نحوه تقسیم کسرهای ساده با مخرج های مختلف. اعمال کسری

جمع کسری با مخرج یکسان

دو نوع جمع کسر وجود دارد:

1. اضافه کردن کسری با مخرج یکسان ؛
2. اضافه کردن کسرهای با مخرج های مختلف.

ابتدا یاد بگیرید که کسری با مخرج یکسان اضافه کنید. اینجا همه چیز ساده است. برای جمع کسری با مخرج یکسان، اعداد آنها را جمع کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.

مثلاً با کسرهای و کار کنیم. اعداد شمارنده را اضافه کرده و مخرج بدون تغییر باقی می ماند:

اگر در مورد پیتزا که به چهار قسمت تقسیم شده است فکر کنید ، این مثال را می توان به راحتی درک کرد. اگر به پیتزا پیتزا اضافه کنید ، پیتزا دریافت می کنید:

مثال 2.کسرها را اضافه کنید و.

پاسخ کسری نادرست است. اگر پایان مشکل فرا رسید ، مرسوم است که از کسرهای نادرست خلاص شوید. برای خلاص شدن از بخش نادرست ، باید کل قسمت را در آن انتخاب کنید. در مورد ما ، کل قسمت به راحتی قابل تشخیص است - دو قسمت به دو تقسیم می شود یکی:

اگر به پیتزا که به دو قسمت تقسیم می شود فکر کنید، این مثال را به راحتی می توان فهمید. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، یک پیتزا کامل دریافت می کنید:

مثال 3... کسرها را اضافه کنید و.

دوباره ، شمارشگران را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر بگذارید:

اگر در مورد پیتزا که به سه قسمت تقسیم شده است فکر کنید ، این مثال را می توان به راحتی درک کرد. اگر به پیتزا پیتزا اضافه کنید ، پیتزا دریافت می کنید:

مثال 4.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال به همان روش قبلی حل شده است. اعداد باید اضافه شوند ، و مخرج باید بدون تغییر باقی بماند:

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از تصویر به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را به پیتزا اضافه کنید و پیتزا را به پیتزا اضافه کنید، 1 پیتزا کامل و بیشتر دریافت می کنید.

همانطور که می بینید ، افزودن کسری با مخرج یکسان هیچ چیز دشواری ندارد. برای درک قوانین زیر کافی است:

1. برای افزودن کسری با مخرج یکسان ، باید شمارنده آنها را اضافه کرده و مخرج را بدون تغییر بگذارید.

جمع کسری با مخرج های مختلف

حالا بیایید بیاموزیم که چگونه کسری با مخرج های مختلف اضافه کنیم. هنگام جمع کسر ، مخرج آن کسرها باید یکسان باشد. اما آنها همیشه یکسان نیستند.

به عنوان مثال، کسر و را می توان اضافه کرد زیرا مخرج های یکسانی دارند.

اما کسرها را نمی توان بلافاصله اضافه کرد ، زیرا این کسرها مخرج های متفاوتی دارند. در چنین مواردی ، کسرها باید به مخرج یکسان (مشترک) کاهش یابند.

چندین روش برای رساندن کسرها به مخرج یکسان وجود دارد. امروز ما فقط یکی از آنها را در نظر می گیریم ، زیرا بقیه روش ها ممکن است برای یک مبتدی دشوار به نظر برسد.

ماهیت این روش این است که ابتدا (LCM) مخرج هر دو کسر جستجو می شود. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود و اولین عامل اضافی بدست می آید. همین کار را با کسر دوم انجام دهید - LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید.

سپس صورت و مخرج کسرها در ضرایب اضافی آنها ضرب می شوند. در نتیجه این اعمال، کسری با مخرج های مختلف به کسری با مخرج یکسان تبدیل می شود. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را اضافه کنیم.

مثال 1... کسرها را اضافه کرده و

اول از همه ، ما کمترین ضرب مشترک مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول 3 و مخرج کسر دوم 2 است. کمترین ضرب مشترک این اعداد 6 است

LCM (2 و 3) = 6

اکنون به کسرها و. ابتدا ، LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم کرده و اولین عامل اضافی را بدست آورید. LCM عدد 6 است و مخرج کسر اول عدد 3 است. 6 را بر 3 تقسیم کنید ، 2 می گیریم.

عدد حاصل 2 اولین عامل اضافی است. آن را تا کسر اول یادداشت می کنیم. برای انجام این کار ، یک خط مایل کوچک در بالای کسر بسازید و عامل اضافی موجود در بالای آن را بنویسید:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. ما LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم و دومین عامل اضافی را بدست می آوریم. LCM عدد 6 است و مخرج کسر دوم عدد 2 است.

عدد حاصل 3 ، دومین عامل اضافی است. ما آن را به کسر دوم می نویسیم. مجدداً ، یک خط مایل کوچک را در بالای کسر دوم رسم می کنیم و عامل اضافی موجود در بالای آن را می نویسیم:

اکنون آماده افزودن هستیم. باقی مانده است که شمارنده و مخرج کسرها را در عوامل اضافی خود ضرب کنید:

از نزدیک به آنچه که به آن رسیده ایم نگاه کنید. ما به این نتیجه رسیدیم که کسرهایی با مخرج متفاوت به کسری با مخرج یکسان تبدیل می شوند. و ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسری را اضافه کنیم. بیایید این مثال را تا انتها به پایان برسانیم:

بنابراین، مثال به پایان می رسد. معلوم می شود که اضافه می کند.

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از یک تصویر به تصویر بکشیم. اگر به پیتزا پیتزا اضافه کنید ، یک پیتزا کامل و ششمین پیتزا دیگر دریافت می کنید:

کاهش کسرها به مخرج یکسان (مشترک) نیز می تواند با استفاده از تصویر به تصویر کشیده شود. با تقلیل کسرها و به یک مخرج مشترک، کسر و. این دو بخش با همان تکه های پیتزا نشان داده می شوند. تنها تفاوت این است که این بار آنها به سهام مساوی تقسیم می شوند (به یک مخرج کاهش می یابد).

تصویر اول یک کسری (چهار از شش قطعه) و تصویر دوم یک کسری (سه قطعه از شش قطعه) را نشان می دهد. با کنار هم قرار دادن این قطعات به دست می آید (هفت از شش قطعه). این بخش نادرست است ، بنابراین ما کل قسمت را در آن انتخاب کردیم. در نتیجه ، ما (یک پیتزای کامل و یک پیتزای دیگر) دریافت کردیم.

توجه داشته باشید که ما این مثال را با جزئیات بیش از حد توضیح داده ایم. V موسسات آموزشیمرسوم نیست که اینقدر گسترده بنویسیم. شما باید بتوانید به سرعت LCM هر دو مخرج و عوامل اضافی آنها را بیابید و همچنین عوامل اضافی یافت شده را به سرعت بر تعداد و مخرج خود ضرب کنید. در مدرسه ، ما باید این مثال را به شرح زیر بنویسیم:

اما سکه جنبه منفی هم دارد. اگر در اولین مراحل مطالعه ریاضیات یادداشت های دقیقی انجام ندهید ، س questionsالاتی از این دست شروع می شود "این رقم از کجا آمده است؟" "چرا کسرها ناگهان به کسرهای کاملاً متفاوت تبدیل می شوند؟ «.

برای سهولت افزودن کسری با مخرج های مختلف ، می توانید از دستورالعمل های گام به گام زیر استفاده کنید:

1. LCM مخرج کسرها را بیابید.
2. LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم کرده و برای هر کسر یک عامل اضافی بدست آورید.
3. اعداد و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید.
4. کسرهایی را که مخرج یکسانی دارند اضافه کنید.
5. اگر پاسخ کسری نادرست است ، کل قسمت آن را انتخاب کنید.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید .

بیایید از دستورالعمل های بالا استفاده کنیم.

مرحله 1. LCM مخرج کسرها را بیابید

LCM مخرج هر دو کسر را بیابید. مخرج کسرها اعداد 2 ، 3 و 4 است.

مرحله 2. LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم کرده و برای هر کسر یک عامل اضافی دریافت کنید

ما LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 2 است. 12 را بر 2 تقسیم کنید ، به 6 می رسیم. ما اولین عامل اضافی 6 را دریافت کردیم. ما آن را در کسر اول می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید ، بدست می آوریم 4. ما دومین عامل اضافی 4 را بدست آوردیم. 4 آن را در کسر دوم می نویسیم:

اکنون LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر سوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید ، بدست می آوریم 3. ما سومین عامل اضافی را دریافت می کنیم 3. ما آن را در کسر سوم می نویسیم:

مرحله 3: اعداد و مخرج کسرها را در فاکتورهای اضافی ضرب کنید

ما اعداد و مخرج ها را در عوامل اضافی خود ضرب می کنیم:

مرحله 4. کسری با مخرج یکسان را اضافه کنید

ما به این نتیجه رسیدیم که کسرهایی که مخرج متفاوت داشتند به کسری با مخرج یکسان (مشترک) تبدیل شدند. باقی مانده است که این کسرها را اضافه کنیم. اضافه می کنیم:

افزودن در یک خط قرار نمی گیرد ، بنابراین عبارت باقی مانده را به خط بعدی منتقل می کنیم. این در ریاضیات مجاز است. هنگامی که یک عبارت بر روی یک خط قرار نمی گیرد ، به خط بعدی منتقل می شود و لازم است که علامت مساوی (=) را در انتهای اولین خط و در ابتدای خط جدید قرار دهید. علامت مساوی در خط دوم نشان می دهد که این عبارت ادامه عبارتی است که در خط اول بود.

مرحله 5. اگر پاسخ کسری نادرست بود ، کل قسمت را در آن انتخاب کنید

ما در پاسخ خود کسر اشتباه گرفتیم. باید کل قسمت را از آن انتخاب کنیم. برجسته:

پاسخ دریافت کرد

تفریق کسری با مخرج یکسان

دو نوع تفریق کسرها وجود دارد:

1. کسر کسری با مخرج یکسان
2. تفریق کسری با مخرج های مختلف

ابتدا تفریق کسری با مخرج یکسان را مطالعه می کنیم.

برای کسر کسر دیگر از یک کسر ، باید عدد کسر دوم را از شمارنده کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر بگذارید.

به عنوان مثال ، بیایید مقدار یک عبارت را بیابیم. برای حل این مثال ، عدد کسر دوم را از شمارنده کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر بگذارید. خب بیا انجام بدیمش:

اگر در مورد پیتزا که به چهار قسمت تقسیم شده است فکر کنید ، می توانید این مثال را به راحتی درک کنید. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید ، پیتزا می گیرید:

مثال 2.مقدار عبارت را بیابید.

باز هم صورت کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

اگر به پیتزا که به سه قسمت تقسیم می شود فکر کنید، این مثال را به راحتی می توان فهمید. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید ، پیتزا می گیرید:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این مثال به همان روش قبلی حل شده است. از شمارنده کسر اول ، باید شمارش کسرهای باقی مانده را کم کنید:

همانطور که می بینید ، در کسر کسری با مخرج یکسان هیچ چیز دشواری وجود ندارد. برای درک قوانین زیر کافی است:

1. برای کسر دیگری از یک کسر ، باید شماره کسر دوم را از شمارنده کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر بگذارید.
2. اگر جواب کسر نادرست بود، باید کل قسمت را در آن انتخاب کنید.

تفریق کسری با مخرج های مختلف

به عنوان مثال ، می توانید کسری را از کسر کم کنید ، زیرا این کسرها مخرج یکسانی دارند. اما شما نمی توانید کسری را از کسر کم کنید ، زیرا این کسرها مخرج های متفاوتی دارند. در چنین مواردی ، کسرها باید به مخرج یکسان (مشترک) کاهش یابند.

مخرج مشترک بر اساس همان اصل یافت می شود که ما هنگام افزودن کسری با مخرج های مختلف استفاده می کردیم. اول از همه ، LCM مخرج هر دو کسر را بیابید. سپس LCM بر مخرج کسر اول تقسیم می شود و اولین عامل اضافی بدست می آید که روی کسر اول نوشته می شود. به طور مشابه ، LCM بر مخرج کسر دوم تقسیم می شود و یک عامل اضافی دوم به دست می آید که روی کسر دوم نوشته می شود.

سپس کسرها با فاکتورهای اضافی ضرب می شوند. در نتیجه این عملیات، کسری با مخرج متفاوت به کسری با مخرج یکسان تبدیل می شود. ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسری را کم کنیم.

مثال 1مقدار یک عبارت را پیدا کنید:

این کسرها مخرج متفاوتی دارند ، بنابراین باید آنها را به مخرج یکسان (مشترک) برسانید.

ابتدا LCM مخرج هر دو کسر را پیدا می کنیم. مخرج کسر اول 3 و مخرج کسر دوم 4 است. کمترین مضرب مشترک این اعداد 12 است.

LCM (3 و 4) = 12

اکنون به کسرها و

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. برای انجام این کار ، LCM را بر مخرج کسر اول تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر اول عدد 3 است. 12 را بر 3 تقسیم کنید، عدد 4 بدست می آید. چهار را روی کسر اول می نویسیم:

با کسر دوم هم همین کار را می کنیم. ما LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم می کنیم. LCM عدد 12 است و مخرج کسر دوم عدد 4 است. 12 را بر 4 تقسیم کنید ، به 3 می رسیم. سه را بر کسر دوم بنویسید:

اکنون برای تفریق آماده هستیم. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی خود ضرب کنید:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسرهایی با مخرج متفاوت به کسری با مخرج یکسان تبدیل می شوند. ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسرهایی را تفریق کنیم. بیایید این مثال را تا آخر تمام کنیم:

پاسخ دریافت کرد

بیایید سعی کنیم راه حل خود را با استفاده از تصویر به تصویر بکشیم. اگر پیتزا را از پیتزا جدا کنید ، پیتزا دریافت می کنید

این یک نسخه دقیق از راه حل است. در مدرسه ، ما باید این مثال را به روشی کوتاهتر حل کنیم. چنین راه حلی به شکل زیر است:

کاهش کسرها و مخرج مشترک را نیز می توان با استفاده از شکل نشان داد. با آوردن این کسرها به یک مخرج مشترک، کسر و. این بخش ها با همان برش های پیتزا نمایش داده می شوند ، اما این بار به قسمت های مساوی تقسیم می شوند (به مخرج یکسان کاهش می یابند):

نقاشی اول یک کسری (هشت قطعه از دوازده قطعه) را نشان می دهد و نقاشی دوم یک کسری را نشان می دهد (سه قطعه از دوازده قطعه). با قطع سه قطعه از هشت قطعه ، از دوازده قطعه پنج قطعه بدست می آوریم. کسر کرده و این پنج قطعه را توصیف می کند.

مثال 2.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

این کسرها مخرج های مختلفی دارند، بنابراین ابتدا باید آنها را به یک مخرج (مشترک) بیاورید.

LCM مخرج این کسرها را بیابید.

مخرج کسرها 10 ، 3 و 5 است. کمترین ضرب مشترک این اعداد 30 است

LCM (10 ، 3 ، 5) = 30

اکنون عوامل اضافی برای هر کسر پیدا می کنیم. برای انجام این کار ، LCM را بر مخرج هر کسر تقسیم می کنیم.

بیایید یک عامل اضافی برای کسر اول پیدا کنیم. LCM عدد 30 است و مخرج کسر اول عدد 10. تقسیم 30 بر 10 ، اولین عامل اضافی 3 را بدست می آوریم. آن را در کسر اول می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر دوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر دوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر دوم عدد 3 است. 30 را بر 3 تقسیم کنید، ضریب دوم اضافی 10 به دست می آید. آن را روی کسر دوم می نویسیم:

اکنون یک عامل اضافی برای کسر سوم پیدا می کنیم. LCM را بر مخرج کسر سوم تقسیم کنید. LCM عدد 30 است و مخرج کسر سوم عدد 5 است. 30 را بر 5 تقسیم کنید ، سومین عامل اضافی 6 را بدست می آوریم. آن را در کسر سوم می نویسیم:

اکنون همه چیز برای تفریق آماده است. باقی مانده است که کسرها را در عوامل اضافی خود ضرب کنید:

ما به این نتیجه رسیدیم که کسری با مخرج های مختلف به کسری با مخرج (مشترک) یکسان تبدیل می شود. ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین کسری را کم کنیم. بیایید این مثال را کامل کنیم.

ادامه مثال در یک خط قرار نمی گیرد، بنابراین ادامه را به خط بعدی منتقل می کنیم. علامت مساوی (=) را در یک خط جدید فراموش نکنید:

پاسخ کسری صحیح بود و به نظر می رسد همه چیز برای ما مناسب است ، اما بسیار دست و پا گیر و زشت است. باید راحت تر می کردیم. چه کاری می توان کرد؟ می توانید این کسر را کوتاه کنید.

برای کاهش کسر ، باید شمارنده و مخرج آن را بر اعداد (GCD) 20 و 30 تقسیم کنید.

بنابراین ، GCD شماره 20 و 30 را پیدا می کنیم:

اکنون به مثال خود برمی گردیم و عدد و مخرج کسر را بر GCD یافت شده تقسیم می کنیم ، یعنی بر 10

پاسخ دریافت کرد

ضرب کسری در عدد

برای ضرب یک کسری در یک عدد، باید صورت این کسری را در این عدد ضرب کنید و مخرج آن را بدون تغییر رها کنید.

مثال 1... کسر را در 1 ضرب کنید.

عدد کسر را در 1 ضرب کنید

ضبط را می توان به معنای نصف 1 زمان دانست. به عنوان مثال، اگر یک بار پیتزا بخورید، پیتزا دریافت می کنید

از قوانین ضرب ، می دانیم که اگر ضرب و ضرب معکوس شوند ، محصول تغییر نخواهد کرد. اگر عبارت به صورت نوشته شود، حاصلضرب همچنان برابر خواهد بود. باز هم ، قانون ضرب یک عدد صحیح و کسر کار می کند:

این رکورد را می توان با برداشتن نیمی از یکی فهمید. برای مثال، اگر 1 پیتزا کامل باشد و نصف آن را برداریم، پیتزا خواهیم داشت:

مثال 2... ارزش یک عبارت را بیابید

عدد کسر خود را در 4 ضرب کنید

پاسخ کسری نادرست است. بیایید کل قسمت را در آن انتخاب کنیم:

بیان را می توان به صورت دو چهارم 4 بار در نظر گرفت. به عنوان مثال ، اگر 4 بار پیتزا مصرف کنید ، دو پیتزای کامل دریافت می کنید.

و اگر ضریب و ضریب را در جای خود عوض کنیم، عبارت را بدست می آوریم. این عبارت نیز برابر 2 خواهد بود. این عبارت را می توان به عنوان گرفتن دو پیتزا از چهار پیتزای کامل درک کرد:

عددی که در کسر ضرب شود و مخرج کسر در صورتی مجاز است که ضریب مشترک آنها بیشتر از یک باشد.

به عنوان مثال ، یک عبارت را می توان به دو صورت ارزیابی کرد.

راه اول... 4 را با عدد کسر ضرب کرده و مخرج کسر را بدون تغییر باقی می گذاریم:

راه دوم... ضرب چهار و چهار در مخرج کسر را می توان باطل کرد. شما می توانید این چهار را با 4 لغو کنید ، زیرا بزرگترین تقسیم کننده مشترک برای چهار چهار ، خود چهار است:

نتیجه مشابه 3 به دست آمد. پس از کاهش چهار عدد، اعداد جدیدی به جای آنها تشکیل می شود: دو عدد. اما ضرب یک در سه و سپس تقسیم بر یک چیزی را تغییر نمی دهد. بنابراین ، راه حل را می توان کوتاه تر نوشت:

کاهش را می توان حتی زمانی که تصمیم گرفتیم از روش اول استفاده کنیم ، انجام دهیم ، اما در مرحله ضرب عدد 4 و عدد 3 تصمیم گرفتیم از کاهش استفاده کنیم:

اما، به عنوان مثال، عبارت را می توان فقط به روش اول محاسبه کرد - 7 را در مخرج کسری ضرب کنید، و مخرج را بدون تغییر رها کنید:

این به این دلیل است که عدد 7 و مخرج کسر دارای تقسیم کننده مشترک بزرگتر از یک نیستند و بر این اساس لغو نمی شوند.

برخی از دانش آموزان به اشتباه عدد ضرب و عدد کسر را مخفف می کنند. این را نمی توان انجام داد. به عنوان مثال ، موارد زیر صحیح نیست:

کاهش کسری دلالت بر آن دارد و شمارنده و مخرجبه همان عدد تقسیم خواهد شد. در شرایطی که یک عبارت وجود دارد ، تقسیم فقط در شمارنده انجام می شود ، زیرا نوشتن آن همان نوشتن آن است. ما می بینیم که تقسیم فقط در شمارنده انجام می شود و هیچ تقسیم در مخرج رخ نمی دهد.

ضرب کسرها

برای ضرب کسرها باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید. اگر جواب کسر نادرست است، باید کل قسمت را در آن انتخاب کنید.

مثال 1مقدار عبارت را بیابید.

جواب گرفتیم. مطلوب است که این کسر کوتاه شود. کسر را می توان به 2 کاهش داد. سپس تصمیم نهایی به شکل زیر خواهد بود:

این عبارت را می توان به صورت گرفتن پیتزا از نیمی از پیتزا فهمید. فرض کنید نیمی از پیتزا داریم:

چگونه می توان دو سوم این نیمه را بدست آورد؟ ابتدا باید این نیمه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید:

و دو تا از این سه قطعه بردارید:

ما پیتزا درست می کنیم به یاد داشته باشید که یک پیتزا به سه قسمت تقسیم می شود:

یک تکه از این پیتزا و دو تکه ای که برداشتیم ابعاد یکسانی دارند:

به عبارت دیگر، می آیدتقریباً به همان اندازه پیتزا بنابراین، ارزش عبارت است

مثال 2... ارزش یک عبارت را بیابید

ما عدد کسر اول را بر شمارنده کسر دوم و مخرج کسر اول را بر مخرج کسر دوم ضرب می کنیم:

پاسخ کسری نادرست است. بیایید کل قسمت را در آن انتخاب کنیم:

مثال 3.مقدار یک عبارت را پیدا کنید

ما عدد کسر اول را بر شمارنده کسر دوم و مخرج کسر اول را بر مخرج کسر دوم ضرب می کنیم:

جواب کسر صحیح بود اما اگر آن را کم کنید خوب است. برای کاهش این کسر ، باید شمارنده و مخرج این کسر را بر بزرگترین تقسیم کننده مشترک (GCD) 105 و 450 تقسیم کنید.

بنابراین، بیایید GCD اعداد 105 و 450 را پیدا کنیم:

اکنون ما عدد و مخرج پاسخ خود را به GCD تقسیم می کنیم ، که ما اکنون یافته ایم ، یعنی بر 15

نمایش کسر یک عدد صحیح

هر عدد صحیح را می توان به صورت کسر نشان داد. به عنوان مثال ، عدد 5 را می توان به صورت زیر نشان داد. از این رو ، پنج مقدار خود را تغییر نمی دهد ، زیرا عبارت به معنی "عدد پنج بر یک تقسیم می شود" ، و این ، همانطور که می دانید ، برابر پنج است:

اعداد معکوس

اکنون با یک موضوع بسیار جالب در ریاضیات آشنا می شویم. به آن "اعداد پشت" می گویند.

تعریف. معکوس عددآ عددی است که وقتی در آن ضرب شودآ یکی می دهد

بیایید در این تعریف به جای متغیر جایگزین کنیم آشماره 5 و سعی کنید تعریف را بخوانید:

معکوس عدد 5 عددی است که در ضرب در آن 5 یکی می دهد

آیا می توانید عددی را پیدا کنید که در ضرب در 5 عدد یک را بدست آورید؟ معلوم می شود شما می توانید. بیایید پنج را به صورت کسر نشان دهیم:

سپس این کسر را به تنهایی ضرب کنید ، فقط مکانهای شمارنده و مخرج را عوض کنید. به عبارت دیگر ، کسر را در خود ضرب می کنیم ، فقط معکوس می کنیم:

نتیجه این امر چه خواهد بود؟ اگر به حل این مثال ادامه دهیم ، به یکی می رسیم:

این بدان معناست که معکوس 5 یک عدد است ، زیرا 5 در یک ضرب می شود.

متقابل را می توان برای هر عدد صحیح دیگری نیز یافت.

همچنین می توانید متقابل هر کسر دیگر را بیابید. برای انجام این کار ، فقط آن را برگردانید.

تقسیم کسری بر عدد

فرض کنید نیمی از پیتزا داریم:

بیایید آن را به طور مساوی به دو قسمت تقسیم کنیم. هر کدام چقدر پیتزا می گیرند؟

مشاهده می شود که پس از تقسیم نیمی از پیتزا ، دو برش مساوی وجود دارد که هر کدام یک پیتزا را تشکیل می دهند. بنابراین همه یک پیتزا می گیرند.

) و مخرج بر مخرج (ما مخرج محصول را بدست می آوریم).

فرمول ضرب کسرها:

مثلا:

قبل از شروع ضرب اعداد و مخرج ها ، باید احتمال کاهش کسر را بررسی کنید. اگر بتوانید کسر را کاهش دهید ، انجام محاسبات بیشتر برای شما آسان تر خواهد بود.

تقسیم کسر معمولی به کسری.

تقسیم کسری با مشارکت یک عدد طبیعی.

آنقدرها هم که به نظر می رسد ترسناک نیست. مانند مورد جمع ، یک عدد صحیح را به کسری تبدیل کنید که مخرج آن یک باشد. مثلا:

ضرب کسرهای مخلوط

قوانین ضرب کسر (مخلوط):

• تبدیل کسرهای مختلط به کسرهای نامنظم؛
• ضرب و مخرج کسرها را ضرب کنید.
• کسر را کاهش می دهیم ؛
• اگر کسری نادرست گرفتید، کسر نادرست را به کسر مختلط تبدیل کنید.

توجه داشته باشید!برای ضرب کسر مخلوط در کسر مخلوط دیگر ، ابتدا باید آنها را به صورت کسرهای نامناسب درآورید ، و سپس طبق قاعده ضرب کسرهای معمولی ضرب کنید.

روش دوم برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی.

ممکن است استفاده از روش دوم برای ضرب کسر معمولی در یک عدد راحت تر باشد.

توجه داشته باشید!برای ضرب کسری در یک عدد طبیعی ، باید مخرج کسر را بر این عدد تقسیم کرده و عدد را بدون تغییر بگذارید.

از مثال بالا، واضح است که استفاده از این گزینه زمانی راحت تر است که مخرج کسری بدون باقیمانده بر یک عدد طبیعی تقسیم شود.

کسرهای چند طبقه.

در دبیرستان ، بخشهای سه طبقه (یا بیشتر) اغلب یافت می شوند. مثال:

برای آوردن چنین کسری به شکل معمول خود، از تقسیم از طریق 2 نقطه استفاده کنید:

توجه داشته باشید!در تقسیم کسرها ترتیب تقسیم بسیار مهم است. مراقب باشید، اینجا به راحتی گیج می شود.

توجه داشته باشید، مثلا:

هنگام تقسیم یک بر هر کسری، نتیجه همان کسر خواهد بود، فقط معکوس:

نکات کاربردی برای ضرب و تقسیم کسرها:

1. مهمترین نکته در کار با عبارات کسری دقت و توجه است. تمام محاسبات را با دقت و دقت و با تمرکز و وضوح انجام دهید. بهتر است چند خط اضافی در پیش نویس بنویسید تا اینکه در محاسبات در ذهن خود گیج شوید.

2. در وظایف با انواع مختلفکسرها - به شکل کسرهای معمولی بروید.

3. همه کسرها را کاهش دهید تا کاهش آنها غیر ممکن شود.

4- عبارات کسری چند طبقه با استفاده از تقسیم 2 نقطه به عبارات معمولی تبدیل می شوند.

5. واحد را از نظر ذهنی به سادگی با چرخاندن کسر تقسیم کنید.

برای درک نحوه تقسیم کسر ، بیایید قانون را مطالعه کرده و از مثالها برای نحوه استفاده از آن استفاده کنیم.

قانون تقسیم برای کسرهای معمولی

برای تقسیم دو کسر ، باید عدد اول را در دوم ضرب کنید (یعنی کسر اول را در دوم معکوس ضرب کنید).

نمونه هایی از تقسیم کسرهای معمولی:

برای تفکیک این کسرها، کسر اول و معکوس کسر دوم را بازنویسی می کنیم (ضریب تقسیم در متقابل مقسوم علیه ضرب می شود). اینجا هیچ چیز قطع نمی شود.

برای تقسیم این کسرها ، عدد اول را بدون تغییر بازنویسی کرده و در معکوس دوم ضرب کنید. 6 و 9 در 3 ، 20 و 25 - در 5. بنابراین این پاسخ نهایی است.

کسر اول را بدون تغییر بگذارید و در معکوس کسر دوم ضرب کنید. 45 و 36 را با 9 ، 65 و 52 - با 13 کاهش دهید. در نتیجه ، کسری نادرست را بدست آوردیم که از آن حاصل می شود.

هنگام تقسیم دو عدد مساوی، یک عدد بدست می آوریم، بنابراین می توانیم بلافاصله پاسخ را یادداشت کنیم.

برای تقسیم کسرها ، اول را در معکوس دوم ضرب می کنیم. 23 و 23 را با 23، 14 و 7 را به 7 کاهش دهید. از آنجایی که مخرج یک است، پاسخ یک عدد صحیح است.

دفعه بعد ، بیایید نحوه تقسیم یک عدد صحیح را بر کسری بررسی کنیم.

1. برای تقسیم کسر 1 چاه بر دوم ، باید سود تقسیمی را بر عددی ضرب کنید که معادل تقسیم کننده است.

برای کسرهای صحیح و نامناسب ، قاعده تقسیم به شرح زیر است:

برای تقسیم کسر معمولی ، باید عدد تقسیم سود را بر مخرج تقسیم کننده ضرب کنید ، و مخرج سود تقسیم شده باید با عدد تقسیم کننده ضرب شود. ما اولین محصول را به عنوان شمارنده و دوم را به عنوان مخرج در نظر می گیریم.

تقسیم کسری به کسری.

برای تقسیم کسری معمولی 1 چاهی بر ثانیه که برابر با صفر نیست، باید:

• عدد کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کرده و حاصل ضرب را در کسر کسر حاصل بنویسید.
• مخرج کسر 1 ، در عدد کسر 2 ضرب کرده و محصول را در مخرج کسر حاصله بنویسید.

به عبارت دیگر ، تقسیم کسرها به ضرب می رسد.

برای تقسیم 1 کسر بر دوم، باید سود تقسیمی (1 کسری) را در متقابل تقسیم کننده ضرب کنید.

تقسیم کسری بر عدد.

از نظر شماتیک ، تقسیم کسری بر عدد طبیعی به صورت زیر است:

برای تقسیم کسر بر عدد طبیعی از روش زیر استفاده کنید:

یک عدد طبیعی را به صورت کسری نامناسب بیان می کنیم که صورت آن برابر با خود عدد و مخرج آن برابر با 1-tse است.

تقسیم بندی است در این مقاله در مورد آن صحبت خواهیم کرد تقسیم کسرهای معمولی... ابتدا قاعده ای برای تقسیم کسرهای معمولی می دهیم و نمونه هایی از تقسیم کسرها را در نظر می گیریم. بعد، ما بر تقسیم یک کسر معمولی بر یک عدد طبیعی و اعداد بر یک کسری تمرکز خواهیم کرد. در نهایت ، نحوه تقسیم کسر معمولی بر عدد مختلط را در نظر بگیرید.

پیمایش صفحه.

تقسیم کسری بر کسری

مشخص است که تقسیم معکوس ضرب است (رابطه تقسیم و ضرب را ببینید). یعنی تقسیم شامل یافتن یک عامل ناشناخته زمانی است که محصول و عامل دیگری شناخته شده است. همان حس تقسیم در تقسیم کسرهای معمولی حفظ می شود.

بیایید نمونه هایی از تقسیم کسرهای معمولی را در نظر بگیریم.

توجه داشته باشید که نباید از ابطال کسرها و جدا کردن کل قسمت از کسر نامناسب غافل شد.

تقسیم کسر معمولی بر عدد طبیعی

بلافاصله می دهیم قانون تقسیم کسر معمولی بر عدد طبیعی: برای تقسیم کسر a / b به یک عدد طبیعی n ، باید عدد یکسان باقی بماند ، و مخرج باید در n ضرب شود ، یعنی ،

این قانون تقسیم مستقیماً از قانون تقسیم برای کسرهای معمولی پیروی می کند. در واقع، نمایش یک عدد طبیعی به صورت کسری به تساوی های زیر منجر می شود .

بیایید به مثالی از تقسیم کسری بر عدد نگاه کنیم.

مثال.

16/45 را بر عدد طبیعی 12 تقسیم کنید.

راه حل.

با قاعده تقسیم کسر بر عدد ، داریم ... اجرای کاهش:. این تقسیم بندی را کامل می کند.

پاسخ:

.

تقسیم یک عدد طبیعی بر کسری معمولی

قانون تقسیم کسرها مشابه است قانون تقسیم یک عدد طبیعی بر یک کسری معمولی: برای تقسیم یک عدد طبیعی n بر کسر معمولی a / b ، باید عدد n را در عددی که متقابل a / b است ضرب کنید.

طبق قانون بیان شده ، و قانون ضرب یک عدد طبیعی در کسر معمولی به شما امکان می دهد آن را در فرم بازنویسی کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال.

عدد طبیعی 25 را بر کسری 15/28 تقسیم کنید.

راه حل.

از تقسیم به ضرب برویم، داریم ... پس از برش و جداسازی کل قسمت ، به دست می آوریم.

پاسخ:

.

تقسیم یک کسر معمولی بر یک عدد مختلط

تقسیم کسر معمولی بر تعداد مختلطبه راحتی به تقسیم کسرهای معمولی کاهش می یابد. برای انجام این کار ، انجام آن کافی است