افزایش یک عدد خیالی به توان. بالا بردن اعداد مختلط به توان
بیایید با یک مربع مورد علاقه شروع کنیم.
مثال 9
یک عدد مختلط را مربع کنید
در اینجا می توانید به دو روش بروید، راه اول این است که درجه را به عنوان حاصلضرب از عوامل بازنویسی کنید و اعداد را طبق قانون ضرب چند جمله ای ها ضرب کنید.
راه دوم این است که از فرمول معروف مدرسه برای ضرب مختصر استفاده کنید:
برای یک عدد مختلط، به راحتی می توان فرمول خود را برای ضرب اختصاری استنباط کرد:
فرمول مشابهی را می توان برای مربع تفاوت و همچنین برای مکعب مجموع و مکعب تفاوت به دست آورد. اما این فرمول ها بیشتر برای کارهای تحلیل پیچیده مرتبط هستند. اگر یک عدد مختلط نیاز داشته باشد تا مثلاً به توان 5 ، 10 یا 100 برسد ، چطور؟ واضح است که در فرم جبری انجام چنین ترفندی تقریبا غیرممکن است، واقعاً به این فکر کنید که چگونه یک مثال مانند را حل خواهید کرد؟
و در اینجا شکل مثلثاتی یک عدد مختلط به نجات می رسد و به اصطلاح فرمول Moivre: اگر یک عدد مختلط به صورت مثلثاتی ارائه شود، وقتی آن را به توان طبیعی برسانیم، فرمول صحیح است:
فقط ظالمانه
مثال 10
با توجه به یک عدد مختلط، پیدا کنید.
آنچه باید انجام شود؟ ابتدا باید عدد داده شده را به صورت مثلثاتی نشان دهید. خوانندگان با دقت متوجه شده اند که در مثال 8 ما قبلاً این کار را انجام داده ایم:
سپس طبق فرمول Moivre:
خدای ناکرده ، نیازی نیست روی ماشین حساب حساب کنید ، اما در بیشتر موارد باید زاویه را ساده کرد. چگونه ساده کنیم؟ به بیان تصویری، باید از شر چرخش های غیر ضروری خلاص شوید. یک دور شعاعی یا 360 درجه است. بیایید دریابیم که چند چرخش در استدلال داریم. برای راحتی، کسری را درست می کنیم:، پس از آن به وضوح قابل مشاهده است که می توانید یک دور کم کنید:. امیدوارم همه بفهمند که همان زاویه هستند.
بنابراین ، پاسخ نهایی به این صورت نوشته می شود:
نوع جداگانه ای از مسئله توان، توان اعداد کاملاً خیالی است.
مثال 12
اعداد مختلط را به توان برسانید،
در اینجا نیز همه چیز ساده است، نکته اصلی این است که برابری معروف را به خاطر بسپارید.
اگر واحد خیالی به توان زوج افزایش یابد، تکنیک حل به شرح زیر است:
اگر واحد خیالی به توان فرد افزایش یابد، آنگاه یک "و" را "خطا" می کنیم و یک توان زوج می گیریم:
اگر منهای (یا هر ضریب معتبری) وجود داشته باشد، ابتدا باید آن را از هم جدا کرد:
استخراج ریشه از اعداد مختلط معادله درجه دوم با ریشه های پیچیده
بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:
نمیشه ریشه رو استخراج کرد؟ اگر می آیددر مورد اعداد واقعی، واقعا غیرممکن است. در اعداد مختلط ، می توانید ریشه را استخراج کنید! و یا به جای، دوریشه:
آیا ریشه های یافت شده واقعاً راه حلی برای معادله هستند؟ بیایید بررسی کنیم:
چیزی که باید تایید شود.
اغلب از علامت اختصاری استفاده می شود، هر دو ریشه در یک خط زیر "یک شانه" نوشته می شوند:.
چنین ریشه هایی نیز نامیده می شود ریشه های پیچیده مزدوج.
من فکر می کنم همه می دانند که چگونه ریشه های مربع را از اعداد منفی استخراج می کنند :،،، و غیره. در همه موارد معلوم می شود دوریشه های پیچیده مزدوج
بیایید با یک مربع مورد علاقه شروع کنیم.
مثال 9
یک عدد مختلط را مربع کنید
در اینجا می توانید به دو روش بروید، راه اول این است که درجه را به عنوان حاصلضرب از عوامل بازنویسی کنید و اعداد را طبق قانون ضرب چند جمله ای ها ضرب کنید.
راه دوم این است که از فرمول معروف مدرسه برای ضرب مختصر استفاده کنید:
برای یک عدد مختلط، به راحتی می توان فرمول خود را برای ضرب اختصاری استنباط کرد:
فرمول مشابهی را می توان برای مربع تفاوت و همچنین برای مکعب مجموع و مکعب تفاوت به دست آورد. اما این فرمول ها بیشتر برای کارهای تحلیل پیچیده مرتبط هستند. اگر یک عدد مختلط نیاز داشته باشد تا مثلاً به توان 5 ، 10 یا 100 برسد ، چطور؟ واضح است که در فرم جبری انجام چنین ترفندی تقریبا غیرممکن است، واقعاً به این فکر کنید که چگونه یک مثال مانند را حل خواهید کرد؟
و در اینجا شکل مثلثاتی یک عدد مختلط به نجات می رسد و به اصطلاح فرمول Moivre: اگر یک عدد مختلط به صورت مثلثاتی ارائه شود، وقتی آن را به توان طبیعی برسانیم، فرمول صحیح است:
فقط ظالمانه
مثال 10
با توجه به یک عدد مختلط، پیدا کنید.
آنچه باید انجام شود؟ ابتدا باید عدد داده شده را به صورت مثلثاتی نشان دهید. خوانندگان با دقت متوجه شده اند که در مثال 8 ما قبلاً این کار را انجام داده ایم:
سپس طبق فرمول Moivre:
خدای ناکرده ، نیازی نیست روی ماشین حساب حساب کنید ، اما در بیشتر موارد باید زاویه را ساده کرد. چگونه ساده کنیم؟ به بیان تصویری، باید از شر چرخش های غیر ضروری خلاص شوید. یک دور شعاعی یا 360 درجه است. بیایید دریابیم که چند چرخش در استدلال داریم. برای راحتی، کسری را درست می کنیم:، پس از آن به وضوح قابل مشاهده است که می توانید یک دور کم کنید:. امیدوارم همه بفهمند که همان زاویه هستند.
بنابراین ، پاسخ نهایی به این صورت نوشته می شود:
نوع جداگانه ای از مسئله توان، توان اعداد کاملاً خیالی است.
مثال 12
اعداد مختلط را به توان برسانید،
در اینجا نیز همه چیز ساده است، نکته اصلی این است که برابری معروف را به خاطر بسپارید.
اگر واحد خیالی به توان زوج افزایش یابد، تکنیک حل به شرح زیر است:
اگر واحد خیالی به توان فرد افزایش یابد، آنگاه یک "و" را "خطا" می کنیم و یک توان زوج می گیریم:
اگر منهای (یا هر ضریب معتبری) وجود داشته باشد، ابتدا باید آن را از هم جدا کرد:
استخراج ریشه از اعداد مختلط معادله درجه دوم با ریشه های پیچیده
بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:
نمیشه ریشه رو استخراج کرد؟ اگر در مورد اعداد واقعی صحبت می کنیم، واقعا غیرممکن است. می توانید ریشه را در اعداد مختلط استخراج کنید! و یا به جای، دوریشه:
آیا ریشه های یافت شده واقعاً راه حلی برای معادله هستند؟ بیایید بررسی کنیم:
چیزی که باید تایید شود.
اغلب از علامت اختصاری استفاده می شود، هر دو ریشه در یک خط زیر "یک شانه" نوشته می شوند:.
چنین ریشه هایی نیز نامیده می شود ریشه های پیچیده مزدوج.
من فکر می کنم همه می دانند که چگونه ریشه های مربع را از اعداد منفی استخراج می کنند :،،، و غیره. در همه موارد معلوم می شود دوریشه های پیچیده مزدوج
مثال 13
حل معادله درجه دوم
بیایید تفکیک کننده را محاسبه کنیم:
ممیز منفی است و معادله در اعداد واقعی راه حل ندارد. اما ریشه را می توان به اعداد مختلط استخراج کرد!
با توجه به فرمول های معروف مدرسه ، ما دو ریشه داریم: - ریشه های پیچیده مزدوج
بنابراین ، معادله دارای دو ریشه پیچیده متصل است:
حالا شما می توانید هر معادله درجه دوم را حل کنید!
و به طور کلی، هر معادله ای با چند جمله ای درجه "n ام" دارای ریشه های مساوی است که برخی از آنها می توانند پیچیده باشند.
یک مثال ساده برای راه حلی که خودتان انجام دهید:
مثال 14
ریشه های معادله را بیابید و دو جمله ای درجه دوم را عامل کنید.
فاکتورسازی مجدداً طبق فرمول استاندارد مدرسه انجام می شود.
