وقتی لجن راه حل ندارد. روشهای حل سیستم معادلات جبری خطی

راه حل... A = ... r (A) را بیابید. زیرا ماتریسو دارای ترتیب 3x4 است ، پس بالاترین مرتبه خردسالان 3 است. در این حالت ، همه خردسالان از مرتبه سوم برابر صفر هستند (خودتان آن را بررسی کنید). به معنای، r (A)< 3. Возьмем главный مینور پایه = -5-4 = -9 ≠ 0. از این رو r (A) = 2.

در نظر گرفتن ماتریس با = .

جزئی از سوم سفارش ≠ 0. از این رو ، r (C) = 3.

از آنجا که r (A) ≠ r (C) ، پس سیستم ناسازگار است.

مثال 2قوام سیستم معادلات را تعیین کنید

اگر به نظر می رسد این سیستم مشترک است این سیستم را حل کنید.

راه حل.

A = ، C = ... بدیهی است ، r (A) ≤ 3 ، r (C) ≤ 4. از آنجا که detC = 0 ، سپس r (C)< 4. در نظر گرفتن جزئی سوم سفارشدر گوشه سمت چپ بالای ماتریس A و C قرار دارد: = -23 ≠ 0. از این رو ، r (A) = r (C) = 3.

عدد ناشناس در سیستم n = 3... از این رو ، سیستم دارای تنها تصمیم... در این مورد ، معادله چهارم مجموع سه مورد اول را نشان می دهد و نمی توان آن را نادیده گرفت.

با توجه به فرمول های کرامر x 1 = -98/23 ، x 2 = -47/23 ، x 3 = -123/23 دریافت می کنیم.

2.4 روش ماتریسی. روش گاوس

سیستم nمعادلات خطیبا nمجهولات قابل حل هستند روش ماتریسیمطابق فرمول X = A -1 B (در Δ ≠ 0) ، که از (2) با ضرب هر دو قسمت در A -1 بدست می آید.

مثال 1. سیستم معادلات را حل کنید

روش ماتریسی (در بخش 2.2 این سیستم با فرمول کرامر حل شد)

راه حل... Δ = 10 ≠ 0 A = یک ماتریس تجزیه نشده است.

= (خودتان با انجام محاسبات لازم از این موضوع مطمئن شوید).

A -1 = (1 / Δ) x = .

X = A -1 B = x =.

پاسخ: .

از نظر عملیروش و فرمول های ماتریسی کرامراز نظر محاسباتی فشرده هستند ، بنابراین اولویت با آن است روش گاوس، که شامل حذف پی در پی مجهولات است. بدین منظور ، سیستم معادلات به یک سیستم معادل با ماتریس توسعه یافته مثلثی کاهش می یابد (همه عناصر زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند). به این اقدامات حرکت مستقیم می گویند. از سیستم مثلثی حاصل ، متغیرها با استفاده از جایگزینی های پی در پی (حرکت رو به عقب) یافت می شوند.

مثال 2... با استفاده از روش گاوس ، سیستم را حل کنید

(در بالا ، این سیستم با فرمول کرامر و روش ماتریس حل شد).

راه حل.

دوره مستقیم. ما ماتریس توسعه یافته را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های اولیه ، آن را به شکل مثلثی در می آوریم:

~ ~ ~ ~ .

ما گرفتیم سیستم

حرکت معکوساز معادله آخر پیدا می کنیم NS 3 = -6 و این مقدار را به معادله دوم وصل کنید:

NS 2 = - 11/2 - 1/4NS 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

NS 1 = 2 -NS 2 + NS 3 = 2+4-6 = 0.

پاسخ: .

2.5 حل کلی سیستم معادلات خطی

اجازه دهید یک سیستم از معادلات خطی داده شود = ب من(من=). اجازه دهید r (A) = r (C) = r ، یعنی سیستم به اشتراک گذاشته شده است هر جزئی از سفارش r غیر از صفر است جزئی جزئیبدون از دست دادن کلیت ، فرض می کنیم که مینور اساسی در اولین ردیف ها و ستون های r (1 ≤ r ≤ min (m، n)) ماتریس A قرار دارد. آخرین m-rمعادلات سیستم ، ما سیستم کوتاه را می نویسیم:

که معادل نسخه اصلی است. بیایید مجهولات را صدا کنیم x 1 ، ... .x rاساسی ، و x r +1 ، ... ، x rرایگان و شرایط حاوی مجهولات رایگان را به سمت راست معادلات سیستم کوتاه شده منتقل کنید. ما یک سیستم با توجه به مجهولات اساسی دریافت می کنیم:

که برای هر مجموعه مقادیر ناشناخته های رایگان x r +1 = С 1 ، ... ، x n = С n-rتنها راه حل را دارد x 1 (С 1، ...، С n-r)، ...، x r (С 1، ...، С n-r)،توسط قانون کرامر پیدا شد.

راه حل مناسبکوتاه شده و در نتیجه ، سیستم اصلی شکل زیر را دارد:

X (C 1 ، ... ، C n-r) = - راه حل کلی سیستم

اگر مقادیر عددی را به مجهولات آزاد در حل کلی اختصاص دهیم ، آنگاه یک راه حل از سیستم خطی به نام سیستم خاص بدست می آوریم.

مثال... ایجاد سازگاری و یافتن راه حل مشترک برای سیستم

راه حل... A = ، C = .

بنابراین چگونه r (A)= r (C) = 2 (خودتان ببینید) ، سپس سیستم اصلی سازگار است و دارای بی نهایت راه حل است (از آنجا که r< 4).

حل سیستمهای معادلات جبری خطی (SLAE) بدون شک مهمترین مبحث درس جبر خطی است. تعداد زیادی از مشکلات همه شاخه های ریاضیات به حل سیستم معادلات خطی خلاصه می شود. این عوامل دلیل ایجاد این مقاله را توضیح می دهند. مطالب مقاله به گونه ای انتخاب و ساختار یافته اند که با کمک آن می توانید

روش بهینه برای حل سیستم معادلات جبری خطی خود را انتخاب کنید ،
مطالعه تئوری روش انتخاب شده ،
سیستم معادلات خطی خود را با در نظر گرفتن راه حل های تجزیه و تحلیل نمونه ها و مسائل معمولی حل کنید.

توضیح مختصر مطالب مقاله.

اول همه چیز را بدهیم تعاریف لازم، مفاهیم و معرفی نماد.

در مرحله بعد ، ما روشهایی را برای حل سیستمهای معادلات جبری خطی در نظر می گیریم که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای ناشناخته است و دارای راه حل منحصر به فرد هستند. اول ، ما روی روش کرامر متمرکز می شویم ، در مرحله دوم ، یک روش ماتریسی برای حل چنین سیستم های معادلات نشان می دهیم ، و سوم ، ما روش گاوس (روش حذف پی در پی متغیرهای ناشناخته) را تجزیه و تحلیل می کنیم. برای تثبیت نظریه ، ما قطعاً چندین SLAE را به روش های مختلف حل می کنیم.

پس از آن ، ما به حل سیستم های معادلات جبری خطی می پردازیم نمای کلی، که در آن تعداد معادلات با تعداد متغیرهای ناشناخته مطابقت ندارد یا ماتریس اصلی سیستم منحط شده است. اجازه دهید قضیه کرونکر - کاپلی را تنظیم کنیم ، که به ما امکان می دهد سازگاری SLAE ها را تعیین کنیم. اجازه دهید راه حل سیستمها (در صورت سازگاری آنها) را با استفاده از مفهوم جزئی اصلی ماتریس تجزیه و تحلیل کنیم. ما همچنین روش گوسی را در نظر خواهیم گرفت و راه حل مثالها را به تفصیل شرح می دهیم.

ما قطعاً روی ساختار حل کلی سیستمهای همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی متمرکز می شویم. اجازه دهید مفهوم یک سیستم اساسی راه حل ها را ارائه دهیم و نشان دهیم که چگونه راه حل کلی SLAE با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها نوشته شده است. برای درک بهتر ، بیایید چند مثال را بررسی کنیم.

در نتیجه ، ما سیستم معادلاتی را که به معادلات خطی کاهش می یابد ، و همچنین مشکلات مختلفی را در نظر می گیریم که در حل آنها SLAE ها بوجود می آیند.

ناوبری صفحه

تعاریف ، مفاهیم ، نامگذاری ها.

ما سیستم های معادلات جبری خطی p را با n متغیرهای ناشناخته (p می تواند برابر با n باشد) از فرم در نظر می گیریم.

متغیرهای ناشناخته ، - ضرایب (برخی واقعی یا اعداد مختلط) ، - اعضای رایگان (همچنین اعداد واقعی یا مختلط).

این شکل از نماد SLAE نامیده می شود هماهنگ کردن.

V فرم ماتریسینماد ، این سیستم معادلات شکل دارد ،
جایی که - ماتریس اصلی سیستم ، - ستون ماتریس متغیرهای ناشناخته ، - ستون ماتریس اعضای آزاد.

اگر به ماتریس A ستون (n + 1) ستون ماتریس اصطلاحات آزاد را اضافه کنیم ، به اصطلاح ماتریس گسترش یافتهسیستم های معادلات خطی معمولاً ماتریس منبسط شده با حرف T نشان داده می شود و ستون اعضای آزاد با یک خط عمودی از بقیه ستون ها جدا می شود ، یعنی

با حل یک سیستم معادلات جبری خطیمجموعه ای از مقادیر متغیرهای ناشناخته است که همه معادلات سیستم را به هویت تبدیل می کند. معادله ماتریس برای مقادیر داده شده متغیرهای ناشناخته نیز به یک هویت تبدیل می شود.

اگر یک سیستم معادلات حداقل یک راه حل داشته باشد ، آن را می نامند مفصل.

اگر سیستم معادلات هیچ راه حلی نداشته باشد ، نامیده می شود ناسازگار.

اگر SLAE یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد ، آنرا نامیده می شود مسلم - قطعی؛ اگر بیش از یک راه حل وجود دارد ، پس - تعریف نشده.

اگر شرایط آزاد همه معادلات سیستم برابر صفر باشد ، سپس سیستم نامیده می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

حل سیستمهای ابتدایی معادلات جبری خطی.

اگر تعداد معادلات سیستم برابر تعداد متغیرهای ناشناخته باشد و تعیین کننده ماتریس اصلی آن برابر صفر نباشد ، چنین SLAE ها فراخوانی می شوند ابتدایی... چنین سیستم های معادله دارای راه حل منحصر به فردی هستند و در مورد یک سیستم همگن ، همه متغیرهای ناشناخته برابر صفر هستند.

ما مطالعه چنین SLAE ها را در دبیرستان شروع کردیم. هنگام حل آنها ، ما یک معادله گرفتیم ، یک متغیر ناشناخته را بر حسب بقیه بیان کردیم و آن را در معادلات باقی مانده جایگزین کردیم ، سپس معادله بعدی را گرفتیم ، متغیر ناشناخته بعدی را بیان کردیم و آن را در معادلات دیگر جایگزین کردیم و غیره. یا از روش جمع استفاده کردند ، یعنی دو یا چند معادله را برای حذف برخی از متغیرهای ناشناخته اضافه کردند. ما به طور مفصل روی این روش ها نمی پردازیم ، زیرا آنها در واقع تغییراتی در روش گاوس هستند.

روشهای اصلی برای حل سیستمهای ابتدایی معادلات خطی عبارتند از روش کرامر ، روش ماتریسی و روش گاوس. بیایید آنها را تحلیل کنیم.

حل سیستمهای معادلات خطی با روش کرامر.

فرض کنید ما باید یک سیستم معادلات جبری خطی را حل کنیم

که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای ناشناخته است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم غیر صفر است ، یعنی.

اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم باشد و - عوامل تعیین کننده ماتریس ها که با جایگزینی از A بدست می آیند 1 ، 2 ، ... ، نهمستون ، به ترتیب ، به ستون اعضای رایگان:

با این نماد ، متغیرهای ناشناخته با فرمولهای روش کرامر به عنوان محاسبه می شوند ... به این ترتیب راه حل یک سیستم معادلات جبری خطی با روش کرامر پیدا می شود.

مثال.

روش کرامر .

راه حل.

ماتریس اصلی سیستم دارای فرم است ... بیایید تعیین کننده آن را محاسبه کنیم (در صورت لزوم ، مقاله را ببینید):

از آنجا که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم غیر صفر است ، سیستم دارای یک راه حل منحصر به فرد است که می توان با روش کرامر پیدا کرد.

اجازه دهید عوامل تعیین کننده لازم را بسازیم و محاسبه کنیم (تعیین کننده با جایگزینی اولین ستون در ماتریس A با یک ستون از اعضای آزاد به دست می آید ، تعیین کننده - با جایگزینی ستون دوم با یک ستون از اعضای آزاد ، - با جایگزینی ستون سوم ماتریس A با یک ستون از اعضای آزاد ):

با استفاده از فرمولها متغیرهای ناشناخته را بیابید :

پاسخ:

اشکال اصلی روش کرامر (اگر بتوان آن را معایب نامید) پیچیدگی محاسبه عوامل تعیین کننده است در صورتی که تعداد معادلات در سیستم بیش از سه باشد.

حل سیستمهای معادلات جبری خطی با روش ماتریس (با استفاده از ماتریس معکوس).

اجازه دهید سیستم معادلات جبری خطی به شکل ماتریس داده شود ، جایی که ماتریس A دارای ابعاد n در n و تعیین کننده آن غیر صفر است.

از آنجا که ، ماتریس A معکوس است ، یعنی یک ماتریس معکوس وجود دارد. اگر هر دو طرف برابری را در سمت چپ ضرب کنیم ، یک فرمول برای یافتن ماتریس ستون متغیرهای ناشناخته به دست می آوریم. بنابراین ما یک سیستم معادلات جبری خطی را با روش ماتریس بدست آوردیم.

مثال.

سیستم معادلات خطی را حل کنید روش ماتریسی

راه حل.

بیایید سیستم معادلات را به شکل ماتریس بازنویسی کنیم:

زیرا

سپس SLAE را می توان با روش ماتریس حل کرد. با استفاده از ماتریس معکوس ، راه حل این سیستم را می توان به صورت زیر یافت .

بیایید یک ماتریس معکوس با استفاده از ماتریسی از مکمل های جبری عناصر ماتریس A بسازیم (در صورت لزوم ، مقاله را ببینید):

باقی مانده است که محاسبه شود - ماتریس متغیرهای ناشناخته با ضرب ماتریس معکوس ماتریس ستونی از اعضای رایگان (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

پاسخ:

یا در نماد دیگری x 1 = 4 ، x 2 = 0 ، x 3 = -1.

مشکل اصلی در یافتن راه حلی برای سیستم های معادلات جبری خطی با روش ماتریس ، پیچیدگی یافتن ماتریس معکوس است ، مخصوصاً برای ماتریس های مربعی با مرتبه بالاتر از سوم.

حل سیستمهای معادلات خطی به روش گاوس

فرض کنید باید برای سیستم n معادلات خطی با n متغیرهای ناشناخته راه حلی پیدا کنیم
تعیین کننده ماتریس اصلی آن غیر صفر است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف پی در پی متغیرهای ناشناخته است: ابتدا ، x 1 از همه معادلات سیستم حذف می شود ، با دوم شروع می شود ، سپس x 2 از همه معادلات ، از سوم شروع می شود ، و غیره ، تا زمانی که فقط متغیر ناشناخته حذف می شود xn در آخرین معادله باقی می ماند. چنین فرآیندی برای تبدیل معادلات سیستم برای حذف پی در پی متغیرهای ناشناخته نامیده می شود با روش مستقیم روش گاوس... پس از اتمام اجرای جلو روش گاوس ، x n از آخرین معادله پیدا می شود ، با استفاده از این مقدار ، x n-1 از معادله قبلین محاسبه می شود و به همین ترتیب ، x 1 از معادله اول پیدا می شود. فرایند محاسبه متغیرهای ناشناخته هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به حالت اول نامیده می شود روش عقب نشینی گاوسی.

اجازه دهید الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را به طور مختصر شرح دهیم.

ما فرض می کنیم که ، زیرا ما همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این مهم برسیم. متغیر ناشناخته x 1 را از همه معادلات سیستم حذف کنید ، با دوم شروع کنید. برای انجام این کار ، به معادله دوم سیستم اول را اضافه می کنیم ، ضرب در ، به معادله سوم اولین را اضافه می کنیم ، ضرب در و به همین ترتیب ، به معادله n-th ما اولین را اضافه می کنیم ، ضرب در. سیستم معادلات پس از چنین تغییراتی شکل می گیرد

کجا ، و .

اگر x 1 را بر اساس سایر متغیرهای ناشناخته در معادله اول سیستم بیان کنیم و عبارت حاصله را در همه معادلات دیگر جایگزین کنیم ، به همان نتیجه می رسیم. بنابراین ، متغیر x 1 از همه معادلات حذف می شود ، با دوم شروع می شود.

در مرحله بعد ، ما به روشی مشابه عمل می کنیم ، اما فقط با بخشی از سیستم حاصله ، که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار ، به معادله سوم سیستم دومی ضرب در ، به معادله چهارم دومی ضرب در و به همین ترتیب ، به معادله n-th دومی ضرب در اضافه می کنیم. سیستم معادلات پس از چنین تغییراتی شکل می گیرد

کجا ، و ... بنابراین ، متغیر x 2 از همه معادلات حذف می شود ، با سوم شروع می شود.

بعد ، ما به حذف ناشناخته x 3 می پردازیم ، در حالی که به طور مشابه با بخشی از سیستم مشخص شده در شکل عمل می کنیم

بنابراین ما مسیر مستقیم روش گاوس را ادامه می دهیم تا سیستم شکل بگیرد

از این لحظه ، ما مسیر معکوس روش گاوس را شروع می کنیم: xn را از آخرین معادله محاسبه می کنیم ، زیرا با استفاده از مقدار بدست آمده از xn ، x n-1 را از معادله پیشین پیدا می کنیم و به همین ترتیب ، x 1 را از اولین معادله

مثال.

سیستم معادلات خطی را حل کنید به روش گاوس

راه حل.

متغیر ناشناخته x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنید. برای انجام این کار ، قسمتهای مربوط به معادله اول ، ضرب در و بر ، را به دو طرف معادله دوم و سوم اضافه کنید:

حالا x 2 را از معادله سوم حذف می کنیم و به دو طرف چپ و راست آن چپ و راست معادله دوم اضافه می کنیم ، ضرب در:

این حرکت رو به جلو روش گاوس را تکمیل می کند ، ما حرکت معکوس را شروع می کنیم.

از آخرین معادله سیستم معادلات به دست آمده ، x 3 را پیدا می کنیم:

از معادله دوم بدست می آوریم.

از معادله اول ، متغیر ناشناخته باقی مانده را پیدا می کنیم و این دوره معکوس روش گاوس را تکمیل می کند.

پاسخ:

X 1 = 4 ، x 2 = 0 ، x 3 = -1.

حل سیستمهای معادلات جبری خطی با شکل کلی.

در حالت کلی ، تعداد معادلات در سیستم p با تعداد متغیرهای ناشناخته n مطابقت ندارد:

چنین SLAE ها ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند ، یک راه حل واحد داشته باشند یا بی نهایت راه حل داشته باشند. این گزاره در مورد سیستم های معادلات نیز کاربرد دارد که ماتریس اصلی آن مربع و منحط است.

قضیه کرونکر - کاپلی.

قبل از یافتن راه حلی برای سیستم معادلات خطی ، سازگاری آن ضروری است. پاسخ به این س whenال که SLAE سازگار است و چه زمانی ناسازگار است توسط داده می شود قضیه کرونکر - کاپلی:
برای اینکه یک سیستم معادلات p با n ناشناخته (p می تواند برابر با n باشد) سازگار باشد ، لازم و کافی است که رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد ، یعنی رتبه (A) = رتبه (T).

اجازه دهید با مثال کاربرد قضیه کرونکر - کاپلی را برای تعیین سازگاری یک سیستم معادلات خطی در نظر بگیریم.

مثال.

دریابید که آیا سیستم معادلات خطی دارای است یا خیر راه حل ها

راه حل.

... بیایید از روش خردسالان هم مرز استفاده کنیم. جزئی از مرتبه دوم غیر صفر بیایید خردسالان مرتبه سوم هم مرز را با هم مرتب کنیم:

از آنجا که همه خردسالان همجوار مرتبه سوم برابر صفر هستند ، رتبه ماتریس اصلی برابر دو است.

به نوبه خود ، رتبه ماتریس توسعه یافته است برابر سه است ، از نظر درجه سوم جزئی

غیر صفر

بدین ترتیب، Rang (A) ، بنابراین ، توسط قضیه کرونکر - کاپلی ، می توان نتیجه گرفت که سیستم اصلی معادلات خطی ناسازگار است.

پاسخ:

سیستم هیچ راه حلی ندارد.

بنابراین ، ما آموخته ایم که ناسازگاری سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر - کاپلی ثابت کنیم.

اما چگونه می توان راه حلی برای SLAE یافت اگر سازگاری آن برقرار باشد؟

برای انجام این کار ، ما به مفهوم یک مینور اساسی یک ماتریس و یک قضیه در رتبه ماتریس نیاز داریم.

مینور بالاترین مرتبه ماتریس A ، غیر از صفر ، نامیده می شود پایه ای.

از تعریف مینور پایه نتیجه می گیرد که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس است. برای یک ماتریس غیر صفر A ، چندین خردسال اساسی وجود دارد ؛ همیشه یک جزئی جزئی وجود دارد.

به عنوان مثال ، ماتریس را در نظر بگیرید .

همه خردسالان درجه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند ، زیرا عناصر ردیف سوم این ماتریس مجموع عناصر مربوطه در ردیف اول و دوم است.

خردسالان درجه دوم زیر اساسی هستند ، زیرا صفر نیستند

خردسالان اساسی نیستند ، زیرا برابر با صفر هستند.

قضیه رتبه ماتریس

اگر رتبه ماتریسی از ترتیب p در n برابر r باشد ، همه عناصر سطرها (و ستون ها) ماتریس که مینور اصلی انتخاب شده را تشکیل نمی دهند به صورت خطی بر حسب عناصر متناظر ردیف ها بیان می شوند ( و ستونها) که مینور اصلی را تشکیل می دهند.

قضیه رتبه ماتریسی به ما چه می دهد؟

اگر با قضیه کرونکر - کاپلی ، سازگاری سیستم را برقرار کرده ایم ، سپس هر مینر اصلی ماتریس اساسی سیستم را انتخاب می کنیم (ترتیب آن r است) و همه معادلات تشکیل نشده را از سیستم حذف می کنیم. خردسال اصلی انتخاب شده SLAE بدست آمده از این طریق معادل اصلی خواهد بود ، زیرا معادلات دور انداخته شده هنوز اضافی هستند (با توجه به قضیه رتبه ماتریس ، آنها ترکیبی خطی از معادلات باقی مانده هستند).

در نتیجه ، پس از کنار گذاشتن معادلات غیر ضروری سیستم ، دو مورد امکان پذیر است.

اگر تعداد معادله r در سیستم حاصله برابر با تعداد متغیرهای ناشناخته باشد ، آنگاه قطعی است و تنها راه حل را می توان با روش کرامر ، روش ماتریس یا روش گاوس پیدا کرد.

مثال.

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر دو است ، زیرا مرتبه دوم جزئی است غیر صفر رتبه ماتریس تمدید شده همچنین برابر دو است ، زیرا تنها جزئی از مرتبه سوم برابر با صفر است

و مینور مرتبه دوم که در بالا در نظر گرفته شد صفر است. بر اساس قضیه کرونکر - کاپلی ، ما می توانیم سازگاری سیستم اصلی معادلات خطی را تأیید کنیم ، زیرا رتبه (A) = رتبه (T) = 2.

ما به عنوان یک مینور اساسی در نظر می گیریم ... این با ضرایب معادله اول و دوم شکل می گیرد:

معادله سوم سیستم در تشکیل جزئی اصلی مشارکت نمی کند ، بنابراین ، ما آن را بر اساس قضیه بر اساس ماتریس از سیستم حذف می کنیم:

به این ترتیب ما یک سیستم ابتدایی از معادلات جبری خطی را بدست آوردیم. اجازه دهید آن را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:

پاسخ:

x 1 = 1 ، x 2 = 2.

اگر تعداد معادله r در SLAE بدست آمده کمتر از تعداد متغیرهای ناشناخته n باشد ، در سمت چپ معادلات اصطلاحاتی را که جزئی اصلی را تشکیل می دهند باقی می گذاریم ، بقیه اصطلاحات به راست منتقل می شوند- طرف معادلات سیستم با علامت مخالف.

متغیرهای ناشناخته (r آنها وجود دارد) که در سمت چپ معادلات باقی مانده اند ، نامیده می شوند اصلی.

متغیرهای ناشناخته (قطعات n - r وجود دارد) که در سمت راست ظاهر می شوند ، نامیده می شوند رایگان.

حال فرض می کنیم که متغیرهای ناشناخته رایگان می توانند مقادیر دلخواه بگیرند و r متغیرهای ناشناخته اساسی بر حسب متغیرهای ناشناخته آزاد به روشی منحصر به فرد بیان می شوند. بیان آنها را می توان با حل SLAE بدست آمده با روش Cramer ، روش ماتریس یا روش Gauss پیدا کرد.

بیایید مثال بزنیم.

مثال.

سیستم معادلات جبری خطی را حل کنید .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم را بیابید به روش مرزبندی با خردسالان ما یک 1 1 = 1 را به عنوان یک مینور مرتبه اول غیر صفر در نظر می گیریم. بیایید به دنبال یک مینور درجه دوم غیر صفر بگردیم که این مینور را احاطه کرده است:

به این ترتیب ما یک مینور درجه دوم غیر صفر پیدا کردیم. بیایید شروع به جستجوی یک مرتبه سوم غیر صفر خرد کنیم:

بنابراین ، رتبه ماتریس اصلی سه است. رتبه ماتریس توسعه یافته نیز سه است ، یعنی سیستم سازگار است.

ما مینور مرتبه سوم یافت شده غیر صفر را به عنوان اصلی در نظر می گیریم.

برای وضوح ، ما عناصری را نشان می دهیم که جزئی اصلی را تشکیل می دهند:

ما در سمت چپ معادلات سیستم اصطلاحات مربوط به جزئی اساسی را می گذاریم ، بقیه با علائم مخالف به طرف راست منتقل می شوند:

اجازه دهید مقادیر دلخواه را به متغیرهای ناشناخته رایگان x 2 و x 5 اختصاص دهیم ، یعنی می گیریم ، اعداد دلخواه کجا هستند. در این مورد ، SLAE شکل می گیرد

سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی با روش کرامر حل می شود:

از این رو ،.

فراموش نکنید که متغیرهای ناشناخته رایگان را در پاسخ خود نشان دهید.

پاسخ:

اعداد دلخواه کجا هستند.

خلاصه کنید.

برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی با شکل کلی ، ابتدا سازگاری آن را با استفاده از قضیه کرونکر - کاپلی می یابیم. اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر نباشد ، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است.

اگر رتبه ماتریس اصلی برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد ، ما مینور اصلی را انتخاب می کنیم و معادلات سیستم را که در شکل گیری مینور اساسی انتخاب شده مشارکت ندارند کنار می گذاریم.

اگر ترتیب مینور پایه برابر تعداد متغیرهای ناشناخته باشد ، SLAE یک راه حل منحصر به فرد دارد که با هر روش شناخته شده ای آن را پیدا می کنیم.

اگر ترتیب مینور پایه از تعداد متغیرهای ناشناخته کمتر باشد ، در سمت چپ معادلات سیستم ، شرایط را با متغیرهای ناشناخته اساسی می گذاریم ، عبارات باقی مانده را به سمت راست منتقل می کنیم و به متغیرهای ناشناخته آزاد مقادیر دلخواه بدهید. از سیستم معادلات خطی ، متغیرهای ناشناخته اصلی را با روش کرامر ، روش ماتریس یا روش گاوس پیدا می کنیم.

روش گاوس برای حل سیستمهای معادلات جبری خطی با شکل کلی.

از روش گاوس می توان برای حل معادلات جبری خطی از هر نوع بدون بررسی اولیه سازگاری آنها استفاده کرد. فرآیند حذف پی در پی متغیرهای ناشناخته امکان نتیجه گیری از سازگاری و ناسازگاری SLAE را فراهم می آورد و در صورت وجود راه حل ، یافتن آن را ممکن می سازد.

از نظر کار محاسباتی ، روش گاوسی ترجیح داده می شود.

تماشا کنید توصیف همراه با جزئیاتو مثالهایی را در مقاله روش گاوس برای حل سیستمهای معادلات جبری خطی با شکل کلی مورد بحث قرار داد.

نوشتن راه حل کلی سیستم های جبری خطی همگن و ناهمگن با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها.

در این بخش ، ما بر روی سیستم های همگن و ناهمگن سازگار معادلات جبری خطی با مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها تمرکز می کنیم.

بیایید ابتدا با سیستم های همگن برخورد کنیم.

سیستم تصمیم گیری اساسییک سیستم همگن از معادلات جبری خطی p با n متغیرهای ناشناخته مجموعه (n - r) راه حل های مستقل خطی این سیستم است ، که در آن r ترتیب مینور اساسی ماتریس اساسی سیستم است.

اگر راه حلهای مستقل خطی یک SLAE همگن را X (1) ، X (2) ،… ، X (nr) (X (1) ، X (2) ،… ، X (nr) n-by-1 نشان دهیم ماتریس ستون) ، سپس راه حل کلی این سیستم همگن به صورت ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها با ضرایب ثابت دلخواه С 1 ، С 2 ، ... ، С (nr) ، یعنی ، نشان داده می شود.

اصطلاح حل کلی سیستم همگن معادلات جبری خطی (اوروسلاو) به چه معناست؟

معنی ساده است: فرمول تمام راه حل های ممکن برای SLAE اصلی را مشخص می کند ، به عبارت دیگر ، با توجه به فرمول ما ، مجموعه ای از مقادیر ثابتهای دلخواه С 1 ، С 2 ، ... ، С (nr) را در نظر بگیرید. یکی از راه حل های SLAE همگن اصلی را بدست آورید.

بنابراین ، اگر یک سیستم اساسی از راه حل ها پیدا کنیم ، می توانیم تمام راه حل های این SLAE همگن را به عنوان مشخص کنیم.

اجازه دهید روند ایجاد یک سیستم اساسی راه حل برای SLAE همگن را نشان دهیم.

ما جزئی اصلی سیستم اصلی معادلات خطی را انتخاب می کنیم ، همه معادلات دیگر را از سیستم حذف می کنیم و همه اصطلاحات حاوی متغیرهای ناشناخته آزاد را به سمت راست معادلات سیستم با علائم مخالف منتقل می کنیم. اجازه دهید مقادیر 1،0،0 ، ... ، 0 را به متغیرهای ناشناخته رایگان بدهیم و با حل سیستم ابتدایی بدست آمده از معادلات خطی به هر نحوی ، به عنوان مثال ، به روش کرامر ، مجهولات اصلی را محاسبه کنیم. این X (1) را ارائه می دهد - اولین راه حل برای سیستم اساسی. اگر مقادیر مجهولات رایگان را 0،1،0،0 ،… ، 0 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم ، X (2) را دریافت می کنیم. و غیره. اگر مقادیر 0.0 ، ... ، 0.1 را به متغیرهای ناشناخته آزاد بدهیم و مجهولات اساسی را محاسبه کنیم ، X (n-r) را بدست می آوریم. به این ترتیب سیستم اساسی راه حل های یک SLAE همگن ساخته می شود و راه حل کلی آن را می توان به شکل نوشت.

برای سیستمهای ناهمگن معادلات جبری خطی ، راه حل کلی به شکل نشان داده می شود ، جایی که محلول کلی سیستم همگن مربوطه است و محلول خاص SLAE ناهمگن اصلی است ، که با دادن مقادیر ناشناخته های آزاد به دست می آوریم. 0،0 ، ... ، 0 و محاسبه مقادیر مجهولات اصلی.

بیایید نگاهی به نمونه ها بیندازیم.

مثال.

سیستم بنیادی راه حل ها و راه حل کلی سیستم همگن معادلات جبری خطی را بیابید .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستمهای همگن معادلات خطی همیشه برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته است. اجازه دهید رتبه ماتریس اصلی را با روش خردسالان هم مرز پیدا کنیم. به عنوان یک مینور مرتبه اول غیر صفر ، ما عنصر a 1 1 = 9 ماتریس اصلی سیستم را می گیریم. یک مینور درجه دوم غیر صفر پیدا کنید:

یک صغیر درجه دوم غیر صفر پیدا شد. بیایید از طریق خردسالان درجه سوم که در مرز آن قرار دارند در جستجوی یک غیر صفر برویم:

همه خردسالان هم مرز از مرتبه سوم برابر صفر هستند ، بنابراین ، رتبه ماتریس های اصلی و توسعه یافته برابر با دو است. به عنوان یک خردسال اساسی در نظر بگیرید. برای وضوح ، ما به عناصر سیستم تشکیل دهنده آن توجه می کنیم:

معادله سوم SLAE اصلی در تشکیل جزئی اصلی مشارکت نمی کند ، بنابراین ، می توان آن را حذف کرد:

ما در سمت راست معادلات اصطلاحاتی را که شامل مجهولات اصلی است ، و در سمت راست اصطلاحات را با مجهولات رایگان منتقل می کنیم:

اجازه دهید یک سیستم اساسی از راه حل ها برای سیستم همگن اصلی معادلات خطی بسازیم. سیستم اساسی راه حل های این SLAE شامل دو راه حل است ، زیرا SLAE اصلی شامل چهار متغیر ناشناخته است و ترتیب جزئی اصلی آن دو است. برای پیدا کردن X (1) ، مقادیر x 2 = 1 ، x 4 = 0 را به متغیرهای ناشناخته رایگان اختصاص می دهیم ، سپس مجهولات اصلی سیستم معادلات را پیدا می کنیم.
.

اجازه دهید آن را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:

بدین ترتیب، .

اکنون X (2) را می سازیم. برای انجام این کار ، مقادیر x 2 = 0 ، x 4 = 1 را به متغیرهای ناشناخته رایگان اختصاص می دهیم ، سپس ناشناخته های اصلی را از سیستم معادلات خطی پیدا می کنیم
.

بیایید دوباره از روش کرامر استفاده کنیم:

دریافت می کنیم.

بنابراین ما دو بردار از سیستم بنیادی راه حل ها دریافت کردیم و اکنون می توانیم راه حل کلی سیستم همگن معادلات جبری خطی را بنویسیم:

، جایی که C1 و C2 اعداد دلخواه هستند.برابر با صفر هستند ما همچنین جزئی را به عنوان اصلی در نظر می گیریم ، معادله سوم را از سیستم حذف می کنیم و اصطلاحات با مجهولات رایگان را به سمت راست معادلات سیستم منتقل می کنیم:

برای پیدا کردن ، مقادیر x 2 = 0 و x 4 = 0 را به متغیرهای ناشناخته رایگان می دهیم ، سپس سیستم معادلات شکل می گیرد ، از آنجا متغیرهای ناشناخته اصلی را با روش کرامر پیدا می کنیم:

ما داریم ، از این رو ،

جایی که C1 و C2 اعداد دلخواه هستند.

لازم به ذکر است که راه حلهای سیستم همگن نامعین معادلات جبری خطی فضای خطی

راه حل.

معادله متعارف بیضی در سیستم مختصات مستطیلی مستطیلی شکل دارد ... وظیفه ما تعیین پارامترهای a ، b و c است. از آنجا که بیضی از نقاط A ، B و C عبور می کند ، هنگام جایگزینی مختصات آنها در معادله متعارف بیضی ، باید به هویت تبدیل شود. بنابراین ما یک سیستم سه معادله دریافت می کنیم:

نشان می دهیم ، سپس سیستم به یک سیستم از معادلات جبری خطی تبدیل می شود .

اجازه دهید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم را محاسبه کنیم:

از آنجا که غیر صفر است ، می توانیم راه حل را با روش کرامر پیدا کنیم:
) بدیهی است که x = 0 و x = 1 ریشه های این چند جمله ای هستند. ضریب تقسیم بر هست یک . بنابراین ، ما یک بسط داریم و عبارت اصلی شکل می گیرد .

بیایید از روش ضرایب نامشخص استفاده کنیم.

با محاسبه ضرایب مربوطه از شمارنده ها ، به سیستم معادلات جبری خطی می رسیم ... راه حل آن ضرایب نامشخص A ، B ، C و D را به ما می دهد.

بیایید سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنیم:

در دوره معکوس روش گاوس ، D = 0 ، C = -2 ، B = 1 ، A = 1 را می یابیم.

ما گرفتیم

پاسخ:

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در صنعت اقتصادی در مدل سازی ریاضی فرایندهای مختلف استفاده می شوند. به عنوان مثال ، هنگام حل مشکلات مدیریت و برنامه ریزی تولید ، مسیرهای تدارکات (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادله نه تنها در زمینه ریاضیات ، بلکه در فیزیک ، شیمی و زیست شناسی نیز برای حل مشکلات یافتن اندازه جمعیت استفاده می شوند.

یک سیستم معادلات خطی دو یا چند معادله با چند متغیر نامیده می شود که برای آنها یافتن یک راه حل کلی ضروری است. چنین دنباله ای از اعداد که همه معادلات برای آنها برابر می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax + by = c خطی نامیده می شود. نماد x ، y ناشناخته است ، مقدار آن باید پیدا شود ، b ، a ضرایب متغیرها هستند ، c عبارت آزاد معادله است.
راه حل معادله با رسم نمودار آن به شکل یک خط مستقیم خواهد بود که همه نقاط آن راه حل چند جمله ای است.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده ترین مثالها سیستمهای معادلات خطی با دو متغیر X و Y در نظر گرفته می شوند.

F1 (x ، y) = 0 و F2 (x ، y) = 0 ، که F1،2 توابع و (x ، y) متغیرهای تابع هستند.

حل سیستم معادلات - این به معنی یافتن چنین مقادیری (x ، y) است که در آنها سیستم به برابری واقعی تبدیل می شود ، یا ثابت می کند که مقادیر مناسبی برای x و y وجود ندارد.

یک جفت مقدار (x ، y) ، که به عنوان مختصات یک نقطه نوشته می شود ، راه حل سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا راه حل وجود نداشته باشد ، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند که سمت راست آنها برابر با صفر است. اگر قسمت راست بعد از علامت "برابر" دارای مقدار باشد یا با یک تابع بیان شود ، چنین سیستمی ناهمگن است.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد ، سپس باید در مورد نمونه ای از سیستم معادلات خطی با سه یا چند متغیر صحبت کنیم.

هنگام مواجهه با سیستم ها ، دانش آموزان فرض می کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهولات مطابقت داشته باشد ، اما اینطور نیست. تعداد معادلات موجود در سیستم به متغیرها بستگی ندارد ، هر تعداد که دوست دارید می تواند وجود داشته باشد.

روشهای ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل چنین سیستم هایی وجود ندارد ؛ همه روش ها بر اساس راه حل های عددی است. دوره ریاضیات مدرسه روش هایی مانند جایگزینی ، جمع جبری ، جایگزینی و همچنین روش گرافیکی و ماتریسی ، راه حل با روش گاوس را به تفصیل شرح می دهد.

وظیفه اصلی در آموزش روش های حل ، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن الگوریتم بهینه راه حل برای هر مثال است. نکته اصلی این نیست که سیستم قوانین و اقدامات برای هر روش را حفظ کنید ، بلکه اصول استفاده از یک روش خاص را درک کنید.

حل مثالهایی از سیستمهای معادلات خطی کلاس 7 برنامه مدرسه جامعبسیار ساده و با جزئیات عالی توضیح داده شده است. در هر کتاب درسی ریاضیات ، به این قسمت توجه کافی شده است. حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با روش گاوس و کرامر در سالهای اول موسسات آموزش عالی با جزئیات بیشتری مورد مطالعه قرار گرفته است.

حل سیستمها با روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان ارزش یک متغیر بر حسب دوم است. این عبارت در معادله باقیمانده جایگزین می شود ، سپس به یک فرم با یک متغیر کاهش می یابد. بسته به تعداد مجهولات موجود در سیستم ، عمل تکرار می شود

اجازه دهید یک مثال از سیستم معادلات خطی کلاس 7 را با روش جایگزینی ارائه دهیم:

همانطور که در مثال مشاهده می کنید ، متغیر x از طریق F (X) = 7 + Y بیان شد. عبارت حاصله ، که در معادله دوم سیستم به جای X جایگزین شده است ، به دست آوردن یک متغیر Y در معادله دوم کمک کرد. به راه حل این مثال هیچ مشکلی ایجاد نمی کند و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحله بررسی مقادیر بدست آمده است.

همیشه نمی توان نمونه ای از سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان یک متغیر بر حسب ناشناخته دوم برای محاسبات بیشتر بسیار دشوار خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 ناشناخته در سیستم وجود دارد ، راه حل جایگزینی نیز غیر عملی است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

محلول جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل سیستم ها با روش جمع ، جمع بر حسب مدت و ضرب معادلات بر اعداد مختلف... هدف نهایی عملیات ریاضی یک معادله در یک متغیر است.

برای برنامه های کاربردی این روشتمرین و مشاهده ضروری است حل یک سیستم معادلات خطی با روش جمع با تعداد متغیرهای 3 یا بیشتر آسان نیست. هنگامی که کسرها و اعداد اعشاری در معادلات وجود دارد ، می توان از جمع جبری استفاده کرد.

الگوریتم اقدام راه حل:

هر دو طرف معادله را با عددی ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی ، یکی از ضرایب متغیر باید برابر 1 شود.
عبارت به دست آمده را با عبارت اضافه کنید و یکی از موارد ناشناخته را بیابید.
مقدار بدست آمده را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقی مانده را بیابید.

راه حل با معرفی متغیر جدید

اگر سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای بیش از دو معادله نداشته باشد ، می توان متغیر جدیدی را معرفی کرد ، تعداد ناشناخته ها نیز نباید بیش از دو باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با وارد کردن یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید با توجه به ناشناخته وارد شده حل می شود و مقدار حاصله برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

مثال نشان می دهد که با معرفی متغیر جدید t ، می توان معادله اول سیستم را به یک سه ضلعی درجه دوم استاندارد کاهش داد. با یافتن ممیز می توانید چند جمله ای را حل کنید.

لازم است مقدار متمایز کننده را با توجه به فرمول معروف پیدا کنید: D = b2 - 4 * a * c ، جایی که D متمایز کننده مورد نیاز است ، b ، a ، c عوامل چند جمله ای هستند. در مثال داده شده ، a = 1 ، b = 16 ، c = 39 ، بنابراین ، D = 100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد ، دو راه حل وجود دارد: t = -b ± √D / 2 * a ، اگر متمایز کمتر از صفر باشد ، یک راه حل وجود دارد: x = -b / 2 * a.

راه حل سیستمهای حاصله با روش افزودن یافت می شود.

روش تصویری برای حل سیستم ها

مناسب برای سیستم های دارای 3 معادله. این روش شامل ترسیم محور مختصات نمودارهای هر معادله موجود در سیستم است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تفاوت های ظریف است. بیایید چند مثال از حل سیستمهای معادلات خطی را به صورت تصویری در نظر بگیریم.

همانطور که در مثال مشاهده می کنید ، برای هر خط مستقیم دو نقطه ساخته شد ، مقادیر متغیر x به طور دلخواه انتخاب شدند: 0 و 3. بر اساس مقادیر x ، مقادیر y پیدا شد : 3 و 0. نقاط با مختصات (0 ، 3) و (3 ، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شده اند.

مراحل برای معادله دوم باید تکرار شود. نقطه تقاطع خطوط ، راه حل سیستم است.

در مثال زیر ، شما باید یک راه حل گرافیکی برای یک سیستم معادلات خطی پیدا کنید: 0.5x-y + 2 = 0 و 0.5x-y-1 = 0.

همانطور که در مثال مشاهده می کنید ، سیستم راه حلی ندارد ، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی شوند.

سیستمهای مثالهای 2 و 3 مشابه هستند ، اما هنگام ساخت آن مشخص می شود که راه حلهای آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان تشخیص داد که آیا سیستم راه حلی دارد یا خیر ، همیشه ساختن نمودار ضروری است.

ماتریس و انواع آن

ماتریس ها برای نوشتن مختصری از سیستم معادلات خطی استفاده می شوند. ماتریس جدولی از نوع خاصی است که پر از اعداد است. n * m دارای n - سطر و m - ستون است.

ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و سطرها برابر یکدیگر باشند. ماتریس بردار یک ماتریس تک ستونی با تعداد بی نهایت ردیف است. ماتریسی که دارای یکی در امتداد یکی از قطرها و سایر عناصر صفر است ، ماتریس هویت نامیده می شود.

ماتریس معکوس چنین ماتریسی است ، وقتی ضرب در آن ماتریس اصلی به ماتریس هویت تبدیل شود ، چنین ماتریسی فقط برای مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل سیستم معادلات به ماتریس

همانطور که در سیستم معادلات اعمال می شود ، ضرایب و عبارات آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریس نوشته می شوند ، یک معادله یک ردیف ماتریس است.

اگر حداقل یک عنصر از سطر غیر صفر باشد ، یک سطر ماتریسی غیر صفر نامیده می شود. بنابراین ، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد ، لازم است به جای مجهول گمشده صفر بنویسید.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشد. این بدان معناست که ضرایب متغیر x را می توان فقط در یک ستون نوشت ، به عنوان مثال ، اولین ، ضریب y ناشناخته - فقط در دومین ستون.

هنگام ضرب ماتریس ، تمام عناصر ماتریس به ترتیب در یک عدد ضرب می شوند.

انواع یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / | K | ، جایی که K -1 ماتریس معکوس است و | K | تعیین کننده ماتریس است. | K | نباید صفر باشد ، پس سیستم راه حلی دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود ، شما فقط باید عناصر مورب را در یکدیگر ضرب کنید. برای گزینه "سه در سه" ، فرمول وجود دارد | K | = a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1. می توانید از فرمول استفاده کنید ، یا می توانید به خاطر داشته باشید که باید یک عنصر از هر سطر و هر ستون بردارید تا تعداد ستون ها و سطرهای عناصر در محصول تکرار نشوند.

حل مثالهای سیستمهای معادلات خطی با روش ماتریس

روش ماتریسی یافتن راه حل به فرد این امکان را می دهد که هنگام حل سیستم ها با تعداد زیادی متغیر و معادله ، سوابق سنگین را کاهش دهد.

در مثال ، یک nm ضرایب معادلات است ، ماتریس یک بردار است x n متغیرها و b n عبارتهای آزاد هستند.

راه حل های سیستم های گاوسی

در ریاضیات عالی ، روش گاوس همراه با روش کرامر مورد مطالعه قرار می گیرد و فرایند یافتن راه حلی برای سیستم ها روش گاوس کرامر نامیده می شود. این روشها برای یافتن سیستمهای متغیر با تعداد زیادی معادله خطی استفاده می شود.

روش گاوس بسیار شبیه به جایگزینی و راه حلهای جمع جبری است ، اما سیستماتیک تر است. در دوره مدرسه ، راه حل گوسی برای سیستم های 3 و 4 معادله استفاده می شود. هدف از این روش این است که سیستم را شبیه ذوزنقه ای وارونه جلوه دهد. مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم با تبدیل و جایگزینی جبری بدست می آید. معادله دوم یک عبارت با 2 مجهول است ، اما 3 و 4 - به ترتیب با 3 و 4 متغیر.

پس از رساندن سیستم به شکل توصیف شده ، راه حل بیشتر به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

در کتابهای درسی مدرسه برای کلاس 7 ، نمونه ای از راه حل به روش گاوس به شرح زیر شرح داده شده است:

همانطور که در مثال مشاهده می کنید ، در مرحله (3) دو معادله به دست آمد: 3x 3 -2x 4 = 11 و 3x 3 + 2x 4 = 7. راه حل هر یک از معادلات به شما این امکان را می دهد که یکی از متغیرهای x n را بیابید.

قضیه 5 ، که در متن ذکر شده است ، بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی معادل جایگزین شود ، سیستم حاصله نیز معادل سیستم اصلی خواهد بود.

درک روش گاوس برای دانش آموزان دشوار است دبیرستاناما یکی از سرگرم کننده ترین روش ها برای تقویت هوش کودکان در کلاس های ریاضی و فیزیک پیشرفته است.

برای سادگی محاسبه ضبط ، معمولاً موارد زیر را انجام دهید:

ضرایب معادلات و عبارات آزاد در قالب یک ماتریس نوشته می شوند ، جایی که هر سطر ماتریس مربوط به یکی از معادلات سیستم است. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی تعداد معادلات موجود در سیستم را نشان می دهد.

ابتدا ماتریسی را که می خواهید با آن کار کنید ، و سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از خطوط را بنویسید. ماتریس حاصله پس از علامت پیکان نوشته شده و اقدامات جبری لازم تا حصول نتیجه ادامه می یابد.

در نتیجه ، ماتریسی باید بدست آید که در آن یکی از موربها 1 است و سایر ضرایب دیگر برابر صفر است ، یعنی ماتریس به یک شکل واحد آورده می شود. فراموش نکنید که محاسبات را با اعداد دو طرف معادله انجام دهید.

این روش ضبط کمتر دست و پا گیر است و به شما این امکان را می دهد که با شمارش ناشناخته های متعدد حواس شما را پرت نکند.

استفاده رایگان از هر راه حل نیاز به مراقبت و تجربه خاصی دارد. همه روشها ماهیت کاربردی ندارند. برخی از راه های یافتن راه حل ها در این زمینه دیگر از فعالیت های انسانی ترجیح داده می شود ، در حالی که برخی دیگر برای اهداف آموزشی وجود دارد.

با این حال ، در عمل ، دو مورد دیگر گسترده است:

- سیستم ناسازگار است (راه حلی ندارد) ؛
- سیستم سازگار است و بی نهایت راه حل دارد.

توجه داشته باشید : اصطلاح "قابلیت همکاری" نشان می دهد که سیستم حداقل راه حلی دارد. در تعدادی از وظایف ، لازم است ابتدا سیستم را برای سازگاری بررسی کنید ، چگونه این کار را انجام دهید - مقاله را در مورد ببینید رتبه ماتریس ها.

برای این سیستمها ، از همه روشهای راه حل جهانی ترین استفاده می شود - روش گاوس... در واقع ، روش "مدرسه" منجر به پاسخ می شود ، اما در ریاضیات بالاتر مرسوم است که از روش گاوسی برای حذف پی در پی ناشناخته ها استفاده شود. کسانی که با الگوریتم روش گاوسی آشنایی ندارند ، لطفاً ابتدا درس را مطالعه کنید روش گاوسی برای آدمک ها.

خود دگرگونی های ماتریس ابتدایی دقیقاً یکسان هستند، تفاوت در پایان راه حل خواهد بود. بیایید ابتدا چند مثال را در نظر بگیریم که سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار).

مثال 1

چه چیزی بلافاصله توجه شما را در این سیستم جلب می کند؟ تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها است. اگر تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها باشد، بلافاصله می توان گفت که سیستم یا ناسازگار است یا راه حل های بی نهایت دارد. و فقط برای کشف آن باقی مانده است.

شروع راه حل کاملاً معمولی است - ما ماتریس گسترده سیستم را می نویسیم و با استفاده از تغییرات اولیه ، آن را به صورت مرحله ای می آوریم:

(1) در بالا سمت چپ ، ما باید +1 یا -1 را بدست آوریم. چنین اعدادی در ستون اول وجود ندارد ، بنابراین ترتیب مجدد سطرها هیچ کاری انجام نمی دهد. واحد باید مستقل سازماندهی شود ، و این را می توان به روش های مختلف انجام داد. من این کار را کردم: به خط اول ، خط سوم ضرب در -1 را اضافه می کنیم.

(2) حالا در ستون اول دو صفر می گیریم. به خط دوم ، خط اول ضرب در 3 را اضافه می کنیم. به خط سوم ، خط اول ضرب در 5 را اضافه می کنیم.

(3) پس از تحول انجام شده ، همیشه توصیه می شود نگاه کنید ، و آیا می توان خطوط حاصله را ساده کرد؟ می توان. ردیف دوم را بر 2 تقسیم کنید ، در مرحله دوم -1 دلخواه را بدست آورید. ردیف سوم را بر 3 تقسیم کنید.

(4) خط دوم را به خط سوم اضافه کنید.

احتمالاً همه به خط بدی که در نتیجه تحولات اولیه بوجود آمد توجه کردند: ... واضح است که چنین چیزی نمی تواند باشد. در واقع ، ما ماتریس حاصله را بازنویسی می کنیم بازگشت به سیستم معادلات خطی:

اگر در نتیجه دگرگونی های اولیه ، رشته ای از فرم ، که در آن یک عدد غیر صفر است ، بدست آید ، سیستم ناسازگار است (هیچ راه حلی ندارد).

چگونه می توان پایان کار را ضبط کرد؟ بیایید با گچ سفید رسم کنیم: "در نتیجه تحولات ابتدایی ، یک خط از فرم ، جایی که" به دست آمد و پاسخ دهید: سیستم راه حل ندارد (ناسازگار).

اگر با توجه به شرط لازم است که سیستم را برای سازگاری جستجو کنید ، پس لازم است با دخالت مفهوم یک راه حل به سبک محکم تری صادر کنید رتبه ماتریس و قضیه کرونکر-کاپلی.

لطفاً توجه داشته باشید که هیچ عقب نشینی گاوس در اینجا وجود ندارد - هیچ راه حلی وجود ندارد و به سادگی چیزی برای یافتن وجود ندارد.

مثال 2

سیستم معادلات خطی را حل کنید

این یک مثال برای راه حل خودتان است. راه حل کامل و پاسخ در پایان آموزش. مجدداً به شما یادآوری می کنم که دوره تصمیم گیری شما ممکن است با دوره تصمیم گیری من متفاوت باشد ، الگوریتم گاوس "سختی" قوی ندارد.

یکی دیگه ویژگی فنیراه حل ها: تحولات اولیه را می توان متوقف کرد بلافاصله. مستقیما، به محض ظاهر شدن خط فرم ، کجا. در نظر گرفتن مثال مشروط: فرض کنید که پس از اولین تبدیل ماتریس بدست می آید ... ماتریس هنوز به شکل پله ای کاهش نیافته است ، اما نیازی به تغییرات ابتدایی بیشتر نیست ، زیرا خطی از فرم ظاهر شد ، جایی که. شما باید فوراً پاسخ دهید که سیستم ناسازگار است.

هنگامی که یک سیستم معادلات خطی هیچ راه حلی ندارد ، این تقریباً یک هدیه است ، زیرا یک راه حل کوتاه به دست می آید ، گاهی اوقات به معنای واقعی کلمه در 2-3 مرحله.

اما همه چیز در این جهان متعادل است و مشکلی که سیستم در آن بی نهایت راه حل دارد فقط طولانی تر است.

مثال 3

سیستم معادلات خطی را حل کنید

4 معادله و 4 مجهول وجود دارد ، بنابراین سیستم می تواند یا یک راه حل واحد داشته باشد ، یا هیچ راه حلی نداشته باشد ، یا بی نهایت راه حل داشته باشد. به هر حال ممکن است ، اما روش گاوس به هر حال ما را به پاسخ می رساند. این همه کاره بودن آن است.

شروع دوباره استاندارد است. اجازه دهید ماتریس گسترده سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های اولیه ، آن را به صورت مرحله ای بدست آوریم:

این همه ، و شما ترسیدید.

(1) توجه داشته باشید که همه اعداد موجود در ستون اول بر 2 بخش پذیر هستند ، بنابراین ما از دو عدد در بالا سمت چپ راضی هستیم. به خط دوم ، خط اول ضرب در -4 را اضافه کنید. به خط سوم ، خط اول ضرب در -2 را اضافه کنید. به خط چهارم ، خط اول ضرب در -1 را اضافه کنید.

توجه!بسیاری ممکن است از خط چهارم وسوسه شوند کم کردنخط اول. این را می توان انجام داد ، اما لازم نیست ، تجربه نشان می دهد که احتمال خطا در محاسبات چندین برابر می شود. فقط اضافه کنید: به خط چهارم ، اولین خط ضرب شده در -1 را اضافه کنید - دقیقا!

(2) سه خط آخر متناسب هستند ، دو خط آنها را می توان حذف کرد.

در اینجا دوباره باید نشان دهید توجه بیشتر، اما آیا خطوط واقعاً متناسب هستند؟ برای ایمن بودن (مخصوصاً برای یک قوری) اضافی نخواهد بود که خط دوم را در -1 ضرب کرده و خط چهارم را بر 2 تقسیم کرده و سه خط یکسان ایجاد شود. و فقط پس از آن دو مورد از آنها را حذف کنید.

در نتیجه تحولات ابتدایی ، ماتریس منبسط شده سیستم به صورت مرحله ای کاهش می یابد:

هنگام پر کردن یک کار در دفترچه یادداشت ، توصیه می شود برای وضوح همان یادداشت ها را با مداد یادداشت کنید.

بیایید سیستم معادلات مربوطه را بازنویسی کنیم:

تنها راه حل سیستم در اینجا بوی "معمولی" نمی دهد. خط بدی نیز وجود ندارد. این بدان معناست که این سومین مورد باقی مانده است - سیستم بی نهایت راه حل دارد. گاهی اوقات ، به شرط نیاز به بررسی سازگاری سیستم (یعنی برای اثبات وجود راه حل به طور کلی) ، می توانید در آخرین پاراگراف مقاله در این مورد بخوانید چگونه می توانم رتبه ماتریس را پیدا کنم؟اما در حال حاضر ، ما اصول اولیه را تجزیه و تحلیل می کنیم:

تعداد نامحدودی از راه حل های سیستم به طور خلاصه در قالب به اصطلاح نوشته شده است راه حل کلی سیستم .

راه حل کلی سیستم را با استفاده از روش معکوس روش گاوس پیدا خواهیم کرد.

ابتدا باید تعیین کنیم که کدام متغیرها را داریم پایه ایو کدام متغیرها رایگان... لازم نیست با اصطلاحات جبر خطی اذیت شوید ، کافی است به یاد داشته باشید که چنین مواردی وجود دارد متغیرهای اساسیو متغیرهای رایگان.

متغیرهای اساسی همیشه به شدت روی مراحل ماتریس "می نشینند".
در این مثال ، متغیرهای اساسی عبارتند از و

متغیرهای رایگان همه چیز هستند باقی ماندهمتغیرهایی که درجه بندی نشده اند در مورد ما ، دو مورد از آنها وجود دارد: - متغیرهای رایگان.

حالا شما نیاز دارید همه متغیرهای اساسیعنوان کردن فقط از طریق متغیرهای رایگان.

برعکس الگوریتم گوسی به طور سنتی از پایین به بالا کار می کند.
از معادله دوم سیستم ، متغیر اساسی را بیان می کنیم:

حالا بیایید به اولین معادله نگاه کنیم: ... ابتدا عبارت یافت شده را جایگزین آن می کنیم:

باقی مانده است که متغیر اساسی را از نظر متغیرهای آزاد بیان کنیم:

در نهایت ، ما به آنچه نیاز داریم رسیدیم - همهمتغیرها (ها) اساسی بیان می شوند فقط از طریقمتغیرهای رایگان:

در واقع ، راه حل کلی آماده است:

چگونه راه حل کلی را به درستی بنویسیم؟
متغیرهای رایگان در راه حل کلی "خود" و کاملاً در جای خود نوشته می شوند. در این حالت ، متغیرهای آزاد باید در موقعیت دوم و چهارم نوشته شوند:
.

عبارات به دست آمده برای متغیرهای اساسی و بدیهی است که باید در موقعیت های اول و سوم بنویسید:

دادن متغیرهای رایگان ارزشهای دلخواه، می توانید بی نهایت تعداد زیادی پیدا کنید راه حل های خصوصی... محبوب ترین مقادیر صفر هستند ، زیرا راه حل خاص ساده ترین است. بیایید در راه حل کلی جایگزین کنیم:

- راه حل خصوصی

واحدها یک زوج شیرین دیگر هستند ، بگذارید آنها را در راه حل کلی جایگزین کنیم:

- یک راه حل خاص دیگر

به راحتی می توان دریافت که سیستم معادلات دارای آن است بی نهایت راه حل(از آنجا که می توانیم متغیرهای رایگان ارائه دهیم هر کدامارزش های)

هر یکراه حل خاص باید راضی باشد به هرمعادله سیستم این اساس بررسی سریع "صحت محلول" است. برای مثال ، یک راه حل خاص را در نظر بگیرید و آن را در سمت چپ هر معادله در سیستم اصلی وصل کنید:

همه چیز باید در کنار هم قرار بگیرد. و با هر تصمیم خاصی که دریافت می کنید - همه چیز نیز باید به توافق برسد.

اما ، به طور دقیق ، بررسی یک راه حل خاص گاهی اوقات فریب می دهد ، به عنوان مثال راه حل خاصی می تواند هر معادله سیستم را برآورده کند ، اما خود راه حل کلی در واقع به اشتباه یافت می شود.

بنابراین ، بررسی راه حل کلی دقیق تر و قابل اطمینان تر است. نحوه بررسی محلول کلی حاصله ?

آسان است ، اما بسیار ترسناک است. شما باید عبارات را بگیرید پایه ایمتغیرها ، در این مورد و ، و آنها را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین کنید.

در سمت چپ اولین معادله سیستم:

در سمت چپ معادله دوم سیستم:

سمت راست معادله اصلی بدست آمده است.

مثال 4

سیستم را با استفاده از روش گوسی حل کنید. یک راه حل کلی و دو راه حل خاص پیدا کنید. راه حل کلی را بررسی کنید.

این یک مثال برای راه حل خودتان است. در اینجا ، به هر حال ، دوباره تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات است ، به این معنی که بلافاصله مشخص می شود که سیستم یا ناسازگار خواهد بود یا با مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها. چه چیزی در خود تصمیم گیری مهم است؟ توجه ، دوباره توجه... راه حل کامل و پاسخ در پایان آموزش.

و چند مثال دیگر برای تثبیت مطالب

مثال 5

سیستم معادلات خطی را حل کنید. اگر سیستم بی نهایت راه حل دارد ، دو راه حل خاص پیدا کنید و راه حل کلی را بررسی کنید

راه حل: اجازه دهید ماتریس گسترده سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های اولیه ، آن را به صورت گام به گام در آوریم:

(1) خط اول را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم ردیف اول ضرب در 2 را اضافه می کنیم. به خط چهارم ردیف اول ضرب در 3 را اضافه می کنیم.
(2) ردیف دوم ضرب شده در -5 را به خط سوم اضافه کنید. به خط چهارم ، خط دوم ضرب در -7 را اضافه کنید.
(3) خط سوم و چهارم یکسان هستند ، ما یکی از آنها را حذف می کنیم.

در اینجا چنین زیبایی وجود دارد:

متغیرهای اساسی در پله ها قرار می گیرند ، بنابراین متغیرهای اساسی.
فقط یک متغیر رایگان وجود دارد که در اینجا گامی نرفته است:

معکوس:
بیایید متغیرهای اساسی را بر حسب یک متغیر رایگان بیان کنیم:
از معادله سوم:

معادله دوم را در نظر بگیرید و عبارت یافت شده را جایگزین آن کنید:

معادله اول را در نظر بگیرید و عبارات یافت شده را جایگزین کنید:

بله ، ماشین حساب که کسرهای معمولی را شمارش می کند ، هنوز مفید است.

بنابراین راه حل کلی این است:

بار دیگر ، چگونه به وجود آمد؟ متغیر رایگان به تنهایی در جایگاه چهارم خود قرار دارد. عبارات حاصله برای متغیرهای اساسی نیز جایگاه اصلی خود را گرفتند.

بیایید بلافاصله راه حل کلی را بررسی کنیم. برای سیاه پوستان کار کنید ، اما من قبلاً آن را انجام داده ام ، بنابراین بگیر =)

ما سه قهرمان را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین می کنیم:

سمت راست مربوط به معادلات بدست آمده است ، بنابراین ، راه حل کلی به درستی یافت می شود.

اکنون از راه حل رایج یافت شده ما دو راه حل خاص دریافت می کنیم تنها متغیر رایگان سرآشپز اینجاست. لازم نیست سرت را بشکنی

بگذار ، پس - راه حل خصوصی
بگذار ، پس - یک راه حل خاص دیگر

پاسخ: تصمیم مشترک: ، راه حل های خاص: , .

من نباید درباره سیاهان اینجا به یاد می آوردم ... ... زیرا انواع و اقسام انگیزه های سادیستی وارد ذهن من شد و من به یاد وزغ قهوه ای معروف افتادم ، که در آن اعضای KKK Klan با لباس سفید در حال دویدن در سراسر میدان هستند. یک بازیکن فوتبال سیاه پوست نشسته ام و آرام لبخند می زنم. میدونی چقدر حواس پرت میشه….

بسیاری از ریاضیات مضر هستند ، بنابراین مثال نهایی مشابه برای راه حل خود شما.

مثال 6

راه حل کلی یک سیستم معادلات خطی را بیابید.

من قبلاً راه حل کلی را بررسی کرده ام ، می توان به پاسخ اعتماد کرد. دوره تصمیم گیری شما ممکن است با دوره تصمیم گیری من متفاوت باشد ، نکته اصلی این است که تصمیمات کلی با هم منطبق هستند.

احتمالاً ، بسیاری متوجه یک لحظه ناخوشایند در راه حل ها شده اند: اغلب ، در دوره معکوس روش گاوس ، ما مجبور بودیم با کسرهای معمولی... در عمل ، این درست است ، مواردی که هیچ کسری وجود ندارد بسیار کمتر رایج است. از نظر ذهنی و مهمتر از همه از نظر فنی آماده باشید.

من در مورد برخی از ویژگی های راه حل که در نمونه های حل شده یافت نشد ، متوقف می شوم.

راه حل کلی سیستم گاهی اوقات می تواند شامل یک ثابت (یا ثابت) باشد ، به عنوان مثال: در اینجا یکی از متغیرهای اساسی برابر یک عدد ثابت است :. هیچ چیز عجیب و غریبی در این مورد وجود ندارد ، این اتفاق می افتد. بدیهی است ، در این مورد ، هر محلول خاص حاوی A در موقعیت اول است.

به ندرت ، اما سیستم هایی وجود دارد که در آنها وجود دارد تعداد معادلات بیشتر از تعداد متغیرها است... روش گاوس در شدیدترین شرایط کار می کند ، باید با آرامش ماتریس منبسط شده سیستم را بر اساس الگوریتم استاندارد به صورت گام به گام کاهش داد. چنین سیستمی می تواند ناسازگار باشد ، می تواند بی نهایت راه حل داشته باشد و ، به طرز عجیبی ، می تواند یک راه حل واحد داشته باشد.

سیستم های مترمعادلات خطی با nناشناس.
حل یک سیستم معادلات خطیآیا چنین مجموعه ای از اعداد ( x 1 ، x 2 ، ... ، x n) ، هنگامی که در هر یک از معادلات سیستم جایگزین می شود ، برابری صحیح به دست می آید.
جایی که a ij ، i = 1 ، ... ، m ؛ j = 1 ،… ، n- ضرایب سیستم ؛
b i ، i = 1 ، ... ، m- اعضای رایگان ؛
x j ، j = 1 ، ... ، n- ناشناس.
سیستم فوق را می توان به شکل ماتریس نوشت: A X = B,

جایی که ( آ|ب) ماتریس اصلی سیستم است.
آ- ماتریس سیستم توسعه یافته ؛
ایکس- ستون مجهولات ؛
ب- ستون اعضای رایگان
اگر ماتریس بماتریس صفر نیست ، پس این سیستم معادلات خطی ناهمگن نامیده می شود.
اگر ماتریس ب= ∅ ، پس این سیستم معادلات خطی همگن نامیده می شود. یک سیستم همگن همیشه دارای راه حل صفر (بی اهمیت) است: x 1 = x 2 =… ، x n = 0.
سیستم مشترک معادلات خطییک سیستم معادلات خطی است که دارای راه حل است.
سیستم ناسازگار معادلات خطییک سیستم معادلات خطی است که راه حلی ندارد.
یک سیستم معادلات خطی مشخصیک سیستم معادلات خطی است که دارای یک راه حل منحصر به فرد است.
سیستم نامحدود معادلات خطییک سیستم معادلات خطی است که مجموعه ای بی نهایت از راه حل ها دارد.
سیستم های n معادلات خطی با n مجهول
اگر تعداد مجهولات برابر تعداد معادلات باشد ، ماتریس مربع است. تعیین کننده ماتریس را تعیین کننده اصلی سیستم معادلات خطی می نامند و با نماد Δ نشان داده می شود.
روش کرامربرای حل سیستم ها nمعادلات خطی با nناشناس.
قانون کرامر
اگر تعیین کننده اصلی یک سیستم معادلات خطی برابر صفر نباشد ، سیستم سازگار و تعریف شده است و تنها راه حل با فرمول های کرامر محاسبه می شود:
جایی که Δi - عوامل تعیین کننده از جایگزین اصلی از سیستم Δ بدست می آید منستون پنجم به ازای هر ستون عضو رایگان. ...
سیستم های m معادلات خطی با n ناشناخته
کرونکر - قضیه کاپلی.

برای اینکه یک سیستم معادلات خطی سازگار باشد ، لازم و کافی است که رتبه ماتریس سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم باشد ، rang (Α) = rang (Α | B).
اگر rang (Α) ≠ rang (Α | B)، پس مطمئناً سیستم هیچ راه حلی ندارد.
اگر rang (Α) = rang (Α | B)، سپس دو مورد ممکن است:
1) زنگ زد (Α) = n(به تعداد مجهولات) - راه حل منحصر به فرد است و می توان با فرمول کرامر به دست آورد.
2) زنگ زد (Α)< n - بی نهایت راه حل وجود دارد.
روش گاوسبرای حل سیستمهای معادلات خطی

بیایید یک ماتریس توسعه یافته بسازیم ( آ|ب) از یک سیستم ضرایب معین در طرف ناشناخته و سمت راست.
روش گاوس یا روش حذف ناشناخته ها شامل کاهش ماتریس توسعه یافته ( آ|ب) با کمک تغییرات اولیه در ردیف های آن به شکل مورب (به شکل مثلثی فوقانی). با بازگشت به سیستم معادلات ، همه مجهولات مشخص می شوند.
تحولات اولیه بر روی رشته ها شامل موارد زیر است:
1) تعویض دو خط ؛
2) ضرب یک رشته در عددی غیر از 0 ؛
3) اضافه کردن رشته به رشته دیگر ضرب در یک عدد دلخواه ؛
4) پرتاب کردن رشته صفر
ماتریس توسعه یافته ، که به شکل مورب کاهش می یابد ، مربوط به یک سیستم خطی معادل سیستم داده شده است ، که حل آن مشکلی ایجاد نمی کند. ...
سیستم معادلات خطی همگن.
یک سیستم همگن به شکل زیر است:

با معادله ماتریس مطابقت دارد A X = 0.
1) یک سیستم همگن همیشه سازگار است ، زیرا r (A) = r (A | B)، همیشه یک راه حل صفر وجود دارد (0 ، 0 ،… ، 0).
2) برای این که یک سیستم همگن محلول غیر صفر داشته باشد ، لازم و کافی است r = r (A)< n ، که معادل Δ = 0 است.
3) اگر r< n ، سپس عمدا Δ = 0 ، سپس ناشناخته های آزاد بوجود می آیند c 1 ، c 2 ، ... ، c n-r، سیستم دارای راه حل های غیرحرفه ای است و بی نهایت آنها وجود دارد.
4) راه حل کلی ایکسدر r< n می تواند به صورت ماتریس به شرح زیر نوشته شود:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
راه حل ها کجا هستند X 1 ، X 2 ، ... ، X n-rتشکیل یک سیستم اساسی تصمیم گیری
5) سیستم اساسی راه حل ها را می توان از محلول کلی یک سیستم همگن بدست آورد:

,
اگر مقادیر پارامترها به ترتیب (1 ، 0 ،… ، 0) ، (0 ، 1 ،… ، 0) ،… ، (0 ، 0 ،… ، 1) فرض شود.
تجزیه راه حل کلی از نظر سیستم اساسی راه حل هاثبت یک راه حل کلی به شکل ترکیبی خطی از راه حل های متعلق به سیستم بنیادی است.
قضیه... برای اینکه یک سیستم معادلات همگن خطی دارای راه حل غیر صفر باشد ، لازم و کافی است که Δ ≠ 0 باشد.
بنابراین ، اگر تعیین کننده Δ ≠ 0 باشد ، پس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.
اگر Δ ≠ 0 باشد ، پس سیستم معادلات همگن خطی دارای مجموعه ای نامتناهی از راه حل است.
قضیه... برای اینکه یک سیستم همگن محلول غیر صفر داشته باشد ، لازم و کافی است r (A)< n .
اثبات:
1) rنمی تواند بیشتر باشد n(رتبه ماتریس از تعداد ستون یا سطر تجاوز نمی کند) ؛
2) r< n از آنجا که اگر r = n، سپس تعیین کننده اصلی سیستم Δ ≠ 0 است ، و طبق فرمول های کرامر ، یک راه حل بی اهمیت بی نظیر وجود دارد x 1 = x 2 =… = x n = 0، که با شرط مغایرت دارد. به معنای، r (A)< n .
نتیجه... به منظور ایجاد یک سیستم همگن nمعادلات خطی با nناشناخته ها دارای یک راه حل غیر صفر هستند ، لازم و کافی است که Δ = 0 باشد.