Kad mulj nema rješenja. Metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi

Rešenje... A = ... Naći r (A). As matricu I ima red 3x4, tada je najviši red maloljetnika 3. U ovom slučaju, svi maloljetnici trećeg reda jednaki su nuli (provjerite sami). Sredstva, r (A)< 3. Возьмем главный osnovna mola = -5-4 = -9 ≠ 0. Dakle r (A) = 2.

Razmislite matrica WITH = .

Maloljetna treća red ≠ 0. Dakle, r (C) = 3.

Pošto je r (A) ≠ r (C), tada je sistem nedosljedan.

Primjer 2. Odrediti konzistentnost sistema jednačina

Riješite ovaj sistem ako se ispostavi da je spojen.

Rešenje.

A =, C = ... Očigledno, r (A) ≤ 3, r (C) ≤ 4. Budući da je detC = 0, tada je r (C)< 4. Razmislite minor treći red nalazi se u gornjem lijevom kutu matrice A i C: = -23 ≠ 0. Dakle, r (A) = r (C) = 3.

Broj nepoznato u sistemu n = 3... Dakle, sistem ima jedina odluka... U ovom slučaju četvrta jednadžba predstavlja zbir prve tri i može se zanemariti.

Prema Cramerovim formulama dobijamo x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Metoda matrice. Gaussova metoda

Sistem n linearne jednačine sa n nepoznanice se mogu riješiti matrična metoda prema formuli X = A -1 B (pri Δ ≠ 0), što se dobiva iz (2) množenjem oba dijela sa A -1.

Primjer 1. Riješite sistem jednadžbi

matrična metoda (u odjeljku 2.2 ovaj sistem je riješen Cramerovim formulama)

Rešenje... Δ = 10 ≠ 0 A = je nedegenerirana matrica.

= (u to se sami uvjerite tako što ćete izvršiti potrebne proračune).

A -1 = (1 / Δ) x = .

X = A -1 B = x =.

Odgovor: .

S praktičnog gledišta matrična metoda i formule Kramer su računarski intenzivne, pa se daje prednost Gaussova metoda, koji se sastoji u uzastopnom uklanjanju nepoznatih. Zbog toga se sistem jednadžbi svodi na ekvivalentni sistem s trokutastom proširenom matricom (svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki su nuli). Ove radnje se zovu direktni potezi. Iz rezultirajućeg trokutastog sustava, varijable se pronalaze pomoću uzastopnih zamjena (kretanje unatrag).

Primjer 2... Pomoću Gaussove metode riješite sistem

(Gore je ovaj sistem riješen Cramerovom formulom i matričnom metodom).

Rešenje.

Direktan kurs. Zapisujemo proširenu matricu i pomoću elementarnih transformacija dovodimo je u trokutasti oblik:

~ ~ ~ ~ .

Dobijamo sistem

Obrnuti potez. Iz posljednje jednadžbe koju nalazimo NS 3 = -6 i uključite tu vrijednost u drugu jednadžbu:

NS 2 = - 11/2 - 1/4NS 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

NS 1 = 2 -NS 2 + NS 3 = 2+4-6 = 0.

Odgovor: .

2.5. Opšte rješenje sistema linearnih jednadžbi

Neka je dat sistem linearnih jednačina = b i(i=). Neka je r (A) = r (C) = r, tj. sistem je zajednički. Bilo koji minor reda r osim nule je osnovna sporedna. Bez gubitka općenitosti, pretpostavit ćemo da se osnovni mol nalazi u prvim r (1 ≤ r ≤ min (m, n)) redovima i kolonama A. posljednji m-r jednadžbe sistema, zapisujemo krnji sistem:

koji je ekvivalentan izvornom. Nazovimo nepoznanice x 1, ... .x r osnovne, i x r +1, ..., x r free i prenesite pojmove koji sadrže slobodne nepoznanice na desnu stranu jednadžbi krnjeg sistema. Dobijamo sistem s obzirom na osnovne nepoznanice:

koji za svaki skup vrijednosti besplatnih nepoznanica x r +1 = S 1, ..., x n = S n-r ima jedino rešenje x 1 (S 1, ..., S n-r), ..., x r (S 1, ..., S n-r), pronađen po Cramerovom pravilu.

Odgovarajuće rješenje skraćeno, a samim tim i originalni sistem ima oblik:

X (C 1, ..., C n-r) = - opšte rešenje sistema.

Ako slobodnim nepoznanicama u općem rješenju dodijelimo neke numeričke vrijednosti, tada dobivamo rješenje linearnog sistema, nazvano partikularno.

Primjer... Uspostavite kompatibilnost i pronađite zajedničko rješenje za sistem

Rešenje... A = , C = .

Dakle kako r (A)= r (C) = 2 (pogledajte sami), tada je originalni sistem kompatibilan i ima beskonačan broj rješenja (budući da je r< 4).

Rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) nesumnjivo je najvažnija tema kursa linearne algebre. Ogroman broj problema iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednadžbi. Ovi faktori objašnjavaju razlog stvaranja ovog članka. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
proučavati teoriju odabrane metode,
riješite svoj sistem linearnih jednadžbi detaljno razmatrajući analizirana rješenja tipičnih primjera i problema.

Kratak opis materijala za članak.

Dajmo prvo sve potrebne definicije, koncepte i uvesti zapis.

Zatim ćemo razmotriti metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koji imaju jedinstveno rješenje. Prvo ćemo se zadržati na Cramerovoj metodi, drugo, prikazat ćemo matričnu metodu za rješavanje takvih sustava jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metodu sukcesivnog uklanjanja nepoznatih varijabli). Kako bismo konsolidirali teoriju, definitivno ćemo riješiti nekoliko SLAE -ova na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšti pogled, u kojem se broj jednadžbi ne podudara s brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema degenerirana. Formulirajmo Kronecker - Capellijevu teoremu koja nam omogućuje da ustanovimo kompatibilnost SLAE -ova. Analizirajmo rješenje sistema (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept osnovnog mola matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Svakako ćemo se zadržati na strukturi općeg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednadžbi. Dajmo koncept temeljnog sistema rješenja i pokažimo kako se opće rješenje SLAE -a zapisuje pomoću vektora osnovnog sistema rješenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku razmatramo sustave jednadžbi koji se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, pojmovi, oznake.

Razmotrit ćemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neke stvarne ili kompleksni brojevi), - besplatni članovi (takođe stvarni ili složeni brojevi).

Ovaj oblik SLAE zapisa se naziva koordinirati.

IN matrični oblik notacije, ovaj sistem jednadžbi ima oblik,
gdje - glavnu matricu sistema, - kolonu -matricu nepoznatih varijabli, - kolonu -matricu slobodnih članova.

Ako matrici A dodamo kao (n + 1) -tu kolonu matricu-stupac slobodnih pojmova, tada dobivamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostalih stupaca, tj.

Rješavanjem sistema linearnih algebarskih jednadžbi je skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sustava u identitete. Jednačina matrice za zadate vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.

Ako sistem jednadžbi ima barem jedno rješenje, tada se naziva joint.

Ako sistem jednadžbi nema rješenja, tada se naziva nedosledan.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, tada se naziva izvesno; ako postoji više od jednog rješenja, onda - undefined.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogen, u suprotnom - heterogena.

Rješenje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednadžbi.

Ako je broj jednadžbi sustava jednak broju nepoznatih varijabli, a odrednica njegove osnovne matrice nije jednaka nuli, takvi SLAE -ovi će se nazvati osnovno... Takvi sustavi jednadžbi imaju jedinstveno rješenje, a u slučaju homogenog sistema, sve nepoznate varijable jednake su nuli.

Takve SLAE počeli smo proučavati u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja uzeli smo jednu jednadžbu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u smislu drugih i zamijenili je preostalim jednadžbama, zatim uzeli sljedeću jednadžbu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je drugim jednadžbama itd. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi uklonili neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljno zadržavati na ovim metodama, budući da su one zapravo modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednadžbi su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih analiziramo.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Pretpostavimo da trebamo riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a odrednica glavne matrice sistema nije nula, tj.

Dopustiti biti odrednica glavne matrice sistema, i - determinante matrica, koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., ..., n kolonu, odnosno u kolonu slobodnih članova:

Ovim zapisom nepoznate varijable izračunavaju se prema formulama Cramerove metode kao ... Tako se Cramerovom metodom nalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Cramerova metoda .

Rešenje.

Glavna matrica sistema ima oblik ... Izračunajmo njegovu odrednicu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Budući da odrednica glavne matrice sistema nije nula, sistem ima jedinstveno rješenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavimo i izračunajmo potrebne odrednice (odrednica se dobiva zamjenom prve kolone u matrici A kolonom slobodnih članova, determinanta - zamjenom druge kolone kolonom slobodnih članova - zamjenom treće kolone matrice A kolonom slobodnih članova ):

Pronađite nepoznate varijable po formulama :

Odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednadžbi u sistemu veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi dat u matričnom obliku, gdje matrica A ima dimenziju n po n, a njena odrednica nije nula.

Pošto je matrica A obrnuta, odnosno postoji inverzna matrica. Pomnožimo li obje strane jednakosti s lijevom, tada ćemo dobiti formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednadžbi matrična metoda.

Rešenje.

Prepišemo sistem jednačina u matrični oblik:

As

tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema može se pronaći kao .

Konstruirajmo inverznu matricu pomoću matrice algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice u matricu kolone slobodnih članova (pogledajte članak ako je potrebno):

Odgovor:

ili u drugom zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem u pronalaženju rješenja za sisteme linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda veće od treće.

Rešenje sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da moramo pronaći rješenje za sistem od n linearnih jednadžbi s n nepoznatih varijabli
čija je odrednica glavna matrica različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se u uzastopnom uklanjanju nepoznatih varijabli: prvo je x 1 isključeno iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, zatim je x 2 isključeno iz svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, sve dok samo nepoznata varijabla xn ostaje u posljednjoj jednačini. Takav proces transformacije jednadžbi sustava za uzastopno uklanjanje nepoznatih varijabli naziva se direktnim hodom Gaussove metode... Nakon završetka Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednadžbe, koristeći ovu vrijednost, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednadžbe, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednadžbe. Poziva se proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa posljednje jednadžbe sistema na prvu unatrag Gaussova metoda.

Ukratko opišimo algoritam za uklanjanje nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo to, budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sistema. Uklonite nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednadžbi sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednadžbi sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa, trećoj jednadžbi dodajemo prvu, pomnoženu sa, i tako dalje, n-toj jednadžbi dodajemo prvu, pomnoženu sa. Sistem jednadžbi nakon takvih transformacija poprima oblik

gde, i .

Došli bismo do istog rezultata kada bismo izrazili x 1 u smislu drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednadžbi sistema i zamijenili rezultirajući izraz u svim drugim jednadžbama. Tako je varijabla x 1 isključena iz svih jednadžbi, počevši od druge.

Zatim postupamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema, koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednadžbi sistema dodamo drugu pomnoženu sa, četvrtoj jednadžbi dodamo drugu pomnoženu sa, i tako dalje, n-toj jednadžbi dodamo drugu pomnoženu sa. Sistem jednadžbi nakon takvih transformacija poprima oblik

gde, i ... Tako je varijabla x 2 isključena iz svih jednadžbi, počevši od treće.

Zatim nastavljamo s uklanjanjem nepoznatog x 3, dok slično djelujemo sa dijelom sistema označenim na slici

Tako nastavljamo direktan tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka započinjemo obrnuti tok Gaussove metode: izračunavamo xn iz posljednje jednadžbe jer, koristeći dobivenu vrijednost xn, nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednadžbe, i tako dalje, x 1 nalazimo iz prva jednačina.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Rešenje.

Uklonite nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednadžbe sistema. Da biste to učinili, u oba dijela druge i treće jednadžbe dodajte odgovarajuće dijelove prve jednadžbe pomnožene sa i za:

Sada isključujemo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem na njenu lijevu i desnu stranu lijevu i desnu stranu druge jednadžbe, pomnoženu sa:

U ovom trenutku, pomak Gaussove metode prema naprijed je gotov, započinjemo obrnuti potez.

Iz posljednje jednadžbe rezultirajućeg sustava jednadžbi nalazimo x 3:

Iz druge jednadžbe dobivamo.

Iz prve jednadžbe pronalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time se završava obrnuti tok Gaussove metode.

Odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rešenje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

U opštem slučaju, broj jednačina u sistemu p ne podudara se s brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE -ovi možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se odnosi i na sisteme jednačina čija je osnovna matrica kvadratna i degenerisana.

Kronecker - Capellijeva teorema.

Prije pronalaska rješenja za sistem linearnih jednadžbi potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan daje Kronecker - Capellijeva teorema:
da bi sistem p jednačina s n nepoznanica (p može biti jednako n) dosljedan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, odnosno (A) = Rang (T).

Razmotrimo na primjeru primjenu Kronecker - Capellijevog teorema za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednadžbi.

Primjer.

Saznajte je li sustav linearnih jednadžbi rešenja.

Rešenje.

... Koristimo metodu graničnih maloljetnika. Minor drugog reda nula Riješimo maloljetnike trećeg reda koji graniče s njim:

Budući da su svi maloljetni maloljetnici trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice jednak je dvjema.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako sa tri, jer je maloljetni trećeg reda

nonzero.

Dakle, Rang (A), dakle, prema Kronecker - Capellijevoj teoremi, možemo zaključiti da je izvorni sistem linearnih jednadžbi nedosljedan.

Odgovor:

Sistem nema rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nedosljednost sistema pomoću Kronecker - Capellijeve teoreme.

Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept osnovnog mola matrice i teorema o rangu matrice.

Minor najvišeg reda matrice A, osim nule, se naziva osnovni.

Iz definicije osnovnog mola slijedi da je njegov redoslijed jednak rangu matrice. Za matricu A različitu od nule, može postojati nekoliko osnovnih maloljetnika; uvijek postoji jedan osnovni mol.

Na primjer, razmotrimo matricu .

Sve manje vrijednosti trećeg reda ove matrice jednake su nuli, budući da su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći maloljetnici drugog reda su osnovni, budući da nisu nula

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada su svi elementi redova (i stupaca) matrice koji ne tvore odabrani osnovni mol linearno izraženi u terminima odgovarajućih elemenata redova ( i stupci) koji čine osnovni mol.

Šta nam daje teorema o rangu matrice?

Ako smo Kronecker - Capellijevom teoremom utvrdili kompatibilnost sistema, tada odabiremo bilo koji osnovni minor osnovne matrice sistema (njen redoslijed je r), a iz sustava isključujemo sve jednadžbe koje ne tvore izabrani osnovni maloljetnik. SLAE dobiven na ovaj način bit će ekvivalentan izvornom, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednadžbi).

Kao rezultat toga, nakon odbacivanja nepotrebnih jednadžbi sistema, moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednadžbi r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, tada će biti definitivan i jedino rješenje može se pronaći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

Rešenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, budući da je drugi red manji nonzero. Produženi rang matrice je također jednako dva, budući da je jedini manji broj trećeg reda jednak nuli

a minor drugog reda koji je gore razmatran nije nula. Na temelju Kronecker - Capellijeve teoreme možemo ustvrditi kompatibilnost izvornog sistema linearnih jednadžbi, budući da je Rank (A) = Rank (T) = 2.

Uzimamo kao osnovni minor ... Formiraju ga koeficijenti prve i druge jednadžbe:

Treća jednadžba sistema ne učestvuje u formiranju osnovnog mola, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:

Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi. Riješimo to Cramerovom metodom:

Odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednadžbi r u dobivenom SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada na lijevim stranama jednadžbi ostavljamo pojmove koji čine osnovni mol, preostali pojmovi prenose se na desne strane jednačina sistema sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (ima ih r) koje se nalaze na lijevoj strani jednadžbi zovu se glavni.

Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se pojavljuju na desnoj strani nazivaju se besplatno.

Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, a r osnovne nepoznate varijable bit će izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov izraz može se pronaći rješavanjem dobivenog SLAE -a Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednadžbi .

Rešenje.

Pronađite rang glavne matrice sistema metodom graničivanja sa maloljetnicima. Uzimamo 1 1 = 1 kao minor različit od nule. Počnimo tražiti minor različit od nule koji okružuje ovaj minor:

Ovako smo pronašli minor različit od nule. Počnimo tražiti sporednu vrijednost koja se ne graniči s nulom trećeg reda:

Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je također tri, odnosno sistem je konzistentan.

Pronađeni minor različit od nule trećeg reda uzimamo kao osnovni.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni mol:

Na lijevoj strani jednadžbi sistema ostavljamo pojmove koji sudjeluju u osnovnom molu, ostali se sa suprotnim predznacima prenose na desne strane:

Dodijelimo proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5, to jest, uzimamo , gdje su proizvoljni brojevi. U tom slučaju, SLAE će poprimiti oblik

Rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi riješen je Cramerovom metodom:

Shodno tome,.

Ne zaboravite u odgovoru navesti besplatne nepoznate varijable.

Odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažeti.

Da bismo riješili sistem linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika, najprije ćemo saznati njegovu kompatibilnost pomoću Kronecker - Capellijeve teoreme. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, tada zaključujemo da je sistem nekompatibilan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada odabiremo osnovni mol i odbacujemo jednadžbe sustava koje ne sudjeluju u formiranju odabranog osnovnog mola.

Ako je redoslijed osnovnog mola jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje koje pronalazimo bilo kojom poznatom metodom.

Ako je redoslijed osnovnog mola manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani jednadžbi sistema ostavljamo pojmove s osnovnim nepoznatim varijablama, a preostale članove prenosimo na desne strane i daju proizvoljne vrijednosti slobodnim nepoznatim varijablama. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednadžbi pronalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

Gaussova metoda može se koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi bilo koje vrste bez prethodnog ispitivanja njihove kompatibilnosti. Proces uzastopnog uklanjanja nepoznatih varijabli omogućuje zaključivanje i kompatibilnosti i nekompatibilnosti SLAE -a, a ako rješenje postoji, omogućava ga i pronalaženje.

Sa stanovišta računskog rada, Gaussova metoda je poželjnija.

Pazi Detaljan opis i razmatrali primjere u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

Pisanje općeg rješenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sistema koristeći vektore temeljnog sustava rješenja.

U ovom ćemo se dijelu usredotočiti na kompatibilne homogene i nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi s beskonačnim skupom rješenja.

Prvo se pozabavimo homogenim sistemima.

Osnovni sistem odlučivanja Homogeni sistem p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli je skup (n - r) linearno neovisnih rješenja ovog sistema, gdje je r redoslijed osnovnog mola osnovne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) su n-po-1 matrice stupaca), tada se opće rješenje ovog homogenog sistema predstavlja kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rješenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1, S 2, ..., S (nr), tj.

Šta znači izraz opće rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula navodi sva moguća rješenja izvornog SLAE -a, drugim riječima, uzima bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti S 1, S 2, ..., S (nr), prema formuli koju dobiti jedno od rješenja originalnog homogenog SLAE -a.

Dakle, ako pronađemo temeljni sistem rješenja, tada ćemo moći navesti sva rješenja ovog homogenog SLAE-a kao.

Pokažimo proces izgradnje fundamentalnog sistema rješenja za homogen SLAE.

Odabiremo osnovni mol izvornog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednadžbe iz sustava i prenosimo sve pojmove koji sadrže slobodne nepoznate varijable na desne strane jednadžbi sistema s suprotnim predznacima. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0, ..., 0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem dobivenog elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer Cramerovom metodom. Ovo će dati X (1) - prvo rješenje fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0, ..., 0 i izračunamo glavne nepoznanice, dobivamo X (2). Itd. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0, ..., 0,1 i izračunamo osnovne nepoznanice, dobit ćemo X (n-r). Tako će se konstruirati osnovni sustav rješenja homogene SLAE i njegovo opće rješenje se može zapisati u obliku.

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi opće rješenje je predstavljeno u obliku, gdje je općenito rješenje odgovarajućeg homogenog sistema, a posebno je rješenje izvornog nehomogenog SLAE -a, koje dobivamo davanjem slobodnih nepoznatih vrijednosti 0,0, ..., 0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sustav rješenja i općenito rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rešenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednadžbi uvijek je jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom graničenja sa maloljetnicima. Kao minor različit od nule, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Pronađite granični minor različit od nule drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda različit od nule. Idemo ponoviti maloljetne osobe trećeg reda koje se graniče s njim u potrazi za ne nulom:

Svi granični maloljetnici trećeg reda jednaki su nuli, pa je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Uzmi kao osnovni minor. Radi jasnoće, zapazimo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednadžba izvornog SLAE -a ne sudjeluje u formiranju osnovnog mola, pa se može isključiti:

Na desnoj strani jednadžbi ostavljamo pojmove koji sadrže glavne nepoznanice, a na desnoj strani prenosimo pojmove sa slobodnim nepoznanicama:

Konstruirajmo osnovni sustav rješenja izvornog homogenog sistema linearnih jednadžbi. Osnovni sistem rješenja ovog SLAE -a sastoji se od dva rješenja, budući da originalni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a redoslijed njegovog osnovnog mola je dva. Da bismo pronašli X (1), slobodnim nepoznatim varijablama dodjeljujemo vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronalazimo glavne nepoznanice iz sistema jednadžbi
.

Riješimo to Cramerovom metodom:

Dakle,.

Sada ćemo konstruirati X (2). Da bismo to učinili, slobodnim nepoznatim varijablama dodjeljujemo vrijednosti x 2 = 0, x 4 = 1, zatim pronalazimo glavne nepoznanice iz sistema linearnih jednadžbi
.

Ponovno upotrijebimo Cramerovu metodu:

Mi primamo.

Tako smo dobili dva vektora fundamentalnog sistema rješenja i sada možemo zapisati opće rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi:

, gdje su C 1 i C 2 proizvoljni brojevi. jednaki su nuli. Uzeli smo i minor kao osnovni, isključili treću jednadžbu iz sistema i prenijeli pojmove sa slobodnim nepoznanicama na desne strane jednadžbi sistema:

Da bismo pronašli, dajemo besplatnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 0 i x 4 = 0, tada sustav jednadžbi poprima oblik , odakle Cramerovom metodom pronalazimo glavne nepoznate varijable:

Imamo , Shodno tome,

gdje su C 1 i C 2 proizvoljni brojevi.

Valja napomenuti da rješenja neodređenog homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi generiraju linearni prostor

Rešenje.

Kanonička jednačina elipsoida u pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sistemu ima oblik ... Naš zadatak je odrediti parametre a, b i c. Budući da elipsoid prolazi kroz točke A, B i C, tada se prilikom zamjene njihovih koordinata u kanonsku jednadžbu elipsoida mora pretvoriti u identitet. Tako dobijamo sistem od tri jednačine:

Označavamo , tada sistem postaje sistem linearnih algebarskih jednadžbi .

Izračunajmo odrednicu glavne matrice sistema:

Budući da nije nula, rješenje možemo pronaći Cramerovom metodom:
). Očigledno, x = 0 i x = 1 su korijeni ovog polinoma. Količnik podjele na je . Dakle, imamo proširenje i izvorni izraz poprima oblik .

Upotrijebimo metodu nedefiniranih koeficijenata.

Izjednačavajući odgovarajuće koeficijente brojnika, dolazimo do sistema linearnih algebarskih jednadžbi ... Njegovo rješenje će nam dati željene nedefinirane koeficijente A, B, C i D.

Riješimo sistem pomoću Gaussove metode:

U obrnutom toku Gaussove metode nalazimo D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Dobijamo

Odgovor:

Sistemi jednadžbi se široko koriste u ekonomskoj industriji u matematičkom modeliranju različitih procesa. Na primjer, prilikom rješavanja problema upravljanja i planiranja proizvodnje, logističkih ruta (problem transporta) ili postavljanja opreme.

Sistemi jednadžbi koriste se ne samo u području matematike, već i u fizici, hemiji i biologiji, u rješavanju problema utvrđivanja veličine populacije.

Sistem linearnih jednadžbi naziva se dvije ili više jednadžbi s nekoliko varijabli, za koje je potrebno pronaći opće rješenje. Takav niz brojeva za koje sve jednadžbe postaju prave jednakosti ili dokazuju da niz ne postoji.

Linearna jednadžba

Jednadžbe oblika ax + by = c nazivaju se linearne. Oznaka x, y je nepoznata, čija se vrijednost mora pronaći, b, a su koeficijenti varijabli, c je slobodni član jednadžbe.
Rješenje jednadžbe iscrtavanjem njenog grafikona imat će oblik ravne linije, čije su sve točke rješenje polinoma.

Vrste sistema linearnih jednačina

Najjednostavniji primjeri smatraju se sistemima linearnih jednadžbi s dvije varijable X i Y.

F1 (x, y) = 0 i F2 (x, y) = 0, gdje su F1,2 funkcije, a (x, y) varijable funkcije.

Rešiti sistem jednačina - to znači pronalaženje takvih vrijednosti (x, y) pri kojima se sistem pretvara u pravu jednakost, ili utvrđivanje da ne postoje odgovarajuće vrijednosti za x i y.

Par vrijednosti (x, y), zapisan kao koordinata točke, naziva se rješenjem sustava linearnih jednadžbi.

Ako sistemi imaju jedno zajedničko rješenje ili rješenje ne postoji, nazivaju se ekvivalentnim.

Homogeni sistemi linearnih jednadžbi su sistemi čija je desna strana jednaka nuli. Ako desni dio iza znaka "jednako" ima vrijednost ili je izražen funkcijom, takav je sistem heterogen.

Broj varijabli može biti mnogo veći od dvije, tada bismo trebali govoriti o primjeru sistema linearnih jednadžbi s tri ili više varijabli.

Kad se suoče sa sistemima, školarci pretpostavljaju da se broj jednadžbi nužno mora podudarati s brojem nepoznatih, ali to nije slučaj. Broj jednadžbi u sistemu ne ovisi o varijablama; može ih biti koliko god želite.

Jednostavne i složene metode rješavanja sistema jednadžbi

Ne postoji opći analitički način rješavanja takvih sustava; sve se metode temelje na numeričkim rješenjima. Školski tečaj matematike detaljno opisuje metode poput permutacije, algebarskog sabiranja, zamjene, kao i grafičku i matričnu metodu, rješenje Gaussovom metodom.

Glavni zadatak u nastavi metoda rješenja je naučiti kako pravilno analizirati sistem i pronaći optimalni algoritam rješenja za svaki primjer. Glavna stvar nije zapamtiti sistem pravila i radnji za svaku metodu, već razumjeti principe primjene određene metode

Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi 7. klase programa sveobuhvatne škole prilično jednostavno i detaljno objašnjeno. U svakom udžbeniku o matematici ovom odjeljku se pridaje dovoljno pažnje. Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi Gaussovom i Cramerovom metodom detaljnije se proučava u prvim godinama visokoškolskih ustanova.

Rešenje sistema metodom supstitucije

Radnje metode supstitucije imaju za cilj izražavanje vrijednosti jedne varijable u smislu druge. Izraz se zamjenjuje u preostalu jednadžbu, a zatim se svodi na oblik s jednom varijablom. Radnja se ponavlja ovisno o broju nepoznatih u sistemu

Navedimo rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi 7. klase metodom zamjene:

Kao što možete vidjeti iz primjera, varijabla x je izražena kroz F (X) = 7 + Y. Rezultirajući izraz, zamijenjen u 2. jednadžbu sistema umjesto X, pomogao je da se dobije jedna varijabla Y u 2. jednadžbi . Rješenje ovog primjera ne uzrokuje poteškoće i omogućava vam da dobijete vrijednost Y. Zadnji korak je provjera dobivenih vrijednosti.

Primjer sistema linearnih jednadžbi nije uvijek moguće riješiti zamjenom. Jednačine mogu biti složene, a izraz varijable u smislu druge nepoznate će biti previše glomazan za daljnje proračune. Kada u sistemu postoje više od 3 nepoznate, rješenje zamjenom je također nepraktično.

Rješenje primjera sistema linearnih nehomogenih jednadžbi:

Algebarsko rješenje za sabiranje

Prilikom traženja rješenja sistema metodom sabiranja, sabiranje po terminu i množenje jednadžbi sa različite brojeve... Krajnji cilj matematičkih operacija je jednadžba u jednoj varijabli.

Za aplikacije ovom metodom neophodna je praksa i posmatranje. Nije lako riješiti sustav linearnih jednadžbi metodom sabiranja s brojem varijabli 3 ili više. Algebarsko sabiranje korisno je kada su u jednadžbama prisutni razlomci i decimalni brojevi.

Algoritam djelovanja rješenja:

Pomnožite obje strane jednadžbe s nekim brojem. Kao rezultat aritmetičke operacije, jedan od koeficijenata varijable mora postati jednak 1.
Dodajte rezultirajući izraz izraz po pojam i pronađite jednu od nepoznatih.
Zamijenite dobivenu vrijednost u 2. jednadžbi sustava kako biste pronašli preostalu varijablu.

Rješenje uvođenjem nove varijable

Nova varijabla se može uvesti ako sistem treba pronaći rješenje za ne više od dvije jednadžbe, a broj nepoznatih također ne smije biti veći od dvije.

Metoda se koristi za pojednostavljenje jedne od jednadžbi unošenjem nove varijable. Nova jednadžba rješava se s obzirom na unetu nepoznatu vrijednost, a dobivena vrijednost se koristi za određivanje izvorne varijable.

Primjer pokazuje da je uvođenjem nove varijable t bilo moguće smanjiti prvu jednadžbu sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom možete riješiti pronalaženjem diskriminata.

Vrijednost diskriminatora potrebno je pronaći prema dobro poznatoj formuli: D = b2 - 4 * a * c, gdje je D traženi diskriminator, b, a, c su faktori polinoma. U danom primjeru, a = 1, b = 16, c = 39, dakle, D = 100. Ako je diskriminant veći od nule, tada postoje dva rješenja: t = -b ± √D / 2 * a, ako je diskriminator manji od nule, onda postoji jedno rješenje: x = -b / 2 * a.

Rješenje za rezultirajuće sisteme nalazi se metodom dodavanja.

Vizuelna metoda za rješavanje sistema

Pogodno za sisteme sa 3 jednačine. Metoda se sastoji u iscrtavanju grafikona svake jednadžbe uključene u sistem na koordinatnoj osi. Koordinate presjeka krivih bit će opće rješenje sistema.

Grafička metoda ima niz nijansi. Razmotrimo nekoliko primjera rješavanja sistema linearnih jednadžbi na vizualan način.

Kao što možete vidjeti iz primjera, za svaku ravnu liniju izgrađene su dvije točke, vrijednosti varijable x izabrane su proizvoljno: 0 i 3. Na temelju vrijednosti x, pronađene su vrijednosti y : 3 i 0. Tačke sa koordinatama (0, 3) i (3, 0) označene su na grafikonu i povezane linijom.

Koraci se moraju ponoviti za drugu jednadžbu. Presjek linija je rješenje sistema.

U sljedećem primjeru morate pronaći grafičko rješenje sistema linearnih jednadžbi: 0,5x-y + 2 = 0 i 0,5x-y-1 = 0.

Kao što vidite iz primjera, sistem nema rješenje jer su grafikoni paralelni i ne sijeku se cijelom svojom dužinom.

Sustavi iz primjera 2 i 3 su slični, ali pri izgradnji postaje očito da su njihova rješenja različita. Treba imati na umu da nije uvijek moguće reći ima li sistem rješenje ili ne, uvijek je potrebno izgraditi grafikon.

Matrica i njene sorte

Matrice se koriste za sažeti zapis sistema linearnih jednadžbi. Matrica je tablica posebne vrste ispunjena brojevima. n * m ima n redova i m stupaca.

Matrica je kvadratna kada je broj stupaca i redova jednak. Vektorska matrica je matrica s jednim stupom s beskonačnim brojem redova. Matrica s jedinicama duž jedne od dijagonala i drugim nultim elementima naziva se matrica identiteta.

Inverzna matrica je takva matrica, kada se pomnoži s time da se izvorna pretvori u matricu identiteta, takva matrica postoji samo za originalnu kvadratnu.

Pravila za pretvaranje sistema jednačina u matricu

Primjenjivo na sisteme jednadžbi, koeficijenti i slobodni članovi jednadžbi zapisuju se kao brojevi matrice, jedna jednadžba je jedan red matrice.

Za matrični red se kaže da nije nula ako je barem jedan element reda različit od nule. Stoga, ako se u bilo kojoj od jednadžbi broj varijabli razlikuje, tada je potrebno umjesto nedostajuće nepoznate upisati nulu.

Stupci matrice moraju strogo odgovarati varijablama. To znači da se koeficijenti varijable x mogu zapisati samo u jednu kolonu, na primjer prvu, koeficijent nepoznatog y - samo u drugu.

Prilikom množenja matrice, svi elementi matrice se uzastopno množe brojem.

Varijante pronalaženja inverzne matrice

Formula za pronalaženje inverzne matrice je prilično jednostavna: K -1 = 1 / | K |, gdje je K -1 inverzna matrica, a | K | je odrednica matrice. | K | ne bi trebalo biti nula, tada sistem ima rješenje.

Odrednica se lako izračunava za matricu dva po dva, samo trebate pomnožiti elemente na dijagonali jedan s drugim. Za opciju "tri po tri" postoji formula | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. Možete upotrijebiti formulu ili se sjetite da morate uzeti jedan element iz svakog retka i svakog stupca kako se broj stupaca i redova elemenata ne ponavlja u proizvodu.

Rješenje primjera sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrična metoda pronalaženja rješenja omogućava smanjenje glomaznih zapisa pri rješavanju sistema s velikim brojem varijabli i jednadžbi.

U primjeru, a nm su koeficijenti jednadžbi, matrica je vektor x n su varijable, a b n slobodni pojmovi.

Gaussovo rješenje sistema

U višoj matematici Gaussova metoda se proučava zajedno s Cramerovom metodom, a proces pronalaženja rješenja za sisteme naziva se Gauss-Cramerova metoda. Ove metode se koriste za pronalaženje varijabilnih sistema sa velikim brojem linearnih jednačina.

Gaussova metoda vrlo je slična rješenjima supstitucije i algebarskog sabiranja, ali je sustavnija. U školskom tečaju Gaussovo rješenje se koristi za sisteme 3 i 4 jednadžbe. Cilj metode je učiniti sistem sličnim obrnutom trapezu. Vrijednost jedne varijable u jednoj od jednadžbi sustava nalazi se algebarskim transformacijama i zamjenama. Druga jednadžba je izraz s 2 nepoznate, ali 3 i 4 - respektivno s 3 i 4 varijable.

Nakon dovođenja sistema u opisani oblik, daljnje rješenje se svodi na sekvencijalnu zamjenu poznatih varijabli u jednadžbe sistema.

U školskim udžbenicima za 7. razred primjer rješenja Gaussovom metodom opisan je na sljedeći način:

Kao što možete vidjeti iz primjera, u koraku (3) su dobivene dvije jednadžbe: 3x 3 -2x 4 = 11 i 3x 3 + 2x 4 = 7. Rješenje bilo koje jednadžbe omogućit će vam da saznate jednu od varijabli x n.

Teorema 5, spomenuta u tekstu, kaže da ako jedna od jednadžbi sistema bude zamijenjena ekvivalentnom, tada će i rezultirajući sistem biti ekvivalentan izvornom.

Učenici teško mogu uočiti Gaussovu metodu srednja škola ali je jedan od najzabavnijih načina za razvoj inteligencije djece u naprednim satima matematike i fizike.

Radi lakšeg snimanja proračuna, uobičajeno je učiniti sljedeće:

Koeficijenti jednadžbi i slobodni članovi zapisani su u obliku matrice, pri čemu je svaki red matrice povezan s jednom od jednadžbi sistema. odvaja lijevu stranu jednadžbe od desne strane. Rimski brojevi označavaju broj jednačina u sistemu.

Prvo zapišite matricu s kojom ćete raditi, a zatim sve radnje izvršene u jednoj od linija. Rezultirajuća matrica se zapisuje nakon znaka strelice i nastavljaju se potrebne algebarske radnje dok se rezultat ne postigne.

Kao rezultat toga, trebala bi se dobiti matrica u kojoj je jedna od dijagonala 1, a svi ostali koeficijenti jednaki nuli, odnosno matrica se svodi na jedan oblik. Ne zaboravite napraviti izračune s brojevima s obje strane jednadžbe.

Ova metoda snimanja je manje glomazna i omogućava vam da ne ometate nabrajanjem mnogih nepoznanica.

Za besplatnu primjenu bilo kojeg rješenja potrebna je briga i određeno iskustvo. Nisu sve metode primijenjene prirode. Neki načini pronalaženja rješenja poželjniji su u određenom području ljudskih aktivnosti, dok drugi postoje u obrazovne svrhe.

Međutim, u praksi su rasprostranjena još dva slučaja:

- Sistem je nekompatibilan (nema rješenja);
- Sistem je kompatibilan i ima beskonačno mnogo rješenja.

Bilješka : Izraz "interoperabilnost" podrazumijeva da sistem ima barem neko rješenje. U nizu zadataka potrebno je prvo istražiti kompatibilnost sistema, kako to učiniti - pogledajte članak o rang matrica.

Za ove sisteme koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda... Zapravo, "školska" metoda će dovesti do odgovora, ali u višoj matematici uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu uzastopnog uklanjanja nepoznanica. Za one koji nisu upoznati s algoritmom Gaussove metode, prvo proučite lekciju Gaussova metoda za lutke.

Elementarne transformacije matrice same su potpuno iste, razlika će biti na kraju rješenja. Razmotrimo prvo nekoliko primjera kada sistem nema rješenja (nedosljedna).

Primjer 1

Šta vam odmah pada u oči u ovom sistemu? Broj jednačina je manji od broja varijabli. Ako je broj jednačina manji od broja varijabli, tada možemo odmah reći da je sistem ili nekompatibilan ili ima beskonačno mnogo rješenja. I ostaje samo da saznamo.

Početak rješenja je potpuno običan - zapisujemo proširenu matricu sistema i pomoću elementarnih transformacija dovodimo je u stupnjeviti oblik:

(1) Na gornjoj lijevoj prečki moramo dobiti +1 ili –1. U prvoj koloni nema takvih brojeva, pa preuređivanje redova neće učiniti ništa. Jedinica će se morati samostalno organizirati, a to se može učiniti na nekoliko načina. Učinio sam ovo: U prvi redak dodajemo treći red pomnožen sa -1.

(2) Sada dobivamo dvije nule u prvoj koloni. U drugi redak dodamo prvi red pomnožen sa 3. U treći red dodamo prvi red pomnožen s 5.

(3) Nakon izvršene transformacije uvijek je poželjno potražiti i je li moguće pojednostaviti rezultirajuće linije? Can. Podijelite drugi red s 2, istovremeno dobivajući željeni –1 na drugom koraku. Podijelite treći red sa –3.

(4) Dodajte drugi red u treći red.

Vjerojatno su svi obraćali pažnju na lošu liniju koja je nastala kao rezultat elementarnih transformacija: ... Jasno je da to ne može biti tako. Doista, prepisujemo rezultirajuću matricu nazad na sistem linearnih jednačina:

Ako se kao rezultat elementarnih transformacija dobije niz oblika, gdje je broj različit od nule, tada je sistem nekompatibilan (nema rješenja).

Kako mogu snimiti završetak zadatka? Nacrtajmo bijelom kredom: "kao rezultat elementarnih transformacija, dobijena je linija oblika, gdje" i dajmo odgovor: sistem nema rješenja (nedosljedno).

Ako je prema uvjetu potrebno ISTRAŽIVANJE sistema radi kompatibilnosti, tada je potrebno izdati rješenje u solidnijem stilu uz uključivanje koncepta rang matrice i Kronecker-Capellijeva teorema.

Napominjemo da ovdje nema Gauss-ovog povratka - nema rješenja i jednostavno se nema što pronaći.

Primjer 2

Riješiti sistem linearnih jednadžbi

Ovo je primjer rješenja "uradi sam". Cjelovito rješenje i odgovor na kraju vodiča. Opet vas podsjećam da se vaš kurs odlučivanja može razlikovati od mog kursa odlučivanja, Gaussov algoritam nema jaku "rigidnost".

Drugi tehnička karakteristika rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti odmah, čim se pojavila linija obrasca, gdje. Razmislite uslovni primer: pretpostavimo da se nakon prve transformacije dobije matrica ... Matrica još nije svedena na stepenasti oblik, ali nema potrebe za daljnjim elementarnim transformacijama, budući da se pojavila linija oblika, gdje. Odmah odgovorite da je sistem nekompatibilan.

Kada sistem linearnih jednadžbi nema rješenja, to je gotovo dar, jer se dobije kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka.

Ali sve je na ovom svijetu uravnoteženo, a problem u kojem sistem ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.

Primjer 3

Riješiti sistem linearnih jednadžbi

Postoje 4 jednadžbe i 4 nepoznate, pa sistem može imati ili jedno rješenje, ili bez rješenja, ili imati beskonačno mnogo rješenja. Bilo kako bilo, ali Gaussova metoda će nas ipak odvesti do odgovora. To je njegova svestranost.

Početak je opet standardan. Zapišimo proširenu matricu sistema i uporabom elementarnih transformacija dovedimo je u stupnjeviti oblik:

To je sve i uplašili ste se.

(1) Imajte na umu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2, tako da smo zadovoljni s dva u gornjem lijevom koraku. U drugi redak dodajte prvi red pomnožen sa –4. U treći red dodajte prvi red pomnožen sa –2. Dodajte prvi red pomnožen sa -1 u četvrti redak.

Pažnja! Mnogi bi mogli biti u iskušenju iz četvrtog reda oduzeti prva linija. To se može učiniti, ali nije potrebno, iskustvo pokazuje da se vjerovatnoća greške u proračunima povećava nekoliko puta. Samo dodajte: U četvrti red dodajte prvi red pomnožen sa -1 - upravo!

(2) Posljednja tri retka su proporcionalna, dva se mogu izbrisati.

Ovdje opet morate pokazati povećana pažnja, ali jesu li linije zaista proporcionalne? Da biste bili sigurni (posebno za čajnik) neće biti suvišno pomnožiti drugi red sa –1, a četvrti red podijeliti s 2, što će rezultirati s tri identične linije. I tek tada obrišite dvije od njih.

Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sistema se svodi na stepenasti oblik:

Prilikom popunjavanja zadatka u bilježnicu, preporučljivo je da zbog jasnoće napravite iste bilješke olovkom.

Prepišimo odgovarajući sistem jednadžbi:

Jedino rješenje sustava ovdje ne miriše na "uobičajeno". Nema ni loše linije. To znači da je ovo treći preostali slučaj - sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Ponekad je, pod uvjetom, potrebno istražiti kompatibilnost sistema (odnosno dokazati da rješenje uopće postoji), o tome možete pročitati u posljednjem paragrafu članka Kako mogu pronaći rang matrice? Ali za sada analiziramo osnove:

Beskonačno mnogo sistemskih rješenja ukratko je napisano u obliku tzv cjelokupno sistemsko rješenje .

Općenito rješenje sistema pronaći ćemo koristeći obrnuti tok Gaussove metode.

Prvo moramo utvrditi koje varijable imamo osnovni i koje varijable besplatno... Nije potrebno zamarati se terminima linearne algebre, dovoljno je zapamtiti da takvih ima osnovne varijable i besplatne promenljive.

Osnovne varijable uvijek "sjede" strogo na koracima matrice.
U ovom primjeru osnovne varijable su i

Besplatne varijable su sve preostali varijable koje nisu dospjele. U našem slučaju postoje dvije od njih: - besplatne varijable.

Sada vam treba sve osnovne varijable izraziti samo kroz besplatne promenljive.

Obrnuta strana Gausovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore.
Iz druge jednadžbe sistema izražavamo osnovnu varijablu:

Pogledajmo sada prvu jednadžbu: ... Prvo u njega zamjenjujemo pronađeni izraz:

Ostaje izraziti osnovnu varijablu u smislu slobodnih varijabli:

Na kraju smo dobili ono što nam treba - sve osnovne varijable su izražene samo kroz slobodne varijable:

Općenito rješenje je spremno:

Kako ispravno zapisati opće rješenje?
Besplatne varijable se upisuju u opće rješenje "same" i strogo na svoje mjesto. U ovom slučaju, slobodne varijable trebale bi biti napisane na drugom i četvrtom mjestu:
.

Dobiveni izrazi za osnovne varijable i, očito, morate na prvu i treću poziciju napisati:

Davanje besplatnih varijabli proizvoljne vrijednosti, možete pronaći beskonačno mnogo privatna rješenja... Najpopularnije vrijednosti su nule, jer je određeno rješenje najjednostavnije. Zamijenimo općenito rješenje:

- privatno rješenje.

Jedinice su još jedan slatki par, zamijenimo ih općim rješenjem:

- još jedno određeno rješenje.

Lako je videti da sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja(jer možemo dati besplatne varijable bilo koji vrijednosti)

Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakom jednačina sistema. Ovo je osnova za "brzu" provjeru ispravnosti rješenja. Uzmimo, na primjer, određeno rješenje i uključite ga u lijevu stranu svake jednadžbe u originalnom sistemu:

Sve bi se trebalo uklopiti. I sa bilo kojom određenom odlukom koju dobijete - sve bi se također trebalo složiti.

Ali, strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad obmanjuje, tj. neko određeno rješenje može zadovoljiti svaku jednadžbu sistema, ali se samo općenito rješenje zapravo nalazi pogrešno.

Stoga je provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija. Kako provjeriti rezultirajuće opće rješenje ?

Lako je, ali prilično turobno. Morate uzeti izraze osnovni varijable, u ovom slučaju i, i zamijenite ih na lijevoj strani svake jednadžbe sistema.

Na lijevoj strani prve jednadžbe sistema:

Na lijevoj strani druge jednadžbe sistema:

Dobivena je desna strana izvorne jednadžbe.

Primjer 4

Rešite sistem Gausovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva posebna. Provjerite opće rješenje.

Ovo je primjer rješenja "uradi sam". Usput, opet je broj jednadžbi manji od broja nepoznatih, što znači da je odmah jasno da će sistem biti nekompatibilan ili s beskonačnim skupom rješenja. Šta je važno u samom procesu odlučivanja? Pažnja, opet pažnja... Cjelovito rješenje i odgovor na kraju vodiča.

I još par primjera za konsolidaciju materijala

Primjer 5

Riješiti sistem linearnih jednadžbi. Ako sistem ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje

Rešenje: Zapišimo proširenu matricu sistema i uporabom elementarnih transformacija dovedimo je u stupnjeviti oblik:

(1) Dodajte prvi red u drugi red. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 2. Četvrtom redu dodajemo prvi red pomnožen sa 3.
(2) U treći red dodajte drugi red pomnožen sa –5. Četvrtom redu dodajte drugi red pomnožen sa –7.
(3) Treći i četvrti red su isti, jedan od njih brišemo.

Evo takve ljepote:

Osnovne varijable se nalaze na prečkama, dakle osnovne varijable.
Postoji samo jedna besplatna varijabla koja ovdje nije dobila korak:

Obrnuto:
Izrazimo osnovne varijable u obliku slobodne varijable:
Iz treće jednačine:

Razmotrite drugu jednadžbu i zamijenite pronađeni izraz u njoj:

Razmotrite prvu jednadžbu i zamijenite pronađene izraze u nju:

Da, kalkulator koji broji obične razlomke i dalje je pri ruci.

Dakle, opće rješenje je:

Još jednom, kako je do toga došlo? Besplatna varijabla sjedi sama na svom zakonitom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable također su zauzeli svoja redna mjesta.

Odmah provjerimo opće rješenje. Radite za crnce, ali već sam to učinio, pa uhvatite =)

Zamjenjujemo tri heroja ,, na lijevoj strani svake jednadžbe sistema:

Dobivaju se odgovarajuće desne strane jednačina, pa je opće rješenje tačno pronađeno.

Sada od pronađenog zajedničkog rješenja dobivamo dva posebna rješenja. Jedina besplatna varijabla je ovdje kuhar. Ne morate razbijati glavu.

Neka onda - privatno rješenje.
Neka onda - još jedno određeno rješenje.

Odgovor: Zajednička odluka: , posebna rješenja: , .

Nisam se trebao sjećati crnaca ovdje ... ... jer su mi u glavu ušli razni sadistički motivi i sjetio sam se poznate foto-žabe, u kojoj Klani u bijelim haljinama trče po polju nakon crni fudbaler. Sjedim, tiho se smiješim. Znaš koliko odvlači pažnju….

Mnogo je matematike štetno, pa sličan konačni primjer za vlastito rješenje.

Primjer 6

Pronađite opće rješenje sistema linearnih jednadžbi.

Već sam provjerio opće rješenje, odgovoru se može vjerovati. Vaš kurs odlučivanja može se razlikovati od mog kursa odlučivanja, glavna stvar je da se opće odluke podudaraju.

Vjerovatno su mnogi primijetili neugodan trenutak u rješenjima: vrlo često smo, tijekom obrnutog toka Gaussove metode, morali petljati s obične frakcije... U praksi je to istina, slučajevi kada nema razlomaka mnogo su rjeđi. Budite spremni mentalno, i što je najvažnije, tehnički.

Zadržat ću se na nekim značajkama rješenja koje nisu pronađene u riješenim primjerima.

Opće rješenje sistema ponekad može uključivati konstantu (ili konstante), na primjer :. Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka konstantnom broju :. U ovome nema ništa egzotično, događa se. Očigledno je da će u ovom slučaju svako rješenje sadržavati A na prvom mjestu.

Rijetko, ali postoje sistemi u kojima broj jednačina je veći od broja varijabli... Gaussova metoda radi u najtežim uvjetima, trebalo bi mirno smanjiti proširenu matricu sistema u stepenastu formu prema standardnom algoritmu. Takav sistem može biti nedosljedan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati jedno rješenje.

Sistemi m linearne jednadžbe sa n nepoznato.
Rešavanje sistema linearnih jednačina Je li takav skup brojeva ( x 1, x 2, ..., x n), kada se zamijeni u svaku od jednadžbi sistema, dobiva se ispravna jednakost.
gdje a ij, i = 1, ..., m; j = 1,…, n- sistemski koeficijenti;
b i, i = 1, ..., m- besplatni članovi;
x j, j = 1, ..., n- nepoznato.
Gornji sistem se može napisati u obliku matrice: A X = B,

gdje ( A|B) Je glavna matrica sistema;
A- proširena sistemska matrica;
X- kolona nepoznatih;
B- kolona slobodnih članova.
Ako je matrica B nije nulta matrica ∅, tada se ovaj sistem linearnih jednadžbi naziva nehomogen.
Ako je matrica B= ∅, tada se ovaj sistem linearnih jednadžbi naziva homogenim. Homogeni sistem uvijek ima nulto (trivijalno) rješenje: x 1 = x 2 = ..., x n = 0.
Zajednički sistem linearnih jednadžbi Je sistem linearnih jednadžbi koji ima rješenje.
Nekonzistentan sistem linearnih jednačina Je sustav linearnih jednadžbi koji nema rješenje.
Određeni sistem linearnih jednadžbi Je sistem linearnih jednadžbi koji ima jedinstveno rješenje.
Neodređeni sistem linearnih jednadžbi Je sistem linearnih jednadžbi koji ima beskonačan skup rješenja.
Sistemi n linearnih jednačina sa n nepoznanica
Ako je broj nepoznatih jednak broju jednadžbi, tada je matrica kvadratna. Odrednica matrice naziva se glavna odrednica sistema linearnih jednadžbi i označava se simbolom Δ.
Cramerova metoda za rešavanje sistema n linearne jednadžbe sa n nepoznato.
Cramerovo pravilo.
Ako glavna odrednica sistema linearnih jednadžbi nije jednaka nuli, tada je sustav dosljedan i definiran, a jedino rješenje izračunava se Cramerovim formulama:
gdje je Δ i - odrednice dobivene iz glavne odrednice sistema Δ zamjenom i th stupca po stupcu slobodnog člana. ...
Sistemi m linearnih jednačina sa n nepoznanica
Kronecker-Capellijeva teorema.

Da bi dati sistem linearnih jednadžbi bio dosljedan, potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice sistema, rang (Α) = rang (Α | B).
Ako rang (Α) ng rang (Α | B), tada sistem zasigurno nema rješenja.
Ako rang (Α) = rang (Α | B), tada su moguća dva slučaja:
1) rang (Α) = n(prema broju nepoznatih) - rješenje je jedinstveno i može se dobiti Cramerovim formulama;
2) zvonio (Α)< n - postoji beskonačno mnogo rješenja.
Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih jednadžbi

Sastavimo proširenu matricu ( A|B) datog sistema koeficijenata na nepoznatoj i desnoj strani.
Gaussova metoda ili metoda uklanjanja nepoznanica sastoji se u smanjenju proširene matrice ( A|B) uz pomoć elementarnih transformacija preko svojih redova u dijagonalni oblik (u gornji trokutasti oblik). Vraćajući se na sistem jednačina, sve nepoznanice su određene.
Elementarne transformacije nizova uključuju sljedeće:
1) zamjena dvije linije;
2) množenje niza sa brojem koji nije 0;
3) dodavanje u niz još jednog niza pomnoženog sa proizvoljnim brojem;
4) izbacivanje nultog niza.
Proširena matrica svedena u dijagonalni oblik odgovara linearnom sistemu ekvivalentnom zadanom, čije rješenje ne izaziva poteškoće. ...
Sistem homogenih linearnih jednačina.
Homogeni sistem izgleda ovako:

odgovara matričnoj jednačini A X = 0.
1) Homogeni sistem je uvijek kompatibilan, budući da r (A) = r (A | B), uvijek postoji nulto rješenje (0, 0,…, 0).
2) Da bi homogeni sistem imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da r = r (A)< n , što je ekvivalentno Δ = 0.
3) Ako r< n , tada namjerno Δ = 0, tada nastaju slobodne nepoznanice c 1, c 2, ..., c n-r, sistem ima netrivijalna rješenja, a ima ih beskonačno mnogo.
4) Opće rješenje X at r< n može se napisati u matričnom obliku na sljedeći način:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
gdje su rješenja X 1, X 2, ..., X n-rčine temeljni sistem odlučivanja.
5) Osnovni sistem rješenja može se dobiti iz općeg rješenja homogenog sistema:

,
ako se vrijednosti parametara uzastopno pretpostavljaju (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1).
Dekompozicija općeg rješenja u smislu temeljnog sistema rješenja Je zapis općeg rješenja u obliku linearne kombinacije rješenja koja pripadaju temeljnom sistemu.
Teorema... Da bi sistem linearnih homogenih jednadžbi imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da Δ ≠ 0.
Dakle, ako je odrednica Δ ≠ 0, tada sistem ima jedinstveno rješenje.
Ako je Δ ≠ 0, tada sistem linearnih homogenih jednadžbi ima beskonačan skup rješenja.
Teorema... Da bi homogeni sistem imao rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da r (A)< n .
Dokaz:
1) r ne može biti više n(rang matrice ne prelazi broj kolona ili redova);
2) r< n od ako r = n, tada je glavna odrednica sistema Δ ≠ 0, a prema Cramerovim formulama postoji jedinstveno trivijalno rješenje x 1 = x 2 = ... = x n = 0, što je u suprotnosti sa uslovom. Znači, r (A)< n .
Posljedica... U cilju homogenog sistema n linearne jednadžbe sa n nepoznato ima rješenje koje nije nula, potrebno je i dovoljno da je Δ = 0.