100%.

En la primera opción, tendremos que detectar constantemente los casos "que no funcionan": es difícil, largo y, en general, fugaz. Por lo tanto, los matemáticos prefirieron la segunda opción. :)

¡Pero no te preocupes! En la práctica, esta limitación no afecta los cálculos de ninguna manera, porque todos los problemas descritos conciernen solo a raíces de un grado impar, y de ellos se pueden sacar las desventajas.

Por tanto, formularemos otra regla que se aplica en general a todas las acciones con raíces:

Haz que las expresiones radicales no sean negativas antes de multiplicar las raíces.

Ejemplo. En el número $ \ sqrt (-5) $, puede quitar el signo menos debajo del signo de la raíz, entonces todo estará bien:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ Rightarrow \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (align) \]

¿Sientes la diferencia? Si dejas el menos debajo de la raíz, cuando la expresión radical se eleva al cuadrado, desaparece y comienza la mierda. Y si primero quita el signo menos, puede erigir / quitar el cuadrado incluso antes de volverse azul; el número seguirá siendo negativo. :)

Por lo tanto, la forma más correcta y confiable de multiplicar raíces es la siguiente:

1. Elimina todas las desventajas de debajo de los radicales. Solo hay desventajas en las raíces de una multiplicidad impar: se pueden colocar delante de la raíz y, si es necesario, acortarlas (por ejemplo, si hay dos de estas desventajas).
2. Realice la multiplicación de acuerdo con las reglas discutidas anteriormente en la lección de hoy. Si los índices de las raíces son iguales, simplemente multiplicamos las expresiones radicales. Y si son diferentes, usamos la fórmula malvada \ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \].
3. 3. Disfrutamos del resultado y las buenas notas. :)

¿Bien? ¿Vamos a practicar?

Ejemplo 1. Simplifique la expresión:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ left (- \ sqrt (\ frac (4) (3) )) \ derecha) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ raíz cuadrada (64) = - 4; \ end (alinear) \]

Esta es la opción más simple: los índices de las raíces son iguales e impares, el problema está solo en el menos del segundo factor. Eliminamos este menos nafig, después de lo cual todo se considera fácilmente.

Ejemplo 2. Simplifique la expresión:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ left (((2) ^ (5)) \ right)) ^ (3)) \ cdot ((\ left (((2) ^ (2)) \ right)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ end ( alinear) \]

Aquí, muchos estarían confundidos por el hecho de que la salida era un número irracional. Sí, sucede: no pudimos deshacernos por completo de la raíz, pero al menos simplificamos significativamente la expresión.

Ejemplo 3. Simplifique la expresión:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ left (((( a) ^ (4)) \ right)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((a) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (align) \]

Me gustaría llamar su atención sobre esta tarea. Hay dos puntos a la vez:

1. La raíz no es un número o grado específico, sino la variable $ a $. A primera vista, esto es un poco inusual, pero en realidad, al resolver problemas matemáticos, la mayoría de las veces tiene que lidiar con variables.
2. Al final, logramos "reducir" el exponente raíz y el grado en la expresión radical. Esto sucede con bastante frecuencia. Y esto significa que era posible simplificar significativamente los cálculos si no usaba la fórmula básica.

Por ejemplo, podrías hacer esto:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ left (((a) ^ ( 4)) \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ end (alinear) \]

De hecho, todas las transformaciones se realizaron solo con el segundo radical. Y si no describe en detalle todos los pasos intermedios, al final, la cantidad de cálculos disminuirá significativamente.

De hecho, ya nos hemos encontrado con una tarea similar antes al resolver el ejemplo $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $. Ahora se puede describir de forma mucho más sencilla:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ left (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ right)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ left (75 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (75). \ end (alinear) \]

Bueno, hemos descubierto la multiplicación de raíces. Ahora consideremos la operación inversa: ¿qué hacer cuando el producto está debajo de la raíz?

Raíznorte-o grado y sus propiedades básicas

Grado Número Real pero con tarifa natural NS hay un trabajo NS factores, cada uno de los cuales es igual a pero:

a1 = a; a2 = a * a; pero norte =

Por ejemplo,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

Cinco veces

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 veces

Número Real pero son llamados la base del título, y el número natural n es exponente.

Las propiedades básicas de los grados con exponentes naturales se derivan directamente de la definición: el grado de un número positivo con cualquier NS mi norte positivo; el grado de un número negativo con un exponente par es positivo, con un exponente impar es negativo.

Por ejemplo,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

Las acciones con grados se realizan de la siguiente manera reglas.

1. Para multiplicar grados con las mismas bases, basta con sumar los exponentes, y dejar la base igual, es decir

Por ejemplo, p5 ∙ p3 = p5 + 3 = p8

2. Para dividir potencias con las mismas bases, basta restar el divisor del índice del dividendo, y dejar la base igual, es decir

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif "ancho =" 95 "alto =" 44 src = ">

2. Para elevar una potencia a una potencia, basta con multiplicar los exponentes, dejando la base igual, es decir

(un)metro = en · p. Por ejemplo, (23) 2 = 26.

4. Para elevar un producto a una potencia, basta con elevar cada factor a esta potencia y multiplicar los resultados, es decir

(pero B) NS= ap ∙BNS.

Por ejemplo, (2y3) 2= 4y6.

5. Para elevar una fracción a una potencia, basta con elevar el numerador y el denominador a esta potencia por separado y dividir el primer resultado por el segundo, es decir

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif "ancho =" 87 "alto =" 53 src = ">

Tenga en cuenta que a veces es útil leer estas fórmulas de derecha a izquierda. En este caso, se convierten en reglas. Por ejemplo, en el caso 4, apvp= (aw) n obtenemos la siguiente regla: para multiplica grados con los mismos indicadores, basta con multiplicar las bases, dejando el indicador igual.

El uso de esta regla es efectivo, por ejemplo, al calcular el siguiente producto.

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif "ancho =" 25 "alto =" 23 "> + 1) 5 = ((-1) (+1)) 5 = ( = 1.

Démosle ahora la definición de raíz.

Raíz enésimo grado de un número real pero llamado un número real NS, cuyo enésimo poder es pero.

Obviamente, de acuerdo con las propiedades básicas de los grados con exponentes naturales, de cualquier número positivo hay dos valores opuestos de la raíz de un grado par, por ejemplo, los números 4 y -4 son raíces cuadradas de 16, ya que ( -4) 2 = 42 = 16, y los números 3 y -3 son las cuartas raíces de 81, ya que (-3) 4 = З4 = 81.

Además, no existe una raíz par de un número negativo, ya que incluso la potencia de cualquier número real no es negativa... En cuanto a la raíz de un grado impar, para cualquier número real solo hay una raíz de un grado impar de este número. Por ejemplo, 3 es la tercera raíz de 27, ya que 33 = 27, y -2 es la quinta raíz de -32, ya que (-2) 5 = 32.

En relación con la existencia de dos raíces de grado par a partir de un número positivo, introducimos el concepto de raíz aritmética para eliminar esta raíz de dos valores.

Valor no negativo raíz de la enésima el grado de un número no negativo se llama raíz aritmética.

Por ejemplo, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif "width =" 13 "height =" 16 src = "> 0.

Cabe recordar que al resolver ecuaciones irracionales, sus raíces siempre se consideran aritméticas.

Notemos la propiedad principal de la raíz n-ésima.

El valor de la raíz no cambiará si los índices de la raíz y el grado de la expresión radical se multiplican o dividen por el mismo número natural, es decir

Ejemplo 7. Reducir a un denominador común y